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Ce mÀne anteur a (ait, arec Je même appareil ^ les trois expériences dont les résultats sont cicontre. Quoique ceux du calcul soient généralement un peu plus forts y Texcés est si petit qn*on peut le négliger: il n'est rraisemblablement que Teffèt de quelque petite erreur d'observation. '
Je ferai remarquer que le tems qu'un Tase met à te TÎder entièrement ne saurait être déterminé exactement par les for<« mules: lorsque l'eau ^ en baissant ^ n'est plus qu'à quelques centimètres du fond, il s^ forme un entonnoir dont l'air occupe le milieu et rétrécit ainsi l'orifice de sortie. En outre^ lorsque l'eau n'est plus qu'a cinq ou six millimètres du fond, l'attraction moléculaire retient ses particules les unes contre les autres, et l'écoulement s'arrête, ou bien, il fi*a plus lieu que goutte à goutte.
80. L'expression du tems que le fluide met à Vohn baisser d'une certaine quantité donne , par ime ^•'" ^ simple transformation, la grandeur de l'abais- ^oaué, sèment, ainsi que le volume d'eau écoulé durant ce tems.
Pour la grandeur de l'abaissement H -r- A^ on a
imSylïg
/mS V^2g
En multipliant cette expression par A (ce qui se borne à effacer A dans le facteur incomplexe) , on obtient le volume d'eau écoulé dans le tems t.
Soit, par exemple, un bassin dont la partie supérieure, qui est sensiblement prismatique, a mille mètres carrés de superficie : l'eau en sort par une ouverture de yanne de o'^GS de large sur o"*p85 de bautcur ; au luoment où on lère la
88 ÉCOULEMENT DE LEJiV
pelle, le niTean est à 2*70 au-dessus de cette ouTerture. On demande de combien il baissera en une heure de tems.
Ici, A = 1000"", S = o"65 X o"o85 = o~o55a5, H = ^"'70,/ = 1^ = 36oo", et m, pour les ouvertures de yanne, est à peu prés 0,70. En conséquence, l'abaissement demandé sera
36ooXo,7oXo,o55a5X4j43 /,/ 36ooXo,7oXo/i55a5X4^3\
' ' i y a^To "" r; ' j
Pour le volume d'eau écoulé, dans le tems de cet abaissement, on aurait 1000 X 0,918 = 91 S™""",
Cu oii le 81. Admettons cpie le bassin prismatique, tout. ^J|][JJ^| en se vidant, reçoit un courant (fournissant moins^ idint ^*il d*eau cpi'il n'en sort du bassin); et déterminons, ^**^ dans ce nouveau ca^ , le tems que le niveau mettra à baisser d'une quantité donnée.
G>nservons les dénominations ci -dessus, appelons de plus {] le volume d'eau arrivant au bassin en une seconde de tems , et oc la grandeur de l'abaissement dans le tems t : dx sera la hauteur dont le fluide baissera, pendant l'instant infiniment pçtit dt, au bout du tems t. Adx exprimerait le volume deau écoulé durant cet instant, si le bassin ne recevait aucun afiluent: mais comme il reçoit q en ime seconde , et par conséquent qdt en dt, le volume d'eau réelle-, ment sorti sera Adjc H- qdt. Ce même volume^ d'après la formule de la dépense par les orifices
( 1 6 ) , est encore exprimé par mSdù [/oLg (H — x}^ on fiura donc
kdx -^qdt=^ n&dt j/3gf(H — œ )', et, en faisant H — jc = A, d'où — dao = dh,
qdt — kdh = mSAl/^ [/h;
qui demie
, —ÈLdh
Pour intégrer cette équation , je fais mS y 2g yh — q =/> et il vient
dont l'intégrale est
Remettant pour j- sa valeur ci-dessus, déterminant la constante pour l'origine du mouvement, où t = o, a: = o et ^ = H, se rappelant qu'aux logaritlimes hyperboliques on peut substituer les logarithmes ordinaires en multipliant ces derniers par 2,3o5, on aura finalement
Lorsqu'il n'y a point d'affluent , ^ = o et l'on a l'équation du n.° 79.
Un étangs ramené à la forme prismatique^ a 56oo"^ de superficie et S'^So de profondeur : il est alimenté par un ruisseau donnant o™°^95 d'eau par seconde : la vanne de fond ^ lorsque la pelle est entièrement levée ^ a i^'io de large et o™6o de Itauteur. On demande le tems que Fétang mettra à se vider jusqu'à o'^io au-dessus du, bord supérieur du pertuis. (D'après ce qui a été dit au n.^ 79 y les formules ne sauraient rendre le tems de l'abaissement lorsque le niveau du fluide n'est plus qu'à une petite bauteur au-dessus de l'orifice de sortie. )
On a ici 5 pouf la cbai^e au-dessus du centre de cet orifice^ au moment de la levée de la vanne^ ou pour H = 3'**2o
QO EœULEMENT DE LËAU
(=3,5o — jO,6o); pour la charge à la fin , ou >l =. o"4o (=io,6o-+-o,io);S = i"ioxo"'6o = o"°'66; A = 36oo"^j
ç = o™"*™95 ; m = 0,70 : par suite, mS l/â^ = 2,0462 , et log "'l'^-'' = log fl^ = log 7,875 = o^96a.
