TOME PREMIER

1. Phénomènes principaux, — Quand on laisse pénétrer la lumière dans une chambre obscure par un orifice étroit, l'expérience montre qu'elle se propage en ligne droite, ou en rayons rectilignes, depuis la source jusqu'à l'objet éclairé, sans contourner les corps opaques, au moins d'une manière sensible. En d'autres termes, la lumière ne pénètre pas en quantité appréciable dans l'ombre géométrique, c'est-à-dire dans l'espace limité par une droite partant de l'orifice et qui s'appuie sur le contour des corps opaques.

Les rayons lumineux sont de natures diflférentes, définies par l'impression de couleur qu'ils produisent sur l'œil.

Les rayons qui tombent sur une surface polie se réfléchissent en changeant brusquement de direction à la surface, et les lois qui règlent la direction des rayons réfléchis sont indépendantes de la couleur.

Enfin, si les rayons lumineux tombent sur la surface de séparation de deux milieux transparents, une partie d'entre eux s'y réfléchit, l'autre y pénètre dans une direction nouvelle; ces derniers sont réfractés suivant une loi déterminée, et la réfraction n'est pas la même pour les difl'érentes couleurs.

Un rayon de lumière blanche se divise ainsi par réfraction en une série de rayons de couleurs difl*érentes, inégalement déviés, M. — I. I

de sorte que la lumière primilive est dispersée dans une certaine ouverture angulaire.

Telles sont les propriétés dont on a cherché d'abord à rendre compte et qui ont donné lieu dans la science à deux théories principales, la théorie de Vémission et la théorie des ondulations,

2. Théorie de l^émission. — Ce premier aperçu des phénomènes fait naître Tidée naturelle que la lumière est due à un transport de molécules matérielles, mais impondérables, émises par les sources; ces molécules sont de natures différentes qui correspondent aux différentes couleurs, elles se propagent avec une vitesse constante particulière à chaque couleur, comme le feraient des projectiles dans un milieu sans frottement.

A la rencontre d'un nouveau milieu, les molécules se partagent en deux groupes : les unes rebondissent à sa surface et reviennent dans le premier milieu, les autres pénètrent dans le second milieu pour s'y propager avec une vitesse différente et dans une autre direction.

On admet que les masses pondérables exercent sur les molécules lumineuses des actions attractives ou répulsives, qui diminuent très rapidement à mesure qu^la distance augmente pour devenir insensibles à une distance physiquement appréciable. L'absence de frottement implique la conséquence que ces actions sont indépendantes de la vitesse relative, de sorte que dans un même milieu la résultante est toujours nulle; la propagation de la lumière est donc rectiligne et uniforme (*).

3. Lois de réflexion et de réfraction, — Lorsqu'une molécule lumineuse, qui se propage dans la direction SA {fig, i), arrive à la séparation S de deux milieux différents, les actions des masses pondérables sont altérées dans l'espace compris entre deux surfaces S| et S' situées de part et d'autre de la surface S; la molécule suit un chemin curviligne pour arriver par une courbe de raccordement de très petite étendue, AA| ou AA', à une autre

(') Newton, New Theory of light and colours {Phil. Trans. L. JR. S., 1672).

trajectoire recliligne A| S| dans le premier milieu ou A' S' dans le second, suivant qu'elle subit la réflexion ou la réfraction.

La forme des courbes de raccordement dépend de la loi des actions moléculaires, mais ces courbes ne sont pas observables et il n'est pas nécessaire de les faire intervenir pour trouver les directions finales des ravons.

Il est évident d*abord, par raison de symétrie, au moins pour les milieux qui jouissent des mêmes propriétés dans toutes les directions, que le rayon réfléchi A| S| et le rayon réfracté A' S' sont dans le plan qui passe par le rayon incident SA et la normale à la surface S, ou dans le plan d'incidence.

Fig. I.

\ li i y — X^ ^V V

Soient i\ i| et i^ les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, c'est-à-dire les angles des rayons incident, réfléchi et réfracté avec la normale à la surface S; V, V « et V les vitesses de propagation des rayons incident, réfléchi cl réfracté, ou celles des molécules lumineuses correspondantes.

