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Si les longueurs d'onde / et /' dans le milieu considéré sont dans le rapport de 2 à 1, il en résulte

—, = = ces -.^ •

Cette condition est à peu près réalisée pour les raies A et H dans

(') Badbn Powell, Undulatory TAcory ; London, xS^i.

(•) Cti. Briot, Essais sur la théorie mathématique de la lumière; Paris, 1864. (') Sir W. Thomson, Popular Lectures and Addresses, t. I, p. i84; 1889. — Traduction de M. Lugol, p. iig.

le sulfure de carbone, qui donnent sensiblement

Le nombre des distances moléculaires du milieu vibrant comprises dans la longueur d'onde du violet extrême serait inférieur à 5, ce qui est tout à fait inadmissible.

Cauchy considère les milieux pondérables comme formés par un système de cellules, dont les dimensions sont très grandes par rapport à celles des molécules d'éther. La distribution de Téther varie dans l'étendue d'une cellule et la densité est la même aux points homologues des diverses cellules; l'éther qui pénètre un corps transparent doit donc être considéré comme un milieu qui présente des variations de densité périodiques.

Pour rendre compte de la dispersion, Briot a fait d'abord intervenir les actions qui s'exercent entre les molécules pondérables et celles de l'éther. Une partie de la vibration doit se transmettre, en général, aux molécules pondérables, mais cette fraction est négligeable dans les milieux transparents et l'on peut admettre que les molécules pondérables restent à peu près immobiles. Cette hypothèse introduit dans l'expression du carré de la vitesse de propagation un terme proportionnel au carré de la longueur d'onde et donnerait, comme loi de dispersion,

(IV) -L^B,+ B.(Ay,

/i»=z:a — AX*.

Le rôle des molécules pondérables, ainsi interprété, est insuffisant^ car la dérivée seconde de l'indice par rapport à X serait négative et la formule ne pourrait convenir qu'aux longueurs d'onde inférieures à une certaine limite.

En présence de cette difficulté nouvelle, Briot examine quelle est l'influence des inégalités périodiques de la densité sur la vitesse de propagation ; il retrouve alors une expression analogue à celle de Cauchy (I), de sorte que, si les deux causes agissent simultanément, on obtient la formule finale

<v, ^.=....B,(^y-A,(î)VA,(»y-..^.

65o CHAPITRE XXI.

Si les iermes variables du second membre sont 1res pelits, on peut encore écrire, d'une manière approchée,

l /i» 3= or — /< X* -h — H- — ,

(vy

I w — A — HX*H- r^ -^ T-f*

Dans ces conditions, la courbe figurative des indices doit présenter un point d'inflexion pour une valeur suffisamment grande de la longueur d'onde; il est donc nécessaire que le terme relatif à Faction directe des molécules pondérables soit assez petit, si l'on veut que cette circonstance se produise en dehors des limites des observations.

Redlenbacher (*) était déjà parvenu à la même expression (V) par des considérations différentes. Il suppose que les molécules pondérables sont entourées par des atmosphères d'élher dont elles forment les noyaux; il admet, en outre, que ces molécules restent immobiles. Si l'on réduit les atmosphères à leur centre de masse, chacune d'elles est soumise à l'attraction du noyau auquel elle appartient, à l'attraction de tous les autres noyaux et à la répulsion de toutes les atmosphères correspondantes, ces forces étant des fonctions difl^érentes des distances.

Dans les deux cas, les coefficients Aq, Ai, A2, ... de l'équation (V) varient encore avec les dimensions des cellules, ou des distances moléculaires, et il semble que l'objection de Lord Kelvin conserve toute sa portée.

M. von Ilelmholtz (*) s'est préoccupé d'interpréter les phénomènes de dispersion anormale. Développant une idée émise par Sellmeier (3), il considère en même temps l'action des molécules pondérables sur les molécules d'éther, les vibrations propres des premières et ime sorte de frottement des molécules mobiles proportionnel à la vitesse, pour tenir compte de la conversion d'énergie lumineuse en chaleur qui se propage par conductibilité.

M. Helmhollz y ajoute quelques hypothèses contestables: par

(') F. Redtenbacuer, Dos Dynamiden-system, p. m; Mannheîni, 1857. (•) Helmuoltz, Pogg. Ann., t. CLIV, p. 58»; 1875. (*) Sellmeier, Pogg. Ann., t. CXLIII, p. 272; 187a.

RÉFRACTION ET DISPERSION. 65l

exemple, que les molécules pondérables ne sont ébranlées qu'en partie et que la densité de la portion mobile reste très petite par rapport à celle de l'éther.