D'après cela , l'équation derient ^ -^ {2,0462 (1/3,2 — |/o,4) -H 2,303x0,95x0,8962 [
= 7442"= 2^ & 2". C'est le tems demandé.
82. Si l'on avait à déterminer la grandeur de l'abaissement du niveau en un tems donné, la question se réduirait à déterminer la charge h à la fin de ce tems : et on la retranclierait de la cHarge H au commencement de l'écoulement. Pour avoir ^, on mettra successivement, dans l'équation du numéro précédent, plusieurs valeurs jusqu'à ce qu'elle se trouve satisfaite.
Soit l'étang dont il vient d'être question, et qu'il s'agisse de savoir de combien la surface j baissera en une beure de tems, H étant toujours de 3"2o : on a en outre / = 36oo", A = 36oo"'", ^ = o"""95 et mS]/^2^= 2,0462.
On mettra ces valeurs numériques dans l'équation , à laquelle on donnera, après réduction, la forme suivante, 36oo — 1719,5 {3,66o4 — 2,o46 1/^-1-0,9475 — 2,1875 -flog ( 2,o46 |/Â — 0,95 ) ^ = o.
On fera d'abord h = i,5^ l'équation deviendra -|- 709 = o puis k = 1,20, et on aura — 5i = o
puis h = 1,22, -H' 5 = 0
et finalement h = 1,2184 0 = 0.
Ainsi, la valeur de h sera i™2i84; et par suite l'abaissement demandé égalera 3,20 — 1,2184= i"*982.
AsobTeau 83. Dans le cas ou l'eau sortirait d'un bassin rt par un p^^j. jj^ dévcrsoir, en admettant que ce bassin ne reçoit pas de nouvelle eau, on aurait, d'après ce
versoir.
qui vient d'être dit, et d'après ce qui a été exposé ailleurs (66), kdoc =^^ml (H — œ) dt ]/^ yR — a:; d'où, par une méthode analogue à celle dont on a fait usage ci-dessus, on déduit
Qu'en ait^ par ejcemple , un bassin dont la surface soit de loo"™^ et sur un des bords duquel il j a on dérersoîr de o^'So de \vt^(ti le niveau dé Teau est à o™8o au-dessus du seuil. On demande combien de tems il mettra pour baisser de o^ôo.
Ici h = o"8o — o"6o = o'^^o, H = o^'So, A = loo"",, /= o"5o, et m = 0,61 (72) : de sorte que
84- H n'a été question jusqu'ici que des vases Css de ou bassins prismatiques ; la détermination du *|"* ' tems de l'écoulement, pour toute autre forme, serait {beaucoup plus compliquée; elle est même* impossible dans la plupart des cas qui peuvent se présenter.
L'équation fondamentale est bien toujours hdx = m&dt y^g (H • — ar) ; d'où
Kdx
Mais ici A est variable, et on ne peut eflec-r tuer l'intégration qu'après avoir exprimé A en fonction de x : cela ne pourra se faire qu'autant qu'on connaîtra la loi suivant laquelle il décroît , et par conséquent qu'autant que le bassin sera
93 ÉCOULEMENT DE L EAtT
un solide de révolution dont Téquation de la courbe génératrice est connue.
Dans tous les autres cas, il faudi^ jHrocéder par approximation et par parties. A cet effet, on divisera le bassin en tranches horizontales d'une petite épaisseur : chacune sera regardée comme un prisme , et l'on déterminera , à l'aide des formules ci-dessus , le tems qu'elle mettra à se vider. La somme de ces tems partiels sera le tems que l'eau aura mis à baisser d'une quantité ^ale à la somme des hauteurs des prismes.
Soit , par exemple, un étang dont la surface fluide est de SiSoo"*", et dans lequel elle se tient à 2^40 au-dessus du centre d*une ouTcrlure de fond , garnie d*une buse pyramidale ajant o'"45 de câté en carré à la bouche de sortie. On demande le tems qu*il faudra pour que la surface baisse d'un mètre , lorsque cette bouche sera ourerte.
On supposera la tranche d'eau d'un mètre d'épaisseur divisée en deux tranches d'un demi-mètre chacune : d'après les plans et profils de l'étang , qu'on aura levés avec soin et détail , on déterminera la section moyenne de la première tranche; admettons qu'elle est de 26700°^; et que celle de la seconde est de 16900"^. Pour la première, on a A == 1^90 (=2,4o — o,5o), et pour l'autre i"'4o.
En conséquence, le tems que la première mettra à se vider, 0,98 étant le coefficient de la dépense par la buse
Pour la deuxième tranche, on aurait ... 2^ 4' 56''
Ainsi, le tems de l'abaissement demandé sera 4^ 5 7' 55>"
d'17N Réservoir dans un avtre. gS
