aM '-cos*(/--a) H ^cosV/'-hat) h

\cosi cosi' ^ 'J

et l'on doit égaler à zéro la dérivée de cette expression en tenant compte de (6). Les premiers termes donnent

, / // //' \ hs'inidi h'^mi'Hi' , , hdi

\cos/ cos/ / cos-/ cos*/ ' cos*/

et, eu appelant K la quantité comprise entre crochets,

,-, 1" .. . . .sin9. (/ — a)

(iK = cos ( / — a ) sin a — cos /

... , . ., sm?.(/' 4- a)1 II cil

cos(/' -h a)sina -f- cos/' -.•

•i J cos-/

Gomme la valeur de d\L doit être multipliée par a^^ on peut y

[airei' = /, puisque la différence /*' — / est au plus du premier

ordre; elle devient

ri- . V x ^^^* • . . hdi

crK i^sinaa cos/(i -h cos 2/) ., . - 2 sm2a cos^/ — - ■•

cos^/ cos*/

La condition du temps minimum est donc

sin/' — sin/ = 2a' sin 2 a cos^/.

On voit ainsi que la différence /' — / est du second ordre, ce qui

était prévu. Il reste finalement, si l'on remplace le premier

membre par

2 cos sm izi (/ — /) cos/,

(7) a — / := 2a' sinria cob*/*.

Dans le cas actuel, les angles / et /' ne diffèrent eux-mêmes

ilO CHAPITRE XV.

que d'une quantité du second ordre des angles égaux l'o que Ton observerait si le système était immobile.

La déviation ne varie aussi que d^une quantité du second ordre, -car, en appelant s^ le second membre de l'équation (7), on a

iansi' 3z= iang(i-h£*) = tang/-i -.»

<'l Téquation (5) devienl

" CCS*/

lang/o — lang/^:^— -^, -~^^. :=:-lang(/j - i){i -{- Islu^Io langi). La différence Îq — / étant au plusxiu premier ordre, on peut écrire

j)ar suite.

li^h''"'

/' -h i — 2^0 "^ - I — 7 77 == 'i— i, 2 a' sin2acos*i.

V h-, li'J h-^/i'

La déviation est donc invariable, au troisième ordre près, quand les distances h et h' sont égales entre elles.

En admettant même que le changement de direction de la lumière réfléchie soit déterminé par l'équation (7), le maximum do cette expression a lieu pour a = /\o° et i = 0 ; il devient alors égal à ià^ ou 2.io~*. Si l'on fait de nouveau réfléchir le rayon sur une surface parallèle à la première, l'angle a doit être remplacé par •jtH- a et la quantité reste la même. Le déplacement du rayon qui a subi m réflexions quand on fait alternativement a m o et a = 4^'* est donc 2m. 10"', ou un nombre de secondes d'arc représente par 4/^.10"'. Cinquante réflexions successives donneraient ainsi un angle de o", 2. Avec deux surfaces argentées légèrement inclinées l'une sur l'autre, dont le pouvoir réflecteur serait 0,90 et la transmission 0,10, la lumière émanant d'un collimateur traverserait d'abord la couche métallique et la traverserait de nouveau pour aboutir à la lunette après avoir subi toutes les réflexions intermédiaires. L'intensité serait alors ^^*^ de l'intensité primitive; elle peut encore être observée, mais le trouble des images produit par

les imperfections des surfaces permetlrail sans doute bien diflGcilement d'apprécier un angle aussi faible.

669. Rotation par les piles de glaces. — Il reste cependant une eiLpérience de M. Fizeau ( * ) dont l'explication ne paraît pas satisfaisante et qui semblerait indiquer que le mouvement de la Terre peut avoir de l'influence sur la rotation du plan de polarisation par une pile de glaces. En dehors du problème à résoudre, cette expérience est particulièrement remarquable par la solution pratique des difficultés qu'elle présentait.

Pour une pile de p lames, la rotation R est (581)

I — ces''' ( /■ — /' )

tangR z=z — - -. ^ —- tange.

^ cos^^ {^i — i')-r- laiig^O ^

Celle rotation variant avec l'indice de réfraction /i, la dérivée -7-

jjourrait se déduire de la formule précédente, mais il est préférable <le la déterminer par expérience, d'autant mieux que les lames sont légèrement prismatiques et inclinées successivement, afin <risoler le rayon directement transmis.

