J lhngi——J tangi
L'indice 712, au point le plus éloigné, est égal à Tunité lorsque l'objet observé est situé en dehors de l'atmosphère. En appelant m l'indice de l'air au point où se trouve l'observateur,* la réfraction atmosphérique est donc
.dn
ianei —
lyi CHAPITRE XVII.
Désignant par R el R -f- A = p les rayons vecteurs OA el de la courbe en coordonnées polaires, on a évidemment
(4) tang£ = = ^^—.
La loi de réfraction permettrait encore facilement de mo; que le produit np sini est constant sur toute Tétendue de la jectoire (*), mais il est plus intéressant d'arriver à cette priété par d'autres considérations.
Dans l'hypothèse de l'émission (3), on admet qu*à la sui de séparation de deux milieux dont les indices sont n ei n composante de la vitesse de la lumière parallèle à la surfac change pas, tandis que le carré de la composante normale augmenté delà quantité V^ — V^ ou VJ(n'^ — /i*), enappelan la vitesse dans le vide. L'accroissement de force vive serait | duit par une force normale à la surface, dirigée vers le mi plus réfringent, et qui n'agirait que dans une couche de pasi d'épaisseur e très petite. La valeur moyenne y de celle force l'unité de masse serait
Lorsque l'indice de réfraction varie d'une manière continue, force attractive en chaque point est normale aux surfaces de j veau et a pour expression, en désignant par dh la distance deux surfaces infiniment voisines,
•^ ' dh
On peut donc assimiler la propagation de la lumière au niouw ment d'un mobile dont la vitesse serait proportionnelle à l'indu^ de réfraction et qui serait en chaque point soumis à une foro normale aux surfaces d'égal indice, sans toutefois attacher auco» signification physique à cette attraction fictive des milieux pi* réfringents sur les molécules lumineuses.
Si les couches sont concentriques, comme on l'a supposé poui
C; BoUGUEii, PiLr de l'Académie pour 1723, p. 3(j.
REFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 275
osphère, la force est constamment dirigée vers le centre et le cément obéit à la loi des aires. Le double de l'aire décrite à r du point M par le mobile fictif, pendant le temps dt^ est
p /i Vq sin i dt =r p* c^o).
3 expression devant être proportionnelle au temps, le produit ni est une quantité constante et Ton a
n p sin 4 rr= m R sin c = y> \q^ dt^=: p* dta,
en résulte plusieurs remarques importantes.
î produit p sin /représente la perpendiculaire 0Q = y abaissée
entre O sur la tangente en M et le lieu des points Q est la
lire de la trajectoire.
angle de départ z étant donné, le rayon vecteur q de la po-
3, correspondant au point M, est simplement en raison inverse
, c'est-à-dire de la vitesse du mobile de comparaison, quelle
soit la loi de variation des indices dans la couche traversée AM;
lême, l'angle / est défini par les quantités /i et p ou h.
D est l'intersection des tangentes à l'origine et au point M, jle / est le même que si le milieu était remplacé par deux :hes homogènes, l'une d'indice m de A en D et l'autre d'indice n ) en M, auquel cas la réfraction serait unique. Dur la limite de l'atmosphère, où /? = i, le rayon vecteur de 3daire atteint sa valeur maximum y, ou m R sin 3. 1 l'on appelle H2 la hauteur optique de l'atmosphère, c'eslre la hauteur comptée jusqu'au point où la réfraction peut
ensuite négligée, Tangle i^ d'incidence correspondant est
(R -h II,)sin/,= v.
outefois la valeur de l'angle i donnée par l'équation (5) ne it pas encore pour déterminer la réfraction Ç — ;5 de A en M, la distance zénithale Ç est égale à 1 4-w et l'angle w dépend de )i de variation des indices. On a d'ailleurs
tangf =z -
sin j
'"V(s)'-(ff^)'-
On remplacera lange par cette expression dans les équation et (4), qui déterminent la réfraction totale et la trajecloû rayon, mais il reste à trouver une relation entre /i et h.
711. Cas particuliers, — Nous en ferons d'abord quel applications à des hypothèses particulières.
1° Supposons, par exemple, que la variation de /i* (ce équivaut à celle de Tindice pour les gaz) soit proportionnelle hauteur; la force / est alors constante et
Le rayon vecteur varie comme l'espace parcouru par un mol animé d'un mouvement uniformément varié.
On a ainsi, en tenant compte des conditions initiales,
f p = K -h Vn m cosz A — •- /*.
