P =9,476, PC
Comme on doit prendre les signes inférieurs, puisque l'arc est de rang impair, il en résulte
Cette expression reste positive tant que Pangle 9 est inférieur à 27°. La fraction de lumière qui constitue la frange principale et la plupart des arcs surnuméraires croît donc avec la longueur d'onde cl d'autant plus rapidement que les gouttes sont plus grosses. On comprend ainsi la prédominance générale du rouge dans le phénomène, quoique l'intensité en chaque point soit moindre, toutes choses égales, que pour les couleurs plus réfrangibles.
Le calcul des teintes exige que l'on détermine, pour chaque direction, les intensités relatives des différentes couleurs. Considérons encore le premier arc, et prenons comme repères les écarts 60 ouïes ra}^ons po — 60 qui correspondent à une longueur d'onde X^. L'écart 9 relatif à la longueur d'onde X est
(28) e = p-poH-6o.
La valeur !^ du paramètre qui conviendrait à la longueur d'onde de comparaison, pour cet écart 9, est
et le paramètre z relatif à la longueur d'onde X
Enfin l'intensité relative J de la couleur considérée peut s'écrire, à un facteur constant près,
On déterminera d'abord, à l'aide de l'équation (28), les para-
mètres Zq relatifs à une série de valeurs de l'écart 60 et Ton trouvera dans la Table d'Aîry, par une interpolation ou une traduction graphique, les intensités Jo = /^(5o) correspondantes.
Pour une couleur quelconque, Téquation (28) donne l'écart 0 correspondant à O©; on en déduit Ç et ^ par (29) et (3o); on trouve ensuite la valeur de /*(;;) dans la Table et l'équation (3i) donne l'intensité relative J.
Enfin, si l'on veut faire intervenir le diamètre apparent de la source, on pourra encore, d'une manière approximative, remplacer le Soleil par trois sources identiques, situées à g',! Tune de l*autre, et superposer en chaque point les intensités relatives des trois systèmes d'arcs-en-ciel correspondants.
Les teintes que l'on obtient ainsi varient dans des limites très étendues avec le diamètre des gouttes, comme il est facile de s'en rendre compte directement. En effet, à mesure que ce diamètre diminue, toutes les franges s'élargissent proportionnellement à leurs dimensions primitives, de sorte que la position respective des minima relatifs aux différentes couleurs se modifie d'une manière continue; le maximum principal s'éloigne des rayons efficaces et la courbe des intensités s'écrase de plus en plus. Le mélange des couleurs augmente ainsi constamment et les teintes finissent par disparaître.
Comme l'éclat reste très notable avant le maximum principal, la mesure du rayon donnera toujours une valeur supérieure à celle du maximum principal, pour le premier arc, et une valeur trop faible pour le second, puisqu'on estimera leur limite au point où l'intensité diminue rapidement. La mesure des arcs-en-ciel correspond ainsi à un phénomène intermédiaire entre la direction des rayons efficaces et celle du maximum principal.
719. Arc-en-ciel blanc» — Sur les brouillards et les nuages qui ne sont pas trop éloignés, on aperçoit souvent, même avec les sources de lumière artificielles, un grand cercle blanc, que l'on désigne quelquefois sous le nom de cercle d^Ulloa, C'est un véritable arc-en-ciel, signalé déjà par Mariotte (*), qui en avait attribué le caractère à la petitesse des gouttes.
(') « L*arc était tout biaoc, hors un peu d'obscurité qui le terminait à i'e\lé- M. — III. 29
148 chapii;rb xix.
Une autre particularité importante de Tare blanc est que son rayon varie entre des limites très écartées, depuis 33° 3t)', diaprés les observations de Bouguer et Ulloa sur le Pambamarca (743), jusqu'à près dé 42®, avec toutes les valeurs intermédiaires. En même temps, les colorations sont d^autant plus faibles que le rayon est moindre et Tare peut paraître tout à fait blanc. J'ai eu moi-même l'occasion d'observer, sur un nuage qui remontait une vallée, un arc presque blanc, à peine teinté de rouge sur son bord extérieur, dont le rayon était voisin de 36° 3o'.
