INFLUENCE DU MOUVEMENT DES CORPS

662. Longueur d^onde et période apparentes, — On conçoit aisément que le mouvement d'une source de lumière soit capable de modifier la période apparente de vibration et même l'intensité des rayons qui aboutissent à Tobservateur. Dôppler(*), à qui l'on doit d'avoir signalé pour la première fois les conséquences de ce phénomène, avait surtout en vue l'explication de la couleur des étoiles. Lorsqu'un astre se rapproche de l'observateur, son éclat doit augmenter, en même temps que la période apparente de vibration diminue, et la teinte devrait passer du blanc au vert ou au bleu; l'inverse aurait lieu pour un astre qui s'éloigne. Nous avons déjà vu que cette interprétation est inexacte et que la vitesse des astres devrait être de même ordre que celle de la lumière pour donner lieu à des changements de teinte appréciables.

M. Fizeau (^) a complété le principe de Doppler en appelant l'attention sur les variations corrélatives de longueur d'onde apparente, qui sont directement observables et se traduisent par un déplacement des raies du spectre.

(•) D'ÔPPLER, Abhand. der K, Bohm. Gesell. der Wiss., 184a, Bd. II, p. 465. (•) H. Fizeau, Société philomatique, Procès-verbaux des séances de 1848, p. 81. - - Ann. de Ch. et de Phys., [4], t. XIX, p. 211; 1870.

Le résultat ne dépend que de la vitesse relative de Tastre et de l'observateur, mais le problème mérite alors une attention spéciale à cause du mouvement auquel participent les appareils (*).

Supposons d'abord qu'une source de période T et de longueur d'onde ).= VT marche dans la direction 00' {fi g. 826) avec une

Kig. 3a6.

vitesse u et qu'on examine la lumière propagée dans une direction OA qui fait l'angle cp avec celle du déplacement.

A une grande dislance de la source, les ondes sont sensiblement planes. L'onde S, partie du point O, se trouve au bout du temps ^ à la distance

A la fin de la période T, la source est parvenue en O' à la distance 00'= wT; si la dispersion du milieu est négligeable, l'onde S', de même nature que la première et qui la suit immédiatement, se trouve au bout du temps t — T à la distance

La distance X' des ondes successives, ou la longueur d'onde de la lumière propagée, est

X'=: OA — O' A'— uT COS9 = T( V — w coscp) = X

Bt la période apparente de vibration T' devient

coscp

(*) Mascart, Ann. de l'École Normale supérieure [2], t. I, p. 157: 187a, et t. III, p. 363; i87'4.

PROPAGATION DE LA Li'MIÈRE. (jS

U en est de même lorsque la source est fixe et l'observateur

mobile, de sorte que la vitesse u correspond, d'une manière géné-

wle, aa mouvement relatif de la source et de l'observateur. En

particulier, la longueur d'onde et la période apparente ne sont pas

modifiées quand la source et l'observateur participent au même

mouvement de translation.

La direction de la lumière est d'ailleurs modifiée par ce mouvement relatif, comme on Ta vu à propos de l'aberration (655),

el le déplacement apparent de la source est^v sin:p.

Ces considérations s'appliquent évidemment à la propagation des vibrations sonores, qui permettent de contrôler la théorie par une vérification expérimentale.

Chacun a pu remarquer, quand un train rapide traverse une gare en faisant parler le sifflet de la locomotive, que, pour un observateur placé sur le quai, le son du sifflet baisse brusquement au passage de la locomotive et paraît plus grave en arrière qu'en avant du train. Le rapport des périodes apparentes, dans les deux cas, est

La vitesse du son étant d'environ 33o™, si le train fait 20"' à la seconde, ou 72^" à l'heure, ce rapport est |^ ; la hauteur apparente du son qu'émet le sifflet baisse alors de plus d'un ton au passage de la locomotive.

M. Bujs-Ballot (*) a soumis celte expérience à un contrôle numérique en utilisant, sur le chemin de fer d'Utrechl à Maarsen, une locomotive dont la vitesse, évaluée par le passage aux bornes kilométriques, variait de 5™ à ao" par seconde.

Deux séries d'épreuves ont été réalisées, en faisant parler des instruments de musique sur la locomotive en marche ou à poste fixe le long de la voie. Dans le premier cas, difi*érents observateurs, échelonnés sur la ligne, estimaient la hauteur du son avant

(•) Buys-Ballot, Pogg. Afin., t. LXVI, p. Sai; i845.

et après le passage de la locomotive; dans le second cas, Tobservateur en mouvement déterminait le changement de ton des sons produits à Favant ou à Tarrière. Les résultats ont été entièrement conformes à la théorie, dans les limites de précision que l'on peut atteindre avec des musiciens exercés.

M. Fizeau réalise l'expérience d'une manière plus simple en faisant tourner une roue munie à la circonférence d'une carte dirigée suivant l'un des rayons ; cette carte vibre en frottant sur deux fragments d'une même crémaillère montés aux extrémités supérieure et inférieure d'un diamètre verlical. Les deux sons obtenus paraissent identiques pour un observateur situé sur le prolongement de l'axe de rotation; ils paraissent, au contraire, l'un plus aigu et l'autre plus grave, quand l'observateur se place dans le plan du disque.

M. Mach (') installe une anche sur un tour ou au bout d'une longue perche; si l'on fait parler l'anche pendant qu'elle est en mouvement, le son paraît plus élevé ou plus grave suivant qu'elle s'approche ou s'éloigne.

M. K.œnig met l'oreille entre deux diapasons capables de produire trois battements par seconde et dont on tient le plus grave à la main. Il est facile, par un mouvement régulier, d'obtenir deux battements à la seconde pendant qu'on l'approche de l'oreille et quatre battements quand on l'éloigné. Si on laisse les diapasons immobiles, il suffit de déplacer la tête entre eux, ou d'y faire mouvoir un résonateur relié à l'oreille, pour modifier à volonté le nombre des battements.

