ANALYSE DES RAIES SPECTRALES
790. Observations directes. — L'étude des raies du spectre et de la composition des différents groupes est un problème analogue et présente les mêmes difficultés que l'observation des étoiles doubles ou complexes. Pour distinguer un doublet, par exemple, il faut que l'écart angulaire de deux lignes élémentaires soit supérieur à l'angle de pénétration (214) du système optique.
Ces raies sont toujours l'image d'une fente dont on peut réduire à volonté la largeur, de manière qu'elle soit négligeable. La distinction de deux lignes lumineuses est plus précise que celle de deux sources circulaires et l'on peut admettre que l'angle limite de visibilité est le rapport de la longueur d'onde au diamètre A des objectifs ; c'est la déviation qui correspondrait au premier minimum pour un objectif cylindrique couvert par une ouverture rectangulaire (218). Un diamètre de lo'" permettrait de distinguer deux raies écartées d'environ i", dont les dimensions propres seraient beaucoup plus faibles.
Quand un prisme est au minimum de déviation, on a
sin z=. n sin —,
«^ 2 , A H- D X flf /i c^X dD = 2 flf/i^2tang -^ ^.
cos
Le changement de déviation qui correspond à une variation relative déterminée de longueur d'onde croît naturellement avec la réfrangibilité .
Pour le sulfure de carbone, par exemple, qui est un des milieux
les plus dispersifs, le coefficient —^(129) est égal à — o,o6o3
pour le jaune. Si l'on opère avec un prisme de 6o**, l'angle A -t- D est voisin de 109** et l'on a
— dDz=z 2.1,4.0,0608 -r- = o, 17 -r-- La dispersion pourrait être plus grande en dehors du minimum
de déviation, mais cet avantage serait compensé par une diminution de la largeur du faisceau de lumière et une inclinaison trop grande sur Tune des faces d'entrée ou desortie. Dans les meilleurs prismes et pour la partie moyenne du spectre, la dispersion est sans doute inférieure à celle qui donnerait la relation
— aDzi:0,2-r---
La variation relative de longueur d'onde pour les raies jaunes de la soude étant environ -—^ (305), leur distance angulaire apparente serait 2.10"* ou 4o".
Si la largeur du faisceau utilisé dans le prisme et les lunettes est de 10*^™, la pénétration est alors de 1" et l'on pourrait séparer un doublet de raies quarante fois plus voisines.
Avec plusieurs prismes successifs, la dispersion est proportionnelle à leur nombre, mais ici encore l'imperfection des surfaces et le défaut d'homogénéité des milieux, même avec des liquides, croissent dans le même rapport, de sorte que le bénéfice des nouvelles réfractions ne tarde pas à disparaître . En admettant qu'il soit possible pratiquement de multiplier par 2,5 la dispersion, on distinguerait des lignes à j^ de la distance des raies de la soude, correspondant à une variation de longueur d'onde de tôôoôïï-
Dans les réseaux, le changement de direction di' est (24t)
ces /' di^ dk
sin i -i- sin i' X
Si le rayon difTracté est normal au réseau, le premier membre se
réduit à -; — :; l'écart di' deviendrait maximum et égal à -r- pour sin i A
l'incidence rasante, mais il est évidemment impossible de diminuer à ce point la largeur du faisceau primitif.
La sensibilité relative est ici à peu près indépendante de la couleur. Pour la lumière jaune, cette valeur est quintuple de celle qu'on obtiendrait avec un prisme de sulfure de carbone, de sorte qu'un réseau de 10*^"* de largeur permettrait de distinguer, par une seule diffraction, des raies différant de âôôVôôî ^^ ^^ peut guère espérer cette précision et l'emploi de réseaux successifs apporterait de nouvelles causes de trouble, en dehors des pertes de lumière.
REFRACTION ET DISPERSION. 565
Quel que soit le mode d'observation directe, il existe ainsi une limite pratique à l'analyse des raies spectrales; il paraîtra sans doute très difficile de séparer directement deux radiations dont les longueurs d'onde ne diffèrent pas de plus de tôôWô*
M. Michelson (*) a eu l'idée ingénieuse de recourir à d'autres méthodes ; il j a été conduit par un problème de nature différente qui mérite d'abord une étude spéciale.
791. Influence du diamètre apparent des sources sur les interférences, — L'observation de M. Fizeau(127) sur les franges de deux fentes éclairées par la lumière d'une étoile peut recevoir une généralisation importante.
