IN
)ort A étant calculé par la nature de la lumière et le le la tige, celte relation permettra de vérifier toutes les ces de la théorie. L'accord a lieu avec toute la rigueur )rte l'exactitude des observations.
vima sont intermédiaires aux minima, à des distances égales à droite et à gauche; on les obtiendra sensibleiioins pour ceux qui suivent le premier, en ajoutant^ ; entier m, ce qui donne
le tient compte que de la courbe méridienne, chaque est proportionnelle à la longueur s du premier arc e dont le carré est
2 ilix 1 y/^ lange
s conditions, l'intensité de la lumière qui correspond à î d'ordre déterminé peut donc être représentée par une
expression de la forme
j=z k —== cos' - • y/i tau g 6 2
D^autre part, si Ton remplace tangO, d^une manière appr( tive, par l'écart 0, on déduit de (i 5)
v/Âô=-(4.^-ir(— )
En désignant par K un coefficient proportionnel à l'éclaii de la source, Tintensité de la lumière produite par la courb( dienne de l'onde émergente serait
- K - j- ces' ( 2 m — I ) - ,
ce qui donne, pour les maxinia,
(.7)' I„. = K. -i^iîM..
[(4»i-hi)/t«]
Quel que soit le mode d'observation, à la vue directe oi l'intermédiaire d'une lunette, l'image se dessine au fojerpriD et l'éclat en chaque point est en raison inverse du carré longueur focale du système optique. L'expression de TinU doit donc être, dans tous les cas, du second degré en fonctio longueurs 'la et \,
Quand on observe le phénomène avec une tige cylindr chacun des éléments de la courbe méridienne représente une l cylindrique perpendiculaire, et la vibration émise parceltec( est exactement proportionnelle à celle que produit Tonde < gente. L'intensité est alors représentée par l'équation (17) augmente avec la longueur d'onde, en même temps que la la des franges, et les teintes rouges sont prédominantes.
L'intensité des maxima diminue très lentement, à parti franges d'un certain ordre, car, en donnant à m les valeurs k
L'intensité est nulle quand la difl'érence de phase o est un nombre impair de fois it ou m un nombre entier; ces valeurs de m définissent Vordre des interférences.
Pour des franges de même ordre, Técart croît avec la longueur d^onde et en sens inverse du diamètre des gouttes.
Dans la production artificielle des arcs-en-ciel par un filet d^eau
ou une lige de verre, on ne peut pas déterminer directement la
direction des rayons efficaces, puisque Tintensité est alors environ
0,44 de celle qui correspond au premier maximum (2o6). La
même incertitude existe sur Tévaluation des écarts Q, mais il est
facile de connaître Tordre et de mesurer la distance des minima
successifs. Pour les minima d'ordres m, m' et m", en désignant
par N la valeur numérique de {^m — i)', on aura alors, d'après
Téquation (i5),
Le rapport A étant calculé par la nature de la lumière et le diamètre de la tige, celte relation permettra de vérifier toutes les conséquences de la théorie. L'accord a lieu avec toute la rigueur que comporte l'exactitude des observations.
Les maxima sont intermédiaires aux minima, à des distances nn peu inégales à droite et à gauche; on les obtiendra sensiblementy au moins pour ceux qui suivent le premier, en ajoutant^ au Dombre entier m, ce qui donne
Si l'on ne tient compte que de la courbe méridienne, chaque amplitude est proportionnelle à la longueur s du premier arc élémentaire dont le carré est
2 2I1X 2 y/^ lange
Dans ces conditions, l'intensité de la lumière qui correspond à une frange d'ordre déterminé peut donc être représentée par une
expression de la forme
J =: A' --^=^ cos' - • y h tangO ^
D^autre part, si Ton remplace tangO, d'une manière approiimative, par l'écart 0, on déduit de (i 5)
En désignant par K un coefficient proportionnel à réclairement de la source, l'intensité de la lumière produite par la courbe méridienne de Ponde émergente serait
r ces' (2m — i) -j
[(4m -lU*]' ce qui donne, pour les maxima,
Quel que soit le mode d'observation, à la vue directe ou par l'intermédiaire d'une lunette, l'image se dessine au fojer principal et l'éclat en chaque point est en raison inverse du carré de la longueur focale du système optique. L'expression de rinlensité doit donc être, dans tous les cas, du second degré en fonction des longueurs 2a et \,
Quand on observe le phénomène avec une tige cylindrique, chacun des éléments de la courbe méridienne représente une bande cylindrique perpendiculaire, et la vibration émise par cette courbe est exactement proportionnelle à celle que produit l'onde émergente. L'intensité est alors représentée par Téquation (17); ^H^ augmente avec la longueur d'onde, en même temps que la largeur des franges, et les teintes rouges sont prédominantes.
