DU SOLEIL

(Gouttes de a6i* de diamètre.)

Intensités

relatives.

25oi

io36

3oi

Rapport dçs intensités -

relatives.

ÎOO

IOO

La teinte bleue n'est pas sensiblement modifiée auprès de la source, mais la prédominance des couleurs très réfrangibles est moins durable. La teinte est encore presque blanche au voisinage de mo= 0,8, comme dans le cas précédent, mais la zone correspondante est sensiblement élargie. La couleur suivante (mo = i) se rapproche beaucoup de celle du cuivre, et la composition des deux lumières serait presque identique un peu plus loin. Enfin le rouge domine, quoique très mélangé d'autres couleurs, sur une grande étendue, depuis m^ ^ i jusqu'au delà de /Wo = i,8.

Dans le cas actuel, le rayon de la tache centrale limitée au premier minimum relatif à la raie D, qui a lieu pour mo= 1,916, serait de 87', 2 ou 1^27', 2; pour les difi'érentes couleurs, cette tache s'étendrait de 3o' à 1° i4' en dehors du disque solaire.

L'effet serait encore plus manifeste avec des gouttes un peu plus

grosses, parce que la variation du paramètre qui correspond à un même écart est proportionnelle au diamètre des gouttes, et Ton devrait superposer des teintes plus écartées. Enfin, lorsque les gouttes ou particules de nature quelconque sont de diamètres inégaux, les anneaux disparaissent et il ne reste plus que les colorations produites par l'ensemble des taches centrales des différents systèmes. Ces considérations permettent d'expliquer les teintes de rouge cuivré ou carminé qui paraissent quelquefois sur le ciel, même à une grande distance du Soleil.

On peut reproduire toutes ces circonstances, d'une manière très approximative, dans l'expérience de M. Coulier, en faisant traverser le ballon à buées par un faisceau de lumière qui produit sur un écran Timage de la source. Si la buée est très légère, tout l'espace qui entoure l'image se colore, à chaque condensation, d'un bleu pâle qui ne rappelle en rien le bleu du ciel. Lorsque le nuage est un peu plus dense, la zone bleue se resserre et se montre enveloppée d'un large anneau où les teintes d'un rouge cuivré deviennent prédominantes; à une plus grande distance, on voit ensuite des anneaux de violet et de carmin.

Les colorations ainsi obtenues présentent quelquefois beaucoup d'éclat. Malheureusement, le phénomène est très fugitif, parce que les gouttelettes ne tardent^pas à s'évaporer, mais il est facile de distinguer l'élargissement des zones colorées à mesure que l'atmosphère du ballon devient plus transparente

742. Couronnes antisolaires* — Ces belles couronnes, que l'on appelle quelquefois anthélies, paraissent avoir été observées d'abord par Bouguer, au Pérou.

« On voit presque tous les jours (*) sur le sommet de ces montagnes (Pichincha) un phénomène extraordinaire, qui doit être aussi ancien que le monde, et dont il y a cependant bien de l'apparence que personne avant nous n'avait été témoin. La première fois que nous le remarquâmes, nous étions tous ensemble sur une montagne moins haute, nommée Pambamarca. Un nuage dans lequel nous étions plongés, et qui se dissipa, nous laissa voir le

(•) BouGUKR, Histoire de V Académie pour 1744» P- 264.

Soleil qui $e levait et qui était très éclatant; le nuage passa de l'autre côté : il n'était pas à trente pas, lorsque chacun de nous vit son ombre projetée dessus et ne voyait que la sienne, parce que le nuage n'offrait pas une surface unie. Le peu de distance permettait de distinguer toutes les parties de l'ombre : on voyait les bras, les jambes, la tête; mais ce qui nous étonna, c'est que cette dernière partie était ornée d'une gloire ou auréole formée de trois ou quatre petites couronnes concentriques d'une couleur très vive, chacune avec les mêmes variétés que le premier arc-en-ciel, le rouge étant en dehors.

Les intervalles entre ces cercles étaient égaux : le dernier cercle était plus faible; et enfin, à une grande distance, nous voyions un grand cercle blanc qui environnait le tout. C'est comme une espèce d'apothéose pour chaque spectateur; et je ne dois pas manquer d'avertir que chacun jouit tranquillement du plaisir sensible de se voir orné de toutes ces couronnes, sans rien apercevoir de celles de ses voisins. Je me hâtai de faire avec les premières règles que je trouvai une espèce d'arbalestrille pour mesurer les diamètres. Je craignais que cet admirable spectacle ne s'offrit pas souvent. J'ai eu l'occasion d'observer depuis que ces diamètres changeaient de grandeur d'un instant à l'autre, mais en conservant toujours entre eux l'égalité des intervalles, quoique devenus plus grands ou plus petits. Le phénomène, outre cela, ne se trace que sur les nuages, et même sur ceux dont les particules sont glacées, et non pas sur les gouttes de pluie, comme l'arc-en-ciel. Ordinairement le diamètre du premier iris était d'environ 5**|, du suivant d'environ ii**, de l'autre de 17°, et ainsi de suite; celui du cercle blanc était 67**. »

Scoresby a constaté que ces couronnes se voient souvent dans les mers polaires, où les nuages s'élèvent de la mer et se tiennent à une hauteur de 5o à 60 yards sous une faible épaisseur. Il suffit de monter au mât du navire, à 90 ou 100 pieds d'élévation, pour jouir du phénomène en question. Les cercles sont concentriques autour de l'ombre de la tête : leur nombre est de i à 5. Ils sont d'autant plus éclatants que le Soleil est plus clair, le nuage plus épais et plus bas.

