ANGLE

d'incidence.

des

des r arrêt!

fwcec

des sinns.

SOUS des angles d'inclinaison de 1 o a 90 , montre que la force normale est effectivement proportionnelle au sinus de langle d'incidence.

Si elle devait être estimée dans le sens de la direction de la veine, elle serait représentée par BE ;= B sin 1 = BC sin^ I. Des expériences de Langsdorff, dont quelquesuns des résultats sont ci-contre, indiquent qu'effectivement la force du choc, estimée dans la direction de la veine fluide, est à peu près proportionnelle au carré du sinus d'incidence, au moins entre les limites des expériences faites.

Choc direct ^o8. Nous avons jusqu'ici admis que la plaque onire une q^j recevait le choc était immobile: mais le plus

•laque qui se ^ n • o i» i i

leuu souvent elle aussi se meut. Supposons d abord qu'en recevant perpendiculairement le choc , elle se meuve dans la même direction que la veine. Soit u sa vitesse, lorsque le mouvement est bien établi : elle sera nécessairement moindre que celle de la veine fluide ou que v. Le choc ne détruira pas entièrement cette dernière, puisque, après qu'il aura eu lieu, le fluide, se mouvant avec la plaque, possédera sa vitesse w. Il aura donc perdu la vitesse v — u, et la quantité de mouvement

s^v (v — u). Or, c'est cette quantité de mouvement perdu qui mesure l'effort du choc (aoi); on aura donc

P = i02 S^V (v Zp II).

Le signe -f- se rapporte au cas où la plaque, au lieu de fîiir devant le fluide, irait directement à sa rencontre. La vitesse relative serait alors V H- M, au lieu d'être v — u.

209. Admettons maintenant que la veine fluide Cbocobliq tombe obliquement sur une plaque assujettie à -^ctteqd se mouvoir dans une certaine direction : c'est le mnit. cas des palettes des roues horizontales.

Soit AB la direction de la veine fluide qui frappe la palette CD, et BK la direction du mou- Fîf. 4g vement qu'elle est contrainte à suivre. Prenons , sur la première , BE = t;, pour représenter la vitesse du fluide ; et sur la seconde , BF = u, pour la vitesse de la palette : faisons de plus l'angle ABC = i, et l'angle CBK =/. La composante de BE perpendiculaire à la palette sera BG = 0) sini; et celle de BF, dans la même direction, sera u siny : de sorte que la vitesse perdue, dans cette direction , égalera GH = v sin 1 — u sin /. ' Cette perte de vitesse, estimée dans le sens dvt .. mouvement, sera IK : or, IK = GH x sinBGH = GH sin /. On aura donc pour la quantité du mouvement perdu, quantité qui mesure l'effort du choc reçu par la palette , et qu'elle peut exercer à son tour.

(vsini — usinj) sin y.

Exemple. Une Tcine^d'eau sort, sous une charge de 4"'3o, d'une buse conique dont Torifice a o'^oS de diamètre : elle tombe sur une palette, en faisant avec elle un angle de 76% et cette palette se meut, arec une vitesse de â^'âo, en deineorant inQUaée de 64** à la direction de son mouvement.

24^ ACTION DE l'eaU

On demande quel sera l'effort du choc^ et par anit^ oàui que la palette sera capable d'exercer.

Le coeflicîent de la vitesse pour une buse conigne est de 0^5 (46 et 47)5 wnsi v = o,g5 X 4>45 [/T]Sô = gr*i7 : on a de plus / = ir (o,o5)*=x o""ooi963, i r5= 75* etyss64% ou sin I = O5966 et sin y = 0,899. ^^''^^ Teffort demandé sera loa X 0,00196x9^ 1 7 X 0,899 (9,2 1 7X0,966 — a,j X 0,899) = 11^49.

2» Choc £un fimde indéfini*

inoniuiicet 310. Nous disons qu'un fluide est indéfini, 'deir!u^ lorsque l'espace compris entre les parois du lit I laide, ou bassin qui le contient et celles du corps qu'il choque, est assez grand pour quil n'en résulte pas sensiblement plus de gène dans les mouvemens du fluide, que si cet espace était comme infini, ainsi qu'il arrive quand un courant de la mer pousse un vaisseau.