Celte expression pouvant se mettre sous la forme la loi des aires (G) donne
La constante oj, est déterminée par la condition que Ton ail w = o pour / = o et p 1= R, ce qui donne
Vq T . a / ^ Vq m cos :; ^ asfîf-^\\
mcosi mcosv
L'équation de la courbe en coordonnées polaires est donc /o^^ rithmique. L'angle W| correspond au rayon vecteur maximum pi qui a lieu pour jc = o, c'est-à-dire
Vomcos3 , VJ/w'cos*5
La seconde partie de la trajectoire est ensuite symétrique à I
RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 277
première; elle revient à la même distance R pour Tangle 2(0| et à Tépoque 2/|.
2** Avec cette hypothèse sur la variation des indices, la trajectoire devient une parabole lorsque les surfaces de niveau sont planes et parallèles. Le problème est alors de même nature que celui du mouvement des projectiles dans le vide. Les valeurs de /i, A| et /i| restent les mêmes et l'amplitude / de la courbe est
1=1, Va m sin -3 = —^ •
3*^ Supposons encore que l'on ait
(8) n*=:ni* — CD rr 7- = m' — -o-^-o—'
La variation de l'indice reste sensiblement proportionnelle à la hauteur, mais la force /* est alors en raison inverse du carré de la distance au centre de la Terre. Les trajectoires sont des coniques dont ce centre occupe un des foyers.
Désignant par 0 l'angle de la verticale primitive avec le rayon vecteur qui passe par le sommet de la courbe, l'équation de la trajectoire est
>n en déduit
dp esin(u) — 0)
l, par les relations (4) et (7),
gsiD(a) — 6) ^^fipi^»
Éliminant l'angle (w — 0) entre (9) et (10), il en résulte
a* ( e* — 1 ) a ( e' — I ) p Cette valeur de n^ doit être identique à (8), ce qui donne
i« = — — ; — -, e-— 1=:4 ^ — r-^ = 4 — —^ — - sm-5.
On remarquera, en particulier, que l'axe 2 a de la courbe constant pour toutes les trajectoires, puisqu'il est indépendaol l'angle de départ z.
Lorsque l'indice décroît à partir du sol, le facteur » est posi la courbe est alors une ellipse ou une hyperbole, suivant < Ton a © ^ m-. Quand l'indice est croissant, le facteur o est nëg et les trajectoires sont des hyperboles.
Quant à l'azimut 0 de l'axe, il est déterminé par Téquation la courbe, en y faisant w = o et p = R :
I H- ecosO — „ = — i' , — 2 — sin'c,
sm'sin'r — © cos6 ==
\/o*-h ^m*(m^ — <p) sin'.5
/î°On voit aussi, par l'équation (5), que l'angle / est conslani l'indice n est en raison inverse de p. Dans ce cas, la Irajecto est une spirale logarithmique
paci)
HZ tangc, G — Re""'^^.
Cette trajectoire devient une circonférence de cercle, quel rayon parcourt indéfiniment, lorsque la direction de départes! horizontale.
712. Réduction des formules. — La faible réfraction des ^ permet encore de simplifier les calculs.
On peut d'abord remplacer n par l'unité au dénominaleurdf Téquation (3), ce qui n'entraîne pas une erreur de jp^j^^ sur la réfraction. D'autre part, les différences n — i étant très petites, ooi» aussi, avec toute l'exactitude que comporte l'observation,
En posant
h R ^ R^/i , ,,rfA
'=RTÂ='-~iTT7i' ^^=(rT7ô^=(^-'^R'
la variable auxiliaire s rcsle très petite, puisque l'épaisseur dd*^'
mosphère opliquement efficace, d'après les évaluallons les plus iflevées, ne dépasse pas loo*'" ou 120""", c'esl-à-dire j^ de rayon lerrestre. L'équation (7) de tenl alors
sin^ lang/ =:
4/[i — 2(m — /i)] (i-^ j^j — sin'j
(1 — s) s'inz
\^i — 2 (m — n) — (i — s)' sin*z A part des quantités du second ordre en 5 ou rri on peut rcrire
tan^w =
siiiw sin
h , , v^cos* z -\- 2s — 2 ( //j — n)
cos' ^ -h 2 j^ — 2 ( m — n)
(1 — .ç)sin:? i — s -}- m — n
\/cos*z -r 25sin-.3 — 2 (m — n) \^col^z -+- 2.v — 2 (m — n)
Posant enfin
la réfraction totale A se calculera par Tune des expressions
du
/ 4 / COS- 5 -+- 2 p — 2 JX // ^0 *
y^ V^COS*^-r 2Asin^J — 2;x// "^"^^./o V'COl^^-+- 2 5— 2[XW
L'une des valeurs précédentes de tang/ donnera Téquation différentielle de la trajectoire
\'2j dif) = lang/ — î- r-T lang/ •
713. Dépression de l'horizon, — Mesure des hauteurs. — Avant d'aller plus loin, nous examinerons la correction que Ton Joit apporter aux observations de Thorizon.
