TT IN

Pour deux couleurs différentes, on aurait

Si les longueurs d'onde / et /' dans le milieu considéic sonl dan^ le rapport de •?. à i, il en résulte

sin —

- == ces --.7 .

2 Sin -;rr:

Cette condition est à peu près réalisée pour les raies A et H dan*

ùC.I

(') Baden Powell, Undulatory r/ieorr ; London, i%!\\. (') Ch. BnioT, Essais sur la théorie mathématique de la lumière; Paris, \^A (') Siii W. Thomson, Popular Lectures and Addresses, t. I, p. i84; 1889. - Traduction de M. Lugol, p. 119.

Je sulfure de carbone, qui donnent sensiblement

-, =0,9'|45, y, zz2,o3, N'=:4,7.

Le nombre des distances moléculaires du milieu vibrant comprises dans la longueur d'onde du violet extrême serait inférieur à 5, ce qui est tout à fait inadmissible.

Caucliy considère les milieux pondérables comme formés par un système de cellules, dont les dimensions sont très grandes par rapport à celles des molécules d'éther. La distribution de Féther varie dans Tétendue d'une cellule et la densité est la même aux points homologues des diverses cellules; Féther qui pénètre un corps transparent doit donc être considéré comme un milieu (|iii présente des variations de densité périodiques.

Pour rendre compte de la dispersion, Briot a fait d'abord iiilervenir les actions qui s'exercent entre les molécules pondérablo et celles de l'éther. Une partie de la vibration doit se transmettre, en général, aux molécules pondérables, mais cette fraction est négligeable dans les milieux transparents et l'on peut admettre que les molécules pondérables restent à peu près immobiles. Celle bypoihèse introduit dans l'expression du carré de la vitesse de propagation un terme proportionnel au carré de la longueur d'onde et donnerait, comme loi de dispersion,

(IV) ^ = Bo+ Bi (-')\ n^=:a-- hV.

Le rôle des molécules pondérables, ainsi interprété, est insuffisant, car la dérivée seconde de l'indice par rapport à \ serait négative» et la formule ne pourrait convenir qu'aux longueurs d'onde inférieures à une certaine limite.

En présence de celte difficulté nouvelle, Briot examine quelle est l'influence des inégalités périodiques de la densité sur la vitesse de propagation; il retrouve alors une expression analogue à celle de Caucliy (1), de sorte que, si les deux causes agissent simultanément, on oblient la formule finale

,v, i=A..n,(^y-A,(;)VA.(';y....

65o CHAPITRE XXI.

SI les termes variables du second membre sont très petits, on peut encore écrire, d'une manière approchée,

l /i« — AT — // X* H- ^ï -h r-^ >

Dans ces conditions, la courbe figurative des indices doit présenter un point d'inflexion pour une valeur suffisamment grande de la longueur d*onde; il est donc nécessaire que le terme relatif à l'action directe des molécules pondérables soit assez petit, si Ton veut que cette circonstance se produise en dehors des limites des observations.

Redlcnbacher (* ) était déjà parvenu à la même expression (\ i par des considérations dlfTérentes. Il suppose que les molécules |)ondérables sont entourées par des atmosphères d'éther dont elles forment les noyaux; il admet, en outre, que ces molécules restent immobiles. Si l'on réduit les atmosphères à leur centre de masse, c!iacune d'elles est soumise à l'attraction du noyau auquel elle appartient, à Tattraction de tous les autres noyaux et à la répulsion de toutes les atmosphères correspondantes, ces forces étant des fonctions diflerentes des distances.

Dans les deux cas, les coefficients Aq, A^, A2, ... do ré(|ualion (V) varient encore avec les dimensions des cellules, ou clos distances moléculaires, et il semble (|ue robjection de Lord Kelvin conserve toute sa portée.

iM. von Hiîlmholtz (') s*est j)réoccupé d'interpréter les phénomènes de dispersion anormale. Développant une idée émise par Sellmeier (•'), il considère en même temps l'action des molécules |)ondéral)les sur les molécules d'éther, les vibrations propres des premières et une sorte de frottement des molécules mobiles proportionnel à la vitesse, pour tenir compte de la conversion d'énergie lumineuse en chaleur qui se propage par conductibilité.

