CHAPITRE III

DB t.'É(X>IXtEllIEmr, LORSQUE LB FLUIDE PASSE D'UN RBSERTOm DANS UN AUTtUB.

Si un réservoir contenant un fluide , au lieu de le verser dans l'atmosphère par un orifice percé dans sa partie inférieure, le verse dans un autre réservoir renfermant déjà une certaine quantité de même fluide, de manière à ce que l'orifice de communication en soit recouvert, on aura à distinguer trois cas.

85. D'abord, celui où chacun des deux réser- l^ dîtoi Toirs conserve sensiblement son même niveau;^* j^ ce qui arrive lorsqu'un bief de canal fom^nit cbacun di l'eau au bief immédiatement inférieur , par un ^*"* ^^**" pertuis placé au-dessous du niveau de ce dernier. L'eau est retenue dans le bief supérieur par une Fîg. 19. porte d'écluse AB , au bas de laquelle est l'ouverture dont BD représente la hauteur.

Il s'agit de déterminer la quantité d'eau qui en sortira dans l'unité de tems.

Soit C le centre de gravité de l'ouverture ou pertuis. La pression ou force qui tend à faire sortir l'eau est représentée par AC : mais de l'autre côté est une force EC, qui tend à empêcher la sortie , et qui agit dans un sens directement opposé; de sorte que la résultante, ou la force en vertu de laquelle l'écoulement a lieu, est AC — - EC = AE. En général , lorsque un fluide passe d'un réservoir dans un autre , par un ori-

voirs.

94 ' ÉCOULEMENT DE L'eàU

fice recouvert du fluide qui est dans ce derniet, , la charge effective sur cet orifice ^ ou ta hauteur due à la vitesse de sortie , en un instant quelconque, est la dfférence de niveau des deux ré^ servoirs à ce même instant. Tel est le principe fondamental des ëcoulemens , objiçt de ce chapitre. S6, Si JJ est la différence de niveau de$ deux réservoirs, S étant toujours la section des pertui$, m le coefficient de contraction pour cet orifice , et Q la dépense en une seconde, on aura

Q == mS j/â^.

Mais m a-t^il , dans ce cas , une même valeur que lorsque l'écoulement se iaXt dans l'atmosphère; en d'autres termes, la veine fluide se contracte -t- elle également dans l'air ou dans l'eau? Il y a cent ans que Daniel Bernoulli a répondu d'une manière affirmative : ayant pri^ un vase cylindrique percé, à son fond^ d'un orifice et rempli d'eau, il remarqua qu'il se vidait dans un même tems, soit que l'orifice fut en plein air , soit qu'il plongeât un peu dans l'eau dormante (Hfdrodfn., p. 129). Plusieurs expériences faites sur les pertuis des portes d'écluse, indiquent une dépense à peu près égale ; soit que ces pertuis se trouvent sous l'eau, soit qu'ils se trouvent à découvert; elles donnent, dans les deux circonstances, 0,6^5 (29) pour coefficient de réduction de la dépense théorique à la dépense réelle. Ainsi

d'un réservoir dans un autre. 95

87. Passons au cas où le réservoir inférieur, Lenive celui qui reçoit l'eau, est limité comme le serait ^*j^^" un bassin de moyenne grandeur ; tandis que le réservoir « réservoir suparieur est toujours regardé comme J^^^*"'^*^! d'une étendue indéfinie , ou plutôt comme en- i'auti«. tretenu à un même niveau. Lorsque l'orifice de communication sera ouvert , à mesure que Teau arrivera dans le bassin inférieur , sa surface s'y élèvera , et il s'agit de déterminer le tems qu elle mettra pour atteindre une hauteur donnée.

Soit M ce bassin, l'eau entrée par Forifîce B Tig> » est dé jà parvenue en C , et il faut trouver Fexpression du tems qu'elle mettra pour arriver en D.

Ce problème est exactement l'inverse de celui (79) où, pour un vase qui se vide librement ^dans l'atmosphère, il faut assigner le tems que le fluide met à y baisser d'une quantité donnée. Dans ce cas -là, à mesure que l'écoulement avait lieu, l'élévation de la surface de l'eau au-dessus de l'orifice, qui était la hauteur due à la vitesse de sortie, vitesse d'où dépend celle de la surface, diminuait graduellement : de même, dans le problème actuel, la hauteur due à la vitesse, à l'orifice B, qui est la différence du niveau des deux vasQs, diminuera exactement dans le même rapport Dans le premier cas , la surface fluide était comme poussée de haut en bas par une force qui décroissait progressivement 3 dans celui-ci, elle sera réellement poussée , mais de bas en haut , par cette même force décroissant suivant une égale progression ; de sorte que cette surface mettra un même tems pour parcourir un même espace.