Supposons qu'un objectif soit couvert par deux fentes parallèles, de largeur négligeable, éloignées de la distance A. L'observation d'un point lumineux donne une série de franges dont la largeur, c'est
à-dire la distance des minima successifs, sous- tend un angle égal à - •
La pénétration de l'objectif tout entier (214) est 1,22-; comme le
phénomène des franges est beaucoup plus net que la tache centrale des étoiles, il est à prévoir déjà que le pointé de ces images sur le milieu de la frange centrale se fera avec plus d'exactitude. Ce mode d'observation offrirait donc des avantages dans la mesure des distances angulaires, ascensions droites ou déclinaisons.
Si la source est une surface rectangulaire dont l'un des bords est parallèle aux fentes, les interférences disparaissent lorsque son diamètre apparent est égal à la largeur des franges, puisque les maxima relatifs aux bords sont superposés et que les maxima correspondant aux autres régions occupent toutes les positions intermédiaires. Mais les franges reparaissent et s'évanouissent, par périodes régulières, si l'on élargit la source d'une manière continue ou si l'on rapproche les fentes ; la loi de visibilité du phénomène permettra d'apprécier un diamètre apparent qui ne serait pas directement observable.
D'une manière générale, soit ^{x)dx la quantité de lumière
(») Alb.-A. Michblson, PhiL Mag. [5], t. XXX, p. i; 1890, t. XXXI, p. 266 et 338; 1891, et t. XXXIV, p. aSo; 189a. — Nature, t. XLV, p. i6o; 189a.
fournie par une bande élémentaire de largeur angulaire dx parallèle aux fentes, situéç à la distance x d'une ligne parallèle menée par un point O de la source.
Sur la direction qui fait l'angle 0 avec celle du point O, la différence de marche des vibrations diffractées par les deux fentes esl A(:r -4- 6), et la différence de phase correspondante
Q = 3TC =:2/?ir(j7-t-e);
le facteur/) désigne le nombre des longueurs d'onde comprises dans l'intervalle A des fentes.
Pour cette direction 6, l'intensité correspondante du champ esl représentée, à un facteur près, par
<p(a?)(i-hcos8)ûfj7r=i t^{x)dx + f (x) cosa/)7c(j7 4- b)dx.
Comme les différents points de la source ont des vibrations indépendantes, l'intensité totale I est la somme de ces expressions étendues à toute la surface lumineuse.
On peut donc écrire, en posant
/ T=f^{x)dx, (i) l F =1 f ff{x)sin 2 pizxdXf
\ G =z f o{x) cos2pTzx dx, (a) I = T -4- G cos2/?7rO — F sin sjottO.
Le premier terme T représente la quantité totale de lumière émise par la source.
Les déviations 6 relatives aux maxima et minima d'intensité sont défînies par la condition
(3) Gsin2/)7cO 4- Fcosa/?7rO=:o, tang3/?7rO = — ^j
ce qui donne
On peut définir la visibilité V du phénomène par le rapport de la différence des intensités extrêmes !« et I2 à leur somme; la visibilité esl alors égale à l'unité quand les minima sont absolument
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noirs. On a donc
Cette expression a une signification physique. Le numérateur A = y/F2+ G* est Tamplitude résultante (154) d'une série de vibrations élémentaires dont les amplitudes sont ff(x)dx et les différences de phase ^pizx, La valeur de A représente donc, à un facteur près, l'amplitude de la vibration diffractée dans le plan de
l'axe des x^ à une distance angulaire — ou -> par une ouverture
dont les abscisses seraient ax et les ordonnées (ou plus exactement les cordes perpendiculaires) proportionnelles à ^{x). La visibilité des franges d'une source vue par deux fentes se ramène ainsi à la diffraction par une ouverture semblable qui recevrait un éclairement normal.
Lorsque la source, ou l'ouverture correspondante, est symétrique par rapport à l'ordonnée qui passe par l'origine O, l'intégrale F est nulle et il reste
(6) l = TibG, V=Ç.
Comme le dénominateur T est toujours positif, la visibilité peut être positive ou négative suivant le signe de G; les valeurs négatives correspondent à un renversement des franges.
792. Cas particuliers, — Nous appliquerons d'abord cette règle à un certain nombre d'exemples :
I® ^{x) = const. — La source est une bande lumineuse d'intensité uniforme et l'ouverture correspondante une fente rectangulaire (218). On a alors, en appelant e le diamètre apparent transversal de la source,
/ N Tr ' r J SinOETC
(7) V = - I cos2pT:xdx= —
eJ g ^ pzr.
Les franges disparaissent quand pe est un nombre entier, à l'exception de zéro. La visibilité est égale à i pour e = o; les
maxima suivants décroissent, en valeur absolue, et se produisent pour la condition
tang/>ei7 =zp tTZj
c'est-à-dire quand on donne à l'angle pvtz des valeurs sensiblement intermédiaires aux précédentes, ou que pt est un nombre impair de fois 5.