Si Ton remplace ces vitesses par leurs composantes parallèles et perpendiculaires à la surface, il est clair que les composantes parallèles à la surface conservent la même valeur dans tous les cas, puisque la résultante des actions des masses pondérables des deux milieux reste normale à leur direction. On a donc

( I ) V sin l - V, sin Zj - V sin /'.

Pour les molécules réfléchies, le travail final des actions moléculaires est nul, puisque ces travaux étaient de signes contraires dans les deux portions AC et CA| de la courbe de raccordement. La force vive de la molécule réfléchie n'a donc pas changé et

Ton a

Vîr^V» ou Vi-rV; il en résulte

Ainsi la réflexion ne change pas la vitesse de propagation et Tanglede réflexion est égal à Tangle d^incidence. Ce sont les lois connues de la réflexion.

Pour les molécules réfractées, la résultante des actions des deux milieux a produit sur une molécule entre les surfaces S| et H un travail positif ou négatif, qui est indépendant du chemin parcouru et qui peut dépendre de la nature de la lumière.

Pour une couleur déterminée, Taccroissement de force vive ou du carré de la vitesse V'=* — V^ est donc une constante. Par suite, la vitesse V de propagation dans le milieu inférieur est indépendante de Tangle d'incidence des rayons primitifs.

L'équation (i) donne alors

shu V sine' V

Le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction est constant; c'est l'indice de réfraction n du second milieu par rapport au premier. On retrouve donc la loi connue de la réfraction ou loi de Descartes ( * ).

4. Pouvoir réfringent. Puissance réfractive. — Dans le vide des espaces planétaires, toutes les couleurs se propagent avec la même vitesse. Comme la diff*érence V'^ — V=^ est constante, si l'on suppose que le milieu supérieur soit le vide, on peut écrire

Le facteur k exprime le rapport de Taccroissement de force vive de la molécule à la force vive primitive 5 il est proportionnel au travail des actions des masses pondérables. Newton appelle

(*) DescâRTES, Dioptrica (Lugd. Batav., lôJ;).

pouvoir réfringent d'un milieu ce rapport A", ou Texcès n^ — i du carré de Tindice de réfraction sur Tunité.

Si le second milieu change de densité, sans changer de nature, ou, d'une manière plus générale, si les forces agissantes conservent la même forme pour deux milieux différents, le travail des masses pondérables est proportionnel à la densité d du milieu et Ton peut écrire

k^= n^ — I T^ hd ou — . — = /i.

Le rapport — -, — Q^l\e pouvoir réfringent spécifique, ramené

à l'unité de densité pour le milieu considéré, ou la puissance réfractive.

Ce rapport serait constant pour tous les milieux si les forces agissantes étaient simplement proportionnelles aux masses.

5. Difficultés de la théorie, — La théorie de l'émission permet d'expliquer très simplement, comme on le voit, les lois géométriques de la réflexion et de la réfraction; mais il ne suffît pas, pour une théorie valable, qu'elle rende compte de quelques faits, il faut encore, sinon qu'elle les expUque tous, au moins qu'elle ne soit contradictoire avec aucun d'eux. Le véritable caractère d'une théorie exacte consiste même à en faire prévoir de nouveaux comportant des vérifîcations numériques.

Nous remarquerons d'abord que la théorie de l'émission est muette sur les raisons pour lesquelles une molécule lumineuse subira de préférence la réflexion ou la réfraction, ainsi que sur le partage des molécules initiales entre le rayon réfléchi et le rayon réfracté.

