E = 276QA

La charge h sur le centre de l'ouverture de la vanne sera plus petite que la chute totale H de la demi -hauteur de l'ouverture, et de la flèche de la portion courbe du coursier sous le bas de la roue; quantités qui seront de o°5 à o°4; mais comme il y a une action exercée le long de cette courbure, Ton pourra admettre, comme terme moyen ,

E=276Q(H — 0,2), et Q = o,oo362 -jy— ^

La première de ces expressions indiquera tout reflet qu'on peut se promettre d'une roue à aubes établie ou à établir dans un lieu déterminé, et où 9 par oenséqusent, la quantité d'eau et la chute

disponible sont connues ; et à l'aide de la seconde on déterminera , par la seule connaissance de la chute, le volume deau strictement nécessaire à la production d'un effet dynamique youlu.

Efonple. 267. Qu'on ait, par exemple, à établir une machine souf- Macfaine fiante destinée à lancer dans un haut- fourneau à fondre du •®"^^*** minerai de fer à l'aide du charbon de terre , ou plutôt du coak, trois quarts de mètre cube d'air par seconde y avec une yitesse de i3o"; et qu'on ait, sur une petite nyiére, une chute de i^SS. Il s'agit de déterminer le yolume d'eau à dériver pour mouvoir la machine.

Afin d'avoir trois quarts de métré cubé d'air dans le fourneau, vu les pertes inévitables, il faut compter sur un mètre cube. Au niveau de la mer et à zéro de température thermométrique, il pèserait i^5o : dans le lieu où est l'usine il ne pèsera que 1 22 ; on admettra 1^26. La hauteur due à une vitesse de i3o™ est 860™. Ainsi l'effet utile à produire équivaut à élever l'^sS à 860", ou à 1076^ en 1". A cause des résistances passives à la roue, à la machine et au porte- vent, on augmentera ce nombre d'un tiers, et Ton aura pour l'effet dynamique 1433''™=: E.

Sur la chute de i^'SS, on prendra o™4 pour la demi-ouverture de vanne et la courbure à donner au coursier, et il ne restera plus que i^iÔ pour la charge h sur le centre de l'ouverture. Sa vitesse duc est 4'"75, et ses o,45, ou la vitesse a donner a la roue pour obtenir le maximum d'effet sera 2'"i4-

En conséquence, prenant maintenant, pour h^ i,55 — 0,2 ou 1,35, d'après l'observation faite ci-dessus , on aura , pour le

volume d'eau cherché Q , o,oi58

La formule du terme moven, o,oo562 , eût donné

Il faudra compter sur 4°'"". Cette eau devant couler dans un coursier avec ime vitesse de 4^89 (=^ 0,96 X 5,i5) , la section de la lame fluide j sera 8"^i8, et comme son épaisseur

DANS UN œURSIER. 3oS

ne doit pas dépasser o"2o, il faudra que sa largeur soit de 4'"o9^ mettons 4''io. Laissant qu'ois d'intervalle de chaque côté entre ses parois et la roue^ on aura pour la largeur de celle-ci 9 c'est-à-dire pour la largeur des aubes, ^o*]. Leur hauteur sera portée à o^'GS ; car sous la roue l'eau s'élèvera jusqu'à o™6o et plus : elles seront en conséquence pourvues de contr'aubes. Leur nombre sera de 36 , le diamètre donné à la roue étant de &^2o : chacune sera formée de quatre plan* ches ou douves de 0"°! 76 de large , et inclinées graduellement sur le rayon de 0% 10% 20° et 3o**; les trois bracons en fer destinés à la soutenir auront chacun trois coudes ou angles de 170°. La roue fera environ sept tours par minute 9 et son mouvement sera communiqué sans engrenages aux pistons des cylindres soufflans, soit à l'aide de manivelles , bielles et balanciers, soit à l'aide de cames ou roues excentriques qui les accompagneront dans leur montée et leur descente.

La roue à aubes dont il vient d'être question, excédant 4"^ en largeur, dépensant quatre mètres cubes d'eau par seconde, avec une chute de i^SS , ayant ainsi une force équivalente à celle de 85 chevaux-vapeur, sera une des plus considérables et des plus fortes qu'on ait.

S'il se fût agi d'un haul-fonmeau à fondre le minerai de fer avec du charbon de bois, il n'aurait pas fallu plus d'un demimètre cube d'air par seconde, avec une vitesse de cent mètres- Un volume d'eau de i"°*"25 eût été suffisant pour mouvoir la roue. On ne lui aurait donné que i°^5o de large : ses aubes eussent été planes et de o'^Go de hauteur ; c'eût été une roue à aubes ordinaire , plutôt forte que faible.

268. Jetons un coup d'œil sur l'histoire de la théorie des Notic roues à aubes , la première qui ait été donnée pour les ma- historiq chines en mouvement.