L'intensité des maxima diminue très lentement, à partir des franges d'un certain ordre, car, en donnant à m les valeurs 10, 100
et 1000, le facteur (4 /w -H i)^ varie seulement comme les nombres 3,45; 7,37 et 15,87.
Mais, quand il s'agit de l'onde émergente émise par une goutte sphérique (*), chacun des éléments de la méridienne remplace un fuseau perpendiculaire. Or, la vibration émise par un fuseau est proportionnelle au premier arc élémentaire et l'intensité au carré de cet arc, lequel est le produit de la longueur d'onde par le rajon de courbure b du fuseau (2o3). Comme ce dernier est proportionnel au diamètre de la goutte, on doit introduire le facteur aaX dans l'expression de l'intensité finale. Cette modification détruirait l'homogénéité; on la rétablira par la seule longueur dont on dispose, en divisant par X-, ce qui revient à multiplier la
valeur précédente de l'intensité par le rapport -r-- L'illuminalion dans l'arc-en-ciel est donc
(18) J.:^ -^^ — '__..cos«(2m-i)-.
Toutes choses égales, cette illumination est proportionnelle au produit de la surface des gouttes par la racine cubique de leur diamètre. Dans le cas actuel, la fraction de lumière difiractée est
sensiblement en raison inverse de (h^'ky \ comme le facteur h diminue lui-même quand l'indice de réfraction augmente, l'importance relative des couleurs croît plus rapidement que l'inverse de la racine cubique de la longueur d'onde.
La position des maxiina et des minima reste la même, quoique les intensités varient suivant une loi difi^ércnte. Il se produit ainsi des franges d'interférence, ou des arcs surnuméraires. Dans le phénomène naturel, ces franges apparaissent à l'intérieur du premier arc-en-ciel et à l'extérieur du second. Les franges relatives aux différentes couleurs empiètent successivement, mais elles restent visibles par une compensation particulière.
L'écart 6 croît à mesure que le diamètre de la goutte diminue; il en est ainsi, en particulier, pour le premier maximum et celte
(•) E. Mascart, Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences f UCXV, p. 453; 1892.
circonstance suffit pour expliquer l'ouverture variable des arcsen-ciel observés.
La distance SQ de deux minima successifs, ou la largeur des /ranges, s'obtiendra en faisant om = i dans l'équation (i5), ou
Lorsque l'écart est notable, on peut écrire
746. Achromatisme des franges. — A mesure que la longueur d'onde est décroissante, la largeur des franges diminue également, en même temps que leur origine s'écarte, dans le sens des déviations croissantes, de celle qui correspond au rouge extrême. H arrivera donc que les franges de même ordre se superposent pour deux couleurs voisines ; la même condition ayant lieu sensiblement pour les couleurs situées de part et d'autre, les franges deviennent achromatiques dans une certaine région.
La déviation totale des interférences d'un ordre déterminé étant D -f- 6, l'achromatisme a lieu quand la dérivée de cette expression par rapport à la longueur d'onde est nulle, ou
t/D d^ diy dn e/0
d\ dk an dh ' Uk
Pour une valeur constante de Tordre m, l'équation (i5) donne
Z^d^ dk 2 e ~T*
En tenant compte de (11) et désignant par 6 l'écart de la frange achromatique, il en résulte
(30) e=i— 3 — -TT-tangl = 3CtangI.
Pour la longueur d'onde de concordance, le coefficient C et l'incidence I des rayons efficaces sont définis uniquement par la nature du milieu ; la déviation D -h 6 et l'écart 6 de la frange achromatique sont donc indépendants du diamètre des gouttes.
