Phase, — Le mouvement au point M à l'époque t est le
même qu'au point M' à l'époque ^-hT = /4-^, le même aussi
qu'en tai" à Tépoque ^ -i- 2T = / -f- a ~ et, en général, qu'en un
MP
point quelconque P à l'époque t -\ — r^--
La distance MP = A est la différence de marche des vibrations aux points M et P ou le retard de la seconde sur la première ; c'est le chemin parcouru par l'onde pour aller de M en P. On appelle différence de pha^e^ ou quelquefois anomalie, des mouvements des points P et M la quantité
PRÉLIMINAIRES. lO
Les vibrations de deux points situés sur une même normale aux ondes, ou sur deux normales voisines, sont concordantes lorsque le retard est d'un nombre entier de longueurs d'onde ou la différence de phase d'un nombre entier de fois 2tc.
17. Modification d^amplitude. — Lorsque la distance des points que Ton compare est de même ordre que leur distance à la source, leurs mouvements ont des amplitudes très inégales.
Si l'on considère toutes les ondes concordantes à un instant donné et sur chacune d'elles une couche d'épaisseur t très petite par rapport à la longueur d'onde, la force vive du mouvement compris dans cette couche est la même pour toutes les ondes, puisque cette force vive correspond à l'énergie dépensée par la
source pendant un même temps 0 = T y* En appelant p^ le carré
moyen de la vitesse du mouvement vibratoire dans une de ces couches et m la masse correspondante, on aura donc une série de valeurs égales
me' — m' c'* z:^ m" c"- zzr . . . .
Pour des ondes sphériques, les masses m, m', ni" ^ . . . sont proportionnelles aux surfaces des ondes correspondantes, cl, par suite, aux carrés de leurs rayons R, ce qui donne
ou
R(^ =1 const.
L'énergie du milieu, par unité de volume, est proportionnelle au carré moyen de la vitesse et, par suite, en raison inverse du carré de la distance de la source. Pour les phénomènes optiques, en particulier, cette énergie représente la quantité de lumière reçue; c'est le principe de X^l pho tome trie,
18. Mouvement périodique à centre, — Nous admettrons encore que les différents points de la source décrivent des trajectoires à centre, c'est-à-dire qu'à deux époques distantes d'une
T demi-période - les déplacements et les vitesses sont symétriques
par rapport à la position d'équilibre. Le mouvement propagé dans
l6 CHAPITRE I.
le milieu aura le même caractère. Dans ce cas, tous les points P«, Pa, Ps, . . » situés à égale distance, entre deux ondes consécutives, appartiendront à des ondes S«, S2, S3, . . . {fig* 4) sur lesquelles Tétat vibratoire sera le même et de signe contraire que pour les
surfaces S, S', S'',
On voit, d'après cela, que les mouvements de deux points sont concordants ou discordants suivant que leur différence de marche est égale à un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'onde, suivant aussi que leur différence de phase est égale à un nombre pair ou impair de fois ir.
19. Représentation analytique du mouvement vibratoire, — La projection sur un axe du mouvement vibratoire d'un point est une fonction périodique dont la période est T.
En posant, pour abréger l'écriture, (»)= -^*, il résulte d'un
théorème de Fourier (*) que toute fonction de cette nature peut être exprimée par une série de termes de la forme suivante
j? :=: dTi sin (w ^ -H «1 ) -H a, sin (2 (0 ^ -h a, ) 4- . . . -I- a„ sin ( /i u) ^ 4- 2« ) -h. . . .
Si la trajectoire du mouvenrent périodique est une courbe à centre, la valeur de x doit changer de signe quand on remplace
t par t -\ — ) c'est-à-dire iùt par (oZ-hir, et les coefficients des
termes d'ordre pair doivent être nuls.
Le mouvement le plus simple esX donné par le premier terme de la série et l'expérience montre qu'il suffit pour rendre compte de tous les phénomènes d'optique. La projection sur un axe du mouvement vibratoire, que nous appellerons souvent vibration pour abréger, peut donc être représentée par l'expression
= asin ( -7p ^-f- a J m asin(u>^ -4- a).
Le facteur a est V amplitude de la vibration, ou l'écart maximum à partir de la position d'équilibre; T est la période, et l'angle
(') Fourier, Théorie de la chaleur {Œuvres^ t. I, p. ao8).
-j^f-f-a=o)f-4-a \dL phase à Tépoque /, a étant la phase à l'origine dq temps. Si Ton imagine qu'un mobile décrive une circonférence de rayon a de gauche à droite avec une vitesse angulaire uniforme w, la valeur de x représente Tabscisse de la projection du mobile et co/ -h a Tangle que fait le rayon vecteur avec un axe perpendiculaire à or, a étant la valeur de cet angle à Torigine du temps.
Pour deux points P et P situés sur des ondes différentes dont la distance normale, ou la différence de marche, est A, la vibralion en F à l'époque t est la même, sauf la variation d'amplitude,
que la vibration au point P à Tépoque antérieure t' =z t — ^> et 'eur différence de phase est
Si la vibration en P, à l'époque t^ est a sin(c«)/ -i-a)> la vibration au point P', à la même époque ^, est
asincaf^ — rç\ -+-a =a sin (w ^ -h a — 8) .
20. Principe des petits mouvements, — Interférences. — Lorsqu'un milieu est soumis à l'action de différentes sources de vibrations, le déplacement d'un point peut être considéré comme la résultante géométrique des déplacements qui seraient produits séparément par les différentes sources. En d'autres termes, la nature du mouvement que fait naître une source dans un milieu déjà troublé par d'autres sources est la même que si elle agissait seule, pourvu que les mouvements considérés soient très petits. C'est le principe de la superposition des petits mouvements, ou le principe des interférences, dont l'application aux phénomènes lumineux est due à Thomas Young ( * ).
Différentes sources, par exemple, agissant séparément sur un milieu donneraient à un même point, à une époque déterminée.
(«) Th. Youno, On the theory 0/ Light and Colours {Phil, Trans, L, R, S., p. 12; 1803).
des déplacements OA, OB, OC, ... {^fig* 5); pour obtenir le déplacement réel dû à Faction simultanée des sources, il suffira de joindre le point O à Textrémité du polygone formé en ajoutant bout à bout ces déplacements OA, AB'= OB, B'G'= OC, ....
La projection du déplacement résultant OC sur un axe est la somme algébrique des projections des mouvements composants OA, OB, OC, .... Si Ton considère, par exemple, un milieu discontinu formé de points matériels distincts, exerçant les uns sur les autres des actions attractives ou répulsives qui varient avec leur distance réciproque, le principe ne sera applicable que si les
Fig. 5.
déplacements des points matériels restent très petits par rapport à leur distance moyenne.
Pour la lumière en particulier, Texpérience indique que toutes les lois sont indépendantes de Tintensité et, par suite, de Tamplitude des mouvements, de sorte que le principe peut être admis en toute rigueur.
Les vitesses se composent suivant la même loi. En effet, les projections sur un axe des mouvements composants étant Xi, ^2) ^3) • • • 9 la projection x du mouvement résultant est
ce qui donne
dx
^ rrz j^i -i- ^2 4- :r3 -f- . . . ,
r/.rj dx^ dx^
dt
dt
dt
Il peut arriver qu'à toute époque le mouvement résultant soit nul ou perpendiculaire à Taxe de projection. Il y a alors interférence complète des mouvements élémentaires, ou seulement interférence partielle pour les projections sur Taxe considéré.
