ij5o

= 3,75, et£r = /'-h2>il/w»H- 1 = i-l-3|/i-f-i == 5,242. Par conséquent

Q=r— o,o332H-|/2756^:22^îi2<M^o,ooiiV5°^ \ ' 5,242 /

Si on eût négligé le terme 0,001 1 sous le radical, on aurait obtenu Q= 5°*""i2i8 ; qui ne diffère pas d'un demi-millième de la première yaleur.

La formule pour les grandes vitesses eût donné

io4* Prenons le canal de fOurcq pour exemple de la pente Pente e1 à déterminer. servatioi

On avait à disposer de 3""™oi88 d'eau par seconde; la navigation qu'on j projetait exigeait une profondeur d'eau de l'^So; et pour que l'eau ne s'altérât pas, au -point de devenir impropre au service des fontaines de Paris, il lui fallait une vitesse de o"35 au moins : la nature du terrain permettait de ne donner aux talus que 1 j de base sur i de hauteur.

On aiciQ=i=3"'*^oi88, v.= o 35, ^ = i°'5o et«=z=i,5o. De plus , d'après les données du problème , s est connu , car

^ Q^3,o'g8 =8°^625; / le sera aussi, puisque de l'ex- V 0,35

114 EAUX GOUlUIfTES,

pression j = (/ 4- ii A) A (9a ) on déduit / =^ — j =

8,6aS-^i,5o(i.5o)« ^ 50.5^ . ^^ ^^^^^ ^^ aura encore <r = I

D'après cela, Fëqoation générale, p = o,ooo3655 — (V

0^0664 v)f en j substituant les quantités numériques, donne p = o,oooo55oa : c'est la pente indiquée par les formules.

M. Girard, ingénieur cbargé du tracé du canal, estarriré à un résultat à peu près pareil. Mais il a fait obsenrer^ arec raison, que les plantes aquatiques, qui croissent toujours sur le fond et sur les berges des canaux^ augmentent considérablement le périmètre mouillé, et par suite la résistance : il a rappelé que Dubuat ajant mesuré la yitesse de l'eau dans le canal du Jard , ayant et après la coupe des roseaux, dont il était garni, avait trouvé un résultat bien moindre aviant qu'après (Prriir. d'hydrauL, S* 4o4)* £n conséquence ^ il a presque doublé la pente donnée par le calcul , et il l'a portée à 0,000 io56 : la longueur du canal étant de 96000"^, c^est 1 o™ 1 4 de pente absolue. ( 1 )

Au reste, cet ingénieur , dans son projet, ne distribuait pas uniformément cette pente sur toute la longueur : il la faisait grande à l'origine et très-faible à l'extrémité, de manière à ce que le fond eut la forme d'une courbe funiculaire j de la chaînette* Je craindrais que, dans la plupart des cas, cetto forme n'assurât pas les avantages que lui attribuait l'auteur.

Cm oit la io5. Si les dimensions leth étaient, l'une Fin- -pm oa la connue et Tautre une des données du problème

ulrar sont , ^

^termiDcr. à résoudre, on prendrait les valeurs de ^ et de c en fonction de ces deux dimensions, et on les substituerait dans l'équation fondamentale (100) : / en serait ensuite déduit par la résolution d'une équation du troisième degré , et h par celle d'une équation du sixième.

(1) Mémoires sur le canal de VOurctj. Tom. I, p. 3l6 et suiv.

Qu'il s'agisse^ par exemple^ de dëterminer la largeur que doit aToir^ au fond, un canal destiné à conduire 3°"*^5o d'eau, avec i"3o de profondeur, la pente étant o,oooi : le terrain naturellement ébouleux exige que la base des talus soit double de leur hauteur.

Ainsi, Q = 3™"^5o, ;? = o,oooi, hz=z i™3o et ii = a.

On mettra ces deux dernières quantités dans les expressions de j et de f ( 9a ) ^ lesquelles seront à leur tour mises dans l'équation générale. Celle-ci ne renfermera alors d'autre inconnue que /; et, toute réduction faite, «ordonnant par rapport à l, elle deviendra

/3 -h 7,3oi > — 5,358 /— ii4,5 = o.

Je fais d'abord /=49 l'équation se réduit à + 449 ^^ ^«

Je baisse / à 3,8o, et j'ai . . -f- 25 = o.

Je le baisse encore à 3,5o , il vient .... — 1=0.

Je le remonte à 3,5ii , et on a 0 = 0.

L'équation, dans ce dernier cas, se trouvant satisfaite, j'en conclus que /= 3"5i 1.