M. Helmholtz y ajoute quelques hypothèses contestables : par

(') 1"'. IlKDTExnACHEii. Das /hnaniiden-systenij p. m; Mannhcim, iSj;. (O Helmholtz, Pog^. Ann., t. CLÏV, j». r)8.î; 1875. (') Sellmeier, Pogg. Ann., t. CXLIII, p. 272; 1872.

exemple, que les molécules pondérables ne sont ébranlées quVn partie et que la densité de la portion mobile reste très petite par rapport à celle de Téther.

Si Ton prend pour unité de temps la période d'une vibration déterminée, telle que la raie D, et la longueur d'onde correspondante comme unité de longueur, la vitesse de propagation dans le

vide est égale à l'unité et les valeurs de w = -^ = — sont des

quantités finies.

Pour un système d'ondes perpendiculaires à l'axe des 5, la vibration de l'éther est de la forme

Le facteur a est en général une quantité complexe a.' -\- ik\, rt la partie réelle des vibrations est

Le facteur k est un coefficient d'absorption qui varie rapidement pour certaines longueurs d'onde.

En désignant par Wq la valeur de l'angle w qui correspond à la plus grande absorption, les équations générales donnent

' Il

Dans ces expressions, p désigne la densité et |jl l'élasticité de l'éther, r la densité de la partie mobile du milieu pondérable, Kl un coefficient qui dépend de l'action des molécules matérielles sur celles de l'éther, R un coefficient de frottement très petit entre les molécules pondérables.

On en déduit

<-^^ ^' , __K^ Il

Lorsque la bande d'absorption n'est pas comprise dans U;

65a CHAPITRE XXf.

speclre observable, les termes en R et A* sont négligeables et l'on a

(VI) „.= p-!i, k; — -^=A-^-^j-^,-.

Les coefficients B et C sont essentiellement positifs, d'après la théorie. L'indice n croît alors d'une manière continue avec co et la dispersion est régulière.

Si la bande d'absorption est située au delà des radiations photographiques ((!)(, ^to), on peut développer la dernière fraction

en fonction des puissances croissantes de (o^ ou de x-z et les termes

de Cauchj sont prédominants. Si la bande est en deçà des rayons calorifiques, le développement se fera en fonction des puissances de X^; le terme de Briot acquiert alors plus d'importance.

Les mêmes considérations s'appliquent encore, lorsque la bande d'absorption est située dans le spectre, pour les radiations qui en sont assez éloignées, mais le phénomène change de caractère auprès de cette bande.

En négligeant encore les termes imaginaires, on voit par l'équalion (VI) que n- passerait de — oo à H-oo quand <o varie de o à Wo? [)uis de — 00 à A quand w varie de Wq à -f-oo. Les valeurs positives (le n'^ correspondent à des vitesses angulaires comprises entre ti> <'l (Oo, puis entre oj' et + oo. Le speclre est alors partagé en deux parties pour chacune dcstjuelles la dispersion est régulière, mais qui empiètent l'une sur l'autre. Les valeurs de n- comprises entre o et A correspondent en même temps à des vibrations du [)remier groupe limitées à to, et (02 et à des vibrations du second groupe limitées à (o' et -f-oc; deux couleurs difTérentes ont donc le même indice.

Si la bande d'absorption a lieu dans le vert par exemple, les vibrations lumineuses peuvent se présenter dans l'ordre suivant : bleu, violet, noir, rouge, jaune, les premières étant accompagnées de radiations infra-rougcs et les suivantes de vibrations photograj)liiques ; c'est le phénomène de dispersion anormale. La discussion des équations complètes (5) conduirait au même résultat.

S'il existe plusieurs espèces de molécules matérielles, chacun»^ d'cdles donne Heu à une bande d'absorption et l'on observera dans h' spectre difTérents centres de dispersion anormale.

M. WiillnerC ) utilise l'équation (VI), pour les milieux transparents et incolores, sous la forme

En supposant d'abord Q > P, l'indice deviendrait infini pour X = Xo et inférieur à l'unité ou imaginaire pour des longueurs d'onde plus faibles', il faut donc que la quantité Xq soit moindre que toutes les longueurs d'onde physiquement possibles.

Pour une valeur déterminée de l'indice, telle que n^ — i = p^, la longueur d'onde est donnée par Téquation

(6) (Q^P)X*-f-(Px;-p»)X«+p«xîz=o. .

Les racines X^ sont de même signe. Pour qu'elles soient positives, il faut d'abord ^^^^ PXJ et la condition de réalité est

p*-PXJ>2Xo?s/Q^P,

Le minimum dé l'indice est alors

«'=. + Xo(v/Q+v/Q^=T)';

pour toute valeur plus grande, deux longueurs différentes correspondent à la même vitesse de propagation et le spectre se replie sur lui-même.