On a comparé deux piles de quatre lames de même forme et montées dans le même appareil, les unes en verre et les autres en flint. On mesurait la rotation à droite et à gauche du plan de réfraction pour un même azimut 0 et Ton retournait chaque pile dans son plan. La moyenne des quatre lectures a donné, pour une inci- ^IcDce de 58'*49' el un azimut de ao°,

Verre.... /i-r,5i34, H— i8°4o',

Flint /i'-: 1,6224, H' 24" 58'.

Il en résulte

^.^3R.S«^ 0.337.5 ^gg R n 0,0720

La rotation du plan de polarisation est due à la valeur inégale des fadeurs principaux de réflexion ; c'est le rapport de ces facteurs qui intervient, en réalité, par l'angle de réfraction i\ ou finalement par l'indice de réfraction.

(•) H. FiZBAU, Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences ^ t. XLIX, p. 717; 1809. — Ann. de Chim. et de Phys. [3], t. LVIII, p. 129; 1860.

Admettons, avec M. Fizeaii, que l'indice qui définit l'angle V est déterminé par la vitesse absolue de propagation des ondes dans le milieu entraîné avec la Terre.

Si la lumière incidente chemine suivant la direction du mouvement, Tangle de la lumière réfractée avec cette direction est égal à / — i!\ la variation 8V' de la vitesse est

aV'= ^i — ±V;cos(/- / ) — V'('// — ^^rtCos(i — /'),

et la variation correspondante 5/i de l'indice, au signe près,

— =L\n rtCos(f — i).

Si Ton fait n = 1 , 5 i3 et / = 70", en prenant pour k la valeur obtenue précédemment, il en résulte

U 3ooo

Sous cette incidence et pour Tazimut primitif de 20^, une lame unique produit une rotation de 6''4oS dont le ^^ est o', i33. Si donc on imagine que quarante lames soient orientées successivement de manière à recevoir la lumière dans les mêmes conditions, le changement de rotation dû au mouvement de la ïerre devient 5', 33 et la différence des observations dans les deux sens donnerait io',67. L'expérience est donc réalisable.

L'appareil comprenait une série de piles formées chacune d'un certain nombre de lames de même angle, puis d'une lame unique moins aiguë et tournée en sens inverse, afin d'annuler la déviation (par exemple, trois lames de 1 5' et une de 4o', ou deux lames de i o' et une de 27'). Avec six piles successives de même nature, on obtenait une rotation de 1 19^6'.

Dans ces conditions, la lumière d'abord polarisée ne s'éteint plus complètement et change de teinte en passant parle minimum d'éclat. Il existe, en effet, dans le phénomène, une dispersion ro-

tatoire. Pour le verre, la variation — du rouée au bleu est de -^» ' n ^ 7.>

et la dispersion relative

Si l'ensemble des piles produit une rotation totale de 119®, Tangle de dispersion correspondant est

Après avoir compensé cette dispersion en faisant passer le faisceau dans un milieu actif, lame de quartz ou mélange d'essences de citron et de térébenthine, les colorations ont disparu, mais le faisceau n'était pas encore éteint par l'analyseur et présentait les propriétés de la lumière elliptique.

La polarisation elliptique n'est pas produite seulement par la compression des lames ou leur collage dans les montures, car elle ne disparait pas quand on a soin de les laisser libres; elle tient surtout à la trempe du verre. Cette trempe donne lieu à plusieurs effets fâcheux, mais ils varient beaucoup moins vite avec l'incidence que la rotation elle-même et peuvent être compensés par l'action d'une autre pile inverse beaucoup moins inclinée sur le rayon, ou même par une- seule lame de trempe convenable.

Finalement, on a obtenu des rotations de 5o®avec une compensation très satisfaisante de la dispersion rotatoire et des effets do trempe. Comme le ^hô ^^ cette rotation n*est encore que de 2', le phénomène a été amplifié par une méthode ingénieuse que Botzenhart (*) avait déjà signalée.

Le rapport

tan<?R I — cos'^(/ — i')

tangë" "~ cos*^(f' — i') -+- tang-6

est d'autant plus grand que Tazimut primitif 0 est plus petit; la rotation R croît donc plus rapidement que 0. Pour un angle 9 de 5**, par exemple, et une incidence de 70®, on a ôR = 380.