663. Réflexion et diffraction apparentes pour un observateur mobile. — Dans toutes les expériences, l'observateur est entraîné par le mouvement de translation de la Terre, l'effet de la rotation étant négligeable par rapport au premier. Il y a donc lieu de chercher l'influence que ce déplacement de l'observateur peut exercer sur les phénomènes optiques. En remplaçant la vitesse de la Terre par trois composantes convenablement choisies pour rendre les calculs plus faciles. Sir G. Stokes (^) a montré que les

(•) Mach, Pogg. Ann., t. CXll, p. 58; i86i.

(«) G. Stokes, Phit. Mag. [3], t. XXVII, p. 9; i845 el l. XXVHI, p. 76; i8/,6. — Afath. and Phys. Papers, t. I, p. i^i.

lois restent les mêmes et que les angles apparents d'incidence et de réflexion sont encore égaux entre eux.

Les phénomènes de diflraclion conduisent au même résultat, quoique différents physiciens (* ) aient cru y trouver le moyen de mettre en évidence le mouvement de translation delà Terre.

Cette conséquence négative tient à ce que le cheinin réel ou apparent suivi par la lumière, pour aller d'un point à un autre, est réglé, dans les deux cas, par la même condition que le temps nécessaire au trajet soit minimum (^).

Si le système est en repos et que la lumière émanant d'une source A (Jig^ ^^7) touche différentes surfaces M, M', . . ., où elle

est réfléchie ou diffractée, pour aboutir finalement au point B, on obtiendra le trajet

S= AM H- MM'-t-. . . = /■+- /'-h. . . ,

en cherchant quels doivent être les points de contact M, M', ... pour que la communication du mouvement de A en B s'effectue pendant le temps minimum 0.

Supposons maintenant que l'on donne au système tout entier, source et observateur, une vitesse commune u parallèle à la direction AX, la vitesse apparente de la lumière sur le chemin AM est

--/ wcos<p\ V — ucos^ —^\ ^ v~"^ )'

Si la vitesse u est celle de la Terre et qu'on néglige le carré de

(*) Babinet, Cosmos, i3 et 20 oclobrc 1864. - Anustijom, Pogg, Ann. l. CXXIII, p. 5oo; 1864. - Van deh VVilliqkn, Archives du Musée Teyler, t. 1, fasc. I, p. 364; «868.

(■) Veltmann, Pogg. Ann., l. CL, p. 497; ^873. — A. Potier, Journal de Physique, t. III, p. 201; 1874.

l'aberration a = ^, la durée du trajet de A en M est

La durée totale apparente 6' du parcours S devient alors ô'=iS:^ + ^S/coscp^iO-r- vtLcos*.

Comme le temps 6 est un minimum, c'est-à-dire ne varie que d'un infiniment petit du second ordre pour un chemin S' infiniment voisin de S, le temps 6' est aussi un minimum, puisqu'il ne difiere du premier que par un terme constant. La lumière parcourt donc le même chemin apparent S que si le système était immobile.

La distance réelle des ondes successives étant modifiée par le mouvement de la source A, cette démonstration suppose que la vitesse de propagation absolue V est indépendante de la longueur d'onde; elle ne convient donc provisoirement qu'aux milieux sans dispersion, c'est-à-dire aux phénomènes de réflexion et de diffraction de la lumière dans le vide ou dans l'air.

Enfin le théorème n'est exact qu'au carré près de l'aberration, ou io~*. Si donc on fait usage d'une source terrestre ou d'une lumière équivalente, Tégalité des angles d'incidence et de réflexion, ainsi que la déviation dans un réseau, ne peuvent être altérées que d'une fraction inférieure à io~ **, ce qui donnerait moins de 0^,007 pour un angle de iSo**.

664. Réfraction apparente. — Arago a cherché par une expérience célèbre, communiquée à la P® Classe de l'Institut en 18 10 et publiée seulement beaucoup plus tard (*), si la réfraction dans un prisme de la lumière émise par une étoile n'est pas modifiée, suivant que la Terre s'approche ou s'éloigne de l'étoile en vertu de son mouvement de translation. Il observe l'étoile avec une lunette dont l'objectif est couvert par un prisme achromatisé, en

(») Arauo, Comptes reiuius des séances de l'Académie des Sciences, t. VIII, p. 326; 1839, et t. X\XVI, p. 38; i853.

comparant la distance zénithale ainsi déterminée à celle que Ton obtiendrait directement. La différence de ces deux angles donne la déviation du pi^sme.

II a employé pour cette recherche deux prismes différents dont les déviations étaient respectivement de io"4'3o'' et aa^aS'. Le premier fut placé sur l'objectif du cercle mural et réglé de manière que la réfraction se fît dans le plan du méridien.

On pouvait ainsi, au moment du passage des étoiles, déterminer leur distance zénithale apparente et la comparer à celle que Ton aurait observée sans l'interposition du prisme.

Pour éviter les erreurs de coUimation et la nécessi té de connaître la déclinaison des étoiles, le second prisme fut monté sur la lunette d'un cercle répétiteur de manière à couvrir la moitié de l'objectif, et permettre ainsi l'observation directe par la partie découverte de l'objectif ou celle de la lumière réfractée. La différence des hauteurs, corrigée du mouvement de l'étoile dans l'intervalle des deux observations, donnait la déviation.

Si l'on admet que la réfraction change d'une quantité de l'ordre de l'aberration, la différence des déviations, pour deux étoiles situées dans la direction du mouvement de la Terre ou dans le sens opposé, devrait être de -^-^ôôt c'est-à-dire respectivement de 7'' et de 16''. Les valeurs extrêmes des nombres obtenus avec le premier prisme dépassaient 6", mais sans aucune loi qui parût dépendre de la position des étoiles. A^'ec le second prisme, la plus grande différence fut de 10". Arago en conclut que la réfraction est indépendante du mouvement relatif de la source et de l'observateur, mais cette interprétation paraît inexacte.

En effet, le changement de réfraction existe réellement, à cause de la modification apparente de longueur d'onde qui résulte du mouvement relatif. La différence des longueurs d'onde des deux raies D du sodium étant de ^ (305), c'est-à-dire à peu prés dix fois l'aberration, les raies du spectre devraient être déplacées de — de la distance des raies D; mais dans un prisme achromatisé, où toutes les couleurs sont mêlées, cet effet est caché par la substitution d'une radiation à une autre et la déviation finale doit être absolument indépendante de la source de lumière.

