DANS UN COURSIER
pour rompre l'adhérence contractée, durant le repos, par les pièces de la machine qui doivent se mouvoir les unes sur les autres; et puis, luttant contre rinertie des masses, elle accélère de plus en plus le mouvement. A mesure que la vitesse de la roue s'accroît , son action devient de plus en plus faible (puisque cette action est proportionnelle à la vitesse relative) : bientôt l'accélération, diminuant graduellement, devient insensible et comme nulle; et la roué, après quelques tours, par suite de la vitesse imprimée, et en vertu de son inertie, continue de se mouvoir comme d'elle-même, soit d'un mouvement entièrement uniforme, soit avec une vitesse qui, oscillant entre des limites assez rapprochées, peut se réduire à une vitesse moyenne et continue.
2S2. L'effort qu'un fluide contenu dans un cour- Expret sioi sier exerce contre une palette exposée à son action *?*n^*
est (218) (V — 1^;,^y désignant la section
de la masse fluide là où sa vitesse est V : icoo/ V étant le poids de l'eau qui passe par cette section en une seconde , ou le poids P de l'eau fournie par le courant durant ce même tems, l'effort sera
aussi -(V — v). Celui qu'éprouvent réellement
les aubes d'une roue est de même nature; mais sa grandeur absolue ne peut être déterminée que par l'expérience ; appelant n le nombre ou coefficient qui ramènera la valeur ci-dessus à celle des observations, nous aurons pour l'effort du
courant sur la roue n- (V — 1;). Or cet effort
multiplie par a;, est l'effet E (256); on a donc
Vitmc, ^53. Dans cette expression de l'effet, lorsque tsklf^îla roue est mue par un même courant, v est la WÊOsimmm. sculc variable. Si a; = o, l'effet sera nul; une machine qui ne se meut pas , ne saurait en produire un. Il sera encore nul lorsque v = V; une roue qui va aussi vite que le courant n'en reçoit aucune action. Il est en outre évident que a; ne peut dépasser V. De sorte que l'effet augmentera à mesure que la vitesse de la roue, partant de zéro , augmentera ; mais jusqu'à un certain point seulement , au - delà duquel cet effet diminuera , pour redevenir nul, lorsque la vitesse sera V: entre ces deux extrêmes, il y a donc un maximum d'effet. En différentiant la partie variable de l'expression, (V — v)v,et égalant la différentielle à zéro, il vient Ndv — :ivdv = o; d'où 1; = 7 V : c'est-à-dire qu'une roue à aubes produit son plus grand effet, lorsque sa vitesse est moitié de celle du courant.
264- Nous avons vu (237), qu'en théorie, et par conséquent abstraction faite de /i , la somme p de toutes les résistances au mouvement, dans une machine, ou le poids quelle peut élever, est
égal à l'effort que le moteur exerce sur elle : ainsi,
dans une roue à aubes , on aura p = - ( V— v ).
DANS CN COURSIER. agi
Pour le cas du maximum d'effet, où ■« = ; V , ce poids ou cette charge de la roue sera PV
255. Pour le même cas, l'effet dynamique est égal à cette charge multipliée par la vitesse correspondante ;V : il sera donc -7—, ou, en ohser-
ÎPA..
Le plus grand effet dont est susceptihle un courant arrivant à une machine , avec P d'eau et une vitesse due à h, , est PA, ; celui d'une roue à auhes n'en sera donc que moitié.
Si la chute entière H avait été mise à profit, et qu'il n'y eût eu aucune perte de vitesse, soit à la vanne, soit dans le coursier, on aurait A, = H , et poiu: l'effet maximum '
ÎPH.
D'où l'on conclut que le plus grand effet que puisse produire un courant d'eau agissant par le choc sur une roue à aubes, et sur une roue hydraulique en général, n'est que moitié du plus grand e^et dont il est capable. Et encore n'a-t-on pu ari'iver jusqu'à cette moitié, qu'à l'aide de suppositions qui ne peuvent avoir lieu en réalité : elle est une limite qu'on ne poiura atteindre, et dont on sera habituellement assez éloigné, ainsi que nous allons te voir. Mais avant je fais oicore une remarque théorique.