Dans l'observation du 28 juillet 1821, par exemple, qui est la

plus complète, on a distingué quatre cercles présentant la succession suivante de couleurs :

Premier cercle Blanc, vert, jaune, rouge, pourpre

Deuxième cercle Bleu, vert, jaune, rouge, pourpre

Troisième cercle Vert, blanc, rouge, pourpre

Quatrième cercle Vert-blanc et aux bords sombre

Les deux premiers cercles avaient de vives couleurs; ceUes du troisième, visibles par intervalles, étaient très faibles et le quatrième n'offrait qu'une légère teinte de vert. Leurs rayons étaient :

Premier cercle i 3o à 2*,

Deuxième cercle 4 4^

Troisième cercle.. .. 6 3o

Quatrième cercle.. . . 36 5o et 42^ pour les deux bords.

Scoresby ajoute qu'il a remarqué souvent près du nuage une multitude de petites aiguilles glacées, très fines, invisibles à l'œil nu, visibles à peine au microscope et dont on n'avait la perception qu'à cause de leurs mouvements de va-et-vient.

Les observations de Gersdorf sur le Brocken (*) ont fait aussi donner à ces couronnes le nom de spectre du Brocken. Elles ont été souvent signalées dans les observations en montagne et dans les ascensions en aérostat, lorsque l'ombre du ballon est projetée par le Soleil sur un nuage.

Kaemlz les a étudiées avec soin sur le Righi et le Faulhom pendant les années i83a et i833. Il a reconnu que la présence des aiguilles de glace est tout à fait accidentelle, car les couronnes se produisaient quelquefois par une température de 10°, incompatible avec l'existence de la glace. Nous examinerons, à propos des cristaux de glace, les phénomènes optiques que peuvent produire ces aiguilles.

Kaemtz fait, en outre, cette remarque importante que les anneaux paraissent avoir exactement le même diamètre que les couronnes directes vues autour du Soleil; les mesures faites sur un même nuage et à différents jours, pour le rouge du premier arc, ont donné, en effet :

(') W.-A. Lampadius, SystemaUscher Grundriss der Atmosphârologiey% 87; Frcyberg, 1806.

Rayon des couronnes Diamètre

*^ * ^ moyen

Dates. solaires. antisolaires. des gouttes.

23 juin i832 3 20 3 25 18

12 septembre i832... 2 i5 14^ ^2

I*' septembre i832... 3 20 3 3 20

4 octobre i832 i 55 i 55 33

I" juillet i833 i 40 i 43 34

9 juillet i833 20 26 3i

22 août i833 245 4 46(*) 24

Ces résultats sont aussi concordants que le permettent la difficulté des mesures et les changements rapides du phénomène; il en résulte que les deux espèces de couronnes doivent recevoir la même explication.

J'ai eu moi-même l'occasion d'observer sur le Pilate des couronnes antisolaires dont le premier anneau rouge avait un rayon de 6^ ; dans l'ombre projetée sur un jet de vapeur par la lumière électrique, le rayon du même anneau était de io°. Les diamètres respectifs des gouttes seraient i il* et 6l*,4«

Quant au grand cercle blanc de Bouguer et au quatrième anneau de Scoresby, Kaemtz l'a vu rarement et le considère comme un véritable arc-en-ciel; il n'a pu le mesurer que deux fois où son rayon a été de 37^27' et 4^° 10'. Nous y reviendrons plus loin.

On peut expliquer simplement les couronnes antisolaires par le phénomène inverse de celui qui a lieu pour les couronnes directes. Les gouttes forment une série d'écrans sur les ondes incidentes et difTractent la lumière comme si la propagation primitive avait lieu en sens inverse.

La lumière réfléchie et diffusée par les gouttes produit l'illumination générale du nuage, à laquelle s'ajoute, pour une fraction de l'éclat total, le phénomène des couronnes. Les anneaux semblent d'autant plus brillants que le centre est cette fois de même nature, sans addition de lumière étrangère, et qu'il est caché, en outre, par l'ombre de l'observateur.

A mesure que la distance du nuage augmente, les anneaux paraissent naturellement grandir, puisque leur diamètre apparent reste invariable.

(*) Deuxième anneau. ,

Enfin Tauréole existe toujours, quelle que soit la structure du nuage, mais les anneaux ne paraissent distincts et riches en couleur que si les gouttelettes sont à peu près de même taille. C'est sans doute à cette circonstance que tient Téclat des anneaux quand Fombre est plus rapprochée, pour qu'on n'utilise alors qu'une région très restreinte de la couche superficielle du nuage, où les conditions d'uniformité sont mieux réalisées.

Les couronnes antisolaires ne semblent pas pouvoir être interprétées autrement, mais il serait utile de faire quelques mesures sur le diamètre de ces anneaux pour des couleurs à peu près homogènes, afin de vérifier s'ils se succèdent exactement suivant la loi des couronnes ordinaires.