Quand la valeur de M est assez grande, l'ordre de la fraDge ichromatique est proportionnel aii diamètre des gouttes. On déduit alors de IVqiialion (19)
Vt)
La formule approL-liée de dispersion n =3 A + yî dunne
' la V bEtlai
gl
Connue la valeur du radieal change très lenLemcul avec la cou-
iear, on voit que la largeur des franges, daos la région de i'acliro-
natîsme, est en raison inverse dii diamètre des gouttes et pni-
[wrlionnelle au carré de la longueur d'onde achromatisée ; elle
e U même pour toutes les couleurs voisines.
D'autre part, le produiL (4M — i)S8 étant une eonstante, il en résulte encore que les franges achromatiques apparaissent dans un dogle déterminé el que le nombre des /ranges visibles il la lu- JDtére blanche croit sensibiemenl comme l'ordre d'achromatisme, c'est-à-dire comme le diamètre des gouttes.
La région des franges achromatiques se distingue très netteinent dans les arcs artificiels observés à la lumière blanche sur les tiges cylindriques; l'éclat et le nombre des franges visibles en font Tuo des plus heaus phénomènes d'Optique.
Pour appliquer celte théorie aux arcs-en-ciel nalurels, il suffit de calculer la constante C par les indices de réfraction de l'eau ^i donnent (2S1), pour la raie D, 30:= 0,04719.
Dans le Tableau suivant ainsi calcule, on a pris la valeur approchée n,=:5pour la lumière jaune de longueur d'onde X(i=oi*, 57; lappose que le diamètre an de la goutte est évalué en microns et l'angle 0, désigne l'écart approché du premier minimum.
des franges est d'abord très supérieure au diamètre efficace Soleil; d'après la règle générale, en effet, les largeurs des frani successives, abstraction faite de la première, varient comme nombres 1,87; i,53; i,35; 1,24; iji5; 1,08. En preoaiit moyenne 1,12 pour les deux franges situées de part et d'autre sixième minimum, les largeurs des franges, dans le premiers seraient successivement 62', 43', 37', 34', 32', 3o', etc.
On doit apercevoir, sur le premier arc, six ou sept franges sées, les dernières à peine distinctes, puisqu'elles ont à pea p le diamètre apparent du Soleil. Ces conditions sont très a^'ai geuses et paraissent correspondre au phénomène naturel, car distingue habituellement de quatre à six arcs surnuméraires qui ces effets secondaires se montrent le plus nettement. Le diamè des gouttes de pluie doit être alors assez uniforme et vois de ^ millimètre; une variation de di ^ dans le diamètre ne chu gérait d'ailleurs l'ordre et la largeur de la frange achromatique çi de ±: -pj et n'amènerait pas encore de confusion dans les iolfff<'*rences. L'existence de beaux arcs surnuméraires correspondn^ ainsi à des gouttes d'environ un demi-millimètre de diamètre.
Les franges seraient plus belles encore dans le second artcn-ciel, puisque l'achromatisme a lieu sur le cinquième rainuiH* et que la largeur des franges est beaucoup supérieure audianièW| apparent du Soleil, si la superposition du cinquième arc new faisait disparaître.
Dans les gouttes de i'"™, l'achromatisme a lieu sur le douii«J* minimum, et la largeur de la frange achromatique est à peiD*'* moitié du diamètre du Soleil ; les premières franges en soQia*'*' leurs trop éloignées et resteront invisibles. Il en serait de men*» a forliorij pour les gouttes plus grosses.
En résume, l'apparition des arcs surnuméraires n'est ^ possible (|u'à l'inlcricur du premier arc-en-ciel et pour desgouU^ dont le diamètre est voisin d'un demi-millimètre; on y distm?'' surtout une alternative de colorations rouges et vertes.
