COS 0 1 — .V

On en déduit, d'une manière très approximative,

coso' — coso n — n' — (.v' — s) n — n' — (^^0

coso' -T- coso 2 -r- fi — n' — (s' — .y) ~~ 2

,$ 4 ^' 0 — 0' /''-"*. (16) 2 tanj^ — — tang — ^ — -.n — /j' (.ç' — .ç) Tm zi — /<' ^

Lorsque les angles 0 et 0' sont déterminés en même temps p*' deux observateurs, les conditions atmosphériques des deui*^'' tions permettent de calculer la différence des indices /i — w ^^'

nKfHXCTtONB «T3I0SPIII

le, lii différeuce s' — s ou la dilTic if'équalion (i5) dunucra ensuite la val titulaire u des station».

Quond il n'existe qu'ua oliservaleur.

iaturi>. [I faui alors dcHcrminer success Lins les deux stations, auquel [>envenl avoir clé modilièesdi

;ncc des altitudes /<' — /<lur de ^ ptir la dislance

le problème change de veinent les angles 5 el 5' les conditions ni^léurologiques l'intervalle, on estimer l'étal d'' 'atmosphère au point observé el admettre une loi de variation des ndicGS qui pennelte de calculer la réfraction correspondante A', jes angles S et 5' étant affecU5s du signe + on —, suivant qu'ils onl observés au-dessus ou au-dessous de l'horizon, on obtient 'angle '/, dans la seconde méthode, par la relation

Ces considérations supposent toujours que 1

faces d'égal uche compri

iplicite, que les rayons ne sortent pas de I: totre les surfaces de niveau des deu\ stations.

Le phénomène est tout dilTérent et beaucoup moins simple orsquc celte dernière condilion n'est pas remplie : tel est le cas lu mirage qui sera eiaminé plus loin.

714. li^fiaction des aslres. — h^\ déviation qu'éprouveni lans l'aLmcisphère les rayons qui proviennent des astres pourrait (tPc déterminée à l'aide d'h ypothèses particulières sur la loi de rariatînn des indices de l'air avec l'altitude, mais le calcul manque le base certaine el fournit seulement des formules dont les conttantcs sonl déduites des observations directes.

i" L'hypothèse la plus simple consiste â supposer que les suriaces d'égal indice sont des plans parallèles à l'horizon de l'obser-

rateur. Dans ce cas, le f iar toute lu irajectoirei ^ 1 réfraction i,.j=:ij,— 'une des expressions

i est une quantité constante ni toujours les effets de mirage.

; deux points sera donnée par

1/observalion d'un aslre donnerait ainsi (I) m sin:; = sin(5 -f- A).

Comme le produit msin-3 doit rester inférieur à l'unité, la plus grande distance zénithale apparente Zq correspondrait à la condition m sin Zq z=^ i. En faisant m = i , ooo3, on aurait

3o=:88°35'48\ Ao^ii-aVi^". •

H résulte de là que la formule (I) ne peut pas convenir, car on n'apercevrait pas les astres à Thorizon. L'observation montre d'ailleurs que la réfraction horizontale ^ c'est-à-dire le relèvemenl d'un astre vu à Tliorizon, ne dépasse guère 38' dans les conditioo5 normaleSy c'est-à-dire à la température de zéro et sous la pression barométrique de 760™".

9.° On s'approche davantage de la réalité en remplaçant l'almosphèrc, avec Gassini (*), par une couche sphérique homogène dont l'indice m r^ i -h [jl a partout la même valeur qu'au point d'observation. En appelant / l'angle d'incidence du rayon qui vient de l'étoile et /• l'angle de réfraction correspondant, on a

s\ï\i zzz m sin/',

ou, sans erreur appréciable (69),

(18) A = / — /• = |x tan g /•.

D'autre pari, si l'on désigne par H la hauteur de l'atmosphère. Téquation (5) donne

(R -\- II) s'ini =z m H sin -3, (R 4- H)sin/-z R sin 5.

Dans les conditions normales, la valeur de H serait de 7990* ou environ g^ du ra\on terrestre R, lequel est de 6378^". On peut donc, au moins tant que la distance zénithale n'est pas trop grande, remplacer /• par z dans l'équation (18), qui devient

(II) A =1 |A tangj.

(') J.-D. Cassini, De solaribus liypothesibus et refractionibuSj epUtolm tm- Uononiic, 1666.