La longueur d'onde qui correspond au minimum d'indice est

Si l'on suppose, au contraire, Q -< P> la formule (VIT) ne convient plus aux très grandes longueurs d'onde et l'on doit avoir

Les racines de l'équation (6) en X^ sont toujours réelles et de signes contraires, quand ^^"^ o; la racine positive convient seule

(') WuLLNER, Wied. Ann., t. XVII, p. 58o: i88a, et l. XXIII, p. 3o6; 1884.

au problème et chaque valeur de l'indice ne correspond qu'à une longueur d'onde.

Dans le même ordre d'idées, M. Lommel ( * ) obtient une formule à quatre constantes qui serait applicable à tous les cas de dispersion. En désignant par e un coefficient d'absorption et posant

r = r- > on peut l'écrire

(VIII) { p^,4.A(x-£)« '""'''

La valeur de Q est très petite dans les milieux transparents incolores. Si l'absorption est très faible et que l'on néglige Qdevant P^, il reste simplement

rr — I =: A 1- = a w-

c'est la formule de M. Wullner, dans laquelle on ferait Q = P. Une autre théorie donne à M. Retteler (^) la forme générale

Si Ton se borne aux deux premiers termes, qui renferment d«^jà quatre conslanles, l'une des conslanles a ou 6 situées au dénominateur est négative.

Le développenienl de celle expression reproduit encore la formule (V)'de liriol. On pcul écrire aussi

Enfin Lord Kelvin (') considère les molécules pondérables des

(') K. Lommel, IVied.A/in., t. III. p. 339; 187», l. VIIÏ. p. 628; 1879 cl t. XIII. p. 353; 1881.

{') K. Kettkler, IVied. Ann., t. VU, p. 658; 1879; i. XII, p. 363; 1881 v\ l. XXX. p. :>99; 1887.

C) Siii W. Thomson, Molec. dynamics; Ballimorc, J. IIopIviDS Universily, i^*^i

milieux dispersifs comme des systèmes mécaniques donl le nombre Je déformations indépendantes est limité et correspond ainsi à un nombre limite de périodes de vibration propres. Ces édifices participent au mouvement général et contribuent à modifier la vitesse Je propagation des ondes. La formule de dispersion serait alors

' + Vi -j Ti -^ 'Zi zr^-f, ^- . . J ,

où T est la période des vibrations lumineuses, T|,T2, ... les périodes propres des molécules pondérables, disposées suivant Tordre de grandeurs décroissantes, 71, 72, ... des coefficients définis par les relations élastiques qui relient les éléments des molécules.

Il est facile de voir que cette formule est équivalente à celle de M. Helmholtz. Elle indiquerait une valeur imaginaire de Findice pour des longueurs d'onde très grandes, lorsque la somme I — (/i — //.j — ... est positive, un indice croissant depuis zéro jusqu'à une valeur très grande, quand la période T croît à partir d'une certaine valeur et se rapproche de la plus longue des périodes propres T|. Si la somme i — q^ — ^2 — ... est négative, rindice commence par être très grand pour les longues périodes, puis décroît et passe par un minimum; il devient imaginaire pour les périodes plus courtes que Ti, jusqu'à une certaine valeur, pour laquelle il est nul et croît ensuite indéfiniment.

Les valeurs imaginaires correspondent à un mouvement vibratoire qui ne se propage pas et dont l'intensité décroît en progression géométrique avec l'épaisseur du milieu ; c'est une bande d'absorption, extrêmement étroite si Çt est très petit, étalée et large si 74 est grand, limitée assez nettement du côté du rouge et diffuse du côté du violet.

Ces considérations semblent donner une explication complète de la dispersion anormale dans les milieux absorbants, mais elles n'ont qu'un rapport éloigné avec les phénomènes que Ton observe dans les corps transparents, à moins d'admettre que tous les milieux ont des bandes d'absorption spécifiques situées ou non dans les limites des observations.

812. Vérifications expérimentales. — Quand on considère seulement les radiations lumineuses, la formule de Cauchy à trois M. - III. 42t

termes, sous la forme (I) ou (I)", rend un compte assez exact des expériences, mais elle devient manifestement incorrecte quand od fait intervenir les rajons situés dans l'ultra-violet et surtout les radiations calorifiques (*).