On échappe à cette première difficulté par l'hypothèse des accès. Les molécules lumineuses ne se présentent pas toujours de la même manière à la surface de séparation de deux milieux : par suite d'un état particulier, tel que l'orientation si elles ne sont pas sphériques, elles se trouvent dans une suite de phases périodiques que Newton appelle accès de facile réflexion ou de facile transmission. Si T est la période, on peut appeler longueur d'accès l'espace )v = VT parcouru par la lumière pendant une période. Ces accès n'indiquent d'ailleurs qu'une disposition des molécules

qui n'a rien de déterminant, puisque la succession des accès est évidemment indépendante de Tangle d'incidence, tandis que, d'après l'expérience, le rapport des intensités des rayons réfléchi et réfracté, c'est-à-dire le rapport du nombre des molécules de même espèce qui ont subi l'une ou l'autre des deux opérations, varie, dans de grandes limites, avec l'angle d'incidence et avec la nature du second milieu.

D'autres difficultés analogues pourront être levées par de nouvelles hypothèses qui ne seront qu'une manière de spécifier plus complètement les propriétés des molécules lumineuses, sans qu'on soit autorisé à les présenter comme des objections à la théorie; mais nous trouvons dès le début une conséquence qui peut être soumise au contrôle de l'expérience. On doit avoir V'> V, si l'indice de réfraction n est plus grand que l'unité. En d'autres termes, la vitesse de propagation de la lumière doit être plus grande dans les milieux plus réfringents. Les expériences célèbres de Foucault etdeM.Fizeau, sur lesquelles nous reviendrons plus tard, montrent que cette conséquence est exactement le contraire de la vérité. La théorie de l'émission se trouve donc infirmée d'une manière définitive par celte contradiction avec l'expérience sur un fait aussi capital et elle ne présente plus aujourd'hui qu'un intérêt historique, malgré l'autorité des savants qui l'ont soutenue avec le plus d'ardeur.

6. Principe de la moindre action, — On arrive au même résultat plus rapidement en appliquant le principe de la moindre action ('). Lorsque les actions qui s'exercent sur un mobile sont dirigées vers des points fixes et ne dépendent que des distances, c'est-à-dire que les forces sont centrales, les équations du mouvement peuventse traduire d'une manière synthétique en disant (|u'entre deux points P el P| l'intégrale y v^rf^ est un minimum, \> désignant la vitesse du mobile sur l'élément ds de la trajectoire.

Si, pour une molécule lumineuse, les points P et Pi sont pris dans le milieu supérieur sur le rayon incident et le rayon réfléchi, la vitesse a la même valeur V dans les portions rectilignes s et s^

(') Laplack, Mémoires de la première Classe de V Institut, l. X, p. 3oo ; 1807.

des trajectoires. En appelant d^ un élément de la courbe de raccordement, rintégrale se réduit à

V(5 4-5i) -{- fvda.

Le dernier terme de cette expression est extrêmement petit, et Dégligeable en présence du premier, de sorte que le problème se réduit à chercher les chemins rectilignes 5 et 5| dont la somme est minimum pour aller du point P au point P' en touchant la surface S. C'est évidemment, au moins dans le cas où la surface S est plane, la route définie par la loi de réflexion.

Si les points P et P' sont situés de part et d'autre de la surface S, que nous supposerons plane, l'intégrale se réduit encore, en négligeant le terme relatif à la courbe de raccordement, à V^ -h W, s et s^ étant les chemins rectilignes comptés jusqu'au point M de la surface où le mobile change de milieu. Par raison de symétrie, ce point M (/Ig» 2) est dans le plan normal à la surface S qui

Fig. 2.

passe par les points donnés. Abaissant des perpendiculaires PQ z= p et P'Q'= p' sur la surface S, appelant i et l'ies angles d'incidence et de réfraction, et q la distance QQ', on a d'abord

(2) <7=/^ tang/-+- p' tangT,

d'où

p di p' di!

cob* i ces- i'

D'autre part,

cosz cose'

Pour que cette dernière expression soit un minimum, il faut qu'on ait

\ psinidi V p' si n /' d£'

^ ces'/ cos'r

La comparaison des équations (2)' et (3) donne (i)' V sine in V sine',

c'est-à-dire l'équation (1).

7. Théorème de Fermât (*). — On peut chercher aussi quel est le chemin que doit parcourir la lumière pour aller d'un point à un autre pendant le temps minimum. Si l'on applique ce principe au rayon réfléchi, les molécules lumineuses ne changeant pas de milieu, il en résulte encore que la somme des chemins rectilignes s et Sy doit être un minimum, ce qui donne la loi de la réflexion.