Celte expression représenle, en effet, la réfraction atmosphérique avec une grande exactitude pour des distances zénithales inférieures à 3o®, quand on y considère le facteur a comme un coefficient empirique, que Ton appelle souvent constante de rvfraction et qui représenterait la réfraction relative à 45". Les valeurs trouvées pour cette constante, dans les conditions normales, diffèrent très peu de 60", 4 o" 0,000298, qui est précisément la valeur de m — i = [jl.

La formule (II) convient même jusqu'à ôo"*; elle est ensuite sensiblement inexacte, car elle conduit, pour la distance zénithale de 85% à ii'3o% au lieu de 10' 16".

Il est manifeste, en effet, qu'on ne peut plus l'appliquer auprès de rhorizon et Ton doit alors tenir compte de l'épaisseur de Falmosphère. En posant H = eR, on peut écrire, à des quantités près du second ordre en e,

sinr :=! (i — e) sine, cos'r rp cos'w h- 2e sin*3,

^cos*c -h 2esin'5 ' y/j -f- 2e tang*e

La réfraction horizontale serait alors

Ao=-^=20'8%

tandis que l'observation donne une valeur presque double 36' 5o''. Remarquons aussi que l'équation (H)', développée en fonction des puissances croissantes de tang:;, est de la forme

(A) A =1 M tange(i — a tang*^ h- b tangue — . . .)•

Toutes les hypothèses admises pour la variation des indices avec la hauteur conduisent à une formule analogue, dans laquelle M est la constante de réfraction; elles ne diffèrent que par la manière dont les coefficients successifs a, 6, ... de la série s'expriment en fonction d'une seconde constante empirique.

3® Le rapport ^ -r =: i — s diminue avec l'indice de réfraction

n et reste toujours très voisin de l'unité, au moins jusqu'à la hauteur optique de l'atmosphère.

On peut alors, et c'est l'hypothèse de Boiiguer, le considérer

comme une fonction du rapport — et développer cette fonction

suivant les puissances croissantes de la variable en se bornant au premier terme, qui serait

.JL. ^ (IL)

L'équalion (7) donne alors

( — ) sin5 tangt =z

En posant

=.(^y \ïnz,

(ix = — sinzcin=i(p —i)x — >

l'expression (.'^) de la réfraction devient

\ r dx I r • 1""'"

A zr-. / — =z arc sin x I ,

/^- > J \Ji-x^ />-> L J« = t

/ \4 . /sin3\ ip — \)lz=^ z — arc sin ( l,

(\\\) sinc = mf'-^sïn[z — (p — i)A].

On obtient ainsi la réfraction au mojen d'une seule constante /> à déduire des observations directes.

Simpson (*) est arrivé plus lard au même résultat, en introduisant dans l'expression finale deux constantes arbitraires M el.N

(III)' Msiii3=--sin(c — \A),

cl celle formule représente les observations d'une manière Irès exacte jusqu'à la distance zénithale de 80". Si on l'élend jusqu'à l'horizon, on en déduit

M 1=1 cosN A,,, sinjccsN Ao= sin(c — \A).

(') Tu. Simpson, Mathemalical dissertations. London, 1743.

L'équalioD (111/ donne aussi

Na\ Na

( I -h M ) sin C :rr 2 sin I z ) cos

(I — M) sin5 =:2Cosl ^ • Ism

Na\ . Na

NA i-M / Na long — ^= rF^an^l ^ i>

ou, en appelant a et ^ deux constantes nouvelles,

tangaA =; p lang(5 — aA).

Comme Tangle aA est toujours très petit, on peut le substituer à sa tangente dans le premier membre et l'on obtient ainsi la formule de Bradley (*)

(II!)"' A^ Ltang(w — aA),

laquelle ne diffère pas sensiblement de la formule (II) de Cassini pour les distances zénithales inférieures à 6o°.

4" Si Ton admet, avec Majer (=^), que l'indice varie suivant une progression arithmétique, en posant

-- =(Xr-f- i)(m — /0 = (^* -^ 0:^'^ la premiiTe des équations (i i) donne

r^ {Arff/ siiiw/ , T— X

A=:sin5 I — -=1 ^yrns'i: -h ';tA-a — cos;;y,

J y cos* c -h 2 A* |x // '^

2fisinc 2jxtangw