Lorsqu'un fluide choque un corps qui y est entièrement plongé, il exerce une action nonseulement sur sa face antérieure, comme dans le choc d'une veine isolée , mais encore sur ses £aices latérales et postérieiu*es ; et toutes ces actions doivent être prises en considération.

Pour nous faire une idée exacte de ce qui se passe dans ce cas, prenons d'abord un prisme droit, et supposons qu'il est entièrement plongé dans un courant, de manière que son axe soit dans la direction du mouvement , et par suite sensiblement horizontal. Si le fluide était en repos , chacun des points de la surface du prisme éprouverait une pression hydrostatique repré-

sentée par rabaissement de ce point au-dessous de la super^cie de Feau : les deux bases étant ^ales et paiement abaissées au-dessous de cette superficie, la pression sur l'une serait égale à celle éprouvée par l'autre; elle en détruirait l'efTet, et il n'y aurait même aucune tendance au môuyement dans le sens de l'axe. — Mais du moûient qu^ l'es^u coule , il se présente un ordre de faits bien difierens. Les filets fluides qui devaient traverser l'espace occupé par le prisme, commencent à se détourner un peu en amont de lui ; et ils vont, en divergeant, passer autour de sa pai'tie antérieure : resserrés alors dans un espace moindre (car la masse aqueuse entre 1^ prisme et les berges du lit fait , jusqu'à .un certain point, l'office dun corps résistant); leur vitesse s'accroît et s'accélère : repoussées et comme réfléchies ensuite par cette masse vers le prisme, partie en longeant ses faces latérales et partie en convergeant, ils vont se réunir derrière sa face postérieure, tout en conservant une portion de l'excès de vitesse qu'ils avaient acquis, portion qui sera d'autant plus grande que leur trajet, dans la masse aqueuse et le long du prisme , aura été plus court. Lorsque ces filets ont commencé à diverger en amont du prisme, il est demeuré, entre eux et la base antérieure , une petite masse ou proue JLuide : elle est pressée contre cette base par les filets en mouvement; ses molécules, tendant à s'échapper, se portent du centre à la cir^ conférence; celles qui sont en contact avec la

244 ACnON DE l'eau

base se meuvent parallèlement à elle avec une vitesse qui s'accélère et très -rapidement en approchant des bords. De même , lorsque les filets se réunissent de nouveau, en convergeant, derrière la base postérieure , ils comprennent entre eux une poupe Jluide, dont ils entraînent en quelque sorte les molécules : il en résulte une moindre pression contre cette base, et il tend à se faire un vide derrière elle. Par siute des divers mouvemens que nous venons d'indiquer, la pression sur la base antérieure du corps est augmentée; elle est devenue plus forte que la pression hydrostatique : sur la base postérieure, au contraire, il y a eu diminution; et la pression réelle y est plus petite. Par l'effet de cette double cause, la pression sur la base antérieure prédominera; et elle produira ou tendra à produire un mouvement dans la direction de Taxe du prisme.

Quant aux pressions qui ont lieu sur les faces latérales, quelle que soit leur grandeur absolue, elles seront toujours égales sur deux points directement opposés; elles se détruiront, et il ne saurait en résulter aucun mouvement

Celte analjse ou séparation des élémens de l'action d'un fluide en mouyemenlsur un corps qui s'j trouve expose^ est due à Dubuat. Ses judicieuses observations et ses expériences ont porté le jour sur cette importante matière : j'en présente ici le sommaire, ainsi que les principaux résultats, et je renvoie pour les détails à la troisième partie de ses Principes d'kydrauiique.

