FORMULES DE DISPERSION

810. Caractère général. — Dans la plupart des milieux, sauf les cas exceptionnels de dispersion anormale, l'indice de réfraction croit d'une manière continue avec l'inverse de la longueur d'onde dans le vide, ou la fréquence des vibrations.

On ne peut connaître avec une grande exactitude que la partie moyenne du phénomène, entre les longueurs d'onde of^, i85 et cl*, y-ja qui comprennent le spectre ultra-violet et le spectre lumineux, c'est-à-dire dans l'intervalle de deux octaves. M. Mouton ( * ) a pu déterminer cependant les éléments des radiations calorifiques jusqu'aux longueurs d'onde de 2f^, i4; les expériences plus ré-

(') Mouton, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences. i. LXXXVIII, p. 1189; 1879.

centes de M. Langley (*) ont étendu les mesures jusqu'à 6l^, soit dans un intervalle de cinq octaves.

Si Ton traduit graphiquement la dispersion, en prenant pour abscisses et pour ordonnées les longueurs d'onde X et les indices /i, la partie observable de la courbe présente l'allure d'une branche d'hyperbole, qui aurait pour asymptotes l'axe des coordonnées cl une parallèle à l'axe des abscisses, qui correspond à une valeur minimum de l'indice pour les très grandes longueurs d'onde.

Le coefficient angulaire est négatif et décroît en valeur absolue; la courbe ne présente pas de point d'inflexion, de sorte que h dérivée seconde de l'ordonnée est toujours positive.

On peut considérer encore comme un fait d'expérience que le produit — \^ -jy croît très lentement avec la fréquence n ^ -» Si

l'on prend comme abscisses la fréquence // ou son carré z/-, il en

résulte

(In .^fffi dn À' {in

du cD. d,u^ 2 dl

Le dernier mode de représentation semble donc préférable, car la courbe obtenue difl'ère très peu d'une droite et la marche de la dispersion se distinguera plus nettement. Enfin, si l'on exprime le carré n^ en fonction de ii^, on a

d ./i- dn . , dn

■ ,--in :, —— /i/.3 -,

(t. Il- (t.ir (iK

Le coefficient angulaire de la courbe croît un peu plus rapidomcnl avec la fréquence, mais le choix des variables est cncorr très avantageux pour la discussion.

Ce sont là dos considérations de continuité, auxquelles il ne sera pas inutile de soumellre les différentes formules proposées pour représenter le phénomène de dispersion.

811. Formules théoriques. — La comparaison des expériences avec les formules de disj)ersion présente le plus grand intérêt pour le contrôle des théories. Les limites de cet Ouvrage ne nous

(') S.-P. Langlky, Amer. Joiirn. of Se. [3], l- XWII, p. 83; iSSr).

permettent pas de développer les calculs; il suffira d'en rappeler brièvement les principes.

Cauchj(* ) suppose que les milieux dans lesquels se propage la lumière sont discontinus et formés de molécules entre lesquelles s'exercent des forces dirigées suivant la droite qui les joint deux à deux. Soient or, y^ z les coordonnées d'une molécule de masse m à l'état d'équilibre, x -\- Da-, y -\- Dj^, z 4-D5 celles d'une molécule voisine /??', /• leur distance et mrn^f{r) leur action réciproque. L'équilibre exige que la résultante des forces appliquées à chaque molécule soit nulle.

Lorsque ces molécules occupent des positions différentes a:-]- Ç, j^-f-T,, z -{- X^ eX. X -\- \}x 4- Ç -f- DS, etc., chacune d'elles est soumise à une force qui tend à la ramener vers sa position d'équilibre. On admet, en outre, que le rayon d'activité moléculaire est très petit par rapporta la longueur d'onde dans le milieu; il en est de même pour la distance des molécules.

Les déplacements Ç, r,, Cet leurs dérivées par rapport au temps sont des fonctions continues des coordonnées x^ y^ z de la molécule considérée; les équations du mouvement renfermeront les dérivées partielles de Ç, r^ , Ç par rapport kx^ y^ z. Dans les milieux homoédriques, chaque molécule est un centre de symétrie et toutes les dérivées d'ordre impair doivent disparaître.