L'expérience d' Arago devait donc être de toute façon négative, dans le cas même où le degré d'approximation des mesures eut été M. - ni. 7

suffisant pour mettre en évidence les changeinenis de réfraction qu'il s'agissait de constater.

665. Entrainement des ondes par le mouvement des corps. — Cette expérience conserve cependant un grand intérêt historique parce qu'elle a suggéré à Fresnel (*) riivpothèse importante que, dans un milieu réfringent mobile, la totalité de Téther lié aux molécules pondérables ne participe pas au mouvement.

Dans un milieu d'indice /i, où la vitesse de propagation de la lumière est V'= —5 la densité de Téther (575) serait rf'=r /î*r/.

Fresnel admet que le corps n'entraîne que l'excès de cet éthor sur celui du vide

d'-d^{n^-i)d^.(y^^-iy.

Pour une vitesse «i, la quantité de mouvement relative à ruullé de volume u{d' — d) est la même que si l'éther tout entier se transportait avec une vitesse u' donnée par la relation

Supposons que des ondes lumineuses de période T, qui chemineraient dans le milieu immobile avec une vitesse V, se propageni suivant une direction qui fait l'angle o avec celle du mouvemenJ, leur vitesse de propagation est augmentée de m'cos© et devient

W== V'-h w'cOScp ■=: V'-h MCOS«pl r — -^ j.

La vitesse de la lumière relative au milieu est

W — ttCOScp = V— Y^ «COSÇ^ii V ( i r^COSf j.

Si l'on néglige encore le carré du rapport rr, le temps t nécessaire pour parcourir une distance /dans le milieu est

/ / \'u \ l , ul

'^= V7\^'-^ -yr cos^j= ^ 4- yicoso;

(•) Fresnel, Œuvresy t. II, p. 627.

il ne dilTère que par une constante du temps qui conviendrait au parcours de la même distance dans le cas où la source et l'observateur seraient immobiles.

Le chemin de la lumière dans la réfraction étant aussi déterminé par la considération du temps minimum, il en résulte encore (663) que la réfraction apparente d'une source mobile avec l'observateur est la même, au carré de l'aberration près, que si tout le système était en repos. Il est nécessaire toutefois de faire plusieurs remarques sur ce raisonnement de Fresnel.

De même qu'on ne pouvait admettre que le rapport des densités de l'éther dans un milieu pondérable et dans le vide fût égal au carré n^ de l'indice de réfraction et, par suite, variable avec la longueur d'onde de la lumière (575), de même il n'est pas possible que la fraction de cet éthcr entraînée par le mouvement soit une fonction de la longueur d'onde. Sans préciser la manière dont l'éther engagé dans les molécules pondérables participe au mouvement vibratoire, on doit donc interpréter les vues de Fresnel

en considérant l'expression u coscp ( i — -^ \ comme représentant

V entraînement des ondes lumineuses, sans attacher une importance littérale au raisonnement qui conduit à cette formule.

D'autre part, dès que le système est en mouvement, la longueur d'onde des vibrations qui l'abordent est modifiée, tandis que la longueur d'onde et la période apparentes ne changent pas. On doit ainsi considérer le terme principal V, qui entre dans l'expression de la vitesse absolue W de propagation des ondes, comme défini par la période apparente de la lumière incidente.

Les considérations qui ont guidé Fresnel sont donc insuffisantes ; la formule à laquelle il est parvenu par une heureuse intuition n'a qu'un caractère empirique, qui doit être interprété parla théorie (*); nous en examinerons les conséquences expérimentales.

Si on l'étendaux deux systèmes d'ondes à vibrations rectilignes de double réfraction dans les milieux homoédriques, ainsi qu'aux ondes privilégiées, à vibrations circulaires ou elliptiques, qui caractérisent les milieux actifs, il en résulte immédiatement que les phénomènes d'interférence obtenus par une lame isotrope ou bi-

(') Voir A. Potier, Journal de Physique, t. V, p. io5; 1876.

lOO CHAPITBE XT.

réfrÎDgeDte, quand on emploie une source terreslre, doivcnl être indépendants de l'angle que fait la propagation de la lumière avec la direction du mouvement de la Terre.

Considérons d'abord les anneaux de Newton, où l'interférence a lieu entre deux systèmes d'ondes dont Tun a parcouru deux fois, en sens contraires, une lame réfringente d'épaisseur e. La réfraction apparente n'étant pas modifîée, le temps que met la lumière à parcourir la normale est (41), en appelant ^ Tangle de cette nor- I maie avec la direction du mouvement de la Terre,

, ecosi' a •:'=-;=T7--H^ecosç.

f I^ temps '^ que met la lumière réfléchie à parcourir le même

chemin en sens contraire est, de même,

- ecosf a -f'^-yT yecos?.

Le retard total de ces ondes, sur celles qui se réfléchissent à la

première surface, est indépendant du mouvement de la Terre, car

\ il a pour expression

ccosi'

Comme la période apparente de vibration ne change pas dans tous les cas, l'ordre d'interférence n'est pas non plus modifié, puisqu'il est donné par le rapport du relard t'H- V' à la durée T de la période apparente.

lien est de même pour les interférences des lames mixtes (277), ainsi que pour les phénomènes de double réfraction ou de pouvoir rotatoire. En effet, si V et V" sont les vitesses de propagation relatives au système en repos, pour les deux espèces d'ondes que l'on doit considérer, i' et i^ les angles de réfraction, leurs durées de passage au travers d'une lame d'épaisseur e sont

, ecosi' a

e cos r a

T"=:— -- 4-^ecos<p.

Le retard relatif i" — t' a la même valeur que si le système était en repos et l'ordre d'interférence ne change pas.

Ces expressions des durées de passage sont encore exactes au carré de Taberration près io~*. Dans une expérience d'interférences où le retard relatif serait de looooo périodes, Terreur commise est inférieure à ^^ de période, et le déplacement moindre que j^ de frange. Avec un milieu actif d'épaisseur suffisante pour produire une rotation du plan de polarisation de 20 circonférences, l'erreur serait inférieure à io~* ou ^ de seconde. Ce sont des quantités inappréciables.