Pour les rayons réfractés, on doit rendre minimum la somme

s s' des temps t? H- v7 4"^ "^^^ '^ molécule à aller de P en M et de M

en P' dans deux milieux difTérents avec les vitesses respectives V et V. 11 suffit donc de remplacer dans le calcul qui précède les vitesses V et V par leurs inverses, et l'équation (i)' devient

sin£ sin/' sini V

^ V V sinr V

Les sinus des angles d'incidence et de réfraction sont encore proportionnels, mais avec la condition V > V lorsque /i>i, contrairement au résultat donné par la théorie de l'émission.

La considération du temps minimum conduit donc à une conséquence conforme à l'observation et paraît ainsi devoir s^appliquer plutôt aux phénomènes optiques que l'hypothèse de l'émission.

8. Théorie des ondulations, — Nous n'avons pas fait intervenir jusqu'à présenties phénomènes de diffraction, c'est-à-dire la pénétration réelle, si faible qu'elle soit, de la lumière dans l'ombre

(') Fermât, Lettre de 1689. Varia opéra math., p. i56; Tolosx, 1679.

géométrique des corps opaques, qui présente des difficultés insurmontables dans la théorie de rémission. Cette expansion latérale devait conduire à l'idée d'un mouvement vibratoire analogue aux mouvements qui produisent le son. L'hypothèse des ondulations a trouvé, pour ainsi dire, une démonstration irréfutable dans les expériences par lesquelles Young et Fresnel ont montré que les effets lumineux peuvent s'exalter réciproquement ou s'entre-dé- Iruire, et elle se prête d'une manière si merveilleuse à l'explication de tous les phénomènes d'optique qu'elle est aujourd'hui universellement adoptée.

9. Première idée des ondes. — Les phénomènes que Ton observe à la surface d'une eau tranquille donnent une première idée des ondes. Quand une pierre tombe dans l'eau, la surface est déprimée au point de chute, et il se forme tout autour un bourrelet liquide. Le bourrelet s'agrandit aussitôt suivant une circonférence dont le rayon est proportionnel au temps ; il est suivi par une dépression circulaire qui se propage avec la même vitesse, et la surface générale revient sensiblement au repos, en chaque point, après le passage apparent du bourrelet et de la dépression.

Tous les points du liquide qui, à un moment donné, sont dans le même état de mouvement par rapport au centre forment une onde, qui se réduit dans le cas actuel à une circonférence. Les molécules liquides qui participent au mouvement appartiennent ainsi successivement à des ondes différentes pour revenir à l'état de repos, et chacune d'elles a décrit une courbe fermée. On peut dire qu'un mouvement déterminé s'est propagé à partir du centre avec une vitesse constante U, qui dépend de la densité et de la profondeur du liquide.

10. Principe d^Huygens. — Si l'on imagine qu'un effet analogue, au lieu d'être limité aux couches supérieures d'un liquide, se produit dans toute la masse d'un milieu où les ondes seront des sphères concentriques, on aura l'image de la manière dont Huygens se représentait les phénomènes lumineux.

Lorsque le bourrelet liquide qui provient de la chute d'une pierre dans l'eau forme à l'époque t une circonférence S de rayon R (Jig* 3), il est clair que l'effet direct de la pierre a disparu et

lO

que la formation d'une onde S' de plus grand rayon R', à l'époque /', est la conséquence directe de l'état actuel du liquide. On obtiendrait évidemment le même résultats!, par un moyen quelconque, on avait donné à chacune des molécules liquides M qui constituent l'onde S le déplacement et la vitesse qui lui sont propres. On peut donc considérer une onde S', à l'époque ^, comme l'effet résultant

des ondes élémentaires s qui seraient produites par le mouvcmeut, à l'époque ^, des différentes molécules M du liquide qui font partie de l'onde générale S dans un état antérieur et qui seront considérées comme des centres d'ébranlement. Ces ondes élémentaires se propageant avec la même vitesse U, leur rayon à l'époque /' est U(/' — t) et l'onde générale résultante S', dont l'accroissement de rayon est aussi R' — R = U(^' — ^), est l'enveloppe de ces ondes élémentaires.