106. Le plus souvent, / et A ne sont pas dans les données du problème : on n'y a que Ç^eXp , ou le voliune d'eau que doit conduire le canal et la pente qu'il peut avoir , et on laisse à l'ingénieur à en déterminer la largeur et la profondeur. Pour obtenir ces deux inconnues, il n'a qu'une équation; le problème est donc indéterminé. U supplée ce qui lui manque, en fixant la forme à donner à la section du canal; cette forme, indiquant la relation entre les deux dimensions , lui fournit l'équation qui lui était encore nécessaire. Dans la fixation de cette forme , il a égard à l'objet qu'on veut remplir , et il choisit celle qui le remplit avec le moins de frais d'établissement et d'entretien. Lorsqu'il ne s'agira que de mener

1 1 6 EAUX COURAM'ES ;

le plus d'eau possible au point où aboutit le car nal, on remarquera que, d'après les formules de la dépense (102 et io5), le volume d'eau mené est d'autant plus considérable que la ^section de la masse fluide est plus grande et que le périmètre mouillé est plus petit : on prendra en conséquence la figure qui , sous un même périmètre, présente la plus grande surface.

Fî^rede 107. La géométrie apprend que le cercle est as ^nde cette figure. Le demi-cercle, et par suite un canal demi - circulaire , a la même propriété, le rapport entre le demi -cercle et la demi -circonférence étant le même qu'entre le cercle et la circonférence entière.

Viennent ensuite les demi-polygones réguliers , et avec d'autant moins d'avantage que le nombre de leurs côtés est moindre : ainsi, parmi les formes exécutables, on aura le demi-hexagone régulier, le demi-pentagone et finalement le demi-carré.

Mais encore ces figures ne peuvent être admises pour les canaux à ouvrir dans les terres : leurs berges ne poiu'raient se soutenir 5 elles s'ébouleraient. Dans le demi - hexagone régulier, où le talus est encore plus fort que dans les autres de ces figures, le rapport de la base à la hauteui^ du talus, on n, n'est que de o,58, et il faut qu'il soit ij ou 2, suivant le plus ou moins de consistance des terres : on est même allé à 2 7 pour le canal de Languedoc.

Ainsi, la forme à donner à la section d'un canal sera généralement celle d'un trapèze dont

DANS LES CANAUX. 1 1 y

la petite base sera le fond , et dont les cotés , représentant les berges, seront inclinés à l'horizon de 54° au plus, 34" répondant à n = 1,48. Encore cette forme s'oblitérera -t- elle : les matières que l'eau dépose , qu'elles proviennent de Téboulement des berges ou de toute autre cause, s'accumulent principalement sur les angles , elles les arrondissent : de sorte, qu'au bout d'un tems assez court, le périmètre présente une forme arrondie. Au reste, une légère déformation est de peu d'importance; ce qu'on perd d'un côté, on le gagne presque toujours de l'autre.

io8. Le trapèze dans lequel 71 = 17 a même surface et même périmètre mouillé qu'un rectangle de même hauteur et dont la base serait la largeur moyenne du trapèze. Comme de tous les rectangles, le plus avantageux est le demi-carré, c'est-à-dire celui dont la base est double de la hauteur ; de même de tous les trapèzes oh n = ij, celui dont la largeur moyenne est double de la hauteur , sera aussi celui de la plus grande dépense.

Le talus 1-^ ne sera presque jamais suffisant: il faudra l'augmenter ; le rapport entre les deux dimensions que nous venons de nommer, poiu* le cas du maximum de section et de dépense^ éprouvera une légère variation. Malgré cela, à moins que quelque circonstance particulière ne porte à en agir acutrement , on conservera le rapport de 2 à 1.

Alors la vitesse moyenne Z -t- nA = 2 A ; et

sant ses dimensions et le volume d'eau à dépenser. Maïs oe mode particulier de résoudre les queslions exigeant des détails et de longs calculs, je renrôie, pour son exposition et pour la manière d'en faire usage 9 à VEssai sur la solution nunté" rigue de quelques problèmes relatifs au mouçement permaneni des eaux courantes, par M. J. B. Bélanger, ingénieur des ponts et chaussées^ 1828.

A peu prés à la même époque, M. Poncelet, se basant sur le même principe , est arrivé à une équation du même genre : il Ta exposée dans son cours de mécanique à l'école d'aj^iôation de Tartillerie et du génie, à Metz.

De la prise d'eau des canaux.

Les canaux, à l'exception des canaux de navigation à point de partage, prennent leurs eaux dans des retenues ou bassins placés à leur tête, et qui sont presque toujours des parties d'un lit de rivière, où le niveau du fluide est élevé par une digue.