Bcnarqne 256. L'expression générale de l'efTet djrnamîqae^ - (V — v) v,
sur .»»••• '
de l'effet. ,y, » /y \,v
loDsévMiices. p(l.-!L 12:ii),ouP(A,-A.-A'')»
d'après les notations du n.^ 242.
Cette formule montre que les deux hauteurs A' et A" diminuent l'effet djrnamique : elles le diminuent de plus de moitié; car si elles étaient nulles , TefTet serait Pâ, , et nous avons vu qu'en réalité il était au-dessous de i PA,. — Pour que A' fdt nul 9 il faudrait que v le fût aussi : cette vitesse se rapporte non-seulement aux aubes , mais encore à l'eau motrice au moment où elle quitte la roue ^ sa vitesse alors étant ^ale k la leur. Il est d'ailleurs évident que^ lorsque le fluide abandonne une roue, en ajrant encore une certaine vitesse^ il possède encore une force dynamique représentée par le produit de son poids et de la hauteur due à cette vitesse : pour qu'il eût imprimé à la machine toute celle qu'il avait , il fau- > drait qu,'il ne lui en restât plus aucune, et par conséquent que sa vitesse , en la quittant 9 fdt zéro. ^- Pour que h" fût nul 9 il faudrait que Y — v, ou la vitesse perdue par le choc, ou plus exactement encore la force vive perdue dans le choc,
fût nulle, et cela ne peut être qu'autant qu*il n'j aura pas de
p choc à rarrîvcc du fluide. (En observant que - est la masse de
l'eau fournie par le courant et en la désignant par M, le dernier terme de la formule ou Vh" y devient j M (V — v)*; c'est moitié de la force vive perdue par le choc.)
Il j a près d'un siècle que Bernoulli avait signalé la première de ces deux pertes d'effet, celle qui provient de la vitesse que le fluide conserve en quittant la roue. Peu de tems après, £uler avait observé qu'un courant d'eau produit son plus grand effet sur une machine de rotation , lorsqu'il Fatteint avec une vitesse égale à la sienne. Enfin, Borda, dans son important Mémoire sur les roues hydrauliques (1) , s'ex*
(1) Mémoires de V Académie des sciences de Paris, 176?.
DANS UN COURSIER. 2g5
prime arec plus de précision et de généralité : en appelant z
la vitesse arec laquelle le fluide quitte la machine^ et P —
la somme des pertes vives éprouvées^ il donne ^ comme corollaire général des principes qu'il a posés ^ la relation pv = P
h — j , qui est exactement celle que nous venons d'é^
tablir; et il remarque que^ dans le cas du plus grand effet, u=o eXz=zOf qu'on a alors pv=^Ph, et qu'il serait absurde d'admettre qu'on pût avoir plus.
Carnot, dans ses profondes réflexions sur le mouvement des corps , rend le même résultat en ces termes : ^ Pour qu'une machine hjdranlique produisit son plus grand effet, il ÙlU" drait, i.** faire en sorte que le fluide perdit absolument tout son mouvement par son action sur elle ; 2,** et qu'elle perdît tout ce mouvement par degrés insensibles et sans qu'il j eût aucune percussion, (i)»
Voyons les modifications que rexpérience apporte aux résultats de la théorie.
267. Les observations les plus propres à indiquer ces modi- Eipérienc ficatîons et à faire connaître les principales circonstances du ^^ mouvement des roues à aubes , sont celles que Smeaton , uq ^^■■•■***" des plus célèbres ingénieurs de l'Angleterre ,^ a publiées en 1759 (3) : elles ont été faites sur une bien petite échelle, il est vrai, sur un modèle de roue ajant o™6i de cUamètre seulement ; mais par un homme qui avait comme le sentiment de cette matière presque ignorée aloss, et qui les a conçues et dirigées avec beaucoup d'intelligence vers les principaux points du problème à résoudre. Ce n'est même qu'après s'être assuré que les résultats en étaient conformes aux observations feites sur les grandes machines, qu'il les a publiés..
Sur l'arbre de la roue s-'enroulait un^ cordon qui passait sur
(1) Principes généraux du mouçement et de téquilibre, p. 249:
(2) Son Mémoire, lu à la Société cojale de Londres cette année, fait partie des Recherches expérimentales sur Veau et le vent. TraduU de Fanglab par M. Girard.
une poulie de renyoi fiiée au-dessus de la macbine^ et qni portait à son extrémité un bassin où Ton mettait à yolonté divers poids. L'eau était fournie à la roue par un rëseircâr que l'on entretenait f lein jusqu'à la hauteur youlne.