Si l'on prend pour unité de temps la période d'une vibration déterminée, telle que la raie D, et la longueur d'onde correspondante comme unité de longueur, la vitesse de propagation dans le

vide est égale à l'unité et les valeurs de co ==-=-= >- sont des

quantités finies.

Pour un système d'ondes perpendiculaires à l'axe des 5, la vibration de l'éther est de la forme

Le facteur a est en général une quantité complexe a'-j-ZA", et la partie réelle des vibrations est

Le facteur k est un coefficient d'absorption qui varie rapidement pour certaines longueurs d'onde.

En désignant par Wq ^^ valeur de l'angle w qui correspond à la plus grande absorption, les équations générales donnent

h =: r((o*— toj — 1(0 R),

Dans ces expressions, p désigne la densité et jjl l'élasticité de l'éther, r la densité de la partie mobile du milieu pondérable, R un coefficient qui dépend de l'action des molécules matérielles sur celles de l'éther, R un coefficient de frottement très petit entre les molécules pondérables.

On en déduit

'^^ / r ,. ^^^t — (oJ)'-H K*(o*

Lorsque la bande d'absorption n'est pas comprise dans lo

65a CHAPITRE XXI.

spectre observable, les termes en R et X: sont négligeables et l'on a p K K« , B C

(VI) /l«=:i =^, i— , ^ =A - —

Les coefficients B et C sont essentiellement positifs, d'après la théorie. L'indice n croît alors d'une manière continue avec w et la dispersion est régulière.

Si la bande d'absorption est située au delà des radiations photographiques ((i)p>(i)), on peut développer la dernière fraction

en fonction des puissances croissantes de (o^ ou de -rz et les termes

de Cauchy sont prédominants. Si la bande est en deçà des rayons calorifiques, le développement se fera en fonction des puissances de X*; le terme de Briot acquiert alors plus d'importance.

Les mêmes considérations s'appliquent encore, lorsque la bande d'absorption est située dans le spectre, pour les radiations qui en sont assez éloignées, mais le phénomène change de caractère auprès de cette bande.

En négligeant encore les termes imaginaires, on voit par l'équation (VI) que /i^ passerait de — a)à +a) quand (o varie de o àcoo, puis de — cx) à A quand co varie de (Oo à -|-oo. Les valeurs positives de /i^ correspondent à des vitesses angulaires comprises entre ta et ci>o, puis entre a>' et -h oo. Le spectre est alors partagé en deux parties pour chacune desquelles la dispersion est régulière, mais qui empiètent l'une sur l'autre. Les valeurs de «^ comprises entre o et A correspondent en même temps à des vibrations du premier groupe limitées à a>i et (02 et à des vibrations du second groupe limitées à «0' et 4- 00; deux couleurs différentes ont donc le même indice.

Si la bande d'absorption a lieu dans le vert par exemple, les vibrations lumineuses peuvent se présenter dans l'ordre suivant : bleu, violet, noir, rouge, jaune, les premières étant accompagnées de radiations infra-rouges et les suivantes de vibrations photographiques ; c'est le phénomène de dispersion anormale. La discussion des équations complètes (5) conduirait au même résultat.

S'il existe plusieurs espèces de molécules matérielles, chacune d'elles donne lieu à une bande d'absorption et l'on observera dans le spectre différents centres de dispersion anormale.

REFRACTION ET DISPERSION. 653

M. WûllDer(* ) utilise Téquation (VI), pour les milieux transparents et incolores, sous la forme

(VII) „., = Q^__PX'=j^^[PXJ + (Q-P)X«].

En supposant d'abord Q >► P, l'indice deviendrait infini pour X = Xo et inférieur à l'unité ou imaginaire pour des longueurs d'onde plus faibles; il faut donc que la quantité Xq soit moindre que toutes le^ longueurs d'onde physiquement possibles.

Pour une valeur déterminée de l'indice, telle que n^ — i = ^^^ la longueur d'onde est donnée par l'équation

(6) (Q - P)X*4-(PXJ- p«)>«4- p>XJ = o.

Les racines X^ sont de même signe. Pour qu'elles soient positives, il faut d'abord ^^> PXJ et la condition de réalité est

p*-Px;>2Xo?v/Q=-"P,

Le minimum de l'indice est alors

n«=i + Xo(v/Q+vArn>7;

pour toute valeur plus grande, deux longueurs différentes correspondent à la même vitesse de propagation et le spectre se replie sur lui-même.