666. Expérience de JU, Fizeau. — La formule de Fresnel a été vérifiée directement par M. Fizeau (*) dans une expérience justement célèbre, où l'entraînement des ondes est produit par le mouvement de l'eau.

Dans l'intervalle compris en tre une lunette L et un collimateur U à réflexion {Jig* 828), on dispose deux tubes A< et A2 de lon-

Fig. 328.

gueur / que l'on fait parcourir en sens contraires par un courant d'eau dont la vitesse est m. En avant de l'appareil est un écran E percé de deux fentes parallèles. Parmi les rayons émanés d'une fente S parallèle aux précédentes, éclairée par la lumière solaire, les uns passent d'abord par l'ouverture 0|, traversent le liquide du tube A|, se réfléchissent sur le miroir m, reviennent par le tube A2 et la fente O2, pour aboutir au point S', après réflexion sur la glace transparente G. Un autre système de rayons suit la marche inverse et aboutit également au point S'. Si le liquide est en repos, ces deux systèmes de rayons n'ont pas de difi<érence de marche et l'image S' est constituée par une série de franges d'interférence (128), dont la frange centrale brillante est située dans la direction moyenne du faisceau.

(») H. Fizeau, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t XXXIII, p. 35i; i85i. -- Ann. de Chim. et de Phys. [3], t. LVII, p. 385; iSSg. — Voir PouiLLBT, Éléments de Physique, 6» édition, t. II, p. 8i5; i853.

En appelant F la longueur focale de la lunette et d la distance des milieux des fentes 0| et O2, la distance 8 de deux franges successives est

Lorsque le liquide est en mouvement dans le sens des flèches, les ondes de retour émanant de la fente 0| se sont propagées dans les tubes en sens contraire du mouvement de l'eau, avec la vitesse

V' — u(i j )> si Ton adopte la formule de Fresnel, et la durée

du parcours est

Les ondes émanant du point O2 ont marché dans le sens du mouvement du liquide et la durée du parcours est

Le retard du premier système sur le second est

La frange centrale doit donc se déplacer du côté de la fente 0| , c'est-à-dire à droite de l'observateur qui viserait dans le plan de la source S et à sa gauche quand il vise l'image S^ Ce déplacement X est une fraction de frange donnée par la relation

X Ti — T, u ^l{n} — i)

Pour une longueur / de i*",487 et la vitesse u de 7°*, 06 par seconde atteinte dans les expériences, en prenant /^=^rI,333 et A =. o^y 53 ou W = 1 ,59. 1 o*, il en résulte

Le déplacement de la frange centrale, quand on fait marcher l'eau alternativement dans les deux sens, doit être d'environ o,4o6 de frange; la moyenne des observations a donné o,46.

Il est nécessaire de compléter par quelques détails la description de cette expérience délicate. Les axes des tubes étant écartés de 9"*", la distance des franges pour une lunette de i" de longueur focale serait j^ de millimètre et le déplacement à observer ne dépasserait pas ~ de millimètre. C'est pour augmenter la largeur des franges que M. Fizeau a imaginé (301) d'employer une lame épaisse placée obliquement sur le trajet de l'un des faisceaux entre la double fente et la lunette, ou une bilame agissant sur chacun d'eux, de manière à diminuer beaucoup Tintervalle apparent des deux ouvertures. En outre, on place un micromètre divisé sur verre dans le plan focal S' où se produisent les franges et, en visant le phénomène à l'aide d'une loupe, on rapporte dans chaque cas la position des franges aux divisions du micromètre, ce qui permet de mieux apprécier le déplacement.

Pour produire le mouvement de l'eau, les tubes Ai et A^ communiquent par leurs extrémités, comme l'indique la Jig, 829, à

Fig. 329.

des flacons à deux tubulures B|, C| et B2, C2 reliés entre eux par des tubes intermédiaires M et M'. Ces derniers communiquent au réservoir P d'une pompe foulante par des robinets à trois voies avec une ouverture latérale, qui permettent d'établir la communication ou de laisser échapper soit l'air du réservoir, soit l'air de l'un des tubes M et M'. Les flacons opposés C| et Bj élant remplis d'eau et les autres vides, on fait communiquer le tube M'

avec le réservoir qui renferme de l'air comprimé et le liibe M avec l'atmosphère par le robinet K. Le liquide s'écoule alors du flacon C| dans le flacon B4 et de B.» en Co, en traversant les tubes dans le sens indiqué par la fig, 328. Les flacons B, et C2 remplis à leur tour, il suffît de tourner convenablement les robinets R et R' pour faire marcher le liquide en sens contraire.

Comme les changements de pression peuvent dégager des bulles de gaz qui troubleraient la transparence du liquide, les extrémités des tubes A| et A2 sont munies d'ampoules en verre destinées à recevoir ces bulles de gaz.

Enfin, on peut déterminer la vitesse du liquide par le volume écoulé ou par le temps qui correspond à un certain changement de niveau diins les flacons. En outre, un tube de sûreté t monté dans la troisième tubulure de l'un des flacons indique la pression effective et les formules pratiques relatives à la vitesse d'écoulement de Teau dans les tubes de petit diamètre permettent encore de calculer la vitesse à chaque instant.

L'appareil une fois installé, après beaucoup de tâtonnements, on a réalisé dix-neuf expériences aux vitesses de 3"', 7, 5'",5i5 et 7™, 059, dont les résultats ont été ramenés à la vitesse maximum. L'erreur des expériences isolées sur la moyenne était de ±0,02 5(5 de frange pour chacun des déplacements, ou Terreur relative de ■j^, de sorte que la formule de Fresuel se trouvait vérifiée avec toute l'approximation que comportait la méthode. L'excès de la moyenne sur le calcul peut d'ailleurs s'expliquer par cette circonstance que la lumière parcourait l'axe du tubr, où la vitesse réelle du liquide est d'environ ^ supérieure a la vitesse moyenne pour un diamètre de 5™'", 3.