96 ÉOOULEIfENT DE l'eAU

Si H est toujours la charge AC au commen. cernent de ce tems, h la chai^ AD à la fin, A Faire de la section du yase qui se remplit , S la section de l'orifice B , m le coefilcient de contraction, on aura, comme au n.^ 79

et pour le tems du remplissage entier jusqu^en A,

Ces formules sont d'un grand usage ; elles servent à déterminer le tems qu'il faut pour remplir un sas d'écluse.

Faisons une application an canal de Languedoc ^ on canal du Midi. En admettant le sas mojren^ tel qu'il est donné dana V Histoire de ce canal par le général Andréossj (tome I^ pag. i58 et 261 ) f on B.

Longueur du sas d'une porte à l'autre SS^oS

Largeur du sas de 6*^50 à 1 i™o4

Chute d'un bief à l'autre ^"274

Section horizontale du sas - — — 325"^6

Section d'un pertuis o"^286

Le niveau du bief supérieur au-dessus du centre

du pertuis est à ^^9^2

Du même centre jusqu'au bief inférieur ^ on a o™325 Le coefilcient de contraction^ les deux pertuis

de la porte d'amont étant ouverts à la fois ^ est (3o) 0^548 Considérons d'abord la partie du sas qui est au-dessous du

centre de l'orifice. Le tems de son remplissage^ déterminé par

la régie des écoulemens en plein air (16)^ sera^ en obsenrant

qu'on a deux pertuis ouverts^

3aS,6Xo,3a5

0^48 X a X o,6aa6 /a^ V^ 1,949

d'un késertoir dans un AmmE.

Pour la partie qui est aiMlessos du centre de l'orifice j par la formule que nous Tenons d'établir, on aura

0,548 X a X o,6a86 )/:kg

Ainsi, le tems pour remplir le sas entier sera de 323" ou de 5' 2 3".

L'historien du canal donne , pour ce tems , de 5' à 6' : son terme mojen , 5' 3o'', ne différerait presque pas du résultat des formules.

88. Des expériences faites, en Allemagne, sur une écluse du canal de Bromberg, et rapportées par Ejtelwein {Hand^ huchy $. 120), mettront encore mieux à même de comparer .les résultats du calcul arec ceux de l'expérience.

Le ^s avait 49™% de long, sa largeur était de 6^59 à 9"' 10 et sa section de 422™™: les pertuis avaient o°6277 (2 pieds rhénans) de large; Ja hauteur de l'un était de 0^4^^^ ^^ <^cllc de l'autre o™5623. L^eau a été donnée d'abord par le premier et puis par le second; ainsi l'on a eii deux séries d'expériences. Dans chacune, on a préalablement laissé monter l'eau dans le sas jusqu'à o™o6 au-dessus du bord supérieur du pertuis : alors le bord du premier pertuis se trouvait à 2™223 en contre-bas du niveau du bief supérieur ; et le bord du second était à 2^197. On comptait le nombre de secondes que l'eau mettait a s'élever d'une certaine quantité (1 ou 2^) jusqu'à ce que le sas fût plein. Les résultats obtenus sont donnés ci-contre.

Le tems des élévations partielles a été encore calculé par la formule

^.- QUARTITE "~ ** doatreau

s'âerait.

iO*"6277

TEMS de réléTCtion , diaprés

le calcul.

l*espérimce.

où m a été fait égal à 0,626.

La valeur de H , dans chacune de ces expériences partielles, est la somme des élévations notées

0'"31385 lo''3l385 lo'°3l385 /0"31385 \o""3l385 0*3 1385 fo"3l385

g8 ÉCOULEMENT DE l'eaU

dans la seconde colonne et prises i partir du bas de la co* loiine ; rëlévation correspondante an tems indiqué dans les colonnes suiyantes est comprise dans cette somme : k est cette même somme , mais sans j comprendre la même éléfiation. On voit 9 par la comparaison des deux dernières colonnes , que les résultats du calcul concordent assez bien avec ceux de l'expérience : si, dans la dernière observation , on trouve une assez forte différence , elle provient vraisemblablement de l'extrême difficulté qu'il j a de saisir exactement le moment où Feau finit de monter dans le sas, l'élévation dans les derniers momens ne croissant plus que par degrés infiniment petits.