La longueur d'onde qui correspond au minimum d'indice est

Si l'on suppose, au contraire, Q -< P, la formule (VII) ne convient plus aux très grandes longueurs d'onde et l'on doit avoir

Les racines de l'équation (6) en 1? sont toujours réelles et de signes contraires, quand p^>> o; la racine positive convient seule

(') WcLLNER, Wied. Ann., l. XVII, p. 58o; 1882, et l. XXIII, p. 3o6; 1884.

«TU problème et chaque valeur de Tindice ne correspond qu'à une longueur d^onde.

Dans le même ordre d'idées, M. Lommel ( * ) obtient une formule à quatre constantes qui serait applicable à tous les cas de dispersion. En désignant par £ un coefficient d'absorption et posant

i' = r- j on peut l'écrire

(VIII) / P = ,-+.A(x-e)«- '"''*

La valeur de Q est très petite dans les milieux transparents incolores. Si l'absorption est très faible et que Ton néglige Qdevant P^, il reste simplement

c'est la formule de M. Wûllner, dans laquelle on ferait Q = P. Une autre théorie donne à M. Ketteler (^) la forme générale

(IX) n^—i=z- h-, -£ -H

^ ' X*— rt A*— 6

Si l'on se borne aux deux premiers termes, qui renferment déjà quatre constantes, l'une des constantes a ou 6 situées au dénominateur est négative.

Le développement de cette expression reproduit encore la formule (V)'de Briot. On peut écrire aussi

(IX)' /i'= a -h yTZry^ + ^^*-

Enfin Lord Kelvin (') considère les molécules pondérables des

(') E. Lommel, Wied. Ann., t. III, p. SSg; 1878, t. Vllï, p. 6a8; 1879 et t. XIII. p. 353; 1881.

(») E. Ketteler, IVied. Ann., t. VII, p. 658; 1879; i. XII, p. 363; 1881 cl t. XXX, p. 399; 1887.

(») Sin^ . Tao^QO^iy Molec. dynamics ; Bsiliimoref J, Hopkins Uoiversity, iS^î-

miJieux dispersifs comme des systèmes mécaniques dont le nombre de déformations indépendantes est limité et correspond ainsi à un nombre limité de périodes de vibration propres. Ces édifices participent au mouvement général et contribuent à modifier la vitesse de propagation des ondes. La formule de dispersion serait alors

n^= \ — aT*\ i -^ q. --^^^ 4-^,__î! . 1

où T est la période des vibrations lumineuses, T|,T2, ... les périodes propres des molécules pondérables, disposées suivant Tordre de grandeurs décroissantes, ^1,(72, ... des coefficients définis par les relations élastiques qui relient les éléments des molécules.

Il est facile de voir que cette formule est équivalente à celle de M. Helmholtz. Elle indiquerait une valeur imaginaire de l'indice pour des longueurs d'onde très grandes, lorsque la somme I — (/i — q-y — ••• est positive, un indice croissant depuis zéro jusqu'à une valeur très grande, quand la période T croît à partir d'une certaine valeur et se rapproche de la plus longue des périodes propres T|. Si la somme i — q^ — ^2 — ••. est négative, l'indice commence par être très grand pour les longues périodes, puis décroît et passe par un minimum ; il devient imaginaire pour les périodes plus courtes que T|, jusqu'à une certaine valeur, pour laquelle il est nul et croît ensuite indéfiniment.

Les valeurs imaginaires correspondent à un mouvement vibratoire qui ne se propage pas et dont l'intensité décroît en progression géométrique avec l'épaisseur du milieu; c'est une bande d'absorption, extrêmement étroite si q^ est très petit, étalée et large si q^ est grand, limitée assez nettement du côté du rouge et diffuse du côté du violet.

Ces considérations semblent donner une explication complète de la dispersion anormale dans les milieux absorbants, mais elles n'ont qu'un rapport éloigné avec les phénomènes que Ton observe dans les corps transparents, à moins d'admettre que tous les milieux ont des bandes d'absorption spécifiques situées ou non dans les limites des observations.

812. Vérifications expérimentales. — Quand on considère seulement les radiations lumineuses, la formule de Caucliy à trois M. - III. 4a

termes, sous la forme (I) ou (I)", rend un compte assez exact des expériences, mais elle devient manifestement incorrecte quand on fait intervenir les rayons situés dans Tultra-violet et surtout les radiations calorifiques (*).

