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La projerrion le !a 'JbritÎDn siir Tin plan «fnelconqne *'x. ^v^ est une eilin-ï»». «>n i. en edet.
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f^ \ibr^flon ello-mt^me r-^x. «li-nc *^Uiptiqu.e.
f.o r:î^^^î le 1.^ vitesse -Je vibr;iLii)Q e'?t la somme des carrés Jes virf>-s4îs 'l^s rp'iià nompo-.^nf*?!5 rectan^julaires
* '•i'i^'/' "O-;- 'tt 1 - 'y* i""^*- ''j/ -- 3 -C'COâ'tCi*/ — Y']-
f,^ f;;irré mo\on «le cottr \lte5-e est la somme des carrés moveos t\f^ compo^Hntf s on
l/irit/-risii/; (\v. \a vihr.ilion e^t rlonc la somme des intensités de ir/»i<i rornpOHanffs rorlan^jfnlaires quelconques. En d^au très termes. 'I/'H vil>r;irif)ns rprîan^MiJHirfS sont toujours conjuguées « 153^ qii«'llf'«î qiif; soi^Til leurs dlfréroncrs de phase.
PROPRIÉTÉS DES VIRRATIONS. 2l5
Si Ton pose
la constante r représente l'amplitude de la vibration rectiligne qui aurait la même intensité. C'est une grandeur qu'il est utile de considérer dans plusieurs problèmes ; pour abréger le langage, nous l'appellerons V amplitude résultante de la vibration proposée.
1S7. Vibrations transversales. — On verra plus loin que les seules vibrations appréciables en Optique sont celles qui sont situées dans le plan de l'onde pour les milieux isotropes, c'est-à-dire les vibrations perpendiculaires au rayon ou transversales. Si l'on prend les composantes x Qly dans le plan de l'onde, on aura donc c = o et ûf2 + 6^ = r^. La différence de phase a — 3 = 3 des deux
composantes x et ^ correspond à un retard A = — X de la seconde
sur la première.
En changeant l'origine du temps, on peut écrire les deux composantes sous la forme
ixrzz a sinui^, y ^^ 0 sm((D^ — o),
et l'ellipse de vibration a pour équation
■ V 4- Vv — 2—7- COSO r- 3in*0.
a* o* au
L'équation (i) donne
y b 9Àx\{tiit — o) b ^ b , ^ ^ ^
~-:^- . zi: C0S6 SmOCOtcu^.
X a siTnat a a
Le rapport — est la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x
le rayon-vecteur de la molécule vibrante. A mesure que le temps augmente, cotco^ diminue; le mouvement de la molécule se fait donc de droite à gauche ou de gauche à droite, sur la partie supé-
rieure delà trajectoire, suivant que le facteur ou ab sino est
positif ou négatif. On dit que la vibration est gauche dans le premier cas et droite dans le second.
158. Direction et rapport des axes de V ellipse. — Pour obtenir les axes de l'ellîpse, nous projetterons la vibration sur un système d'axes rectangulaires Ç et r; {fig* 72) faisant Fangle 8 avec le précédent. Les nouvelles projections
{ 1= acosô siob)^ + 6sinôsin(b>/ — 8) = A sin(ci>f -4- a), Y) ziz — asinOsinco^-h 6cos6sin(u)^ — 8) =:Bsin((i>/ -1- p)
donnent
A* ■=: a* cos* 64-6* sin' 0 + a6 sin a 0 cos 8, B* mi a* sin* ô 4- 6* cos* 6 — <ift sin 2 6 cos 8.
Fig. 72.
Il en résulte d'abord la relation évidente
On en déduit aussi
A* — B* = ( a' — b^) cos 2 6 -4- 2 a^ sîn 2O cos 8.
Pour que les amplitudes A et B correspondent aux axes de l'ellipse, il faut choisir l'angle 0 de façon que la différence A* — B^ soit maximum ou minimum, ce qui donne la condition
*Àah ^
tang20i= — ; 77COSÛ,
qui détermine deux directions rectangulaires.