La mesure de ces franges permettrait d'évaluer assez clac^^ ment le diamètre des gouttes, mais elle présente quelques dift* cultes, parce que la position des bandes rouges, par exemple, c<ff" respond à Tairaiblissement de certaines couleurs et qu elle «^ modifiée par le diamètre apparent du Soleil. Il serait préféraW
bserver le phénomène avec la lorgnette goniométriqiie de Soret, munie d'un verre rouge ; les franges apparaîtraient plus nbreuses, mieux définies, et les mesures comporteraient une Laine précision.
jorsqu'un arc-en-ciel se développe dans toute son étendue, on larque aussi que les arcs surnuméraires se distinguent netteut à sa partie supérieure et s'affaiblissent presque toujours md on vise des points plus rapprochés du sol. A mesure que )luie tombe, les gouttes grossissent, soit par leurs chocs mu- Is, soit par Tévaporation plus facile des petites. La disparition » franges dans les pieds de l'arc tient alors à la prédominance » gouttes plus grosses ou à l'existence de plusieurs systèmes de imètres très différents.
On pourrait se demander encore si les gouttes ne sont pas un a déformées par leur chute dans l'air et jusqu'à quel point il est rmis de les supposer sphériques. Une goutte qui tomberait is tourner sur elle-même doit prendre, en effet, une forme >ïde, la pointe aiguë étant dirigée vers le bas, et le rapport de iifférence des rayons de courbure extrêmes à celui de l'éqnar est proportionnel au carré du diamètre moyen. Ce rapport ail^ pour des gouttes de i™" et ôjôô pour des gouttes de looH^: l'y a pas lieu d'en tenir compte.
L'arc-en-ciel se voit aussi par l'éclairage de la Lune, mais assez ement, parce qu'il présente beaucoup moins d'éclat, et les cours ne se distinguent pas facilement. Mariotte {*) signale déjà t>servation de trois arcs-en-ciel lunaires en une même nuit. Le second arc esta plus forte raison beaucoup plus pâle encore; Pendant un observateur attentif m'a informé qu'il l'avait aperçu s nettement.
«48. Colorations de l'arc. — La teinte de l'arc en un point ^ulte de la combinaison des intensités relatives aux différentes iileurs; chacune d'elles intervient pour une fraction variable ec la longueur d'onde.
On pourrait calculer les teintes par l'expression approchée (i8)
(«) Mariotte, Œuvres, t. I, p. aS^. Paris, 1717.
«IBiPITlE \IX.
û5§ ^nrure^ «îst d'abord tr»?!? sapérieare aa diamètre efficace du Sutfil: i'iprés la n*:île z»*nèrale. en effet, les largeurs des franges îUi:t:t;:îâiv-îs. abïïtnetioa faite de la première, varient comme les njnLbces [-'*7: i.)>: i.]3: 1.24; i^iS; 1,08. En precant la aiij ▼enne t . i i pour les deii\ franges situées de part et d'autre du ïûiiëme minimani. les largeur? des franges, dans le premier arc. seraient *ucces*iirement 5i . 4> • ^y', 34'? 3^', 3o', etc.
•I^ doit apercevoir, sur le premier arc, six ou sept franges iriâéis** ks dernières à peine distinctes, puisqu'elles ont à peu près le di.à3i<tre apparent du Soleil. Ces conditions sont très avantageuses et paraissent correspondre au phénomène naturel, car on 'EstlajiM^ h^iLituellement de «jfuatre à six arcs surnuméraires quand ces effets setrond^res se montrent le plus nettement. Le diamètre des j£oattes de pluie doit être alors assez uniforme et voisin de j miLlimêtre: une variation de zi: ^ dans le diamètre ne chancerail d'ailiears Tonlre et la largeur de la frange achromatique que de m jj et n'amènerait pas encore de confusion dans les inlerf'-rences. L'existence de beaux arcs surnuméraires correspondrait ainsi à des gouttes dVnviron on demi-millimètre de diamètre.
Les fran^jes seraient plus belles encore dans le second arcen-ciel, puisque l'achromatisme a lieu sur le cinquième minimum et que la largeur des franges est beaucoup supérieure au diamètre apparent du Soleil. >i la superposition du cinquième arc ne les faisait disparaître.
Dans les gouttes de i"". Tachromatisme a lieu sur le douzième minimum, et la laideur de la frange achromatique est à peine la moitié du diamètre du Soleil; les premières franges en sont d'ailleurs trop éloignées et resteront invisibles. Il en serait de même, a forliori, pour les gouttes plus grosses.
En résumé, l'apparition des arcs surnuméraires n'est guère possible qu'à l'intérieur du premier arc-en-ciel et pour des goulte> dont le diamètre est voisin d'un demi-millimètre; on y distingue surtout une alternative de colorations rouges et vertes.