La formule de M. von Helmhollz à trois coefficients et celle de Ketteler à quatre coefficients sont également insuffisantes, car les différences du calcul et de l'observation suivent une marche régulière; les erreurs tendent à augmenter sans limite en dehors des points de repère qui ont servi à déterminer les coefficients, ou des points sur lesquels Taccord s'établit quand on utilise dans le calcul Tensemble des observations.

M. Mouton avait constaté déjà que la formule (V) de Briot représente très exactement la dispersion du quartz et du flint, depuis Tultra-violet jusqu'à X=:2l*,i4, c'est-à-dire dans un intervalle de trois octaves et demie. Toutefois, il est assez singulier que le coefficient A2 du terme en X* ait été positif pour les deux rayons du quartz et négatif pour le flint; il ne semble pas que ce changement de signe soit compatible avec la théorie.

D'après les observations de M. Langley sur le sel gemme, si l'on détermine les coefficients de la formule de M. Wùllner par les raies A, b\ et IIi du spectre lumineux, le minimum de l'indice a lieu pour une longueur d'onde voisine de 1 1^,65; la courbe des indices en fonction de X se relève ensuite et s'éloigne de plus en plus de la courbe expérimentale.

En déterminant, de même, les quatre constantes de la formule de Briot parles raies A, Dj, 6« et H^, l'accord est plus satisfaisant, mais la courbe des indices calculés présente un point d'inflexion vers 2l^, 25 et s'abaisse ensuite beaucoup trop rapidement.

Il est plus logique de faire intervenir toutes les observations dans la détermination des constantes, au lieu de les évaluer seulement par les radiations comprises dans une petite étendue du phénomène. Ketteler a montré ainsi que la formule (IX)' représente bien les observations de M. Langley, en donnant aux constantes a et h des valeurs négatives.

En employant la méthode des moindres carrés, M. Carvallo (^)

(') Voir Bruhl, Ann. der Chem., t. CCXXXVI, p. 2.33; 1886.

(») E. Carvallo, Journal de Physique, [2]^ t. VIII, p. 179; 1889.

BÉFRACTION ET DISPERSION. 667

trouve également que la formule (V) de Briot, même quand on la réduit à trois termes seulement,

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satisfait aux nombres de l'expérience, entre les longueurs d'onde cl*, 89687 (H|) et 51^, Soi I, aussi exactement que la formule de Ketteler à quatre coefficients, les différences élant de Tordre des erreurs d'observation. Si l'on y ajoute les déterminations faites par M. Joubin (*) dans le spectre ultra-violet jusqu'à X = ol*, 22645, il se trouve que les indices de M. Joubin sont régulièrement en excès, sur ceux de M. Langley, de trois ou quatre unités du quatrième ordre décimal dans le spectre lumineux, ce qui peut tenir aux choix des échantillons de sel ou à une différence de température. En retranchant de ces nombres une quantité constante o,ooo4, l'erreur maximum du calcul sur l'observation est 0,0027 pouï* ). = 0,26713 et se réduit à 0,001 4 pour la plus petite longueur d'onde. La formule de Ketteler donne, au contraire, des différences qui vont jusqu'à 0,0090.

Il paraît en résulter que la formule de Briot est celle qui satisfait le mieux aux résultats de l'expérience avec un nombre déterminé de coefficients.

Dans toutes ces vérifications, on ne fait pas en général la réduction au vide; toutefois la dispersion de l'air est assez grande pour entraîner, dans le cas actuel, des corrections supérieures aux erreurs d'observation.

On a essayé souvent de traduire la dispersion par des formules empiriques qui se prêtent facilement au calcul. Rudberg (^), par exemple, admettait que la longueur d'onde / dans un milieu est proportionnelle à une puissance m de la valeur Xqui correspond à la même période dans le vide ; on aurait alors, pour deux lumières différentes, la relation très insuffisante

(•) P. Joubin, Ann. de Chim. et de Phys., [6], t. XVI, p. 78; 1889.

(») F. RuDBERQ, Ann, de Chim, et de Phys. [2], t. XXXVI, p. ^Sg; 1827.

On peut encore faire les calculs, pour une étendue limitée du spectre, par toute autre expression déduite de la forme hyperbolique que présente la courbe des indices en fonction de la longueur d'onde, mais ces considérations n'ont aucune valeur théorique.

M. Wilson ( * ) trouve que la formule

rend compte très exactement des expériences de M. Langley ; toutefois Pexamen des différences montre que les erreurs s'exagèrent pour les valeurs extrêmes et que Taccord dans l'intervalle tient surtout à l'existence de quatre coefficients arbitraires.