Le nifcan 8g, Venons au troisième cas que peuvent prék» deax Té- sentCF dcux réscrvoirs communiquant entre eux ; ariablc. ^ celui OU touâ Ics deux étant limites, et aucun Fig. ai. d'eux ne recevant de nouvelle eau , celle qui se trouve dans Fun baisse pendant qu'elle s'élève dans l'autre. Tel est le cas des deux bassins K et L, communiquant par un gros tuyau £F portant un robinet en G. Avant que ce robinet soit ouvert , le niveau de l'eau est en AB dans le premier bassin , et en CO dans le second : au bout d'un certain tems , après l'ouverture de la communication , il est descendu en MN dans le premier , et il est monté en PQ dans le second ; il faut trouver le rapport entre ces deux élévations , ou vice versa du rapport entre les élévations il faut conclure le tems qu'a duré l'écoulement

Soit: t=ce tems, BE=H, CF=A, NE = a:, PF=^, A = section du premier récipient ^ B = section du second , s = section du tuyau de communication. Pendant que le fluide se sera élevé dans le second bassin , de la quantité df, durant

d'un réservoir dans un autre. 99

l'instant dt, îl aura baissé dans l'autre de djc, et, en remarquant que a: diminue lorsque j et t augmentent, on aura

Adœ = — B^T^ et Adx = — ms y2g(jc — j) , dt, ou

7 Adx

ms V2g \/ X — y '

La première équation étant intégrée, en obserrant que lorsque a: = H , j* = A, devient

Aa: + Bj = AH + BA.,

En y prenant la valeur de j et la mettant dans la précédente, intégrant et observant que j:=H, quand t = o; il vient

Si Ton voulait savoir le tems que le fluide met^ trait pour arriver à un même niveau, dans les

deux bassins , on ferait x =^ = -r — g-, et cette

valeur mise dans l'équation ci-dessus, donnerait

2ABI/HirÂ

Qu*on ait, par exemple, dans la double écluse d'un canal de navigation , deux sas contigus. Lorsqu'un bateau , qui remonte le canal , est entré dans le sas inférieur par sa porte d'aval , on la ferme ; on lève les vannes de celle qui le sépare du sas supérieur (dont la porte d'amont est fermée) : l'eau baisse dans ce sas et monte dans l'autre, jusqu'à ce qu'elle soit

100 ÉCOULEMENT DE l'eAU, CtC.

i un nWeau commiui : alors ^ on ourre la porte de séparation, et le bateau est introduit dans le sas supérieur. On demande le tems qui s'écoulera depuis le moment de la lerée des yannes y jusqu'à celui où l'eau est au même nireau dans les deux sas. Je suppose qu'il s'agit de la double écluse de BaTard, prés de Toulouse (i) : comptons le tems , à partir du moment où l'eau arrivant dans le sas inférieur a atteint le centre du perluis des yamies : alors on a H = 4'"i4 et A = o"^^ ; de plus, A= 2o5"", 8=215"", s= i"^249 (pour les deux pertuis] , et m = 0,548. On aura donc

L'expérience m'a donné 2' 29'. Cet excès de 12" provient de ce que les rannes n'étaient pas encore entièrement levées, lorsque Teau a atteint le centre de leurs ouvertures; et la formule suppose qu'elles Pétaient.

90. Les vases partagés en differens compartimens, par des oloisous ou diaphragmes percés d'orifices, présentent,, durant l'écoulement des fluides qu'ils renferment, divers phénomènes, qui ont donné lieu a d'intéressantes considérations mathématiques. Mais comme ces questions sont d'un plus grand intérêt sous le rapport de l'analjrse que sous celui d'une application immédiate à la pratique, nous ne nous j arrêterons pas, et nous renverrons aux ouvrages où il en est spécialement traité ', et notamment à Y Hydrodynamique de Daniel BemouUi, section Mil; et à celle de Bossut, tom. I, 2.' partie, chap. YIL

^) Histoirt dm emmmi dm Midi, Tom. I, pag. 25l. Tom. D, pL XI.

lOl

SECONDE SECTION

91. Les eaux qui coulent naturellement à la surface du globe y forment des ruisseaux, des rivières ou des fleuves que nous comprendrons ici sous le nom générique de rwières. On voit encore d'autres eaux couler dans des canaux creusés par la main des hommes.

Les unes et les autres se meuvent à découvert : mais il en est encore que l'on enferme dans des tuyaux de conduite, pour les mener convenablement sur un point donné. Enfin , on a celles qui sortent de . ce^ tuyaux sous forme de jets d'eau.

La considération des diverses circonstances du mouvement, dans ces quatre états, fera l'objet dea quatre chapitres de la seconde section.