X:=z. ix' -y )COSI, J7 — -( . i

*^ 2\cosi smi/

y -- (y' — œ' ) sin i, f—- ( -^. "H -■^. ) •

(Jlomme on a

cosf sini il en résulte

- r sin O) / — sin ( 0) f — 0 )] =1: r sin - cos (fat ) 1

y' —: -Tsinu)/ -^- sin((o^ - ô)] ^^ rcos - sin ( u)^ |;

sm' - ces' -

L'une de ces vibrations conjuguéesy', située dans Pazimut -r-/ ei dont l'amplitude est q = rcos -> a pour phase l^ phase moyenne

des composantes rectangulaires ^ et^ de la vibration proposée; l'autre, dans l'azimut — i et d'amplitude p = rsin-, a sur la précédente une avance de phase de - •

La discussion des valeurs des amplitudes p et q permettrait de voir d'une manière plus rapide comment varie la vibration avec la différence de phase 3.

On en déduit immédiatement, par l'angle y = ai des deux vi-

brations conjuguées et le rapport- r=cot- de leurs amplitudes^

le rapport des axes de Tellipse et Taugle 6 que fait Tun d'eux avec la bissectrice des composantes conjuguées, car on a (1S8)

sinal = sinai sinS r^sinYsinS, tangsO 1^ tang2 « cos8 = tang^ cos8.

En appelant 0' Tangle 0 -f- 1 que fait Tun des axes A de l'ellipse avec la vibration a/, cette dernière équation peut s'écrire

tang(30' — y") — - lang-fcosô ou

tangv -f- iang(2 6' — y^ sinaO' i-f-coso ^o q^

langY — lang(36' — y) sin2(Y — Ô') i — coso ~ 2 /?*

On a aussi

tang'(20' — y) cos*y + sin*2l = sin*Y.

161. Composantes rectangulaires. — Les amplitudes A et B des composantes rectangulaires de la vibration proposée, par rapport à des axes OÇ et Or^ {fig» 73) dont le premier fait avec Taxe Ox l'angle i^ ont respectivement pour valeurs, en remarquant que les projections des vibrations p et q restent conjuguées,

!A* :=: /?* COS' ( l' — I ) -I- q^ ces' ( «' -h I j , B» =/?« sin«(«' — i) 4- q^ sin»( i' -+- i).

On peut écrire ces expressions sous différentes formes. Remplaçante^ par r^ — p^^ on a d'abord

A*i=r*cos*(i'-*- i) 4-/?*[cos*(«'— i) — cos'(i'-m')];

par suite,

—- m cos* ( i' -V- i) 4- sin 2 i sin 2 i' sin* - ,

—T = sin* ( /' -f- i) — sin 2 i sin 2 1' sin* -^ •

Si l'on remplace sin^ - par > les termes indépendants de

la différence de phase, dans l'expression de A^, sont

|[2C09*(l'-hl)-t- Sin2tsin2l']zz:{(l -\- C0S2tC0S2l'),

ce qui donne

l — j- i^ iH- cos 2 1 cos 2 1' — sinscsinarcosS,

— T- = I — cos 2 1 cos 2 i' -4- sin 2 i sîn 2 1' cos o.

Il est à remarquer que ces expressions sont s^rmétriques par rapport aux. angles e et H ] on peut donc remplacer ces deux angles l'un par l'autre sans changer les valeurs de A* et de B*.

162. Composantes affaiblies, — Supposons maintenant que les composantes x et^ d'une vibration rectiligne, en même temps que l'une d'elles éprouve une perte de phase o, soient affaiblies dans des rapports différents a et ^; Tamplitude résultante ri de la vibration sera

/•î = a»a*-4-p«^*=r*(a*cos*t-4-P*sin«t).

En posant tange, = — , la vibration elliptique sera définie, par l'angle f'i, comme elle l'était par l'angle i, et Ton aura

/*, ces/, =: aa = ar ces/,

/•| sin /, =1 p ^ = p/* sin i, /•J siii2/i=: afi/' sin2£.