La tête du canal, au point de prise d'eau, est

ou entièrement ouverte, ou elle est pourvue de

vannes que l'on ouvre plus ou moins. Examinons

ce qui a lieu dans les deux cas.

C3nite ^ 110. L'eau, à son entrée dans un canal ouvert,

'entrée des éprQuyg jjjjq chutc OU déprcssiou de niveau : de

anaux ou- ^ ■■-

rerts. manière que sa hauteur constante au-dessus du fond du canal, lorsque le régime est devenu permanent , est moindre que la hauteiu* du réservoir au-dessus du seuil d'entrée.

Le mouvement s'accélère depuis le haut jusqu'au bas de la chute , ou de la suite des plans inclinés qu'elle présente : au-delà, il se continue imiformément; et la vitesse acquise durant l'ac-

DAliS LES CANAUX. 121

céléràtion est celle du mouvement uniforme. La jhauteur de la chute serait en conséquence la hauteur due à cette vitesse : on admet généralement qu'il en est ainsi.

D'après cela, si o) est la vitesse de Teau dans le canal, lorsqu'elle y est parvenue à l'uniformité, o,o5ii;' serait la hauteur de la chute. Mais la contraction que le fluide éprouve à l'entrée augmente un peu cette valeiu*; à la section contractée, la vitesse est plus grande que o) dans le rapport de i à m^ m étant le coefficient de

contraction, elle y est — : pour la produire, il a

fallu une hauteur égale à o,o5i -;; cette expression sera donc la hauteur de la chute à l'entrée du canal. Dans les canaux à grande vitesse , Dubuat a vu m varier de 0,9 1 à 0,7 5 j et il ne pense pas qu'il descende notablement au-dessous de 0,97 dans ceux où la vitesse est petite {Principes d'hjdrauL, §. 178). Eytelwein admet 0,96 pour les larges canaux, et 0,86 pour les canaux étroits, comme sont les coursiers des usines : il suppose toutefois, ainsi que Dubuat, que l'origine de leur radier est au niveau du fond du réservoir (1).

m. La chute qui se forme à l'entrée d'un canal diminue , de, toute sa hauteur , la pente effective, qui est un des élémens de la dépense. De. sorte que si P représente la pente totale, c'est-

(1) Lfs expériences, entreprises par MM. Poncelet et Lesbros , et dont il a été question aux pages 44 et 78, mèneront à des valeurs de m plus précises.

1^3 EÀirX COURÀNTESy

à-dire la difierence de niveau entre la snrÊioe du réservoir, et la surface fluide à l'extrémité da

canal , P — 0,6 1 -; sera la pente effective absolue r

divisée par la longueur du canal, elle donnera la pente relative ^ (92).

La chute, en diminuant la pente efièctive, diminue la quantité d'eau que le canal peut conduire. On l'affaiblirait et on préviendrait cette diminution en grande partie, car on ne saurait la prévenir entièrement, en évasant convenablement l'entrée du canal : mais cette opération exige des constructions dispendieuses et embarrassantes; aussi n'y a-t-on que rarement recours. Je renvoie pour ces évasemens, ainsi que pour les circonstances d'ailleurs assez compliquées du mouvement de l'eau à son entrée dans les canaux , aux Princ. d'hjrdraul. de Dubuat, §§. 170 — 176.

112. Soit H la hauteur du réservoir au-dessus du seuil d'entrée, h la hauteiu* de l'eau dans le canal , lorsque le mouvement y est devenu uniforme , et il devient sensiblement tel à une assez petite distance de l'origine : d'après ce qui vient d'être dit H — // sera la chute , et l'on aura H

— A = o,o5 1 — , équation dans laquelle on mettra pour V la valeur donnée au n.*^ 101.

Si le canal était rectangulaire , et que / en fut la largeur, on aurait ^=/Aetc = /-t- t^h, et l'équation deviendrait

DA5S LES Canaux. ia3

Un exemple vâ moBtrer la manière de rappliquer et l'usage dont elle peut être dans la pratique.

On achète une prise d'eau dans une retenue ou bassin de TÎTière^ sous la condition que la prise sera faite par une entaille rectangulaire pratiquée au haut de la digue du bassin ^ entaille dont la lai^nr aura 4% «t dont le seuil sera â 2™ au-dessous de Vétiage, c'est-à-dire au-dessous des basses eaux de la ri^ière^ l'eau achetée doit être conduite à une usine éloignée de 26 5™^ sur un point qui est à x)'"44 en contre-bas de l'étiage. On demande quel sera le Tolnme d'eau mené i l'usine par un canal rectangulaire adapté à la prise.