En remplaçant dans un appareil semblable le courant d'eau par un courant d'air sous la pression de 3^^" de mercure qui donnait au gaz une vitesse d'écoulement d'environ 25", le déplacement des franges a été inappréciable. La réfraction de l'air est, en effet, si faible que le déplacement dans ces conditions, d'après la théorie, n'aurait pas dépassé o,ooo23 de frange.

Nous terminerons par une dernière remarque. L'expérience de M. Fizeau ne semble pas correspondre rigoureusement à la formule de Fresnel, puisque la période apparente de la lumière qui tombe sur le liquide en mouvement est modifiée. J..e terme principal V

de celte formule dépend, comme on Ta vu plus haut, de la période apparente de la lumière observée

Pour une vitesse de lo™, le rapport ^ serait de ^lo"' et le changement du terme V correspondrait au j^^ de la distance des deux raies D. C'est une quantité tout à fait inappréciable, à cause de la faible dispersion de l'eau.

Cette épreuve importante a élé renouvelée par MM. Michelson et Morlej(*) avec un appareil de plus grandes dimensions. Les tubes avaient aS™'** de diamètre et une longueur de S*" ou 6°, suivant la série des expériences. L'eau était mise en mouvement sous une pression qui pouvait atteindre 23" de hauteur du liquide et la vitesse a varié de 5", 67 à 8^,72 par seconde. Le déplacement allait ainsi jusqu'à ^ de frange de part et d'autre.

Une étude préalable avait permis de déterminer le rapport de la vitesse du liquide suivant l'axe des tubes à la vitesse moyenne mesurée par le jaugeage; ce rapport était de i,i65. En tenant compte de cette correction, la moyenne des observations montra que la vitesse de propagation des ondes était modifiée d'une fraclion de celle du liquide égale à o,434y au lieu du nombre

Al* — I -—^r=: 0,437,

qui résulterait du calcul. La formule de Fresnel est ainsi vérifiée à moins de —^ près, et l'expérience ne paraît pas comporter une plus grande précision.

667. Changement de période apparente par réflexion sur un miroir mobile, — On a vu que le mouvement commun des appareils et de l'observateur ne modifie pas la déviation apparente du rayon dans un phénomène optique quelconque, mais il importe d'examiner le changement qui en résulte dans la période du mouvement propagé.

(0 A. Michelson et W. Morley, American Journal of Science, t. XXXI, p. l-tl'f 1886.

lo6 CHAPITRE XV.

Lors(|u\ine surface réHécliissanle S est animée d'une vitesse // dans une direction qui fait l'angle ç avec celle de propagation de la lumière incidente, la période apparente T' des vibrations qu'elle reçoit a pour expression

u I — ^ cos ©

^i-f-^cos9J.

La surface S se comporte donc comme une source mobile de période ï', soit pour la lumière réfléchie régulièrement, soit pour la lumière diiïusée ou diflTractée dans une direction quelconque.

Cette considération est importante pour le système solaire. Comme le mouvement de la Terre est à peu près circulaire, si Ton fait réfléchir la lumière solaire dans une direction quelconque par un miroir, l'angle cp est sensiblement égal à 90", et le miroir se comporte comme une source terrestre dont la période absolue de vibration a la même valeur T que celle des points du Soleil dont il réfléchit la lumière. En d'autres termes, la lumière solaire, réfléchie dans une direction quelconque, se comporte comme une source terrestre de même période. La lumière émise par une flamme de soude, par exemple, est identique, pour une direction quelconque, avec celle qui correspond aux raies D du spectre solaire, abstraction faite des variations qui sont dues au mouvement de rotation du Soleil.

De même, l'orbite des planètes est sensiblement circulaire et elles ne sont lumineuses que par la lumière solaire difl'usée à leur surface. Elles se comportent donc comme des sources identiques à celle du Soleil, et la période de la lumière qu'elles nous envoient est uniquement modifiée par la composante de leur vitesse suivant la ligne de propagation.

668. Vérifications expérimentales. — Boscowich (*) avait proposé d'observer le phénomène de l'aberration avec une lunette dont le tube serait rempli d'eau ou d'un fluide beaucoup plus réfringent que l'air, afin de vérifier si la direction suivant laquelle on aperçoit une étoile peut varier avec le changement que le li-

(') Boscowich, De annuis fixarum aberrationibus ; Uomae, 1742.

quide apporte dans la marche çle la lumière. Le résultat doit être négatif, puisque la direction apparente de la lumière ne dépend pas de la nature du milieu interposé.

11 n'est pas inutile de démontrer cette propriété directement dans le cas actuel. Si Von vise une étoile siluée au pôle de l'écliptîque avec un tube plein de liquide et terminé par des faces parallèles, la vitesse de propagation de la lumière suivant Taxe du tube est V; en même temps, les ondes sont transportées latéralement avec une vitesse p( i -A et la vitesse du liquide relative

a ce mouvement latéral est

La variation apparente de direction de la lumière dans le liquide, ou Tangle d'incidence sur la face de sortie est donc

L'angle de réfraction étant n fois plus grand, Tabcrration est exactement la même que dans une lunette ordinaire.

Les nombreuses tentatives qui ont été faites, en particulier par Sir G. Airy à l'Observatoire de Greenwicli, pour rechercher si la latitude apparente est modifiée, quand on observe les étoiles avec une lunette dont le tube est rempli d'eau, ont montré, en effet, que la variation est absolument insensible.

Dans une série d'expériences organisées en vue de contrôler la théorie qui précède, j'ai constaté d'abord que la déviation des raies D ou du groupe b dans un réseau ne présente pas de difierence appréciable, suivant que l'on emprunte ces raies à la lumière générale du Soleil ou qu'on les obtient par des étincelles entre des électrodes de sodium ou de magnésium. L'expérience est d'autant plus précise que les raies métalliques, à cause du phénomène de renversement bien connu, paraissent en noir sur un fond brillant et sont alors entièrement comparables aux raies obscures du spectre solaire. Si l'on éclaire séparément les deux moitiés d'une fente avec les deux sources différentes, les raies correspondantes dans

les deux spectres superposés apparaissent toujours dans le prolongement l'une de l'autre.