Il se présente bien d'autres explications, dans lesquelles on ferait intervenir seulement la lumière réfléchie par les gouttes, mais les images du Soleil ainsi formées constituent de véritables sources, comparables aux étoiles (680), qui rayonnent dans tous sens, quoique inégalement, et ne peuvent être assimilées à des ouvertures dans un écran.

Il en est de même si l'on considère le cas des réflexions intérieures. L'ensemble de ces difi'érentes images constitue une partie de la lumière dîfi'usée par le nuage.

743. Couronnes exceptionnelles. Lueurs crépusculaires. — Il n'est pas nécessaire que les corpuscules qui font écran sur le trajet de la lumière soient exactement sphériques. S'ils ont la forme de polyèdres, ils produisent encore des anneaux élargis dans le sens de leurs moindres dimensions et rétrécis dans le sens des plus grandes (217); mais ces corpuscules prennent toutes les orientations possibles et l'ensemble des phénomènes de diflraction donne lieu encore à des couronnes circulaires, moins pures que les précédentes, résultant de la superposition des courbes colorées relatives à chacune de leurs positions. En outre, si ces corpuscules sont de tailles très inégales, les anneaux disparaissent dans une lueur générale à peine colorée, tandis que la région occupée par l'ensemble des taches centrales conserve un excès de lumière. Enfin la tache centrale peut avoir une grande étendue lorsque les corpuscules sont eux-mêmes très petits.

Telle est, sans doute, l'explication des lueurs rougeâtres, plus

OU moins carminées, que Ton aperçoit quelquefois après le coucher du Soleil, à Touest ou à Test, les premières correspondant aux couronnes directes et les autres aux couronnes antisolaires.

La présence des particules de glace suffit pour rendre compte des apparences les plus fréquentes; on remarque, en effet, qu'il existe souvent dans le ciel de légers cirrus très élevés aux époques où le phénomène paraît plus brillant.

Ces lueurs se distinguent quelquefois quand le Soleil est audessus de l'horizon, si Ton a soin de se protéger contre la lumière directe; elles ont présenté un éclat exceptionnel pendant quelques années, à la suite de l'éruption de Krakatoa, le 27 août i883.

Dès Tannée suivante, M. Thollon (*) signalait l'apparition de colorations particulières et un trouble inaccoutumé dans la transparence du ciel de Nice : même en l'absence de tout nuage, le Soleil paraissait entouré d'une nappe circulaire presque éblouissante, teintée de bleu et bordée de rouge. Le phénomène n'était pas dû aux couches inférieures de l'atmosphère, car il avait d'autant plus d'éclat, d'après M. Forel (^), qu'on l'observait d'une station plus élevée, jusqu'à 2000"* ou 3ooo™. Un limbe brillant, de lo** en- -viron de rayon, avec une teinte bleuâtre étalée autour du Soleil, s'entourait d'une couronne rougeâtre de même largeur, présentant des teintes orange ou violacées. Si cette couronne un peu vague correspond au premier anneau, les dimensions moyennes des corpuscules seraient de Sh- à 4^.

M. Arcimis (') donne même au phénomène plus d'extension, car il signale une couronne blanc d'argent dont le diamètre horizontal était de 48°.

La couronne était encore plus nette quand le Soleil apparaissait dans l'intervalle de nuages (*); M. Cornu y signale les couleurs dans l'ordre suivant, à partir du centre : bleu azur clair, gris teinte neutre, jaune brun, jaune orangé, rouge cuivre, rouge pourpre et

(•) L. Thollon, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, . XCVIII, p. 760, et t. XCIX, p. /,46; 1884.

(*) A. Forel, Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences y . XCIX, p. 289 et 423; 1884.

(«) Arcimis, Nature, t. XXX, p. 324; 1884.

(*) A. Cornu, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, . XCIX, p. 488; 1884.

43o CHAPITRE XIX.

violet sombre. On pouvait même distinguer cette couronne autour de la Lune (*) et les lueurs crépusculaires prenaient aussi un développement inaccoutumé.

La couleur cuivrée est un caractère particulier de ces illuminations; elle a persisté pendant longtemps à mesure que le phénomène s*est affaibli. Nous avons vu déjà que l*on trouve dans une certaine région de la tache centrale une teinte qui rappelle le rouge du cuivre et que la production de cette teinte se comprend mieux encore si Ton tient compte du diamètre apparent de la source et des corpuscules de dimensions différentes.

Il est probable que l'éruption du Krakatoa a projeté des cendres à une grande hauteur dans Tatmosphère, que les parties les plus ténues y sont restées en suspension, agissant alors comme de petits écrans soit par elles-mêmes, soit par les cristaux de glace dont elles formaient le nojau, et qu'enfin elles sont tombées lentement, avec la glace ou la pluie, ne laissant que la proportion à peu près normale des poussières atmosphériques. La transparence de Tair paraît en effet revenue aujourd'hui aux conditions habituelles.

Ces substances étrangères, en proportion inaccoutumée, devaient aussi troubler la polarisation atmosphérique et Téclat du ciel. M. Cornu a constaté que les distances respectives des points neutres ordinaires ont varié d'une quantité considérable. En outre, il est apparu quatre points neutres nouveaux, deux à deux symétriquement placés par rapport au vertical du Soleil, à peu près à la hauteur des centres solaire et antisolaire, comme s'il y avait, en chaque point du ciel, addition d'une quantité nouvelle de lumière polarisée dans un plan perpendiculaire au plan passant par le Soleil. En même temps, la fraction de lumière polarisée dans le ciel avait diminué de près de moitié.