Avant le dix-huitième siècle les machines n'avaient été considérées que dans leur état d'équilibre. S'agissait-il , par exemple, d'une machine hydraulique, après avoir estimé l'effort dont le courant était capable, effort sur lequel Galilée et Descartes avaient donné quelques notions , on calculait le poids qui, placé à l'extrémité des leviers et des rouages, lui faisait équilibre. FaUait^ii ensuite mouvoir ce poids, on diminuait

So4 ROUES ^ AUBES

peu à peu sa grosseur cm son bras de lerier, îosqifà ce qm^oa eut une TÎtesse ccmyenable. Biais jusqu'à qael point deyaitpon dîminiier le poids et augmenter sa TÎtesse comparatÎTement à celle da courant, pour obtenir le plus grand eflfêt? On llgnolait entièrement.

Parent y de TAcadémie des sciences de Paris , observa que l'augmentation de vitesse devait avoir un terme au-delà duquel l'effet, au lieu d augmenter, irait en diminuant, et il publia le résultat de ses observations et de ses calculs en 1704* Après avoir exposé, dans son mémoire, des principes exacts sur l'action de la gravité, sur celle des moteurs et sur la mesure de leur force, il démontra que, dans une roue hjdraulique éta* blie au milieu d'une rivière, l'effort du courant contre ses aubes n'est produit que par l'excès de sa vitesse sur la leur^ et il le fit proportionnel au carré de cet excès. Il admit ensuite, avec les mécaniciens de son tems, Mariotte, Lablre, etc., que la grandeur absolue de l'efTort contre un corps en repos, est ^le au poids d'un prisme d'eau ajant pour base la partie de l'aube qui plonge dans le courant, et pour hauteur la simple hauteur due à la vitesse du fluide. D'après ces principes, il établit une équation entre le poids élevé, l'effort du choc, la vitesse du courant et celle des aubes. En j faisant varier d'abord le poids, et puis cette dernière vitesse, il trouva, par la méthode ordinaire de maximis, que, dans le cas du plus grand effet, le poids élevé devait être les ~ du poids du prisme d'eau ci-dessus ; que la vitesse des aubes devait être le tiers de celle du courant , et par conséquent que l'effet était les ^ de la force dynamique de ce courant (1). Ces résultats, quoiqu'ils aient depuis éprouvé et des corrections et des contradictions, furent regardés avec raison comme un grand pas fait dans la science des machines hydrauliques, et tous les savans de l'Europe les adoptèrent.

Cependant un autre académicien français. Borda, fit voir, en 1766, que la théorie de Parent, qui se rapporte aux roues établies sur les rivières au milieu d'un fluide indéfini, ne convient plus à celles qui se meuvent dans un coursier resserré.

(1) Mémoires de V Académie royale des sciences. 17Q4.

DANS UN COURSIER. 5o5

Ici toutes les molécules fluides sorties de la ranue ront frapper les aubes et perdre coutre elles l'excès de leur ritesse ; mais cet excès n'entre point dans l'expression du nombre de ces molécules^ du yoliune qu'elles forment, et qui demeure toujours sY, quelle que soit la vitesse v de la roue : l'effort du

choc, (V — y), est donc simplement proportionnel a

l'excès y — V, et non à son carre. Telle est la tbèorie de Borda ^ que nous avons développée {^2^2 à 266)9 ®' <pû est aujourd'hui généralement admise : on affecte seulement sa formule (donnant l'effet) du coefficieni o,3 déduit des expériences de Smeaton.

J'ai fait quelquefois usage d'une autre expression de l'efièt,mise en avant par Euler (Acad. de Berlin, 1752, p. 162), et qui souvent se plie mieux aux variations de la vitesse; quoique d'ailleurs elle repose sur un principe entièrement hypothétique, à savoir : lorsqpi'un moteur capable d'un effort TT contre un obstacle immobile , n'en peut plus produire aucun contre ce même obstacle ajant la vitesse Y, il en produira

un égal n' (1 )% si la vitesse commime est v. Dans nos

roues on a Tt= -r—} ainsi l'effet dynamique j serait

c'est l'expression de Borda , multipliée par le rapport de la vitesse relative à celle du courant.

Le petit tableau ci-contre montre les rapports entre les résultats des formules de Parent, Borda et Euler, et ceux de quelques expériences de Smeaton , prises au hasard dans le tableau du n.** aSj (la dernière de ce tableau a seule été écartée). On se rappellera que R est. le rapport entre l'effet dynamique donné par l'expérience et celui qui est conclu des formides. Celle de Parent présente le plus dlrrégularités ; mais la règle d'Ëuler n'en offire guère plus que celle de Borda.

g eu

diaprés la fotmniè de II

Parent.

Borda.

Euler.

3o6 EOUE8 A AUBES

b» Roues se mouvant dans un fluide ind^ni.

hSq. Ces roues , qn'on nomme roues pendantes, sont principalement en usage dans les moulins à nef 9 ou moulins sur bateaux , que l'on amarre au milieu des riyières.