Si l'on égale les coefficients de sinw/ et cosoj^ dans les valeurs de Ç et de r,, on a
A COS a =r A sina = B cos p =1 B sin p =
a cos6 4- ^ sin6 coso,
— b sin6 sinS;
— asinO -h 6cosO cos8,
— 6cosO sin8;
PROPRIETES DES VIBRATIONS. 217
par suite,
[ AB sîn(a — P) 1= a6sino,
j ABcos(a — P) = a6cos2 6coso sinaô.
Quand la vibration est rapportée aux axes de l'ellipse , Tangle a — p est égal à ± — > d'après Féquation (4), ce qui devait être, et la première des équations (5)' se réduit à
(6) AB =:dba^sino.
Les équations (3) et (6) montrent que les carrés A^ et B^ des axes de Tellipse sont les racines de Téquation
x^ — r^x H- a' 6' sin*o =:o.
En posant - = tang£, on en déduit
*xab lab
sinaim — — z=z — -.,
ces a I =. — j- m ,
'iab tans:ai =
ce sont des relations générales dont nous ferons dans la suite un fréquent usage.
L'équation (4) peut alors s'écrire plus simplement
(7) tangaO =^ tanga/coso.
Si l'on représente également par tangl = — le rapport des axes
de Tellipse, on a, au signe près,
,0. . . 2AB 2ab . ^ . . . ^
(o) sin2l=3-T-T rTT = — i r: smo = sinai sino.
Les équations (7) et (8) donnent la direction et le rapport des axes de l'ellipse en fonction du rapport des amplitudes des composantes rectangulaires et de leur différence de phase.
2l8 CHAPITRB IV.
Des équations (3/ et (4) on déduit
A»— B* =1 (a*— b^) COS26 i- (a*— b^) tangaO sin26 i= --:
' \ / o cos*0 *
A- — B* cos2« cosal =
CCS al -7-r- -^, — ,
A*-hB* COS26
.- B* cosaO — cosa£ . ^ .. ^
tang»!:^ -r^ — .z:^tang(i-+-6)laDg(i — ô).
° A* cosaO-i- C0S2I o\ . o\
Inversement, la vibration elliptique étant donnée, on peut déterminer deux des angles t, 6 et S en fonction du troisième, c'està-dire la différence de phase 8 et le rapport des amplitudes relatifs aux projections sur deux axes rectangulaires dans Tazimut Q, oa la direction des projections rectangulaires et le rapport des amplitudes qui correspondent à une différence de phase 8, ou enfin i^azimut 0 et la différence de phase o quand on connaît le rapport des amplitudes.
On a, en effet :
i" En fonction de l'angle 0,
( C0S2e -u COS2lcOS2 0,
<»f>) { ^ sin2l tan^2l
i tango- ^ . .- .-^-r-l
[ lang20co$2{ sm20
•i^ En fonction de Tangle o,
i sin2 6 : -: ^ ,
tan£:2l
tangS
(in '..
i . . sin2T
f sin2e :— —, — ;, ;
ÎJIIIO
3° En fonction de Tangle /,
ros 2 î
i ces 2 0
1 Vi) <
ces 2 6 : — r,
ces 21
. ^ Sin2l
Sm 6 : -; ;
sm2£
io9. Forme de la vibration. — Il est utile d'examiner les formes que prend successivement la vibration elliptique (i) quand
la différence de phase 8, ou le retard correspondant A, varie d'une manière continue.
Quelle que soit la valeur de J, les abscisses x et y sont comprises respectivement entre ±: a et iii 6. La trajectoire de la molécule vibrante est donc inscrite dans le rectangle CDD'C (/ig' 73) dont les côtés sont 2 a et 26.
Pour S := o, ou A ^^ o, on a
tangi.
Fig. 73.
oK — ^— .'--
La vibration est alors rectiligne, suivant la droite OC qui fait
l'angle i avec l'axe des j?, et son amplitude est r = yja- \-b^.
On appelle plan de vibration le plan normal à Tonde qui comprend la vibration, c'est-à-dire le plan qui passe par le rayon et la vibration.
Les amplitudes a et b des projections rectangulaires sont respectivement égales à rcost et / sini. Les coordonnées j? et ^ de la vibration (i) peuvent être considérées comme les composantes de la vibration rectiligne rsinco^ parallèle à la direction OC, dont l'une ^ a éprouvé une perte de phase S.