744. Arcs-en-cieL — Dès que les gouttes liquides deviennent assez grosses pour que le nuage se résolve en pluie, s'il est éclairé par le Soleil et qu'il n'existe pas d'obstacle entre la pluie et l'observateur, les conditions sont favorables à la production des arcsen-ciel. Nous avons déjà (247 et suivants) examiné la théorie de

(•) E, DucLAUx, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences f t. XCIX, p. 714 ; 1884.

BROUILLARDS, NUAGES ET PLUIE. 43f

cette brillante irisation ; nous discuterons ici quelques détails particulièrement intéressants dans le phénomène naturel (*).

La déviation D des rayons qui ont frappé la goutte sous Tincidence i et subi k réflexions intérieures est, en posant /> =: A" + i ,

(6) D = A-it-f-2i — 2(A:-hi)r = Ant — 2(/>r — i)-

Elle se réduit à A"k pour l'incidence normale. Suivant que Tareen-ciel est de rang pair ou impair, le déviation normale est nulle ou égale à ic, et le phénomène relatif à Tincidence i paraît à une distance ^{pr — i) du Soleil ou du point antisolaire.

L'équation (6) et la relation sini = n sinr donnent

(7) dXy :=. — i{pdr — di)^

(8) costé/i=: /icosrc/r-h sinreZ/i.

Pour une lumière homogène, rf/i := o et Ton a

(8)' ^=afZ££i'.y

di \n ces r J

Le second membre est d'abord négatif pour les rayons voisins de la normale et devient ensuite positif. La déviation passe donc par un minimum pour la condition

(9) pcosi=. ncosr.

L'incidence I ainsi définie et Tangle de réfraction R correspondant déterminent la déviation de ce qu'on appelle les rayons efficaces; les lignes trigonométriques de l'angle I sont

(10) sin'I = -i--5 y cos'I=— T y tang'I=:^--r .

On déduit aussi des équations (7) et (8)

ncosr \ncosr j

et, en tenant compte de (9),

, ^ dD sinR 2

(11) w- = 2 =r = ^tangL

' dn cosi n ^

(•) Mascart, Ann. de Chim. et de Phys. [6], t. XXVI, p. 5oi; 189a. M. — III. 28

Le second membre étant toujours positif, la déviation des rayons efficaces croît avec l'indice de réfraction. Mariolte (* ) avait constaté déjà, dans l'arc produit par un tube de verre renfermant de l'eau, que le rayon croît jusqu'à 4^^4o' et même 44**44S quand on élève la température du liquide, ce qui diminue l'indice, au lieu de la valeur 4i**ï4' qu'il attribue à l'arc naturel.

Le rayon p d'un arc-en-ciel, compté à partir du point antisolaire, est égal à 2(/)R — I) ou it — 2(/?R — I), suivant que l'arc est de rang impair ou pair. La bordure rouge par laquelle l'arc est limité se trouve du côté du Soleil, dans le premier cas, et du côté opposé dans le second.

Les équations (lo) et (6) permettent de calculer successivement les angles I, R et D. Babinet a remarqué, pour les deux premiers arcs, que l'on peut calculer directement l'angle pK — I; il est facile de vérifier, en efiet, que l'on a

Nous avons aussi à signaler une correction relative à l'illumination du nuage (250). Le faisceau de rayon limité à l'incidence i fournit sur une goutte de rayon a, pour l'éclairement primitif Q, une quantité de lumière

M=: Qita'sin*«.

La lumière émergente est limitée par une zone de rayon a(/?r — i)j dont l'ouverture angulaire S est ,

S = 2it [i — C0S2 (/?r — î)] = ^Tz sin*{pr — i).

En appelant i — cp la fraction de lumière perdue par les réfractions et réflexions, les quantités relatives à l'angle di sont

dM = ç Qira* sin 2 1 di, û?2 = 4« siu 2 ( />r — i) {p dr — di).

(*) Mariotte, Œuvres, t. I, p. 254; Paris, 171 7.

L'éclat de chaque goutte est donc , - é/M ^a} sin2i /icosr

d^ ^^4 sin 2 (/?/• — f) pcosi — neosr

L'illumination du ciel est ainsi proportionnelle à la surface de chaque goutte et au nombre des gouttes, c'est-à-dire à la fraction de surface apparente occupée par les gouttes qui sont éclairées directement et visibles à l'observateur.

Cette illumination s'arrête aux rayons efficaces; elle paraît à l'intérieur du premier arc et à l'extérieur du second. Le ciel est beaucoup plus sombre dans l'intervalle de deux arcs, car il n'est lumineux que par les rayons réfléchis à la surface extérieure des gouttes ou ayant subi plus de deux réflexions intérieures.

Pour l'incidence normale, c'est-à-dire vers le point antisolaire, si/o est le pouvoir réflecteur de l'eau, l'éclat de chaque goutte est

Toutefois, l'illumination ainsi calculée ne représente qu'une valeur moyenne, abstraction faite des phénomènes d'interférence, car l'équation (12) indiquerait un éclat infini sur la direction même des rayons efficaces.