Si l'on considère un système d'ondes planes parallèle au plan de yz^ les déplacements Ç, r,, Ç ne dépendent que de ^ et de /; les seules dérivées partielles de ces quantités qui entrent dans les équations du mouvement sont les dérivées partielles d'ordre pair par rapport à z. Si l'on suppose, en outre, que les vibrations sont transversales, ce qui correspond aux milieux isotropes, ou aux rayons ordinaires des milieux uniaxes ou encore, dans les milieux anisotropes, à Tun des systèmes d'ondes perpendiculaires aux plans de symétrie, les déplacements Ç sont nuls; il ne reste que les dérivées partielles de Ç et de rj par rapport à z. Enfin le mouvement parallèle à l'axe des x est indépendant du signe de r,, de sorte que l'on peut écrire

(') Cauchy, Nouveaux Exercices de mathématiques; Prague, i835.

En appelant V la vitesse de propagation, T la période et / la longueur d^onde dans le milieu considéré, la composante Ç de la vibration, pour les ondes qui marchent dans la direction de Taxe des <3, est de la forme

Ç = acos{u>t — a — kz),

avec les conditions

L'équation (i) devient alors

Comme les coefficients P ne dépendent que des distances des molécules, on voit par l'équation (2) que le terme Pj est du second ordre en fonction des projections Djt, D^, Dz et, d'une manière générale, le facteur P2;, de Tordre 2p.

Si la longueur d'onde / est très grande par rapport aux distances moléculaires, le second membre se réduit sensiblement au premier terme et la vitesse V est ind('pendante de la période; c'est ce qui correspondrait à la propagation de la lumière dans le vide.

Cauchy attribue la dispersion dans les milieux réfringents au\ termes suivants. En fonction de l'indice n et la longueur d'onde >. dans le vide, l'équation (2) peut s'écrire

Si les termes de la série décroissent rapidement, ce que Ton doit admettre, on peut développer la valeur de n- en fonction des

puissances croissantes de r-^; on trouve ainsi

n- : - (1 -{- r-i -h Yi + ■ • ■ , y." A

Ao'

A, ^ •iA» A^Aj

" àV ' - AT" '

OU encore, en extrayant la racine carrée de (I)',

/ ix»r . B C

(I)'^ /!=: Ah- ^ H- ^ -h...,

isja i\la\ 4a/

C'est habituellement sous la dernière forme (I)" que Ton utilise la formule de Cauchy, mais il n'est pas évident qu'avec un nombre déterminé de constantes les expressions (I) et (11/ comportent la même exactitude. Réduites aux termes du quatrième degré en X, les équations (1/ et (I)" sont représentées par des courbes sans point d'inflexion, mais ce caractère ne se voit pas aussi nettement sur l'équation primitive (I).

Christofl'el (*) fait remarquer que, pour des longueurs d'onde assez grandes, et c'est à l'expérience d'en déterminer la limite inférieure, le troisième terme est négligeable dans la formule (I) de Cauchy ; on peut alors la traiter comme une équation bicarrée et, en appelant /lo et \^ deux nouvelles constantes, l'écrire sous la forme

Comme l'indice n croît avec la fréquence, on doit prendre le signe -h devant le radical; on a alors

ï=V/'-\/R?y=;/';(\/'-xV'-f>

(II) n

s/-IV'-T

Le minimum de l'indice, qui aurait lieu pour une longueur

/ïi

d^onde infinie, serait égal à -^

(") Christoffel, Ann, de Chim, et de Phys. [3], t. LXIV, p. 870; 1862.

Par une méthode analogue à celle de Gauchy, Badcn Powell (*) arrive à l'équation

dont le développement en série reproduit l'expression (2), à pari les termes qui renfermeraient les produits des projections Dx, Dj et Dz des distances moléculaires.

L'explication du phénomène de dispersion dans les idées de Cauchy paraît présenter une difficulté insoluble (^), car si les termes P4, Po, ... de l'équation (2) ont une valeur sensible dans le milieu éthéré que renferment les corps transparents, ils ne peuvent étn* nuls dans le vide et la vitesse de propagation y serait aussi variable avec la période, ce qui est incompatible avec les observalion> astronomiques (660).

Lord Kelvin présente une autre objectioii ('). Si l'on désigne

par N le nombre des molécules contenues dans une longueurd'onde,

le développement de l'équation (2) de Caucliy par la série de

Fourier ou l'équation (3) de Baden Powell montrent que la vitesse

\arie comme une expression de la forme A— sin-;^-