Les eipériences sont partagées en classes et en séries : celles de la même classe ont toutes une même ouverture de yanne ; et f dans celles d'une même série^ on a en outre même hauteur de réservoir, et par. conséquent même quantité et méine vitesse d'eau motrice , ou même force djrnamique.
La vitesse du fluide au moment où il allait frapper la rooe^ ainsi que les résistances passives, étaient déterminées préalablement et directement par l'eipérience d'une manière fort ingénieuse, qu'il faut voir dans le mémoire de l'auteur.
Lorsque ces préliminaires étaient remplis, on plaçait d'abord un petit poids dans le basvsin; quand le mouvement était bien établi et devenu uniforme, on comptait le nombre de tours que la roue faisait en i' ou 60'', et on en concluait la vitesse de Télévation du poids : c'était la première expérience de la série. Puis , on redescendait le bassin ; on jr mettait un poids un peu plus fort, et l'on comptait le tems de son élévation. Ainsi de suite pour un troisième, quatrième, etc. , poids» jusquà ce que le poids, devenu trop fort, arrêtât le mouvement : la série d*expériences était alors terminée. Celui de ses termes où le produit du poids élevé (en j ajoutant le poids représentant les résistances passives) par la vitesse ascensionnelle respective, se trouvait le plus grand, était le terme de l'effet maximum de la série.
Smeatou a fait de cette manière vingt- sept séries d'expériences, et il a publié un tableau présentant les circonstances relatives à Texpérience du maximum d'effet de chaque série* Le tableau suivant^ contenant dix-huit de ces expériences, en est extrait. Les lignes ponctuées transversales qu'on j voit, séparent les six classes d*expériences : d'ime classe à l'autre, Touverture de la vamie augmentait graduellement. — Le titre des coloimes en indique sulUsamment le contenu. Je me bornerai
4 remarquer que, poui' chaque expérience, il, = — ; H = A -,
ce étant le nonibre de IVxpérience ou de la ligne horizontale, noté à la septième colonne , et C le nombre de la huitième 5
DANS UN COURSIER. SgS
H «t la lunUur de l'eau dn rëterroir an-deutu du aenil de la Tanoe; 4 ^^Pyt ?' ^' '^ nomLre correspondant de la neufième colonne, et -^ représente, pour chaque série, le poids qui^ mis dans la plateau , arrêtait la roue.
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Les quatre premières coIotui£9 da tableaa présentent les données de rexpérieoce, et les cîa^ dernières les résultats qn'on en a déduits.
Aésumon» ces résultats.
ROUES A AtTBES
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ii^tpencet 258. Un coup i'œil jeté sur la cinquième c<v ^ lonne, montre que le coefficient de réduction rleolsdâ àe Teffet théorique à l'effet réel n'est pas constsiMMM tant, et par conséquent que la théorie admise ne se plie pas exactement à toutes les circonstances du mouvement des ,roues à aubes.
Ses résnltatSy quant à TefTet^ s'éloignent d'autant plus de ceux de rexpérience^ que la vitesse est plus considérable^ ainsi qu'on le Yoit dans le tableau ci-contre 9 lequel se rapporte à la seule série entière d'expériences que Smeaton ait donnée^ La quantité d'eau motrice y était de 2^o25 et sa yitesse de a^S 1 1 .
Le coefficient n y a varié dans le rapport de 6 à 7. Il n'a pas présenté de si grands écarts dans les expériences du grand tableau, lesquelles se rapportent au maximum d'effet de chaque série : et même, en faisant abstraction de quelques nombres anomaux, on aurait moyennement, dans chaque classe (une seule exceptée), à peu près n = 0,64 : et par conséquent
359. Le rapport de la vitesse de la roue à celle du coiu*ant a graduellement augmenté d'une classe à l'autre, c'est-à-dire à mesure que l'ouverture de la vanne était plus grande, depuis o,36 jusqu'à 0,52 ; et il a été moyennement de o,44- Smeaton n'admet que 0,40. Bpssut , à la suite de quelques expériences, avait également adopté ce même
DAKS UN œURSlER. ^297
nombre : mais comme la vitesse du courant était mesurée à la surface , elles lui ont donné un résultat trop faible ; il se serait rapproché de 0^0 en prenant la yitesse moyenne. Je crois que, dans les machines bien disposées et conduites, on atteindra de bien près cette limite théorique; et, avec quelques auteurs, j'adopterai 1; = 0^6 V, toujours pour le cas du maximum d'effet.