ail. Venons À la détermination de l'intensité Meran des pressions. '• ^^

o • TT 1 -11 • «ar lei a

boit U la {»*ession hydrostatique moyenne ou piongëf . l'abaissement du prisme au-dessous de la sur£aice de l'eau; h la hauteur due à la vitesse du courant: les pressions hydrauliques étant proportionnelles à cette hauteur, on peut représenter par mh celle qu'éprouve la base antérieure, et par rrJh la pression négative , appelée non-pression par Dubuat, qui a lieu sur la base postérieure : m et m! sont deux nombres à déterminer par l'expérience. La pression totale, à la base d'amont , sera donc H -+- mh ,• et H — m' h à la base d'aval. Ces . deux forces agissant en sens contraire, leur résultante ou la force qui pousse le prisme dans le sens de l'axe, sera égale à leur différence, et l'on aura, pom^ son expression, c'est-à-dire pour la hauteur de la colonne mensuratrice de la force, H 4- mh — (H — m'A), ou

212. Dubuat a encore déterminé les valeurs de m et de m\ Je rapporte une de ses expériences , et les résultats qu'il en a déduits.

Il a pris trois prismes , ou parallélipipèdes rectangles, dont la base était un carré de o^Saô de

. coté (un pied carré) : l'un n'avait que 0^009 de hauteur, c'était une simple plaque; le second avait o"325, c'était un cube; enfin, la hauteur du troisième était de o°*97, ou de trois fois le

. côté de la base. Il les a plongés et retenus dans

!i46 Acnon de l'eau

un courant dont la yitesse était de 0*97. A laide d'un piézomètre très-ingénieux , il a mesure, sur 62S points de la base antérieure de chacun des trois corps, la pression hydraulique, c'était la hauteur de la colonne piézométriqué au-dessus de la surface du courant; et pour chacun, elle a été moyennement de 1,19 A. Ainsi, m = 1,19. Cette yaleur a été constante, et indépendante de la longueur des prismes.

Il n'en a pas été de même de la non-* pression mesurée par l'abaissement de la colonne piésométrique au-dessous de la superficie du courant : dans les trois prismes , la valeur de m! a été respectivement de 0,67 , 0,27 et 0,16. Les non-pressions ont diminué avec la cause qui les pnoduisait, la vitesse des filets fluides à Farrière des prismes, vitesse qui est d'autant plus petite que les corps sont plus longs (210).

^ En somme , la pression totale , ou l'effort du courant sur les trois prismes, a été exprimée par iy86h, 1,40 A et 1,54/1. C^t effort aurait encore diminué si la longueur des corps eût continué à augmenter; mais jusqu'à un certain point seulement, au-delà duquel il y aurait eu accroissement.

2 1 5. La force absolue du choc est-elle proportionnelle à la surface antérieure du corps choqué, ainsi qu'on l'admet souvent?

S'il s'agit de corps très -minces, comme de simples plaques ou palettes, l'expérience répond négativement Ainsi Mariotte, ayant exposé au

PAR SON CHOC. a47

cliéc d'un ctmrant de la Seine, une plaque carrée plus petite, dans le rapport de i oo à nS , que celle que Dubuat ayait employée pour l'expérience ci-dessus, a trouvé un effort moindre dans le rapport de loo à 16, réduction faite à une même vitesse. Cette observation et plusieurs autres montrent que la force du choc croit dans un rapport plus grand que celui des surfaces choquées , sans toutefois nous instruire de la loi de l'accroissement

Le rapport se rapproche de l'égalité à mesure que les plaques augmentent d'épaisseur : et un assez grand nombre d'observations portent à admettre que dans les prismes semblables , et en général dans les solides semblables, la force du choc est sensiblement proportionnelle à la surface qui en reçoit l'action.

On aurait donc pour expression de cette force, au moins pour les prismes, s étant la surface choquée,

1000 (i^ig-h m^) sh;

expression où m' diminuera , jusqu'à une certaine limite, à mesure que la longueur du prisme augmentera.

2 1 4. Ce que nous venons de dire des corps Des co entièrement plongés dans l'eau, s'applique à ceux^'**^* qui ne le seraient qu'en partie, coinme les aubes d'une roue hydraulique, les corps flottans, etc.

