a'sin(a>^ l-a' j 4-. . . - A sin((D^-+- <p

Pour trouver les valeurs de A et de f, il suffit de développer les sinus de part et d'autre et d'identifier les résultats en égalant séparément les coefficients de sinco/ et cosco^, ce qui donne

Acosfp = acosa 4- «'cosa'-h. . .-^ Sacosa, A sîn«p = a sina -t- a' sina' -h . . . Sa sina;

par suite

A':=: (2acosa)*-i- (Sasina)*,

Sa sina tang<p =11

Ces résultats ont une traduction géométrique très simple. Si, à partir d'un point O {fig* 71), on mène des droites respectivement égales aux amplitudes a, a\ a!\ . . . , et faisant avec une droite fixe OX des angles a, a', a", . . . , on voit que la résultante géométrique de toutes ces grandeurs sera égale à A et fera avec la droite OX un angle cp.

L^expression de l'amplitude résultante peut s^écrire de plusiean manières différentes.

On a, en développant les carrés de Sacosa et Ha sina^

A*- a^-h a'* H- a''--h...-t- 2aa'cos(a — a') -h 2 aa' cos(% — a')H-...

A*i- Sa*-!- aSûra' cos(a— a'), Fig. 71.

Si l'on remplace cos(a — a') par i — asin^ y on obtient

encore

A*=(2a)«— 4Stfa'sin*

loo. Cas de deux vibrations. — Pour deux vibrations, il reste

simplement

k^~. a}-\ a'* -f- •^Wcos(a — a')

- (a -! a'Y— 4ûf«'sin*

=^ (a — «')*-!- 4^a' CCS*

Quand les amplitudes a et a' sont égales, la dernière expression donne

\ —ia ces •

Si la diflcrence de phase a — a' est égale à un nombre entierde <irconfércnces am-n, c'est-à-dire la différence de marche correspondante A égale a un nombre entier de longueurs d'onde m\

A*-, (rt-f- a' )

PROPRIÉTÉS DES VIBRATIONS. 3l3

Dans ce cas, Tamplitude du mouvement résultant est égale à la somme des amplitudes des mouvements à composer; c'est un maximum, si les amplitudes a et ci! sont de même signe.

Lorsque Ton a a — a'=^ (2/n-4-i)?t, c'est-à-dire A = (2 m -i-i)->

il en résulte

c'est un minimum de vibration, une interférence.

it X

Enfin, pour a — a'= (2/w 4- i) - ou A = (aw -h 1) v>

Nous appellerons conjuguées deux vibrations telles queTintensité de la résultante soit la somme des intensités des vibrations proposées.

Pour des vibrations rectilignes parallèles, la différence de phase

est alors un nombre impair de fois

La phase du mouvement résultant est donnée par la condition

a sîna -h a'sina'

tango zzz

^ ^ a ces a -f- a' ces a'

" • I H- tang<p tanga a-h«'cos(a — a)

expression qui conduirait, par Texamen de la différence de phase o — a, aux mêmes conclusions.

156. La vibration est elliptique. — Les projections d'une vibration quelconque sur trois axes rectangulaires sont de la forme

xz=.a sin(œ/ 4- a), y =: 6sin((D^ -4- P), 5 -=1 csin((i)^ -i- y).

Ajoutons ces équations membre à membre, après les avoir multipliées respectivement par les cosinus directeurs /, m et /i d'une droite L; il vient

/j?-f- my 4-/12= sinci)^(/acosa -h /n6cosP -f- /ic cosy)