Les amplitudes A et B des composantes rectangulaires parallèles aux axes oÇ et or^ (J^c^- 7^) sont alors

A' = rf cos* ( i' 4- 1*1 ) H- r\ sin 2 ij sin 2 1' sin* - > / B' = r] sin* ( i' 4- /j ) — r\ sin 2 l'i sin 2 i' sin* - >

ou, en remplaçant rt cosf, et r^ sin/| parleurs valeurs,

- - .- (a cos / cos i' — Ô sin £ sin i' )* -r «3 sin 2 1 sin 2 C sin* - j /•* a

— !: (acosi sint' -h 3 siii/cose')* — sS sin 2 1 sin ai' sin*-- /•* a

Si les facteurs a et |ii sont égaux, les directions et le rapport des

PROPRIÉTÉS DBS VIBRATIONS. '225

composantes conjuguées p et q ne sont pas modifiés et il suffit de multiplier par a^=p^ = / l'intensité de la lumière obtenue en supposant qu'il n'y a pas d'affaiblissement.

163. Résultante de deux vibrations rectilignes non rectangulaires > — D'une manière plus générale, on peut déterminer la direction et les axes de l'ellipse à l'aide de deux composantes rectilignes faisant entre elles un angle y-

Les composantes étant

( x':=: a'sinci)/,

'( /r=6'sin((o/— 8'),

leurs projections sur deux axes rectangulaires OÇ et Oïi {fig- 74)7 dont le premier est dans l'azimut 6', peuvent s'écrire

^ Ç= a'cosô'sinw/H- 6'cos(y-— O')sin(a)/ — 8') z= Asin(u)/ -h a), \ Tj 3=— a'sinO'sinw^-h 6' sin (y — 6') sin((«)/ — 8') =: B sin(u)/ -h P).

Si l'on égale les coefficients de sina>/ et cosw/, comme précédemment (158), il suffira de remplacer dans les équations (5) frsinO et 6cos8 par 6'cos(y — 6')et6'sin(Y — 6'), en conservant aux autres lettres les mêmes significations.

Ces équations ainsi transformées donnent alors

ABsîn(a — P) = a'b' sinysino', AB cos (« — p) = a' b' sm (7 — 2 Ô') ces 8' il — •

Pour que les composantes \ et r^ soient parallèles aux axes de l'ellipse, il faut que cos(a — P) = o, ce qui détermine l'angle 0'; il en résulte aussi sin(a — ^) = ± 1 , ou

(6)' AB = ±:a'6'sinYsin8'.

UëquaUon qui donne Tazimut B' des axes de l'ellipse,

a'*sin2Ô' — 6'«sin2(Y — 6')-|-2a'^'sin(Y — aO')cos«',

peut s'écrire sous la forme

a'* sin [^ — (y — 2 0')] = b'* sin [^ -f- (y — 2 6')] 4- a a' 6' sin (y — 2 6') coso'.

En posant langi' = -79 on en déduit

lanff (y - 2^')^ {a''-b")sint ^ cos2i^sîdt

^^' ^ (a'* -h 6'») ces Y -h 2 a' 6' coso' cosy +siD2i'co$o'

Comme on a

A* 4- B* = a'« -h b'^ -^2a'b' cos y cosô', il en résulte

, 2AB 2 a' 6' sin Y sin 8' sin 2 T sin y sin â'

A*-hB^ a''-+-6'*-H2a'6'cosYCos8' 1 -H sin 2*' cos y coso'

On retrouve les expressions obtenues précédemment quand on suppose que les composantes sont rectangulaires ou conjuguées.

c'est-à-dire en faisant v = ih - ou 0'=

Inversement, les mêmes équations permettent de remplacer uoe vibration elliptique par deux vibrations rectilignes, quand on se donne deux angles i', y 6t8', ou deux conditions équivalentes.

En fonction des angles y 6t 0', par exemple, on a

^ sinal sin 21 sin $

sin Y sin 0' — sin 2 1 cos y ces 0' sin y sin 8' — sin 2 1 si n8 cos ycoso

et l'angle i' donnera l'angle 6' par la relation

^,, cos 21' sin Y

lang(Y — 2Ô') =1 : -* — -.

° ' cos Y H- sin 21' cos 0^

164. Transformation des vibrations, — Si l'on impose une perte de phase û| à l'une des composantes j^ de la vibration elliptique (1), on obtient une nouvelle ellipse E|

!x =: a sin (0 /y y zzz b sin {(Mi t — 8 — 0,),

PROPRléxéS DES VIBRATIONS. 227

pour laquelle la direction et le rapport des axes sont donnés par les équations

(7)' lang2Ôi3ztang2icos(8H-8,),

(8)' sin2li=: sin2tsin(o -H 8ij.