La mesure de ces franges permettrait d'évaluer assez exacleincnl le diamètre des gouttes, mais elle présente quelques difficultés, parco que la position des bandes rouges, par exemple, cornvsporid à rafFaiblissement de certaines couleurs et qu'elle est modifiée par le diamètre apparent du Soleil. Il serait préférable
BROCILLAHDS, NTtGES t{T PLUIE. ij3
l'observer le phdnomt^ne avec la lorgncllp goniomélriqiic de
If .Soret, munie d'un verre rouge; les franges apparattraienl plus
■ombreuses, mieux définies, et les mesures comporteraient uae
«risinv précision.
Lorsqu'un arc-en-ciel se développe dans toute son étendue, on
arque aussi que les arcs surnuméraires se distinguent nelie-
leDt à sa partie supérieure et s'alFaiblissent presque toujours
nand on vise des points plus rapprochés du sol. A mesure que
. plaie tombe, les gouttes grossissent, soit par leurs chocs mU'
iuels, soit par l'évaporation plus facile des petites. Lu disparition
les friingesdans les pieds de l'arc tient alors A la prédominance
les gouttes plus grossps ou à rexisieoce de plusieurs systèmes de
liamètres très différents.
On poun-ait se demander encore si les gouttes ne sont pas un
ipea déformées par leur chute dans Taîr et jusqu'à quel point il est
permis de les supposer sphériques. Une goutte qui tomberait
urner sur elle-même doit prendre, en effet, une forme
ovoïde, la pointe aiguë étant dirigée vers le bas, et le rapport de
la différence des rayons de courbure extrêmes à celui de l'éqna-
tear est proportionnel au carré du diamètre moyen. Ce rapport
Mfftit 7ï pour des gouttes de i""" et j^ pour des gouttes de lool*;
(I n^y a pas lieu d'en tenir compte.
L*arc-en-ciel se voit aussi par l'éclairage de la Lune, mais assez rarement, parce qu'il présente beaucoup moins d'éclat, et les couleurs ne se distinguent pas facilement. Mariotte (*) signale déjà Tobservation de trois arcs-en-ciel lunaires en une même nuit.
Le second urc esta plus forte raison beaucoup plus pâle encore; cependant un observateur attentif m'a informé qu'il l'avait aperçu très nettement.
7-18. Colorations de l'arc. — La teinte de l'arc en un point résulte de la combinaison des intensités relatives aux différentes couleurs; chacune d'elles intervient pour une fraction variable avec la longueur d'onde.
On pourrait calculer les teintes par l'expression approchée (i 8)
(') M*niOTTK. QPHfrfj, I. 1, p. îj'). Paris, 1717.
de rintensité, en donnant une série de valeurs différentes à la déviation D — 6 ou au rayon p H- 0, mais il sera plus exact d'avoir recours à la théorie générale.
Airjr (254) a traduit le phénomène en fonction d'un paramètn: numérique 5, qui est Hé très sensiblement à l'écart 6, compté à partir de la direction des rayons efficaces, par la formule
L'amplitude A de la vibration diffractée par la courbe méridienne de l'onde émergente peut s'écrire
\hcosiiJ '' ^ '
L'intensité serait proportionnelle au carré de cette expression; mais on doit d'abord, quand il s'agit de gouttes sphériques, la multiplier par iaky pour tenir compte des fuseaux, et la diWser ensuite par X-, afin de rétablir l'homogénéité, finalement multiplier
le carré A^ par -^^ L'intensité devient alors
(Ancos«e)'
le facteur R étant proportionnel à Téclairement de la source et en raison inverse du carré de la longueur focale de l'appareil optique qui sert à l'observation.
La largeur des franges diminue avec la longueur d'onde, en même temps que l'intensité augmente, mais la compensation est incomplète et la fraction de lumière qui constitue l'arc-en-ciel n'est pas la même pour toutes les couleurs.