En plaçant l'appareil tout entier sur un équipage mobile qui permet de faire marcher la lumière dans le sens ou en sens contraire du mouvement de la Terre, c'est-à-dire vers l'ouest ou vers l'est au voisinage de midi, la direction n'a pas varié de 3'\ tandis que la dispersion était assez grande pour que les raies D lussent écartées de l'io" ou iM', S'il existait un changement de l'ordre de l'aberration, la différence des effets observés de part et d'autre serait de 3o", c'est-à-dire lo fois plus grand que Terreur possible des observations.

On peut enfin profiter de la rotation de la Terre et installer un appareil dans une direction (îxe, de l'est à l'ouest, en comparant les observations de midi et de minuit.

La réfraction dans un seul prisme permet d'obtenir une dispersion considérable, car le changement di' de déviation qui correspond à une variation dn de l'indice est (76)

... sinA ,

di ' = n dn ;

cosrcosi'

la valeur de di' devient très grande lorsque l'angle de sortie f"

est voisin de 90". D'autre part, le rapport de la variation di' à

l'angle de pénétration du faisceau émergent est proportionnel à

LsioA ., . 1 * j- •

' il est encore maximum pour les mêmes conditions.

cosr' ^ ^

On employa un prisme dont la largeur L à l'entrée avait 10*" ; ce prisme recevait normalement la lumière d'un collimateur à grand objectif et l'on observait, dans une direction presque rasante à la face de sortie, par une lunette à micromètre. En plaçant un (il de réticule au foyer du collimateur, on peut éclairer , l'appareil directement par une flamme de soude; on aperçoit alors dans la lunette deux images noires du réticule, sur fond brillant, comme on verrait deux raies brillantes si le fil était remplacé par une fente. La distance des images était d'environ 65", correspondant à 5o divisions du tambour du micromètre, et Ton pouvait pointer à moins de \ de division, c'est-à-dire à —^ de la distance des deux raies D, ou -^ de l'aberration.

L'appareil a été installé dans une des caves de l'École Normale

PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. lOQ

à température sensiblement constante. Quand il eut acquis une stabilité suffisante, les observations furent faites régulièrement pendant près d'une année, en pointant chaque fois les deux images. La différence des lectures moyennes de midi et de minuit fut d'environ -— de division du tambour, celles des séries isolées ne dépassant pas ^ division. Dans le cas le plus défavorable, la constance de la déviation est ainsi vérifiée à moins de 1^ de la distance des raies D, ou ~ de Taberration.

Dans un autre ordre d'idées, j'ai observé les franges d'une lame de flint de lo™" d'épaisseur qui produisait, enlre les faisceaux réfléchis sur la première et la seconde surface, une différence de marche supérieure à 5oooo longueurs d'onde. Le déplacement des franges, quand on dirigeait alternativement l'appareil vers l'est ou vers l'ouest, n'atteignait pas -^ de frange ou ^p^'^pp du retard des deux, systèmes d'ondes.

L'observation des interférences des lames mixtes (283), avec la disposition indiquée par la /Ig. 129, a donné également un résultat négatif, en employant une lame de filint de 10"™, 2 et une lame de crown de 18°"™, qui produisaient respectivement des retards de 10 000 et 24000 longueurs d'onde.

M. Hoek (*) avait déjà réalisé une expérience analogue, qui revient à répéter celle de M. Fizeau (665), où l'un des tubes seulement serait rempli de liquide en repos, c'est-à-dire à faire interférer deux faisceaux qui ont traversé le même milieu, suivant des directions opposées, l'une dans le sens du mouvement de la Terre et l'autre en sens contraire. J'ai répété également cette expérience avec deux miroirs rectangulaires (287), en interposant sur le trajet de l'un des rayons (/t^. 187) une plaque en flint de 98""", 5. Les franges étaient très belles et le résultat encore négatif, à moins de •— de frange.

Enfin j'ai constaté que le pouvoir rotatoire du quartz n'est pas modifié de jôoïïôj ®^ ^^^ '^^ franges isochromatiques dues à la double réfraction du spath ne varient pas de tôoôôq^ quelle que soit la direction de la lumière pïir rapport au mouvement delà Terre.

Ces expériences permettent d'apprécier à quel degré d'approxi-

(*) Hoek. Archives néerlandaises y t. III, p. x8o; 1868, et t. IV, p. 443; 1869.

mation la formule de Fresnel se trouve justifiée. Si Ton y remplace, en effet, -^ dans le terme de correction par —, laquantitée

étant provisoirement indéterminée et variable avec la vitesse de propagation, le retard relatif des ondes d'espèces différentes qui ont traversé une lame de spath sous l'incidence normale a pour expression

Si la variation n'est pas de jôFôôô» ^' ^^ résulte

Les quantités e' et e" correspondant aux deux espèces d'ondes ne diffèrent donc pas de y^. Le même raisonnement appliqué aux anneaux de réflexion ou aux interférences des lames mixtes montrerait que la quantité e ne diffère pas de l'unité de j^. Le terme correctif, qui représente l'entraînement des ondes, est ainsi vérifié avec une approximation relative de

ce qui donnerait ^^ pour n = i ,62.

Considérons, de même, l'expérience de Hoek. Si la propagation a lieu dans le sens du mouvement de la Terre, la vitesse de la lumière relative au milieu est

et le temps nécessaire pour parcourir une épaisseur e,

la différence des temps qui correspondent aux deux marches en sens contraires est donc

Les vitesses apparentes de propagation pour le même chemin dans Tair étant V — i^ et V H- ^, la diflTérence des temps est

et le retard relatif 9 des deux systèmes de rayons qui ont marché en sens contraires a pour expression

6= l^(i — e), V0i=2ae(i — e).

Si l'expérience permet d'affirmer que le déplacement du phénomène n'est pas de ^ de frange pour une épaisseur de loo""* ou 200 ooo longueurs d'onde, il en résulte

4a(i— e)<io-«,

L'expression de Fresnel, pour l'entraînement des ondes, est donc

exacte avec une approximation relative de 7 — — -r — - ou ^, ^^ 4oo{/i*— i) **'"

Dans tous les raisonnements qui précèdent, on a négligé le carré de l'aberration (663). L'erreur qui résulte de cette simplification ne serait pas négligeable si les chemins parcourus par les deux systèmes de rayons que Ton compare étaient de l'ordre de 10' longueurs d'onde ou de 5o'"; c'est ce que M. Miclielson (*) a recherché par expérience.