Il est clair que Tellipse E| dépend uniquement des angles I, 6 et 8| , c'est-à-dire du rapport des axes de la première £ et de la direction de la composante qui supporte la perte de phase 8|. On pourra faire, par exemple, les calculs de proche en proche, en déterminant les angles auxiliaires i et 8 par les équations (lo), puis les angles Bi et Ii par les équations (7)' et (8)'; Tangle ^ des nouveaux axes avec les anciens sera

Le sens du mouvement sur la nouvelle ellipse £| est lié à celui de la première. Il sufGt, en effet, de changer le signe de Tamplitude b pour renverser à la Fois le sens du mouvement sur les deux ellipses (i) et (1)'.

Réciproquement, si Ton connaît les vibrations elliptiques E et E|, c'est-à-dire les angles I, I1 et ^, on peut déterminer les angles ^1 et 0, c'est-à-dire la perte de phase et la direction de la composante sur laquelle on doit la faire porter, pour passer de la première vibration elliptique à la seconde.

Les équations

COS2/:=COS2ICOS20 i= COS2I1 C0S2 ôj =z C0S2l, C0S2 (6 -H't)

donnent d'abord l'angle 0

tang20 = COt24^ î ; r«

• ^ C0S2liSm2 4'

On a ensuite

^ tang2l tangS— . ^ . >

elles équations "

sin2l sin2li

sm2i= —

sinô sin(8-H8i)

donnent l'angle 8| par l'angle auxiliaire 8

. /> ^v • nsin2l,

228 CHAPITRB IV.

D*uDe manière plus générale, si Ton affecte successivement le mouvement vibratoire de pertes de phase 80 Sa, Ss? •-• qui porteot sur des composantes de directions différentes, ou même si Ton fail subir à la vibration une série de modifications de natures quelconques qui n^altèrcnt pas Tintensité, on transforme finalemeot Tellipse primitive E en une ellipse £|. On voit, parce qui précède, que toutes ces modifications peuvent être remplacées par une seule, puisque la perte de phase résultante S| et Fangle correspondant 0 ne dépendent que des ellipses primitive et finale E et E| et de Tangle ^ de leurs axes.

L'ellipse finale est toujours inscrite dans le rectangle déterminé par les amplitudes a et 6 de deux composantes rectangulaires de la vibration primitive.

165. — Si la vibration elliptique E est donnée, la différence de phase 8 est une fonction de Tangle que font les coordonnées avec les axes de Tellipsc. Les équations (10) donnent

tanguai tango 1= —, — --.

^ sm2Ô

Lorsque l'angle 6 croît à partir de zéro, 8 est d'abord égal à -» puis il diminue jusqu'à 2I pour 26:= -; augmentant de nouveau, il devient égal à - pour 2O = t:, prend une valeur maximum 7: — i>l

pour 2O =^ 3 - et revient à - pour 8 = 7t.

On peut alors choisir l'angle 0 de façon qu'une nouvelle porUde phase 0|, prise enlre des limites convenables, imposée à lacoiiiposanlc y, Iransfonne la vibration primitive en une vibration de forme délermince.

Pour que l'équation (i)' représente une vibration rectilîgne, pai exemple, il faut que la somme 8 f- 3j soit égale à o ou à tc, c'està-dire qu'on ait

tango H- tangôj ^ o;

• /v tans; 2 1 tanff2l

(10)' sin20- ^ - ^

tango tangO|

PROPEIÊTBS DBS VIBRATIONS. aaQ

On voit d'abord que, sî 8| est égal à ±i -> c'est-à-dire si le retard

correspondant A| est égal à ±: ^ > les directions données par Téqua-

tion (loy sont parallèles aux axes de l'ellipse, résultat qui était évident d'après la discussion précédente (1S8).

Dans le cas général, le problème n'est possible, en supposant o <C 8| < it, que si l'angle 8j est compris entre al et it — al.

Lorsque cette condition est remplie, il en résulte pour l'angle 0

deux valeurs, Oj et 82 = 8|. La demi-somme des angles 8j et O2

étant égale à 43®, les deux directions correspondantes sont symétriques par rapport aux bissectrices des axes de l'ellipse E. Comme on a

l'équation (10)' peut s'écrire

(lo^ tangal^=: — sinaô, tango, = — cos(6, — 0,) tangS,.

La direction et le rapport des axes de l'ellipse primitive E se trouvent ainsi déterminés par la bissectrice de l'angle O2 — 6f , la valeur de cet angle et la différence de phase nouvelle 6|.