74S. Arcs surnuméraires. — On a vu précédemment (2S3) que la méridienne de l'onde émergente, au voisinage des rayons efficaces, peut être représentée par l'équation

dans laquelle le coefficient h a pour expression

et le rayon de courbure p est

I 2ha;

Pour les rayons difiractés qui font l'angle 0 avec la direction des

rayons efficaces, dans le sens des déviations croissantes, c'esl- . à-dire sur la région où le ciel est illuminé, on a

, hx^ , , tanîî6

tango = /= --^, x^=a}—j —

La différence de marche des vibrations émises parles deux pôles relatifs aux branches concave et convexe de la courbe a pour expression (257) . /v 4 . A /lange (\a J

l'erreur commise quand on remplace les lignes tri gonom étriqués par l'angle 0 étant négligeable.

Tant que les pôles sont assez éloignés du point d'inflexion de la courbe, on peut, dans un calcul approché, remplacer l'action de deux parties de l'onde par celle des pôles correspondants, car la courbe méridienne représente alors l'équateur d'une série de fuseaux perpendiculaires au plan de réflexion.

Quand on applique ainsi le principe d'Huygens (190), on doit

ajouter ^ à la phase, si l'équateur est convexe, ou retrancher la

même quantité lorsqu'il est concave, à la condition toutefois que la courbure des fuseaux ne change pas de signe en même temps, ce qui est le cas actuel.

La différence de phase des deux vibrations à composer est donc

Ces vibrations ayant même amplitude, l'intensité de la résultante est proportionnelle (155) à cos* - ou cos^tt/ r- — ^ J. Si l'on pose

=:m— -I-, A = /wï — -ijX,

l'écart 6 correspondant (i 4) peut s'écrire

L'intensité est nulle quand la différence de phase 8 est un nombre impair de fois ic ou m un nombre entier; ces valeurs de m définissent Vordre des interférences.

Pour des franges de même ordre, l'écart croît avec la longueur d'onde et en sens inverse du diamètre des gouttes.

Dans la production artificielle des arcs -en-ciel par un filet d'eau ou une tige de verre, on ne peut pas déterminer directement la direction des rayons efficaces, puisque l'intensité est alors environ 0,44 ^^ celle qui correspond au premier maximum (256). La même incertitude existe sur l'évaluation des écarts 6, mais il est facile de connaître l'ordre et de mesurer la distance des minima successifs. Pour les minima d'ordres m, m' et m"^, en désignant

par N la valeur numérique de {^m — i)', on aura alors, d'après l'équation (i5),

^ ^ ^ __ __ (ghy

Le rapport A étant calculé par la nature de la lumière et le diamètre de la tige, cette relation permettra de vérifier toutes les conséquences de la théorie. L'accord a lieu avec toute la rigueur que comporte l'exactitude des observations.

Les maxima sont intermédiaires aux minima, à des distances un peu inégales à droite et à gauche; on les obtiendra sensiblement, au moins pour ceux qui suivent le premier, en ajoutant ^ au nombre entier m, ce qui donne

(.6) e^^if(4/n4-.)A.

Si l'on ne tient compte que de la courbe méridienne, chaque amplitude est proportionnelle à la longueur s du premier arc élémentaire dont le carré est

2 2^0? 2 y^MangÔ

Dans ces conditions, Tintensité de la lumière qui correspond à une frange d'ordre déterminé peut donc être représentée par une

expression de la forme

J=z k — = cos' - • V/^ tango 2

D'autre part, si Ton remplace tangO, d'une manière approximative, par l'écart 6, on déduit de (i 5)

En désignant par K un coefficient proportionnel à l'éclairement de la source, l'intensité de la lumière produite par la courbe méridienne de l'onde émergente serait

K- -,[^) ces'-

[(4/n-i)/E«r ce qui donne, pour les maxima,

Quel que soit le mode d'observation, à la vue directe ou par l'intermédiaire d'une lunette, l'image se dessine au foyer principal et l'éclat en chaque point est en raison inverse du carré de la longueur focale du système optique. L'expression de l'intensité doit donc être, dans tous les cas, du second degré en fonction des longueurs 2a et X.

Quand on observe le phénomène avec une tige cylindrique, chacun des éléments de la courbe méridienne représente une bande cylindrique perpendiculaire, et la vibration émise par cette courbe est exactement proportionnelle à celle que produit l'onde émergente. L'intensité est alors représentée par l'équation (17); elle augmente avec la longueur d'onde, en même temps que la largeur des franges, et les teintes rouges sont prédominantes.

L'intensité des mâxima diminue très lentement, à partir des franges d'un certain ordre, car, en donnant à m les valeurs 10, 100

BROUILLABDS, NUA.GE8 ET PLUIE. 4^7

et looo, le facteur (4/^ + 1)^^ varie seulement comme les nombres 3,45'; 7,37 et 15,87.

Mais, quand il s'agit de Tonde émergente émise par une goutte sphérique (*), chacun des éléments de la méridienne remplace un fuseau perpendiculaire. Or, la vibration émise par un fuseau est proportionnelle au premier arc élémentaire et l'intensité au carré de cet arc, lequel est le produit de la longueur d'onde par le rayon de courbure b du fuseau (253). Comme ce dernier est proportionnel au diamètre de la goutte, on doit introduire le facteur 2,ak dans l'expression de l'intensité finale. Cette modification détruirait l'homogénéité ; on la rétablira par la seule longueur dont on dispose, en divisant par X^, ce qui revient à multiplier la

valeur précédente de l'intensité par le rapport -r- • L'illumination dans l'arc-en-ciel est donc

(18) J = [23L^ — pCos«(2m-i)-.