Les valeurs de a et 6 étant positives, si la perte de phase 0 croît à partir de zéro, la vibration est d'abord gauche (157) tant que flèsinS^o, c'est-à-dire que 0 <C tc. On voit par l'équation (6) que l'une des valeurs ôi de l'angle 6, d'abord égale à « pour S = o, diminue d'une manière continue; Tun des axes A de l'ellipse E se rapproche de l'axe des x.
Pour 0 rrr - , ou A = y > on a
\ i y =^ — Acosto/; ^
la vibration est rapportée aux axes de Tellipse.
Lorsque 8 est compris entre - et tt, ou A entre ^ et - » on a
Taxe A de Tellipse est compris entre Taxe des x et la droite OC symétrique de OC.
Pour 5 = TT, ou A = - > on a
-- = zz: — tan^i;
la vibration est de nouveau rectiligne dans la direction OC el
avec la môme amplitude r = \/a^ -t- ô'-*.
Un retard d'une demi-longueur d^onde sur l'une des composantes d'une vibration rectiligne la transforme donc en une autre vibration rectiligne symétrique de la première par rapport à la composante non retardée; on peut dire que cette vibration a tourné de l'angle 2£.
Enfin, lorsque S croît de tt à 2tc, ou A de - à X, la vibration est
droite et l'axe A de l'ellipse revient de la direction OC vers la direction OC. L'ellipse est encore rapportée à ses axes pour la
^ ir X .
valeur 0 = 3-» ou A = 3 -r » ce qui donne
\ X z=za%\i\tùty - ( y = />cosu>^ ^
D'une manière générale, les mêmes formes de vibrations se reproduisent dans le même ordre quand on fait croître 8 à partir de 2/717: ou A à partir de m\.
La vibration est gauche quand l'angle 8 est compris entre 2/?it:
et ( im -L- 1)?:, ou A entre m\ et i'im -^ i) -; elle est droite si o
PROPRIETES DBS VIBRATIONS. 221
est compris entre ( a /w -f- i)Tzet2{m 4- i)7î, ou A entre (2/n + i)-
et (m 4- i))..
Quand la perte de phase 8 croît d'une manière continue, on voit que le grand axe de l'ellipse (en supposant a > 6) éprouve une sorte d'oscillation dans l'angle COC'^= 21 ei le petit axe une oscillation dans l'angle formé par deux droites perpendiculaires aux précédentes.
Si les amplitudes a et 6 sont égales, c'est-à-dire si l'angle i= .9 l'angle 26 est égal à - ; les directions OCJ et OC sont toujours les axes de l'ellipse. La vibration est circulaire gauche pour S = - >
[ y^=^ — acoso)/, ' et circulaire droite pour 5 == 3 - >
( y --.acosisit.
On obtiendrait les mêmes résultats, sauf un changement dans le sens de la rotation, si l'on donnait à S des valeurs négatives croissantes, à partir de zéro ou de innz.
Enfin, si l'angle l est négatif, c'est-à-dire si les amplitudes a et b sont de signes contraires, la vibration est d'abord rectiligne suivant OC. La vibration elliptique est d'abord droite ou gauche quand on donne à S des valeurs positives ou négatives croissantes à partir de zéro.
160. Composantes conjuguées. — Si l'on rapporte le mouvement à deux axes conjugués de l'ellipse, les expressions des composantes ont la même forme que si elles étaient rapportées aux
axes et leur différence de phase est ±: - • Comme la somme des
carrés des diamètres conjugués est constante, on voit que l'intensité de la vibration résultante est égale à la somme des intensités des deux composantes; on peut dire encore que ces composantes sont des vibrations conjuguées (1S5).
^2'i CHAPITRE IT.
Le rectangle des axes étant égal aa parallélogramme des axes conjugués, si Ton appelle/) et q les amplitudes de deux composantes conjuguées et y l'angle qu^elles font entre elles, on a
( 1 4 ) p^ sin Y - AB - ab sin o.
Il est à remarquer que les directions OC et OG jouissent toujours de cette propriété, quelle que soit la différence de phase o.
En effet, les composantes x' et y de la vibration, parallèles respectivement à OC et OC, donnent