Bravais (*) attribue l'arc-en-ciel blanc aux réflexions et réfractions dans les gouttes vésiculaires qui constitueraient le nuage. En appelant a' et a les rayons intérieur et extérieur de la couche d'eau, la tangente menée d'un point de la surface extérieure à la surface interne fait avec le rayon correspondant un angle (o dont
le sinus est le rapport—- Cet angle a> diminue, à partir de 90", à
mesure que l'épaisseur de la membrane augmente. Pour une valeur moyenne i,336 de Tindice, l'angle maximum de réfraction R, est 48^*27', 6 et celui des rayons efficaces R = 4o**i',7. Si l'angle co est supérieur à R, l'arc-en-ciel ordinaire ne peut pas se produire ; s'il est supérieur à R| , la plus grande partie des rayons réfractés à la première surface subissent la réflexion totale sur la seconde et il ne se produit aucune accumulation de lumière. Quand l'angle eu est compris entre R et R|, l'illumination prend une valeur maximum dans la région de l'arc-en-ciel.
Bravais trouve ainsi que tou tes les gouttes restent obscures, à part les rayons réfléchis sur les deux premières surfaces et les rayons réfléchis sur les deux dernières, en traversant le vide intérieur, si l'angle a> est supérieur à 4^^23', 2, ce qui donnerait un arc de rayon plus grand que 37^53'.
Cette théorie ne rend pas compte des arcs de rayon moindre et nous avons vu que la formation et la permanence des gouttes vésiculaires sont tout à fait improbables.
La diminution du rayon de l'arc s'explique aisément par les
rieur; la blancheur du milieu était trôs éclatante et surpassait de beaucoup celle qui paraissait sur le reste du brouillard; il n'avait qu'environ i*,5 de largeur. » (Mariottr, Œuvres, t. I, p. 267).
(•) A. Bravais, Journal de l* École Polytechnique, t. XVIII, p. 97; i845.
dimensions des gonttes qui constituent les nuages, puisque le déplacement du maximum dépasse 6** pour un diamètre de ioP'(747).
Quant à la disparition des couleurs, elle tient en partie à l'existence simultanée de gouttes de diamètres très différents, mais la cause principale en est due à l'extension progressive des franges à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Dans ce cas, les intensités relatives des différentes couleurs conservent assez longtemps des valeurs égales sur la frange principale ; l'arcen-ciel paraîtra sensiblement incolore ou achromatisé, au moins en certains points, par un mécanisme analogue à celui qui produit l'anneau blanc des couronnes, et les autres franges se mélangent rapidement.
La condition de cet achromatisme particulier peut se traduire aisément par le calcul. En nous bornant au premier arc, on a, parles équations (26) et les relations de (28)à(3i),
, dX dh -^^ dTk
^p = 2Gtangl-^, =PC-^,
„ dz dh d\ . dp
s h A p — po"+-0o
L'achromatisme a Heu lorsque l'intenaité relative est la même pour les couleurs voisines. La valeur de J est alors indépendante de la longueur d'onde, ou du moins sa dérivée est nulle, ce qui donne la condition
f{z) i2CtangI z 2(2 + PC)
f'iz)~~ i-h2PG p — Po-hBo I-h2PG ^'
Si l'on établit Tachromatisme sur la couleur de comparaison (p = P0) et remplaçant Oq par sa valeur (23) en fonction du paramètre, il reste
.00. f(^) i2CtangI/i2\'/2a\» 2(2 + PC),
î5o CHAPITRE XIX.
Cette équation montre bien que le paramètre d'achromatisme, ainsi que le point où Tare paraît blanc, dépendent de ia nature du milieu et du diamètre des gouttes.
Pour le premier arc-en-ciel et la raie D, on a
^'^^ i(^y=..,36o8, (iy^i,4.4.
Tenant compte des valeurs déjà indiquées (27) et mesurant le diamètre 2a en microns, il en résulte
J \^) Técart correspondant 0 est donné par
et le rayon du phénomène est p — 6.
On peut résoudre Téquation (35) par l'intersection des courbes
avec la droite
j, = — a;;-hp(2a)'^.