[(4/71-1) An]» ^

Toutes choses égales, cette illumination est proportionnelle au produit de la surface des gouttes par la racine cubique de leur diamètre. Dans le cas actuel, la fraction de lumière difiractée est

sensiblement en raison inverse de (A^a)^; comme le facteur h diminue lui-même quand l'indice de réfraction augmente, l'importance relative des couleurs croît plus rapidement que l'inverse de la racine cubique de la longueur d'onde.

La position des maxima et des minima reste la même, quoique les intensités varient suivant une loi différente. Il se produit ainsi des franges d'interférence, ou des arcs surnuméraires. Dans le phénomène naturel, ces franges apparaissent à l'intérieur du premier arc-en-ciel et à l'extérieur du second. Les franges relatives aux différentes couleurs empiètent successivement, mais elles restent visibles par une compensation particulière.

L'écart 0 croît à mesure que le diamètre de la goutte diminue; il en est ainsi, en particulier, pour le premier maximum et celte

(*) E. Mascart, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences^ t. CXV, p. 453; 1892.

circonstance suffit pour expliquer l'ouverture variable des arcsen-ciel observés.

La distance 80 de deux minima successifs, ou la largeur des franges» s'obtiendra en faisant 3/n = i dans l'équation (i5), ou

80^ 4 Sm 4

qI 4/n — i 4/n — 1 Lorsque l'écart est notable, on peut écrire

746. Achromatisme des franges. — A mesure que la longueur d'onde est décroissante, la largeur des franges diminue également, en même temps que leur origine s*écarte, dans le sens des déviations croissantes, de celle qui correspond au rouge extrême. Il arrivera donc que les franges de même ordre se superposent pour deux couleurs voisines ; la même condition ayant lieu sensiblement pour les couleurs situées de part et d'autre, les franges deviennent achromatiques dans une certaine région.

La déviation totale des interférences d'un ordre déterminé étant D + 6, l'achromatisme a lieu quand la dérivée de cette expression par rapport à la longueur d'onde est nulle, ou

dD d^ __dDdn ^ dk dk an dA dh

Pour une valeur constante de l'ordre m, l'équation (i5) donne

En tenant compte de (ii) et désignant par 6 l'écart de la frange achromatique, il en résulte

(2o) e=— 3^tangI = 3CtangI.

nak

Pour la longueur d'onde de concordance, le coefficient G et l'incidence I des rayons efficaces sont définis uniquement par la nature du milieu ; la déviation D + 6 et l'écart 6 de la frange achromatique sont donc indépendants du diamètre des gouttes.

L'ordre M de cette frange est, d'après l'équation (i5), (21) 4M — 1= -^ — =e^

Quand la valeur de M est assez grande, l'ordre de la frange achromatique est proportionnel au diamètre des gouttes. On déduit alors de l'équation (19)

La formule approchée de dispersion /i = A -H =-5 donne

p \dn 2 B

nd\ nX'

Comme la valeur du radical change très lentement avec la couleur, on voit que la largeur des franges, dans la région de l'achromatisme, est en raison inverse du diamètre des gouttes et proportionnelle au carré de la longueur d'onde achromatisée ; elle reste la même pour toutes les couleurs voisines.

D'autre part, le produit (4M — i) S6 étant une constante, il en résulte encore que les franges achromatiques apparaissent dans un angle déterminé et que le nombre des franges visibles à la lumière blanche croit sensiblement comme l'ordre d'achromatisme, c'est-à-dire comme le diamètre des gouttes.

La région des franges achromatiques se distingue très nettement dans les arcs artificiels observés à la lumière blanche sur les tiges cylindriques; l'éclat et le nombre des franges visibles en font Tun des plus beaux phénomènes d'Optique.

Pour appliquer cette théorie aux arcs-en-ciel naturels, il suffît de calculer la constante G par les indices de réfraction de l'eau qui donnent (251), pour la raie D, 3G = 0,04719.

Dans le Tableau suivant ainsi calculé, on a pris la valeur approchée /io=jpour la lumière jaune de longueur d'onde Xo=oH',57; on suppose que le diamètre aa de la goutte est évalué en microns et l'angle 0| désigne l'écart approché du premier minimum.

Frange achromatique des arcs-en-cieL

Premier arc. Second arc.

tangl 1,6903 3,0473

747. Visibilité des arcs surnuméraires. — Les franges achromatiques ne peuvent apparaître que s'il existe une grande majorité de gouttes de mêmes dimensions, quoiqu'elles se produisent toujours au même point, car l'ordre d'achromatisme et la largeur des franges varient avec le diamèlre des gouttes.

Une autre cause de trouble est due au diamètre apparent du Soleil. Comme les bords supérieur et inférieur, dans le plan du point observé, fournissent beaucoup moins de lumière, on peut considérer que l'éclairement effectif équivaut à une bande lumineuse uniforme de 25' environ de largeur. Les maxima relatifs aux différents points de la source occupent ainsi une étendue angulaire de 25'; le spectre du premier maximum est moins pur et les franges de largeur plus faible deviennent invisibles. C'est donc seulement avec des gouttes de diamètre convenable que les arcs surnuméraires apparaissent. Dans tous les cas, l'achromatisme a lieu à une distance égale à 8,6 fois le diamètre apparent du Soleil pour le premier arc et i5,4 fois pour le second.