Nous supposons ici qu'aucun coursier ou autre construction n'augmente, à leur approche, la vitesse naturelle du courant , laquelle sera ainsi , à son arrivée sur la roue , comme si le bateau était enlevé.

^rmciptles Le diamètre des roues pendantes ne dépasse guère 4 ûu 5". Les aubes ou ailes sont ordinairement au nombre de 123 on pense toutefois qu'il y aurait de Tavantage à porter ce nombre à 18 et mêmç à 24* D'après Fabre, qui a faXt une étude particulière de ce genre de machines (i), la hauteur des aubes ne doit pas excéder les 0,28 centièmes du rayon de la roue pris jusqu'au centre de percussion; elle serait ainsi le quart au plus du rayon entier : assez souvent on ne lui donne que le cinquième. Cet auteur les fait entièrement plonger dans l'eau; ce qui peut être avantageux dans les fleuves profonds, et où la plus grande vitesse du courant serait notablement au-dessous de la surface; car d'ailleurs, et généralement , leur force est plus grande lorsqu'une portion d'elles (dans sa situation verticale) s'élève

(1) Essai sur la consiruclion des roues hj'drauliifuesf etc., par M. Fa* bre, ingénieur du pajr« de Provence. l788; pag. 297 et suir.

DANS ÎJN FLCIDE INDEFINI.

au-dessus du plan de flottaison , la portion qui est au-dessous dememant la même. Leur largeur varie de 2 "60 à 5".

270. Deparcieux, après avoir fait la très-importante obser- Indinai Tation^ que l'eau produit un effet bien plus grand lorsqu'elle des toi agit par son poids ^ car auparavant on admettait qu'elle exerçait une plus grande action par le choc ^ Deparcieux , dis-|e , remarquant que l'eau montait sur les aubes ^ comme sur un plan indinè^ dès que leur bord avait atteint la surface du courant , et qu'elle j agissait alors par son poids , pensa qu'il augmenterait cette action en donnant aux aubes une plus forte inclinaison. Pour vérifier cette conjecture ^ il fit faire une petite roue de 0^87 de diamètre^ portant douze aubes de oTai de haut sur o™ao de large, et auxquelles , à l'aide d'un mécanisme ingénieux^ il donnait l'inclinaison qu'il jugeait convenable. Cette roue élevait différens poids ^ par l'intermédiaire d'un cordon passant sur une poulie de renvoi fixée au-dessus * . d'elle. Elle fut placée sur la petite rivière de Bièvre^ près Paris, dans un lieu où la vitesse du courant était de o™35 , et elle j servit à plusieurs suites d'expériences. Je me borne à citer les résultats d'une d'elles : l'arc plongé dans l'eau était de 96** et le poids élevé de i^'sq. L'angle d'inclinaison des palettes , par rapport au rajon mené à leur bord intérieur, est noté à la première colonne ci-contre 5 et la durée d'une révolution de la roue, correspondante à cet angle, l'est à la seconde. L'angle de 3 o** a été celui de plus grand effet : il Ta augmenté dans le rapport de 18 à 59. (i)

Bossut, avec un appareil à peu près semblable, a fait aussi quelques suites d'expériences. Dans ime d'elles , l'inclinaison des aubes ajant successivement élé de o'*, 15**, 3o'* et 37% les effets obtenus se sont respeclivement trouvés comme les nombres \ooo, 1081, io83, 1037. Encore ici Tangie de 3o** a été le plus avantageux, quoique l'augmentation soit bien moindre que dans l'expérience de Deparcieux.

AITGLB

dvkU

d'in-

d'une

clinai-

r^Toln-

son.

tion.

(1) Mémoires de F académie des science f de Paris. 1759.

5o8 ROUES A AUBES

Lors même qu'il y aurait de l'exagération dam les résultats donnés par ce dernier savant, il n'en est pas moins positif que l'inclinaison des aubes augmente lefTet des roues pendantes. La meilleure manière d'opérer cette inclinaison me paraît être celle qui a déjà été mentionnée (249 et 367), et qui consiste à incliner graduellement les planches ou douves transversales qui forment chacune des aubes.

Je crois encore, et par les motifs que j'en ai

donnés ailleurs (219)9 que des rebords fixés sur

les deux côtés de chaque aube , produiraient une

augmentation notable dans l'effet.

cprcision 271. On estime l'effort du choc d'un fluide in-

e Feffet. Jéfîni contrc une palette, qui fuit devant lui avec

une vitesse v, à s (V — v)^ (216). L'effort

contre les palettes ou aubes d'une roue sera de même espèce; il pourra toutefois éprouver une modification dans sa grandeur : appelons n le coeflicient déduit de l'expérience qui indiquerait cette modification, et multipliant l'effort par la vitesse pour avoir l'effet, on aura

272. Pour le cas du maximum, en différenciant par rapport à 1; , on trouve 1; = | V.

Mettant cette valeur de o) dans l'expression de l'effort, elle sera, abstraction faite du coefficient

n , ^ ^ VV = I P' - , en appelant P' le poids