Si donc on fait tomber un rayon polarisé sur une pile dans ces conditions, un changement de rotation à l'incidence sera triplé à la sortie. En plaçant ainsi m piles l'une à la suite de l'autre, de manière que chacune d'elles reçoive la lumière sous l'azimut de 5°, le facteur d'amplification devient 3". Comme cette amplification ne dépend pas du signe de 9, les piles peuvent être placées successivement dans les azimuts de zt 5". Avec quatre piles sem-

(') Botzenhart, W. Haidinger Beritchte, t. II, p. 17!; 18^17.

blables, l'angle de 2', qu'il s'agit de melLre en évidence, deviendra finalement 2' x 81 = 2° 4 2'.

Ces remarques préliminaires nous permettent d'indiquer maintenant la disposition définitive des expériences.

La lumière primitive traverse un nicol polariseur N et une ouverture de quelques millimètres située au foyer principal d'un objectif achromatique. Le faisceau rencontre ensuite les piles rotatives, puis les piles inverses et les corps actifs pour la compensation, enfin les piles amplificatrices; il est reçu ensuite sur un objectif semblable au premier et sur un nicol analyseur N'. L'ensemble est monté sur un équipage mobile autour d'un axe vertical et peut être dirigé alternativement vers l'est ou vers l'ouest. Deux miroirs fixes placés dans ces directions sont réglés de manière à renvoyer aux appareils la lumière d'un héliostat.

L'expérience réalisée le i3 mai iSSg a donné, vers Touest, un maximum de rotation de 4o', alors que le calcul indiquait de 3o' à 35'. Du 14 au 24 mai, avec différentes modifications, les excès vers l'ouest ont été 70', ^5', 60' et 5o', alors que le calcul donnait de 45' à 5o'. •

Plusieurs autres séries d'observations ont été répétées dans le cours de l'année, en apportant aux appareils des améliorations successives. Quoique les résultats fussent assez variables, leur moyenne indiquait nettement un excès de rotation quand l'appareil était dirigé vers l'ouest; le maximum avait lieu vers midi, à l'époque du solstice, et les nombres observés furent de même ordre que ceux qui résultaient du calcul.

Malgré certaines causes d'erreur qu'il n'a pas été possible de préciser ni d'éliminer complètement, M. Fizeau croit que l'on peut admettre, comme très probable, que le mouvement qui entraîne la Terre dans l'espace exerce une influence sur la rotation du plan de polarisation par une pile de glaces.

Cette conclusion indiquerait que la rotation est réglée par la vitesse absolue de la lumière dans le milieu mobile et non par l'indice de réfraction apparente, lequel n'est pas modifié, puisque la lumière solaire réfléchie est identique à celle d'une source terrestre de même nature (667); il serait nécessaire de voir si la théorie de la réflexion comporte une telle interprétation.

Dans tous les cas, cette expérience de M. Fizeau est la seule,

jiisqu^à présent, qui permettrait de penser que Tobservation des phénomènes optiques est capable de mettre en évidence autre chose que des mouvements apparents.

670. Applications astronomiques. — Le mouvement relatif des astres modifie, en même temps, leur direction et la période apparente de la lumière qu'ils nous envoient. Si u est la vitesse relative d'un astre et cp l'angle qu'elle fait avec la droite qui le joint à l'observateur, la direction apparente est modifiée de l'angle

H sin CP

c*est une déviation latérale qui correspond à l'aberration pour les étoiles fixes (655).

D'autre part, la période apparente de vibration est (661 )

r=T(.-i'cos<p).

C'est celte période apparente qui intervient dans les observations, puisque l'on doit comparer finalement la lumière des astres avec une lumière de nature identique située sur la Terre, laquelle participe au mouvement de l'observateur et dont la période apparente n^est pas modifiée par ce mouvement commun.

Le principe de Dôppler, complété par M. Fizeau, conduit à un grand nombre d'applications astronomiques qui présentent le plus haut intérêt (*).

Prenons d'abord, comme exemple, la lumière émise par les différents points du Soleil, qui se déplacent en vertu de son mouvement de rotation. L'angle apparent moyen du Soleil étant d'environ 82', son rayon p, en prenant 1 5 . 1 o' kilomètres ponr le rayon de l'orbite terrestre, est

p ir X 16

- 1= o,oo4654, p = 698 ooo"^™,

Comme la durée de rotation est de 27,3 jours, ou 2 x 1,179.10"

(«) Voir la Notice de M. Cornu, Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1891, p. D.i.

secondes, la vitesse angulaire a pour valeur