On déterminera ce volume à l'aide de la formule de la dépense des canaux (102); formule pour laquelle on a j = 4^ et c = 4 -h 2^ ••* il faut de plus avoir py lequel dépend encore

àeh, puisque (11 i);? = '*'^^""^"""*^ = *"".''^^,Hétant2":

prenant une mojenne entre les deux coef&ciens indiqués par Ejtelwein^ on aura m = 905. Pour obtenir^, on fera usage de l'équation ci-dessus : avec les quantités numériques que nous venons d'indiquer^ elle deviendra^ toute réduction faite ^

h = 2 —0,06224 ([/4i,3oil^LZll2Ë5)o,o332V- Subs-

tituons, pour hf dans le second membre, diverses valeurs.. Remarquant d'abord que h ne doit différer que peu de H , je le fais i™90, et il vient h = 1,795 : cette valeur, mise dans le second membre, donne 1,864 ; celle-ci, à son tour, donne 1,819 : de cette manière, on obtient successivement i,845; 1,829; i,84i$ 1,855; 1,859; ^?855; 1,857; ^^856. De sorte que la vraie valeur de h tombe entre les deux derniers de ces nombres; je prends le plus petit, et on a ^ = i"836.

Il donne p = 0,00 io5.

L'équation de la dépense, où tout est maintenant connu, indiquera un produit de ii°'™"82.

Si l'eau de la rivière arrivait directement au canal avec une vitesse déjà acquise, la hauteur de la chute serait moindre d'une quantité égale à la hauteur due à cette vitesse.

134 EA^^ œURANTES,

Prise d'eau 1 1 3. Lorsque le canal reçoit son eau par les . ^ ouvertures d'un vannage établi à sa tête , il peut

les Tannes. . i i j i • it - -,

arriver ou que la hauteur de la section tluide dans le canal est moindre que la hauteur des ouvertures, ou qu'elle est plus grande.

Si elle est moindre ou même égale , la dépense est à peu près la même que si le canal n'existait pas, et que l'eau en sortant de la vanne s'épanchât librement dans l'atmosphère : elle se détermine à laide des seules formules de l'écoulement par les orifices.

Si la hauteur de la section est plus grande que celle des ouvertures des vannes, il y a deux cas à distinguer : celui où le bord supérieur de l'ouverture n'est pas recouvert par l'eau du canal, et celui où il l'est. — Dans le premier, la veine fluide, après s'être contractée immédiatement à sa sortie, se dilate par suite de la résistance du lit; sa vitesse diminue, sa section augmente, et sa hauteur finit par être plus grande que celle de l'orifice d'entrée; c'est-à-dire, que la sommité, que le tluide atteint dans le canal, se maintient à un niveau plus élevé que le bord supérieur de cet orifice. De cette sommité jusqu'à ce bord, la surface fluide présente une contre-pente; des masses deau se détachant du sommet, roulent sur elle et se reportent vers l'ouverture : le plus souvent elles sont retenues et comme repoussées par la rapidité du courant; quelquefois cependant elles parviennent jusqu'à la vanne, et en recouvrent par momens Toritice. Encore alors

DAMS LES GANAtnC. 12Ô

là dépense est la même que si le canal n'existait pas. Ainsi, Bossut ayant adapté un canal horizontal de o°i35 de large et de 54°* de long à un réservoir percé d'un orifice, obtenait, sous des charges de 3™8o, 2"6o et i"20 le même volume d'eau dans un même tems, soit par l'extrémité du canal, soit par l'orifice après avoir retiré le canal ; et cependant , lorsqu'il était présent , la hauteur de l'eau y était bien plus grande que celle de l'ouverture de la vanne {Hjdrodjn, , % yôo). Eytelwein a encore eu une même dér pense, soit que la pelle fut entièrement levée, soit qu'elle plongeât un peu dans l'eau de l'aval. — Mais si elle y plonge d'une quantité notable, que la masse fluide à sa sortie soit entièrement recouverte d'une eau tranquille, la vitesse avec laquelle elle sort n'est plus due à la charge sur l'orifice, mais bien à la difierence entre les niveaux du fluide immédiatement en amont et immédiatement en aval de la vanne; nous avons déjà traité de ce cas (85). Cette différence est, à très-peu près , H — A ^ H étant la hauteur de l'eau dans le réservoir et h dans le canal. Désignant par /' la largeiu» et par h' la hauteur de l'ouverture de la vanne, sa dépense sera exprimée par mfl'h' yng iJA.^'h). Elle devra être égale au volume deau conduit par le canal, lequel est donné par la formule du n.*^ 1 02 : on aiu'a donc

m!1!h! 1/2^ (H — A) = s( j/^ySÔ ^ — 0,0332), équation qui servira à résoudre les diverses ques-

\26 EJLVX COURANTES,

lions relatives aux vannages placés en tête des canaux. Pour un canal rectangulaire, on a ^=/A ctc=/H-2A.