Si l'on appelle ai et 6| les amplitudes des composantes relatives à la direction Oj et qu'on pose tang/i = —? on a, d'après l'équation (8).

(8)' sinal=rsin3i, sin8-=:±: sinai, sino,.

En éliminant Fangle 5j entre les équations (10/ et (8)'^ on obtient, tontes rédactions faites,

, , cos a I , co9al=:±:

9in(6, — 6, )

Les éléments de l'ellipse primitive E se trouvent ainsi exprimés en fonction de Fangle h% — 6, et du rapport des amplilades des composantes de la nouvelle vibration rectiligne.

Le rapport des composantes a et 6 de l'ellipse primitive pour une direction quelconque h et la différence de phase correspondante 2 se déduiront ensuite facilement des relations générales.

23o CHAPltRB IT.

On a supposé que TaDgle B était compté vers le bas, ou la droite, à partir de Taxe de Tellipse. En appelant 0' Tazimut de cette direction nouvelle, c^est-à-dire compté vers la gauche, par rapport à la bissectrice de l'angle 82 — ^m on a

ce qui donne

, ^ cosai, sinaO'

C0S21 = cosalcosa0= . , ' ;-—>

sin(0, — 6,)

^ tan&:2l taneal

166. — Enfin, si les amplitudes a et b des composantes x et/ d'une vibration elliptique sont inégalement affaiblies par une cause quelconque, en même temps que Tune d'elles éprouve une perte déphasé 8|, les nouvelles composantes peuvent s'écrire

( j — p6sin(a)/— 8— 8,).

On a alors

et le rapport/ de l'intensité nouvelle à l'intensité primitive est

/rr /^^»y-aîcos*iH-p«sin*i.

Si Ton pose tange = -, ce qui donne

cos'e sin'e on peut écrire

a' ., , I 4- COS2eCOS2«

— II -h C0S2eC0S2l) rz: a' .

*£ I-hCOS2e

2 ces

Posant enfin tange, rzz '— , on pourra déterminer Tellipse résul-

PROPRIÉTÉS DES VIBRATIONS. '23l

tante par les équations

COS 2 « = CCS 2 I CCS 2 6,

tang2l tango = . ^ y ° sin26

tangiii= - tan g 1=: tan g slang i,

(*7) j sin2l|=i sin2iisîn(8 4- 5,),

tang26,= tang2i, cos(8 -h 8j),

- I -h COS2ECOS2I A?-i-B?

fz=z or izz — •

•^ i-hcos2Ê r*

Les trois premières donnent successivement les angles auxiliaires i, S et {| ; les trois suivantes, le rapport et la direction des axes de Tellipse E, et la dernière la somme des carrés des axes.

167. — Inversement, si Ton connaît Tellipse finale E| par les angles I| et ^ et la fraction i — / de lumière perdue, par suite d'une ou de plusieurs modifications successives de natures quelconques imposées à la vibration primitive E, et si Ton se donne en outre l'un des coefficients a et jî ou leur rapport par l'angle s, on peut en déduire les angles 8, 8| et les coefficients a et p, c'està-dire les conditions dans lesquelles devrait avoir lieu une modification unique pour transformer une vibration elliptique E et une vibration elliptique quelconque E|.

En effet, quand on connaît les angles I, I|, ^ et e par exemple, les équations (17) suffisent pour déterminer les huit inconnues /, i|, 8, S|, 0, 6|, a et p.

La solution ne correspond à un phénomène physique réel que si les coefficients a et ^ sont plus petits que l'unité, c'est-à-dire que l'ellipse finale E| doit être comprise dans le rectangle déterminé par les amplitudes de deux composantes rectangulaires de la vibration primitive.

Si l'on admet, comme cas le plus simple, que les coefficients a et ^ soient égaux, ou tange = 1 , il en résulte 2| =: i\ les équations qui donnent les angles 6 et S| sont les mêmes que si Tintensilë n'était pas modifiée, et l'on a

Ainsi, Ton peut passer d^une vibration elliptique quelconque E aune autre vibration elliptique quelconque E| d'intensité moindre par une modification unique qui apporte une perte de phase déterminée 8| sur une composante dont la direction est définie, et qui diminue les deux amplitudes dans le même rapport.