II reste à expliquer toutefois pourquoi l'onde S ne produit pas aussi bien une onde rétrograde S" à la même distance et surtout pourquoi tout mouvement appréciable disparaît à une très petite distance de la surface S'.

On peut bien remarquer que le déplacement des molécules qui constituent Tonde S a lieu dans un plan normal et que sur l'onde élémentaire propagée le mouvement doit être aussi maximum sur la normale; qu'en outre les ondes élémentaires sont beaucoup plus serrées dans le voisinage de la surface enveloppe et doivent y produire le maximum de mouvement.

Cette dernière raison est moins démonstrative qu'elle ne le paraît sur une figure plane, quand on considère le phénomène dans

PRELIMINAIRES. Il

l'espace avec des ondes sphériques. Dans lous les cas, le mouvement des ondes élémentaires est loin d'être insensible à une distance notable de Fenveloppe et Ton ne voit pas comment il est possible d'expliquer le repos absolu auquel arrive le milieu après le passage de l'onde (*).

Il est nécessaire, en effet, de compléter le principe d'Huygens et de faire intervenir la composition des mouvements des ondes élémentaires, c'est-à-dire le principe des interférences. En outre, quand il s'agit de phénomènes vibratoires comme les effets d'acoustique ou de lumière, on ne doit pas considérer une onde unique, mais une série d'ondes de caractères différents qui se succèdent périodiquement en chaque point. Si Tébranlement central, au lieu d'être unique comme nous l'avons supposé d'abord, est lui-même périodique, les ondes qui en émanent se suivront avec le même caractère de périodicité ; dans ce cas il n'est pas évident, et il est même inexact, que la vitesse de propagation pour chacune d'elles soit la même que si elle provenait d'un ébranlement unique.

i\ , Notion du mouvement vibratoire. — Considérons un milieu homogène et isotrope, c'est-à-dire tel que deux éléments de volume pris en des points quelconques soient identiques etqu^aulour d'un point les propriétés soient les mêmes dans toutes les directions. Sans faire aqcune hypothèse particulière sur la constitution du milieu, si ce n'est qu'il soit élastique, il suffira de remarquer que, lorsqu'il est en repos, la résultante de toutes les actions qui s'exercent sur chacune des molécules qui le constituent est nulle. Quand on déplace une ou plusieurs molécules de leur position d'équilibre, les réactions élastiques qui en résultent tendent à les ramener vers leur position primitive.

(') ce L'on voit de plus que l'onde S' est dclcrmince par l'extrémilc du mouvement, qui est sorti du point A (source) en certain espace de temps; n'y ayant point de mouvement au delà de cette onde, quoy qu'il y en ait bien dans l'espace qu'elle enferme, sçavoir dans les parties des ondes particulières, lesquelles parties ne touchent point la sphère S'. Et tout cecy ne doit pas sembler estre recherché avec trop de soin, ni de subtilité; puisque l'on verra dans la suite que toutes les proprietez de la lumière, et tout ce qui appartient à sa reflexion et à sa refraction s'explique principalement par ce moyen. » IIuyoens, Traité de la lumière, p. i8; Leide, ifigo.

l» CHAPITRE I.

12. Période, — Nous supposerons d'abord que l'ébranlemenl central, étant limité dans un espace très petit ou dans le voisinage d'une surface fixe, a un caractère périodique, en d^autres termes, qu'à deux époques quelconques séparées par un intervalle de temps T appelé période, une molécule se retrouve exactement dans le même état, c'est-à-dire au même point et avec la même vitesse. Ce mouvement se communiquera au milieu environnant et, une fois le régime permanent établi, on retrouvera la même périodicité en chaque point du milieu, c'est-à-dire dans le mouvement propagé. Toutefois les déplacements et les vitesses diminuent à mesure que la force vive de l'ébranlement central se communique à des surfaces plus étendues.