Deux plaques de verre identiques P et P' {Jig. 33o) sont disposées comme dans l'appareil interférentiel de M. Jamin (286).

Parmi les rayons qui émanent d'une source S, les uns traversent les deux plaques, se réfléchissent normalement sur un miroir métallique M et reviennent dans la direction AX après s'être réfléchis sur la face postérieure de la première plaque. Un autre système de rayons se réfléchit d'abord en A, puis sur le miroir M', revient ensuite par le même chemin et se propage finalement suivant la même direction AX. Si les miroirs M et M' sont à la même distance L du point A, ou plus exactement à des distances

(•) A.-A. MiCHKLSON, Amer, Journal of Science [3], t. XXII, p. 120, 1881.

optiques équivalentes, la difl'érence de marche des systèmes d'ondes qui peuvent interférer sur le faisceau commun tient uniquement à l'inégalité des angles d'incidence sur les plaques P et P'; on observe donc les franges habituelles de cet ensemble de plaques.

Fig. 33o.

Supposons maintenant que la Terre marche dans la direction AM. La vitesse relative des ondes au premier passage de A en M est V — p, tandis qu'elle est au retour V -^ r. Le temps t' nécessaire à ce double parcours est donc

Pour le chemin AM', la vitesse relative n'est pas modifiée et la durée du parcours est

on a donc

L'effet inverse a lieu si Ton tourne l'appareil de 90" de manière à diriger la droite AM' suivant le mouvement de la Terre; le d«'- ■-4cement relatif des interférences d'une expérience à l'autre est

ne ia^= 2.io~*.

Si la distancé L est de i", 20, le chemin parcouru correspond à

-. io®= 4-<o'^ longueurs d'onde de la raie Del le déplacement

PROPAGATION DE LA LUMI£RI£. llS

serait 0,08 de frange. M. Michelson réduit le déplacement à 0^,048 en raison de cette circonstance que le mouvement delà Terre n'était pas exactement dans la direction est-ouest au moment des observations. Par contre, il y ajoute l'effet produit par le mouvement de translation du système solaire, qui avait alors une direction très favorable, ce qui porterait à 0^,16 l'effet qu'il s'agit d'observer, mais il semble préférable, pour éviter toute interprétation douteuse, de s'arrêter au premier résultat.

Les observations, qui étaient quelquefois contradictoires, ont Indiqué un déplacement moyen de 0*^,022 pour les directions convenables et o*^,o34 quand l'appareil était orienté dans les directions intermédiaires, auquel cas le déplacement devrait être nul. M. Michelson en conclut que la formule de Fresnel n'est pas absolument rigoureuse.

Avant d'arriver à cette conséquence, il est nécessaire de discuter l'expérience. Il semble d'abord, d'après M. Lorenz (*), que l'effet devrait être diminué de moitié, parce que la propagation de la lumière n'est pas normale au miroir M'. Pendant le temps t que met la lumière à se propager du point A au point M', ce miroir a parcouru l'espace vt\ le chemin réel est donc incliné sur la normale de l'angle a et égal à

cosa a^ \ 2 /

Le temps xdu double parcours est augmenté de la fraction — >

la différence relative des durées de passage devient donc moitié^ moindre que dans le calcul précédent.

Le déplacement à observer n'est plus alors que 0^,024 et paraît compris dans les limites des erreurs d'observation. En effet, l'appareil était trop sensible aux vibrations du sol et ne pouvait être observé que pendant quelques heures de la nuit.

Cette expérience importante a été reprise par MM. Michelson et Morley ('-*) avec un appareil gigantesque. Pour augmenter le che-

(«) H.-A. Lorenz, Archives néerlandaises, t. XXI, a* tivr., p. i; i886. (') A.-A. Michelson et E.-W. Morley, Am. Journal 0/ Science [3], t. XXXIV, p. 333 ; 1887.

Il4 CHAPITRE XV.

min parcouru par la lumière, cliacun des faisceaux AM ou A M' ne revient sur lui-même qu'après avoir subi sur des miroirs fixes sept autres réflexions dont la dernière est normale, de sorte que le cliemin total est porté à 12"'. Les plaques P et P' avaient i*^",25 d'épaisseur, S*"" et 7*^*", 5 de dimensions transversales et les miroirs, en métal, 5^" de diamètre. Les miroirs étant placés aux distances convenables, on les réglait d'abord de manière à superposer dans la lunette d'observation les deux images d'un poinl situé sur le trajet de la lumière et formées par les deux faisceaux interférents.

On produisait alors les franges par une flamme de soude et on leur donnait le maximum de netteté en déplaçant l'un des miroirs par une vis micrométrique; après ce réglage, on pouvait substituer à la flamme de soude une lampe à huile au foyer d*uno lentille et un petit mouvement de la vis faisait apparaître les franges colorées. La lunette était munie d'un micromètre permettant de pointer le phénomène à g^ de frange.

La partie optique était protégée par un couvercle en bois contre les courants d'air et les variations de température. Enfin, l'ensemble des appareils était installé sur une pierre portée par une monture en bois qui flottait dans un bain circulaire de mercure; il était facile de lui donner une rotation continue assez lente et défaire les observations dans une série de positions difl*érentes.

Le déplacement devait être, dans les conditions les plus favorables, de 0*^,4- Les observations ont été faites dans le cours du mois de juillet 1887; elles ont bien montré quelques variations, mais moindres que ~ et probablement^ de frange.

La seule objection possible serait que le mouvement du système solaire fût alors capable de compenser l'effet de la. translation de la Terre, mais elle peut être écartée par des observations faites à une autre époque.