168. Composition des vibrations elliptiques. — Deux vibrations elliptiques £| et £2 rapportées à des axes rectangulaires peuvent être représentées par les équations

( :Fi=i a, sin(a)^-4- aj), i x^T=:a^%\n(tùt -^-v^)^

\ ji=6jsin(a)^-|-a,-7 0,); j j^, = 6jSin(cor -f-aj— 0,).

Les deux ellipses sont définies respectivement par les quantités ^1 , 6| , 0| et ^2, 629 ^2 6t Ton peut supposer que toutes les amplitudes sont positives.

Les projections de la vibration résultante étant

a:=iasin((«)^ + a), ^=:6sin((«)^4-a — 5),

(«9) on a

a' =: aj -4- aj -h 2a|a2Cos(ai — «j),

^>»= 6J 4- ^î 4- 2 ^t^i cos[a, — a,— (oj— 0,)],

(20) / tanga=z^^^^""^ + ^>^'""S

^ ^ «iCosaj-H ajcosa,

tang(a-S)= />.sin(a.-8.) + Min(«,-S.) ° ' 6iC0s(a, — ôj) -h 6,cos(a, — ô,)

La forme de la vibration résultante n^est déterminée d^une manière simple par celles des ellipses proposées que dans des cas |)articulicrs.

Si les vibrations E| et E2 sont semblables et de même sens, et que leurs axes homologues soient parallèles, ce qui correspond aux

conditions ô| = O2 el — = — ^ il en résulte

ai a,

— ^^2 ^~~ "ZHZL ^^— •

a tti a^

0 = Ôiz:3:û. et

La vibration résultante est donc de même forme et de même sens que les vibrations proposées.

PROPRIÉTÉS DES VIBRATIONS. a33

169. Vibrations elliptiques conjuguées. — En désirant par /*!, r^ et r les amplitudes résultantes des trois vibrations considérées, on a

r*=:rj-t- r*-|-2Ja,a,cos(a,— a,) -h 6,6,cos[a, — a,— (Si— 5,)]j.

Pour que le dernier terme s'annule, quelle que soit la différence de phase a, — t.^ des deux composantes parallèles à Taxe des x^ il faut qu'on ait

( 6,^,sin(8,— 8,)=:o,

I a,a,-h 6i6,cos(ô,— 0,) =10.

Dans ce cas, l'intensité de la vibration résultante est toujours égale à la somme des intensités des deux vibrations proposées.

En excluant le cas de deux vibrations rectilignes rectangulaires, qui jouissent toujours de cette propriété (156), les équations (21) exigent les conditions

sin(8t — 8,) nr o et ûf,a,iir 6, 6, — o,

c'est-à-dire

8i — 8, m 2mT ou

81 — 8j=:(2/7I -4- l)îC.

Si l'on représente par k le rapport — > on a alors, suivant qu'on adopte la première ou la seconde solution,

et les vibrations (18) peuvent s'écrire

(^1= aisin(a)^ -H «i), i J?,=iip A:^,sin(a)^ -h a,),

I ^1 = A:aisin((«)^ -h «1 — 81); ( j, = it: 6,sin(a)^-4-aj — 81).

Dans les deux cas les vibrations E| et E2 sont de sens contraires. En outre, les deux ellipses ont les mêmes axes; car, si l'on choisit

les coordonnées rectangulaires de manière que 0| = di % les deux

ellipses sont rapportées à leurs axes.

EnGn les ellipses sont semblables et leurs axes homologues rec-

234 CnAPITRB IV.

tangulaires, puisque le rapport des amplitudes des composantes

est égal à k pour Tune d'elles et j pour Tautre.

Deux vibrations elliptiques semblables, de sens contraires et dont les axes homologues sont rectangulaires, jouissent donc de la même propriété que deux vibrations rectilignes conjuguées (loo), c'est-à-dire que l'intensité de la vibration résultante est égale à la somme des intensités des deux vibrations proposées. Nous les appellerons vibrations elliptiques conjuguées.

170. Composantes circulaires et elliptiques d'une vibration. — Il est clair qu'une vibration elliptique E, représentée par les équations (19), peut toujours être remplacée par deux autres vibrations elliptiques E, et E2(i8). Les équations de condition (70) ne donnent que quatre relations entre les huit inconnues ai , fr| , ai, 0| et ^72, 62, as, 02, et le problème a une infinité de solutions. On peut, en cflct, choisir arbitrairement l'une des composantes E| oa E2. Nous examinerons seulement les cas qui trouvent leur application dans les phénomènes d'Optique.