La largeur o9 du phénomène défini par deux valeurs du paramètre z est, d'après (îî3),
--f--m{hp-
et la quantité de lumière correspondante
^ I \ 12/1 cos*6 >•''■'
BROUILLARDS, NUAGES ET PLl'IE. 44^
lie rayon, compté à partir du point antisolairc, est p ± 0, suivanl jue l'arc est de rang pair ou impair, et l'ouverture angulaire de la tone correspondante 7,'irsin(p dz 9) 36; la quantité de lumière 5M relative à l'intervalle oz est donc
(a5) m = R f (^j^-^y sinip ±(i)p{z)dz = 11 f F p[z)dz.
Pour étudier les variations de cette expression avec la longueur
d'onde, on pourra remplacer cos'ô par Tunité, puisque les écarts restent très petits. On a ensuite^ par les équations (ii), (i3) et (23), les signes supérieurs se rapportant aux arcs de rang pair,
é/p=:=b2tangl— —±i tangl^-^ -^ = qi ^C tangl y,
dh /j'(3/>' — 2//' — i) dn ^^ d\
-^0 dh d\ , w^r^^^
l? ±6/0=:;: Uc tangl - ^ '^^^ 0^
Les coefficients C, P et /i, pour la lumière considérée, sont des constantes définies par les propriétés optiques de l'eau et le rang de l'arc-en-ciel. On a alors
d? \fd\ dh\ , j^x , , ^ ,^.
= [l-^î^^(.ClangI-i±i^6)cot(p±e)]Ç.
La dérivée de la quantité de lumière 8M par rapporta la longueur d'onde est donc
-^ /T'~/^sin(p±0)zp ^2C tangl - ^^^6^ cos(? ± fi)\p{z)dz.
On aura une idée approchée du phénomène en supposant que le rayon p d= 9 est de 45°, ce qui donne
d(8M) H r/i-PC p . , . 3 -I- PC \ ,„ , ,
l|8 CHAPITRE XIX.
Une autre particularité importante de l'arc blanc est que soi rayon varie entre des limites très écartées, depuis 33** 3o', d'aprr les observations de Bouguer et Ulloa sur le Pambamarca (743) jusqu'à près de 4^^) avec toutes les valeurs intermédiaires. Ei même temps, les colorations sont d'autant plus faibles qoe 1 rayon est moindre et Tare peut paraître tout à fait blanc. J*ai ei moi-même l'occasion d'observer, sur un nuage qui remontait u» vallée, un arc presque blanc, à peine teinté de rouge sur son boit extérieur, dont le rayon était voisin de 36" 3o'.
Bravais ( * ) attribue l'arc-en-ciel blanc aux réflexions et réfr» lions dans les gouttes vésiculaires qui constitueraient le nuagr En appelant a' et a les rayons intérieur et extérieur de la coudie d'eau, la tangente menée d'un point de la surface extérieure à la surface interne fait avec le rayon correspondant un angle (odool
a' le sinus est le rapport—» Cet angle co diminue, à partir de 90*, «
mesure que Tépaisseur de la membrane augmente. Pour une valeur moyenne i,336 de Tindice, l'angle maximum de réfraction Ri est 48''2-',() et celui des rajons efficaces R = 4o®i', 7. Si Tanglew est supérieur à R, l'arc-en-ciel ordinaire ne peut pas se produire; s'il est supérieur à Rf , la plus grande partie des rayons réfractés i la pren)irrc surface subissent la reflexion totale sur la seconde el il ne se produit aucune accumulation de lumière. Quand l'angle « est compris entre R et R|, Tillumination prend une valeurmaiimum dans la région de Tarc-en-ciel.
Bravais trouve ainsi que toutes les gouttes restent obscures, à part les rayons réfléchis sur les deux premières surfaces et les rajo«$ réfléchis sur les deux dernières, en traversant le vide intérieur,» Tangle co est supérieur à /(-^"^S', *>., ce qui donnerait un arc df rayon plus grand que 37"53'.
Celle théorie ne rend pas compte des arcs de rayon moindre ?' nous avons vu que la formation et la permanence des goullt* vésiculaires sont tout à fait improbables.
La diminution du rayon de l'arc s'explique aisément parte
rieur; la blancheur du milieu élail très éclatante et surpassait de beaocoapctlk qui paraissait sur le reste du brouillard; il n'avait qu'environ i*,5 de largeir.* (Mariottk, Œuvres, t. I, p. 267).