Si l'ébranlement central était symétrique, comme léseraient les vibrations produites par les contractions et les dilatations d'une sphère, il est clair que la même symétrie existerait dans le milieu et que tous les points d'une surface sphérique concentrique à la première auraient des mouvements identiques, c'est-à-dire des oscillations dans le sens du rayon, de part et d'autre de leur position d'équilibre. Tous ces points formeraient une onde.

Ce cas est tout à fait exceptionnel. En réalité, l'ébranlement central est loin de satisfaire en général à cette condition de symétrie, soit parce qu'étant môme renfermés dans un espace très petit les déplacements sont de nature quelconque, soit que la surface, au voisinage de laquelle ils sont limités, ait une forme différente de la sphère. Alors on ne peut plus trouver dans le milieu une série de points formant une surface continue et animés de mouvements identiques en toute rigueur, mais cette condition sera sensiblement remplie pour tous les points d'une aire infiniment petite, surtout lorsqu'elle est située à une grande distance du centre d'ébranlement.

13. Définition des ondes, — On déGnira donc Vonde comme une surface telle que les points infiniment voisins aient des mouvements identiques, ou comme le lieu des points dont les mouvements diffèrent le moins possible les uns des autres quand on les considère de proche en proche. C'est la surface de déformation minimum des vibrations.

14. Longueur d'onde. — Soit S {Jig^ 4) une surface présenlant ce caractère et menons la normale au point M. C'est suivant cette normale que les mouvements des points successifs diffèrent le plus les uns des autres, mais en s'éloignant de la surface S on trouvera un premier point M' dont le mouvement est identique à celui du point M, sauf un petit changement de grandeur dû à rinégale distance à la source. La surface d'onde S' passant par le point M' présentera le même caractère que la surface S, en ce sens

Fig.1.

que deux points de ces surfaces situés sur la même normale ou sur des normales infiniment voisines seront dans des états vibratoires à peu près identiques. On trouvera, de même, un point M" et une surface S'' jouissant des mêmes propriétés, et ainsi de suite.

Si ces ondes successives sont des surfaces planes, il est clair, par raison de sj'métrie, qu'elles sont équidistantes, et leur distance normale MM' est la longueur d'onde \ du mouvement vibratoire. Cette équidistance n'est plus aussi évidente quand les ondes ne sont pas planes, mais il doit en être ainsi tant que les ra}^ons de courbure des surfaces sont très grands par rapport à la longueur d'onde, et l'on peut admettre cette propriété comme générale, au moins en ce qui concerne les phénomènes d*optique où la longueur d'onde n'atteint jamais un millième de millimètre.

15. Propagation. — Vitesse. — A une certaine époque /, les mouvements des points M, M' etM'^ sont identiques, sauf l'affaiblis-

l4 CHAPITRE I.

sèment dû au changement de distance à la source. Un instant après, ce même état se retrouve en des points N, N', N", ... à des distances égales MN, M'N', M"N", ..., et revient de nouveau aux points M', M'', ... au bout du temps T, c'est-à-dire à l'époque / -l-T, puisque ces différents points auront alors repris leur étal primitif. C'est dans ce sens que l'on peut dire qu'il y a propagation d'une onde S, qui occupe successivement aux époques /, / -I- T, / + aT, ... les positions S, S', S'', ... ; comme l'espace parcouru pendant une période T est égal à la longueur d'onde X, la vitesse de propagation V est donnée par la relation

V = ^, ou XziiiVT.

Il n'existe, a priori, aucune relation simple entre cette vitesse V et la vitesse U qui correspond à la propagation d'un ébranlement unique.

Pour la lumière, la longueur d'onde est variable avec la couleur, plus grande pour le rouge que pour le bleu, et sa valeur moyenne est d'environ j millième de millimètre, ou oH-,5. Comme la vitesse de propagation V dans l'air est voisine de 3oo ooo''™ par seconde, la période de vibration est une fraction de seconde donnée par l'expression

rp >^ 0,5 5