La direction que Ton détermine en visant l'horizon de la mer ou l'une plaine très étendue sans reliefs exagérés est toujours située
iSo
au-dessous de celle qui serait déterminée par un niveau ou ui à plomb. Cette dépression de ^horizon dépend surtout del titude de l'observateur, mais elle peut varier beaucoup avec conditions atmosphériques.
L'observateur M étant à l'altitude h {fig^ 353), on appelle
Fig. 353.
pression vraie celle qui est duc seulement à la courbure du et qui correspondrait à la propagation rectiligne de la lumièi elle est égale à l'angle (•) de la verticale du lieu avec celle dupoi Mo qui serait vu à l'horizon, ce qui donne sensiblement
langue.) = g^ =. 2 j^ ,
CO«=.g
Si l'indice de l'air varie d'une manière continue de n à n^ eoU les points M et Mq, la trajectoire MP du rayon de lumière est eu viligne. Appelant 2 la dépression observée, c'est-à-dire le coinpl' ment de l'angle d'incidence au point M, on aura, en faisante =' et w = 90" dans l'équation (7),
tane'o izi — —
0^— - CO'— 2(//o— /0«
Au degré d'approximation de ce calcul, l'erreur d'observat
RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. l9l
t nulle quand l'indice a la même valeur aux deux points extrêmes, lelles que soient ses variations dans Tinlervalle. L'horizon apparent est relevé et sa portée augmente, lorsque ndice diminue à mesure qu'on s'écarte du sol : ce sont les contions habituelles d'une atmosphère en équilibre stable. La portée de l'horizon diminue, au contraire, et la dépression parente s'exagère, lorsque la température du sol ou de la mer t assez supérieure à celle de l'air pour que la différence Hq — n it négative; la trajectoire du rayon présente alors, au moins sur 16 partie du trajet, sa convexité vers le sol. Les observations faites par Biot et Mathieu à Dunkerque ( * ), en >ant au-dessus de la grève échauffée par le soleil, ont donné :
Observation de Vhorizon.
fi,î.
o« — Wî.
« — /ifl.
ni
iiQ'
i,îi
•J^lM
Les angles 0 et co étant comptés en minutes, les valeurs numéques s'obtiendront en multipliant les carrés de ces nombres par
carré d'une minute ou o, 8462 . 1 o"''. On voit que l'indice de réaction de l'air croît d'abord avec la hauteur jusque vers 7",47> lis diminue en restant supérieur à celui de la couche en contact ec le sol. Les températures suivent une marche inverse. A mesure que la hauteur h augmente, la différence 8 — w dioue, car on peut écrire
■-•'erreur A/i = R(/i — n^) commise sur le calcul de la hauteur ^ la dépression apparente 0 de l'horizon est proportionnelle à la O^érence des indices à la station et sur le sol. Le relèvement de l'horizon a pour résultat de faire apparaître ^s objets situés au-dessous du plan tangent à la surface du globe ^ d'augmenter beaucoup la hauteur apparente des points visibles.
(') Biot, Mémoires de l'Académie des Sciences, t. X, p. i : 1809.
L'effet est surtout exagéré lorsque le sol ou la mer sont à i température beaucoup plus basse que Tatmosphère. Les nav: qui se trouvent au delà de Thonzon deviennent visibles et par sent agrandis; des glaçons flottant au loin apparaissent cou des banquises, etc.
Biot cite, en particulier, une observation de Cook, du i3 cembre 1773, dans laquelle un îlot de glace à Thorizon de^ invisible après une tourmente de neige, pour reparaître ensi quand le refroidissement des couches supérieures eut cessé, hauteur de l'horizon avait varié de 82' d'une observation àTauf
Les mêmes difficultés existent en Géodésie pour la mesure ^ hauteurs par leur angle apparent au-dessus de l'horizon.
Si l'on vise un point M' {fig. 353) à l'altitude h' , sa hault
apparente jî devrait être
cos? H -h//'
COs(p H- to) ' U 4- //
(,, a>\ to h' — // ? 4- - tang = —r- , 2 / 2 2 l\ -h /' -i- A
OU sensiblement
(1,)) taiig(3 H ^ j tang- == -
Pour tenii- compte de la réfraction, on aura, en désignant par '^ et 0' les angles de la trajectoire avec l'horizon aux points MelM' et par n' l'indice de l'air au point observé,
n{\\-\- h) ces 0 — /?' ( M -4- II' ) ces 0',
^osV , , \ — s , , t ,\