(») A. Bravais, Journal de l'École Polytechnique, t. XVIII, p. 97; iSt5.
dimensions des gouttes qui constituent les nuages, puisque le déplacement du maximum dépasse 6® pour un diamètre de ioi*(747).
Quant à la disparition des couleurs, elle tient en partie à l'existence simultanée de gouttes de diamètres très différents, mais la cause principale en est due à Textension progressive des fraDges à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Dans ce caSy les intensités relatives des différentes couleurs conservent assez longtemps des valeurs égales sur la frange principale; Tarcen-ciel paraîtra sensiblement incolore ou achromatisé, au moins en certains points, par un mécanisme analogue à celui qui produit Panneau blanc des couronnes, et les autres franges se mélangent rapidement.
La condition de cet achromatisme particulier peut se traduire aisément par le calcul. En nous bornant au premier arc, on a, par les équations (26) et les relations de (28) à (3 1),
d\ dh -^^ (Tk
r/o = 2C langl-^-, -7-=PC^^,
^dz dh d\ ^ dp
h X p — Po-l-ô(
L'achromatisme a lieu lorsque l'intensité relative est la même K^ur les couleurs voisines. La valeur de J est alors indépendante 1^ la longueur d'onde, ou du moins sa dérivée est nulle, ce qui lonne la condition
f(z) ___ i2Ctangl z __ 2(24- PC) ^
7\z)~T-\-2PC p — po-t-Oo l-h2PC
Si l'on établit l'achromatisme sur la couleur de comparaison p = Oo) et remplaçant 9© par sa valeur (23) en fonction du para- ■f^ètre, il reste
a^ix /(-> - i2CtangI/i2\Y2ay M
^ /H^)- i-i-2PC V/JV W
{5o CHAPITRE \IX.
Celle éqiialion mon Ire bien que le paramètre d'achromal ainsi que le point où Tare paraît blanc, dépendent de la nali nïilicu et du diamètre des gouttes.
Pour le premier arc-en-ciel et la raie D, on a
Tenant compte des valeurs déjà indiquées r>.j)et mesurant le mètre 'ào en microns, il en résulte
(3.*)) V7^ =— 3,3lI3 -\-0,\yj2i2ay — — OLZ -r-?(-2r7)\-
l'écart correspondant 0 est donné par
(3(i) c^(^i^y'(!yv-i^)'o=i,cp78(2^)^o,
cl le rayon du phénomène est p — 0.
On peut résoudre ré(|ualion (35) par rinterseclion des corn
jiv(m: la (1 roi le
La fonction l'i est re|)réscnlée par une preniicre branche Ab^ Icn ordonnées sont positives, depuis z r^ — x jusqu'au inaxiui principal, cu'i clic est asyui|)l()lc à la verticale, et |)ar une >*"' hianclics A|, A., A;., . . . iuaut la forme des courbes de laiiitiil (les dernières |>assenl [)ai' les zéros de /(:;), c'esl-à-dirc pari' les inininia d'inlensih', cl leur inclinaison sur Taxe des : en dillV-rcnls |)(>inls est de /j.V', car le cocllicient angulaire ii p' c\ j)r»vssi(Mi i;cncralc
ICiiliri les dilIV' renies brandies de la courbe >'• sont as>ni|il' au\ verticales passant pai* les maxima et minima de/(:'. ^ à-dire par les rnaxin)a d'intensité; les ordonnées sont né:;.»l
dimensions des gouttes qui constituent les nuages, puisque le déplacement du maximum dépasse 6*^ pour un diamètre de iot^(747).
Quant à la disparition des couleurs, elle tient en partie à Vexislence simultanée de gouttes de diamètres très différents, mais la cause principale en est due à Tcxtension progressive des franges à mesure que le diamètre des gouttes diminue. Dans ce caSy les intensités relatives des différentes couleurs conservent assez longtemps des valeurs égales sur la frange principale; Tareen-ciel paraîtra sensiblement incolore ou achromatisé, au moins en certains points, par un mécanisme analogue à celui qui produit Panneau blanc des couronnes, et les autres franges se mélangent rapidement.