La formule de M. von Ilelmholtz à trois coeffîcients et celle de Itetteler à quatre coefGcienls sont également insuffisantes, caries difTérences du calcul et de l'observation suivent une marche régulière; les erreurs tendent à augmenter sans limite en dehors des points de repère qui ont servi à déterminer les coefficients, ou des points sur lesquels l'accord s'établit quand on utilise dans le calcul l'ensemble des observations.

M. Mouton avait constaté déjà que la formule (V) de Briot représente très exactement la dispersion du quartz et du flint, depuis l'ultra-violet jusqu'à X = 2f^,i4, c'est-à-dire dans un intervalle de trois octaves et demie. Toutefois, il est assez singulier que le coeflîcient A2 du terme en )v* ait été positif pour les deux rayons du quartz et négatif pour le flint; il ne semble pas que ce changement de signe soit compatible avec la théorie.

D'après les observations de M. Langley sur le sel gemme, si l'on détermine les coefficients de la formule de M. WûUner par les raies A, b^ et H| du spectre lumineux, le minimum de Tindice a lieu pour une longueur d'onde voisine de if^, 65; la courbe des indices en fonction de \ se relève ensuite et s'éloigne de plus en plus de la courbe expérimentale.

En déterminant, de même, les quatre constantes de la formula de Briot parles raies A, D2, b^ et H|, l'accord est plus satisfaisant, mais la courbe des indices calculés présente un point d^inilexion vers al^,r>.5 et s'abaisse ensuite beaucoup trop rapidement.

Il est plus logique de faire intervenir toutes les observations dans la détermination des constantes, au lieu de les évaluer seulement par les radiations comprises dans une petite étendue du phénomène. Ketleler a montré ainsi (|ue la formule (IX)' représente bien les observations de M. Langlej, en donnant aux constantes a et }i des valeurs négatives.

En employant la méthode des moindres carrés, M. Carvallo (-1

(') Voir BnuiiL, Ann. der Chern., t. CCXWVI, p. 333; 1886.

{') E. Carvallo, Journal de Physique, i2\, i. VIII, p. 179; 1889.

trouve également que la formule (V) de Briot, même quand on la réduit à trois termes seulement,

±=A.-A,(j)%B,(iJ

satisfait aux nombres de l'expérience, entre les longueurs d'onde 01^,39687 (H|) et 51*, 3oii, aussi exactement que la formule de Ketteler à quatre coefficients, les différences étant de l'ordre des erreurs d'observation. Si l'on y ajoute les déterminations faites par M. Joubin (*) dans le spectre ultra-violet jusqu'à X = of^, 22645, il se trouve que les indices de M. Joubin sont régulièrement en excès, sur ceux de M. Langlej, de trois ou quatre unités du quatrième ordre décimal dans le spectre lumineux, ce qui peut tenir aux choix des échantillons de sel ou à une différence de température. En retranchant de ces nombres une quantité constante 0,0004, l'erreur maximum du calcul sur l'observation est 0,0027 pour X = 0,25718 et se réduit à o,ooi4 pour la plus petite longueur d'onde. La formule de Ketteler donne, au contraire, des différences qui vont jusqu'à 0,0090.

Il paraît en résulter que la formule de Briot est celle qui satisfait le mieux aux résultats, de l'expérience avec un nombre déterminé de coefficients.

Dans toutes ces vérifications, on ne fait pas en général la réduction au vide; toutefois la dispersion de l'air est assez grande pour entraîner, dans le cas actuel, des corrections supérieures aux erreurs d'observation.

On a essayé souvent de traduire la dispersion par des formules empiriques qui se prêtent facilement au calcul. Rudberg (2), par exemple, admettait que la longueur d'onde / dans un milieu est proportionnelle à une puissance m de la valeur X qui correspond à la même période dans le vide ; on aurait alors, pour deux lumières différentes, la relation très insuffisante

(•) P. Joubin, Ann. de Chim. et de Phys., [6], t. XVI, p. 78; 1889.

(») F. RuDBBRO; Ann, de Chim. et de Phys. [2], t. XXXVI, p. 439; 1827.

On peut encore faire les calculs, pour une étendue limitée du spectre, par toute autre expression déduite de la forme hyperbolique que présente la courbe des indices en fonction de la longueur d'onde, mais ces considérations n'ont aucune valeur théorique.

M. Wilson ( ^ ) trouve que la formule

rend compte très exactement des expériences de M. Langley ; toutefois Texamen des différences montre que les erreurs s'exagèrenl pour les valeurs extrêmes et que Taccord dans l'intervalle lieiil surtout à rexislence de quatre coefficients arbitraires.