Il semble résulter de toutes ces expériences que la formule de Fresnel n'est qu'une première approximation, que les phénomènes optiques sont impuissants à mettre en évidence le mouvement de translation delà Terre, par des observations qui n'empruntent pas la lumière des astres, et que finalement les mouvements relatijs sont seuls appréciables,

MM. Michelson et Morley proposent encore d'autres méthodes

PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. Il5

ingénieuses et, en particulier, la suivante, qui aurait pour but de mettre en évidence l'inégalité réelle des angles apparents d'incidence et de réflexion, mais le problème ne paraît pas avoir été considéré d'une manière entièrement exacte.

Supposons qu'un système d'ondes planes tombe sur une surface AC (Jig* 33 1) entraînée par la Terre dans une direction AA' si-

Fig. 33i.

tuée dans le plan d'incidence et qui fait l'angle a avec la normale. Pour obtenir la direction des ondes réfléchies, on considérera deux rayons SA et SB qui touchent la surface au bout d'un intervalle de temps égal à l'unité, l'un en A, dans sa position AC, et l'autre en B, quand elle s'est déplacée de AA'= p. On décrit, du point A comme centre, une circonférence de rayon AQ = V, à laquelle on mène par le point de contact B une tangente BQ. i^a droite AQ est le rayon réfléchi et A'Q sa direction apparente. Les triangles rectangles APB et AQB sont égaux puisqu'ils ont le côté commun AB et PB = AQ = V, de sorte que les autres côtés AP et BQ sont aussi égaux.

En appelant i l'angle d'incidence, on a

t»COSa:rr CB COS i,

^V-CB==v(i^a^^;)=.V(,-p), AP = PC coti = V(i — p) coti.

D'autre part, r étant l'angle de réflexion NAQ et îp l'angle CAB, Tangle PAB est]égal à i + ? et l'angle complémentaire QAB égal à 90** — /' 4- ®ï ce qui donne « 4- 'j = r — '^, 2 (i -|- cp) = /• -|- 1.

Il6 CHAPITRE XV.

On a enfin, dans le triangle PAB,

i-\- r PB tanfff tang(z 4- ?) = tang -^ = pj = JZTJ'

d'où résulte la première équation

(i) tangf=:(i-p)tang'-^-,

qui permettra de calculer Tangle de réflexion r.

En appelant /•' l'angle apparent de réflexion, le triangle AA.'Q

donne

AA' sîn(r — r')

Â(7 ~"^~ siD(r'-aj'

(2) sin(r — r')=:asin(r' — a),

équation qui détermine /.

De même, si l'on prolonge SA d'une longueur AQi = V, la direction apparente du rayon incident est A'Q^. L'angle apparent d'incidence i' s'obtiendra par le triangle AA'Q^,

AA sin(/^-~i) AQi ""^ ~" siii(i'-+-a)'

(3) sin(/'— «) =::asin(/'4-a).

Les angles i' et /•' sont égaux, au carré de l'aberration près. Si l'on tient compte de cet ordre de grandeur, on peut poser

et l'on négligera les cubes des quantités a, p et e qui sont de même ordre. On a alors

tang- z=lang(4-»-e) = tangi i -+- -^—. : H r-. ,

® 2 °^ ' ° \ sinicost cos*«/

et, en substituant dans l'équation (i),

e =z= p sin/cost H- p* sintcosi — e* tangi.

Remplaçant e dans le dernier terme par sa valeur approchée p sin/cosf, et p cos£ par acosa, il vient

(i)' /• — izz: 2acosasin/4-a*sin2«cos*a.

An même degré d'approximation, les équations (9.) et (3) peuvent s'écrire

(2)' r— /•'=asin(i — a) -f- a{r' — i)co%{i — a),

^ ^ f' — *■ = a sin (f -h a) H- a ( *' — ■ / ) ces (i -\- 7. )

I =i:asin(i 4- a) -H a' sin(i 4- a) ces (/-h a).

On déduit des équations (i)' et (2)'

Ir' — /=asin(i -Ha) -+- a'sin2iCos*a — a(r' — «) cos(i — «) ^ asm (t H- a) H (sinat cos2a — sin2a),

«l, par soustraction membre à membre avec (3)', r' — r'= — [sin2(t -h a) — sin2<C0S2x 4- sin2a] =n a* sin2acos*t.

L'égalité des angles d'incidence et de réflexion se vérifie encore au second ordre près.

La déviation apparente du rayon est le supplément de «'-l-r', et l'angle t-f-a est supplémentaire de l'angle ç que fait la direction du mouvement avec celle de la source; les équations (3)' et (4) donnent

l'-h r' — 2/=: 2asin(/ -h a) -+- a*(cos2a sin2i — sin2a sin'^) z=2a sintp 4- a*[sin2«p H- sin2(<p -+- i) cos*«].

I^ terme du premier ordre est indépendant de l'incidence; il correspond à l'aberration et disparaîtrait dans les observations.

Quant au terme du second ordre, il varie avec les angles tet^. Si l'on emploie la lumière solaire directe, par exemple, l'angle (P est toujours droit et l'on a sin 2(cp + t) = — sin2Z*.

Le dernier terme est nul pour les incidences normale et rasante ; il est maximum pour i= 3o** et devient alors — o,65. io~*.

Toutefois, ce calcul ne correspond pas aux expériences réelles, parce que la source est mobile avec l'observateur; nous aurons recours à un autre mode de raisonnement.

Supposons donc qu'une source S {/Ig» 332) soit observée du point S' après que la lumière s'est réfléchie sur la surface plane 2), le

ii8

système étant entraîné avec la vitesse v de la Terre, suivant la direction MM' qui fait l'angle a avec la normale.

Le point M d'incidence s'obtiendra, d'après la construction d'Huygens, par la condition que la communication du mouvement sur le chemin SMS' ait lieu pendant le temps minimum. Soient «et i' les angles apparents d'incidence et de réflexion, h et h' les distances des points S et S' à la surface S et D la distance PP. On a d'abord (5) D=:/i tangi 4-/i' lang/',

et, pour un rayon qui suivrait un chemin peu différent,

hdi h'dV

Fig. 332.

D'autre part, la vitesse apparente de propagation de la lumière sur le rayon incident SM, abstraction faite des variations de longueur d'onde et, par suite, des effets de dispersion, est

W=iV— i;cos(/— a) = V[i — acos(/— a)],

et le temps t nécessaire au parcours de la longueur SM