La condition de cet achromatisme particulier peut se traduire aisément par le calcul. En nous bornant au premier arc, on a, par les équations (26) et les relations de (28)à(3i),
(il ^h dX
do^iiC tangl--, z=PC-^,
^ dz dh dk ^ dp
L'achromatisme a lieu lorsque l'intensité relative est la même l>our les couleurs voisines. La valeur de J est alors indépendante de la longueur d'onde, ou du moins sa dérivée est nulle, ce qui donne la condition
/iil — laC tangl z 2(2-hPC) ^
l\z) ~ "1-1-2PC" ? — po-h Oo I -h 2PC
Si l^on établit rachromalisme sur la couleur de comparaison / Q := p^) et remplaçant 0© par sa valeur {'iZ) en fonction du paramètre, il reste
f(z) __ i2CtangI/i2Y/2ay 2(2-+- PC) (33) /'15)" 14-2PC \li) \l ) 14-2PC ^*
,oo
CHAPITBE XIX.
Celle équation montre bien que le paramètre d^achromalisme. ainsi que le point où l*arc paraît blanc, dépendent de la naluredu milieu et du diamètre des gouttes.
Pour le premier arc-en-ciel et la raie D, on a
'ijh''
3Go8,
Tenant comple des valeurs déjà indiquées « ^27) et mesurant le diamètre '2a en microns, il en résulle
— — 3,3ii :; -:- 0,4752 (2«)' = — 23 -*- ?(a^)';
Técart correspondant 0 est donné par
cl le rayon du phénomène est p — 0.
On peut résoudre Téqualion (35) par Tinterseclion des cour.»c^
ww.v. la d roi le
y.,r=i — VLZ ^- 3 I o. <7 ) * .
La fonclion y^ est représentée par une preniière branche A„ ditni les ordonnées sonl positives, depuis :; = — x jusqu'au niaxiinuiîi |)rinei[)al, où elle est asymplole à la verticale, et par une série Ji' hranchcs A|, A^, A;,, . . . axant la forme des courbes de lan;^»cnU j. (^es dernières passenl par les zéros dey(;;), c'esl-à-dire j^ar loih les minima d'inlensilé, et leur inclinaison sur Taxe des ; entO" dilTérenls poinls est de 4->'S <^i'ï' le coellicicnt angulaire a poui e\|)resslon g<'nérale
Va\[\\\ les dillérenles branches de la courbe y\ sonl asvmnlolc? aux verticales passant par les niaxima et minima Ac f[z)s cVstà-dirc par les maxima d'intensité; les ordonnées sonl négative"
dans rînlervalle d\in maximum au minimum suivant, positives daas les autres intervalles.
L'inclinaison de la droite y2 est indépendante du diamètre des gouttes. Celte droite rencontre toutes les branches de la courbe y^ , Ja première Ao avant le maximum principal, d'autant plus près du maximum que les gouttes sont plus grosses; son intersection avec les autres branches peut avoir lieu avant ou après le minimum correspondant.
L'achromatisme se produit en deux points de la première frange, avant et après le maximum principal, lorsque la droite y^ rencontre l'axe des z avant le premier minimum, qui a lieu pour ^f =2,4955, c'est-à-dire lorsque le diamètre des gouttes est inférieur à
/3^3ii V ^,
Vo,4752 J
Le second point d'achromatisme se rapproche du maximum principal à mesure que le diamètre diminue; la limite de celle position correspondrait à la condition
/(:;) + 3, 3ii5/'(3)=:o.
Le paramètre ;; serait alors voisin de i ,28; le rapport des distances du point achromatisé au maximum principal et au premier
minimum serait o,i44- On peut écrire, en général, Téqualion {'^'2.) sous la forme
jc/x- 3" V:/î \
S'il existe deux points achromatisés sur la frange principale, le rouge domine avant le premier [y^ >y\) et après le second; le bleu et le vert sont en excès dans rintcrvalle.
L'achromatisme le plus parfait doit avoir lieu quand ces deux points se trouvent à égale dislance du maximum principal; dans ce cas, les valeurs correspondantes du paramètre sont voisines de o,5i et 1 ,65, et la droite y-^ coupe l'axe des :; vers 1 ,36. Le diamètre des gouttes serait
/3,3ii V az=i[ — p-^i,36 =z 201^,17.
4>i CHAPITRE \IX.