Pour fixer les idées, nous donnerons les éléments de ces arcs dans quelques hypothèses^ l'angle ^m désigne l'écart du premier

maximum, qui est — -'^/^ =2,29 fois plus faible que celui du

premier minimum approché 0|.

Gouttes de 101*= o""°,oi. Gouttes de 1001*= o"",!.

Promier arc. Socund arc. Premier arc. Second arc.

e,„ 6« 5' ii<>54' i'3i' 2"34'

Gouttes de 5ool*= ©""jS. Gouttes de 10001*= i""'.

Premier arc. Second arc. Premier arc. Second arc.

e o°3i' 1*11' o°i5',4 ©•SSSS

61 i^io' 2°o' o*'44' I°l6'

Remarquons d'abord que le rayon du cinquième arc-en-ciel est de 54°, c'est-à-dire de 2° supérieur au rayon du second et que la dispersion a lieu en sens contraire. La superposition des deux phénomènes, quoique d'intensités très inégales, suffit pour produire un certain mélange des couleurs et noyer les interférences. On ne signale pas, en effet, d'arcs surnuméraires bien nets à l'extérieur du second arc-en-ciel, alors même que les conditions sembleraient très favorables à la production de ces franges; il suffira donc de discuter les circonstances relatives au premier arc.

Pour les gouttes de loH-, le maximum principal est dévié de 6** 5'. Le rayon mesuré en ce point serait alors réduit à 36" i5', au lieu de la valeur 42^20' qui conviendrait aux gouttes de grandes dimensions. En même temps, le rayon du second arc devient plus grand de 12^ et l'accroissement de l'espace sombre intermédiaire est de 18®. Pour les gouttes de i™", la diminution du premier arc se réduit à 19', ce qui fait un rayon apparent voisin de 4^°, et la dilatation du second n'est plus que de 33'.

Avec les gouttes de lol*, l'achromatisme devrait paraître au voisinage du premier maximum sur les deux arcs; mais les franges sont tellement larges qu'elles sortent entièrement des conditions de visibilité.

Dans les suivantes, de lOoM-, l'achromatisme a lieu au delà du premier minimum et la distance des franges correspondantes est de beaucoup supérieure au diamètre du Soleil. Les arcs surnuméraires devraient alors être très brillants et se réduire à deux ou trois. Toutefois, cette circonstance ne semble pas correspondre aux observations habituelles ; les nuages commencent à se résoudre en pluie, pour des gouttes de looH-, et les moindres inégalités de taille troubleraient rapidement la netteté des franges.

Avec les gouttes de 5ooi*, l'achromatisme a lieu sur le sixième ou le cinquième minimum, suivant le rang de l'arc, et la largeur

des franges est d^abord très supérieure au diamètre efficace du Soleil; diaprés la règle générale, en effet, les largeurs des franges successives, abstraction faite de la première, varient comme les nombres 1,87; i,53; i,35; 1,24; i,i5; 1,08. En prenant la moyenne 1,12 pour les deux franges situées de part et d^aulre du sixième minimum, les largeurs des franges, dans le premier arc, seraient successivement 62', 43', 37', 34', 32', 3o', etc.

On doit apercevoir, sur le premier arc, six ou sept franges irisées, les dernières à peine distinctes, puisqu'elles ont à peu près le diamètre apparent du Soleil. Ces conditions sont très avantageuses et paraissent correspondre au phénomène naturel, car on dislingue habituellement de quatre à six arcs surnuméraires quand ces effets secondaires se montrent le plus nettement. Le diamètre des gouttes de pluie doit être alors assez uniforme et voisin de ^ millimètre; une variation de ±: y^ dans le diamètre ne changerait d'ailleurs Tordre et la largeur de la frange achromatique que de ±j^ et n'amènerait pas encore de confusion dans les inlerfcrences. L'existence de beaux arcs surnuméraires correspondrait ainsi à des gouttes d'environ un demi-millimètre de diamètre.

Les franges seraient plus belles encore dans le second arcen-ciel, puisque l'achromatisme a lieu sur le cinquième minimum et que la largeur des franges est beaucoup supérieure au diamètre apparent du Soleil, si la superposition du cinquième arc ne les faisait disparaître.

Dans les gouttes de i™"*, l'achromatisme a lieu sur le douzième minimum, et la largeur de la frange achromatique est à peine la moitié du diamètre du Soleil; les premières franges en sont d'ailleurs trop éloignées et resteront invisibles. Il en serait de même, a fortiori y pour les gouttes plus grosses.

En résumé, l'apparition des arcs surnuméraires n'est guère possible qu'à l'intérieur du premier arc-en-ciel et pour des gouttes dont le diamètre est voisin d'un demi-millimètre; on y distingue surtout une alternative de colorations rouges et vertes.