La fonction y^ est représentée par une première branche A© dont les ordonnées sont positives, depuis 5 = — 00 jusqu'au maximum principal, où elle est asymptote à la verticale, et par une série de branches A| , A2, A3, . . . ayant la forme des courbes de tangentes. Ces dernières passent par les zéros de f{z)^ c'est-à-dire par tous les minima d'intensité, et leur inclinaison sur l'axe des z en ces différents points est de 4-^''? car le coefficient angulaire a pour expression générale
fr
Enfin les différentes branches de la courbe y i sont asymptotes aux verticales passant par les maxima et minima de /(s), c'està-dire par les maxima d'intensité; les ordonnées sont négatives
dans rinlervalle d'un maximum au minimum suivant, positives dans les autres intervalles.
L'inclinaison de la droite y2 est indépendante du diamètre des gouttes. Cette droite rencontre toutes les branches de la courbe yt , la première A© avant le maximum principal, d'autant plus près du maximum que les gouttes sont plus grosses; son intersection avec les autres branches peut avoir lieu avant ou après le minimum correspondant.
L'achromatisme se produit en deux points de la première frange, avant et après le maximum principal, lorsque la droite j'2 rencontre l'axe des z avant le premier minimum, qui a lieu pour Zi = 2,4955, c'est-à-dire lorsque le diamètre des gouttes est inférieur à
Le second point d'achromatisme se rapproche du maximum principal à mesure que le diamètre diminue; la limite de cette position correspondrait à la condition
/(5)-h3,3ii5/(5) = o.
Le paramètre z serait alors voisin de i ,28; le rapport des distances du point achromatisé au maximum principal et au premier minimum serait o,i44*
On peut écrire, en général, l'équation (32) sous la forme
J dX
S'il existe deux points achromatisés sur la frange principale, le rouge domine avant le premier (j^a >yi) et après le second; le bleu et le vert sont en excès dans l'intervalle.
L'achromatisme le plus parfait doit avoir lieu quand ces deux points se trouvent à égale distance du maximum principal; dans ce cas, les valeurs correspondantes du paramètre sont voisines de o,5i et 1 ,65, et la droite ya coupe l'axe des z vers i ,36. Le diamètre des gouttes serait
45a cuikPiTRE XIX.
Avec des gouttes de 3oi^, qui soot fréquentes dans les nuages et les brouillards, Tarc-en-ciel paraîtra d'autant plus blanc que le diamètre apparent du Soleil fait évanouir l'excès de bleu intermédiaire aux deux points achromatisés^ par la superposition de plusieurs systèmes de franges, et il ne restera qu'une bordure extérieure légèrement teintée de rouge. La coloration rouge intérieure à la première frange disparaît par la même raison, ainsi que les arcs surnuméraires, surtout si Ton admet une certaine variation dans le diamètre des gouttes.
L'affaiblissement des teintes a lieu encore si les dimensions des gouttes diffèrent sensiblement, dans un sens ou dans l'autre, de celles qui correspondent au meilleur achromatisme, mais il persiste plus longtemps lorsque le diamètre diminue.
Pour le montrer par des exemples, nous avons appliqué le calcul aux principales raies du spectre en supposant que le diamètre des gouttes est de loi* ou de SoH-, les puissances | de ce diamètre étant 4>&4i6 ou iSySya.
Le paramètre Zm du maximum principal étant i , o^^5, l'écart O^k de ce maximum pour la lumière de comparaison est déterminé par l'équation (36), qui donne :
Diamètre des gouttes.
Le rayon du maximum est donc réduit à 33® 1 4' pour les gouttes de loH- et à 37^46' pour celles de SoH-,
On a donné à l'écart 60, correspondant à la raie D, une série de valeurs différentes et les résultats relatifs aux autres couleurs ont été obtenus successivement par les relations
Pour la détermiaation du paramètre ^, on doit naturellement remplacer les angles 8 par leurs valeurs numériques; si ces angles sont donnés en degrés et fraction de degré, la transformation se fera très facilement à Taide des deux valeurs
Les nombres qu'il est nécessaire de connaître dans la suite des opérations, appliquées aux principales raies du spectre solaire, sont alors :