L'expression des maxima successifs de visibilité, en dehors du premier, est donc
A mesure qu'on augmente l'écartement des fentes, les franges présentent ainsi une série de périodes de netteté et d'extinction. Si A4 est la variation de distance des fentes qui correspond à une période, on a
^~ Pi" ^i' 2° ç'(^) -\-a;^= j' — La source est limitée par une circonférence ou une ellipse symétrique par rapport à l'axe des x, La visibilité est représentée parla série S d'Airy (213), dans laquelle on prendra comme variable
pt
Les franges disparaissent pour les valeurs
^-— z=zOj6iOf i,ii6, i>6i9, 2,122, ....
Les valeurs relatives aux maxima et les visibilités correspondantes, alternativement positives et négatives, sont
3® çp(a:) = cosm7r — • — On déduit aisément de cette expres-
sion, en posant
sin(M — v) sin{u-\-if)
(8) V = : = — r rCaCOSJ' — CCOtMSin^'),
sma M*— v^^ '
Pour m = I, la visibilité se réduit à
-, cospeir
4* ?p(x)= I ±:cos/mr — — Ces deux lois correspondent à
cp( x) = 2 cos^ /nTT - ou 2 sin* m-n - ; elles donnent
sin^eic I rsin(m -t-j9e)7c sin(m — /^e)'»^! Y peit — 2L (/yi-+-pe)7r "^ (m — ;?e)ir J
sinm'ir mit
On a alors, comme cas particuliers,
, sinp£ic m = 0 ou 00 V9 — — - —
pZTZ
5^ ^(x) = cos^Tî- • — Celle forme est particulièrement inté-
ressante parce qu'elle permettra de représenter plusieurs phénomènes, au moins d'une manière approximative . Les intégrales
pouvant être prises entre o et - > la visibilité est
/COS'^TC- cos2pTzxdx ,= '
/ cos'^ir-^o?
Si Ton pose ir- = (> et 2p£ = n, les limites des intégrales par rapport à la nouvelle variable v sont o et -> ce qui donne
/cos'^ i^cos nçdif r*( hi)
I cos'^i^di^ r( hi ]r^ h 1 j
Les franges disparaissent pour
ri — \-i]=zQo, — hi = o, —I, —2, ...,
le terme a étant un nombre entier positif.
La visibilité possède alors la propriété remarquable de s'annuler
à des intervalles égaux, entre lesquels la variation /)« est égale à ->
à l'exception du premier intervalle pour lequel la valeur p^ est
on a ainsi
m=zo (source rectangulaire) p^:=ip^^
m =: -(cercle approché) /^o= * ^'^^P\y
/n = l, <p(a7) 1= C0S7C — p^zniy^pi,
Le premier intervalle /)o détermine la distribution de lumière sur la source et les suivants />< sa largeur.
6° cp(j:) = e"**'*. — Cette expression signifie que les intensités varient, en fonction de la distance angulaire x^ suivant la loi donnée par Lord Rayleigh d'après le Calcul des probabilités (672, 5"). Lorsque le coefficient A: est très grand, Texponentielle diminue rapidement et les seuls termes importants correspondent au voisinage de l'origine; la variable x étant prise entre ± oc, on a alors
(ïi) v = r"^.
La courbe de visibilité ne présente plus de caractère périodique ; les franges se troublent d^une manière continue à mesure que la distance des fentes est croissante.
Si l'on considère que la source est pratiquement limitée à partir de la distance angulaire pour laquelle Tintensité est réduite à la moitié du maximum, la largeur e de cette source est
793. Sources multiples. — Considérons une série de sources symétriques très rapprochées. Les intégrales (i) sont composées de parties différentes relatives à chacune d'elles et la valeur de T représente encore la quantité totale de lumière, quel qu'en soit le mode de distribution.
Si le centre de l'une des sources est à la distance angulaire a de Torigine, on devra remplacer x par 7.-\- x dans les sinus et les cosinus des deux autres intégrales. Désignant encore par F et G les valeurs rapportées au centre de symétrie de cette source, les lermes correspondants dans l'expression générale se réduisent, en raison de la symétrie, à
. /cp(j7) sin2/?it(a H- a:)rfj? = G sin2/?i:a, f^{x) cos2/?7c(a -*- x) dxz=z Gcos2/?ita.
La visibilité U relative à l'ensemble des sources est donc
-^, (2Gsin2/?7rat)«H-(2Gcos2/7Tra)*
Le numérateur représente encore le carré de l'amplitude d'une série de vibrations dont chacune a pour amplitude G et pour différence de phase ip-îzx,
La visibilité V relative aux différentes sources considérées isolép ment étant égale à =•> on peut écrire
(2:TVsin2;?Trg)^-f-(2:TVcos2/??ta)*