Qn*il s'agisse y par exemple , de déterminer la quantité h% dont il faut lever la vanne a l'entrée d'un tel canal, où l'on aurait m' = 0,70,/'= i°*io,;> = 0,001, /= i°*5o,Hs=i"ao, et où l'on voudrait que l'eau se tint à o'"8o de hauteur ,# et par conséquent où A = o™8o. Ces quantités numériques, mises dans l'équation ci-dessus, la changeront en 2,157^=30,9964^ d'où^' = o"*46i5.

Rapport entre la vitesse mojenne et celle de la surface*

114. Nous avons vu (96) que, par l'effet de la résistance des parois du lit , la vitesse des divers filets fluides d un cours deau allait en diminuant à mesure que ces filets étaient plus éloignés de ces parois. D'où il suit : que dans un lit dont la section est un demi-cercle, le filet de plus grande vitesse, qu'on nomme \e fil de l'eau, correspond au centre de ce demi-cercle , ou au milieu de la surface^ que dans un lit de figure quelconque, il est au point de la surface fluide le plus éloigné des parois; et qu'à partir de ce point, la vitesse va en diminuant à mesure qu'on s'approche du fond ou des berges, et par conséquent que pour les points du courant situés sur une même verticale , la vitesse décroît graduellement depuis la. surface jusqu'au fond.

La connaissance de la progression selon laquelle s'effectuent ces diminutions est d'ime grande importance; elle mettrait à même de conclure de la*

YÎtesse du fil de l'eau à la surface, qui est celle qui se mesure avec le plus de £aicilite, la vitesse moyenne, celle qui donne la dépense (97). Plusieurs hydrauliciens se sont en conséquence occupés de sa recherche : nous ferons connaître leurs observations au chapitre des Rwières (i34 et 1 35) 9 et nous nous bornerons ici à ce qui concerne les canaux.

Dubuat est le seul, à ma connaissance, qui ait fait àes expériences précises sur cet objet. Elles sont au nombre de trente-huit : elles ont été exécutées sur deux canaux en bois de 4^°" de long; l'un, de forme rectangulaire, avait 0^487 de large ; la section de l'autre était un trapèze dont la petite base avait o^^i 56, et dont les côtés étaient inclinés de 36° no^ à l'horizon (n = i,36) : la profondeur d'eau y a varié de o'"o64 à 0^273 seulement, et la vitesse de o'°i6 à i™3o. Dubuat a conclu de ces expériences que le rapport entre Ja vitesse de la sm-face et celle du fond est d'autant plus grand que la vitesse est plus petite^ et que ce rapport est entièrement indépendant de la profondeur ; à la même vitesse de surface correspond toujours une même vitesse de fond. U a observé de plus que la vitesse moyenne est une moyenne proportionnelle entre celle de la, sur&ice et celle du fond. Appelant v cette dernière, V celle à la surface et u la vitesse moyenne, il a rendu le résultat de ses observations par les formules 1; = (j/ V — o, 1 65)» et 1/ = 7 (V -h a;) =: ( \/\ — 0,082 y H- 0,00677,

lj-

128 EÂirx. COURANTES,

M. de Prony, après avoir discuté les expériences de Dubuat, a cru plus convenable d'établir

J'indique ci -contre les valeurs d< u correspondantes à quelques val< de V, et données par cette formule.)

M. de Prony, prenant un terme moyen, a pensé que, dans la pratique, on pouvait admettre e^ = o,8V; c'est-à-dire que pour avoir la vitesse moyenne d'un courant d'eau, il suffirait de diminuer d'un cinquième celle de la surface. (1)

Quelque confiance que méritent les observations de Dubuat, elles ont été faites sur de si petites profondeurs qu'il m'est bien difficile d'admettre , avec lui , que la vitesse du fond , et par suite la vitesse moyenne, est indépendante de la profondeur; d autant plus que les observations Élites sur les grands fleuves semblent indiquer quelle diminue quand la profondeur augmente.

Quoi qu'il en soit, me bornant uniquement à ce qui concerne les canaux peu profonds, j'adopterai, mais seulement comme mode d'approximation, le i:ésultat des expériences de Dubuat , tel qu'il a été présenté par M. de Prony.

(1) Jaugeage des eaux courantes. 1802.