260. Mettant cette valeur de v dans l'exprès- . sion de l'effet ci-dessus , elle deviendra
E == o,i584 — V^ = o,5i7 PA,.
Dans la septième colonne du tableau, ce rapport n'a varié que de 0,28 à o,52; et, terme moyen, il n'a guère été au-dessus de o,3o. Cependant Smeaton se croit fondé à le porter a ^ dans les grandçs roues; c'est-à-dire, à admettre que leur efïet est le tiers de la force que le com^ant possédait en arrivant aux aubes.
La force imprimée à la roue, qui^ en théorie ^ est llv et ^ale à l'efTet théorique { Pâ, , sera, en réalité ^ o^64n)> = 0,64. 7 PA, =0,32 P^, : 6'est, dans le langage des arts, \^ force de la machine; son expression en chevaux est ici 0,01 33 X 0,32 PA,; elle serait encore (261), mais avec moins d'exabtitude, o,oi33x 0,26 PH.
261, Le rapport de ce même effet à la force entière du moteur, ou m (258), indiqué à la huitième colonne, n'a pas présenté autant de constance que le précédent : il a graduellement augmenté, d'une classe à l'autre, depuis 0,167 jusqu'à 0,25. De sorte que, dans les expériences de Smeaton , le plus grand effet dynamique na
^9^ ROUES A AtJBES
été que du sixième au quart de la force entière du moteur. Je doute que dans les machines en grand, même en les supposant bien disposées, il atteigne cette dernière yaleur; et cependant la théorie en indique un double, ^^PH.
262. Enfin , la dernière colonne montre que la charge \p qui arrête la roue n'est guère que un à deux dixièmes plus considérable que la charge au maximum d'effet. Cependant, d'après la théorie, elle devrait être double : en effet, la
charge -v^, correspondante à 1; = o, est — (252 ) ;
^ PV et celle qui correspond au maximum est —
Snéîencet ^^^* ^^ ^^^^ encore quelques expériences , faîtes , fort en sM.Moriih grand, par M. Morin, sur une roue à aubes de 6** de diamètre, et on les charges ont été mesurées , en très-grande partie , à l'aide du frein djnamomélrique de M. Pronjr. Fig. 5a« Cet instrument, qu'on voit à la figure 62 , consiste en deux pièces de bois, qui embrassent Tarbre, et dont l'une, par son prolongement, forme un bras, à l'extrémité duquel est un bassin que l'on charge de poids. Durant le mouvement de rotation on serre , à Taide de boulons à vis , les deux pièces contre l'arbre, de manière que le bras demeure dans une position horizontale. Le poids quUl porte alors , agissant contre la roue, à l'aide du frottement du frein, oppose au mouvement une résistance qui, jointe aux autres, constitue l'efifèt dynamique.
L'eau était donnée à la roue par une vanne dont l'onvertoix avait l'^SS de large, et dont la hauteur a augmenté graduellement de o"o5 à o"3o. Le coursier embrassait la roue sur une hauteur de o"'562 : dans cette partie, l'eau agissait par son poids. On a admis 0,76 pour coefficient de la dépense et de la vitesse.
BAM8 UN COURSIER. 3oi
V s'est élevé à 0,99. Il en sera à peu jw^s ainsi dans les cas ordinaires de la pratique, lorsque le Tannage et le coursier seront convenablement disposés; néanmoins, pour prévenir les mécomptes, nous n'admettrons que 0,96 ; et nous établirons généralement V= 0,95 [/2gh== ^^20"] yH =• 4^2 yh.
En conséquence, et mettant, pour P, lOOoQ, on aura
D'où
266. Dans le cas du maximum d'effet, v étant 0,46 X 4>2 yh , il viendra