Dans ce cas, le fluide, en arrivant sur la &ce antérieure du corps, s'y élève au-dessus de son

a48 AcnoN de l'eau

niveau primitif : il y forme mi remoa dont la plus grande hauteur est au mUieu de la fiice, et qui baisse graduellement vers les cotés : le fluide sait cette pente, et il se meut continndlement du centre vers les bords. Il va encore en Jbaissant le long des faces latérales du corps; et sur le derrière, il se trouve au-dessous du niveau général du courant; il y forme un creux ou une dépression, autour de laquelle ses molécules sont fort agitées. Cette différence de niveau, de lamont à rarrière du corps , se nomme dénîpellaiion.

Elle donne lieu i une plus grande prasion hydrostatique, mais la pression totale n'en est pas augmentée. Celle qu^éprouve la finre antérieure, malgré le remou, est même mmndre que dans les corps entièrement plongés ; Duhaat ne la trouvée que de ih; tandis que, dans ces corps « elle était de K19A. La non-pression sur la surface |K>$térieiu^ lui a paru un peu plus lorte. Mai$« eu résultat, leflbrt total a été un peu momiliv.

«tesiott -KÔ- Daprès ce qui vient d^étre dit, si 5 est •'*• !^ la surface qui reçoit le choc, c'est -a -dire Faire lie la plus grande :section £iite « dans la partie subuicr^êe du corps « perpendiculairement à la direction du iH>unàut; si A est la ba^^rf^sir due à sa vitr:;^^; eu iai:sant m-r-m =n» et «1 oompre» tuml, dan:i^ la valeur de ci^ coefficients la conrectiou qui |KHUTait ètr^ due à la forme de la surfa w i^\iH|uèe^ U f\arw de pression quepriHive un

corps plongé en tout on en partie dans Teau, est

1000 nsh.

Le coefficient n sera constant pour chaque sorte de solides semblables : mais il variera d'une sorte à l'autre; et, pour chacune d'elles, il devra être déterminé par Texpérience.

a 16. Si le corps exposé à l'action d'un fluide Os indéfini animé de la vitesse v, se meut lui-même, 0^ ^< <^

1 1 A , . wt aussi

et dans le même sens , avec une vitesse u ; la vi- moafene tesse relative du choc sera, comme pour le cas des veines isolées ^ v — u. Mais la ifiasse fluide choquante ne sera plus indépendante de u : dans les veines isolées, toutes les molécules, passant par la section s^, et dont le volume était s'v^ arrivaient au choc ; ici leur nombre dépendra de la vitesse relative, et leur volume sera s(v — i/). Par conséquent la quantité de mouvement perdu, ou la force du choc, sera s {v zp li)^

= 1 000 . 2sh^ ; ou , plus généralement ,

lOOOTi^A';

h! étant égal à "^ ^ : le signe inférieur se rapporte au cas où le corps, au lieu de descendre, remonterait le courant.

317. Si le corps, tout en demeurant dans la ch<H direction du courant , lui présentait une surfaice ^^^V^ oblique, l'efToH serait moindre. Nous avons vu cpie celui d'un filet fluide tombant sur une surfece inclinée, et estimé dans sa propre direction,

2^0 ACnON DE l'eâU

était proportionnel au carré du sinus d'inclinaison (rioy). De plus, le nombre de filets qui atteindront cette surface sera encore moindre dans le rapport du même sinus : de sorte que FeffOTt total serait comme le cube du sinus; ou, ce qui rerient au même, il serait ^al à Tefiort direct sur une projection de la surface, faite sur un plan perpendiculaire à la direction du coiurant, et multipliée par le carré du sinus d'inclinaison. Cette théorie a été long-tems admise.

Mais Fexpérience a montré qu'elle ne répondait nullement aux faits. Dans quelques cas, elle a plutôt indiqué le simple rapport des sinus: mais dans d'autres, il en a été différemment; et la fonction du sinus d'incidence, à introduire dans l'expression de l'effort, est encore à déterminer. Nous verrous dans la seconde partie que, pour la résistance de l'air, Hutton a eu

(sini)''®^"^''