La mesure de ces franges permettrait d'évaluer assez exactement le diamètre des gouttes, mais elle présente quelques difficultés, parce que la position des bandes rouges, par exemple, correspond à l'affaiblissement de certaines couleurs et qu'elle est modifiée par le diamètre apparent du Soleil. Il serait préférable

d'observer le phénomène avec la lorgnette goniométrique de M. Soret, munie d'un verre rouge; les franges apparaîtraient plus nombreuses, mieux définies, et les mesures comporteraient une certaine précision.

Lorsqu'un arc-en-ciel se développe dans toute son étendue, on remarque aussi que les arcs surnuméraires se distinguent nettement à sa partie supérieure et s'affaiblissent presque toujours quand on vise des points plus rapprochés du sol. A mesure que la pluie tombe, les gouttes grossissent, soit par leurs chocs mutuels, soit par l'évaporation plus facile des petites. La disparition des franges dans les pieds de l'arc tient alors à la prédominance des gouttes plus grosses ou à l'existence de plusieui*s systèmes de diamètres très différents.

On pourrait se demander encore si les gouttes ne sont pas un peu déformées par leur chute dans l'air et jusqu'à quel point il est permis de les supposer sphériques. Une goutte qui tomberait sans tourner sur elle-même doit prendre, en effet, une forme ovoïde, la pointe aiguë étant dirigée vers le bas, et le rapport de la différence des rayons de courbure extrêmes à celui de l'équateur est proportionnel au carré du diamètre moyen. Ce rapport serait jg pour des gouttes de i""" et ^^ pour des gouttes de loo!^; il n'y a pas lieu d'en tenir compte.

L'arc-en-ciel se voit aussi par l'éclairage de la Lune, mais assez rarement, parce qu'il présente beaucoup moins d'éclat, et les couleurs ne se distinguent pas facilement. Mariotte (*) signale déjà l'observation de trois arcs-en-ciel lunaires en une même nuit.

Le second arc esta plus forte raison beaucoup plus pâle encore; cependant un observateur attentif m'a informé qu'il l'avait aperçu très nettement.

748. Colorations de rare. — La teinte de l'arc en un point résulte de la combinaison des intensités relatives aux différentes couleurs; chacune d'elles intervient pour une fraction variable avec la longueur d'onde.

On pourrait calculer les teintes par l'expression approchée (i8)

(») Mariotte, Œuvres, t. I, p. aS.'i. Paris, 1717.

de l'intensité, en donnant une série de valeurs différentes à la déviation D — 0 ou au rayon p -f- ô, mais il sera plus exact d'avoir recours à la théorie générale.

Airy (254) a traduit le phénomène en fonction d'un paramètre numérique ;;, qui est lié très sensiblement à l'écart 6, compté à partir de la direction des rayons efficaces, par la formule

L'amplitude A de la vibration diffractée par la courbe méridienne de l'onde émergente peut s'écrire

\AcosO/ •' ^ '

L'intensité serait proportionnelle au carré de cette expression; mais on doit d'abord, quand il s'agit de gouttes sphériques, la multiplier par 2aX, pour tenir compte des fuseaux, et la diviser ensuite par X^, afin de rétablir l'homogénéité, finalement multiplier

le carré A^ par -t-« L'intensité devient alors

(2ar^

(A»Xcos*e)»

le facteur K étant proportionnel à l'éclairement de la source et en raison inverse du carré de la longueur focale de l'appareil optique qui sert à l'observation.

La largeur des franges diminue avec la longueur d'onde, en même temps que l'intensité augmente, mais la compensation est incomplète et la fraction de lumière qui constitue l'arc-en-ciel n'est pas la même pour toutes les couleurs.

La largeur 8ô du phénomène défini par deux valeurs du paramètre z est, d'après (a3),

'»=/-=/(n)'(èr-.

et la quantité de lumière correspondante

Le rayon, compté à partir du point antisolaire, est p ± 6, suivant que l'arc est de rang pair ou impair, et l'ouverture angulaire de la zone correspondante 211: sin(p zh 6) 80; la quantité de lumière 8M relative à l'intervalle ùz est donc

(a5) m = uf(^^-^ysin{p±î>)/^z)dz = nfFr(z)dz.

Pour étudier les variations de cette expression avec la longueur

d'onde, on pourra remplacer cos'9 par l'unité, puisque les écarts restent très petits. On a ensuite, par les équations (11)9 (i3) et (sS), les signes supérieurs se rapportant aux arcs de rang pair,

j i* j^^ i. j\dn dk ^ - dk

ap = dz 2 tangl — =i±: 2 tanffi — jr- -r- = ^ 2G tangl -r- j

dh __ /i»(3/?» — 2/1» — 1) dn ç,dk

-<i6 dh dX . rii-v^

rfp ± rfe = rp Uc langl — " "^^^ 6^

Les coefficients C, P et A, pour la lumière considérée, sont des constantes définies par les propriétés optiques de l'eau et le rang de l'arc-en-ciel. On a alors

La dérivée de la quantité de lumière 8M par rapporta la longueur d'onde est donc

-^y [-i^^sinCp ±6)+ ^aC Ungl - ill^e) cos(p ± e)]/«(^) rf;;.

On aura une idée approchée du phénomène en supposant que le rayon p ± 9 est de 45", ce qui donne

-hT-^ = r /( 5— +2C tangl ± 5 — )/*{z)dz.

Les valeurs relatives à la raie D et le premier arc sont

(27) J tan gl = 1,6866, p = 4o°8',