I -h COS
cosK
sin(2f^— R) cosR
Ce sont les expressions trouvées plus haut (174), sauf la substitution de Tangle H à l'angle i, pour les composantes cîrculaire> gauche et droite d'une vibration primitive rectiligne.
177. Retour des rayons. — Une vibration elliptique quelconque E peut être représentée par les équations
y -- /> sin(u>^ — 01.
Si la vibration conserve la même forme dans Tespace et que la Inmirre se propage dans la direction opposée, à la condition que le mouvement sur la trajectoire conserve le même sens pour l'observa leur, il est clair que l'on obtiendra les composantes de la nouvelle vibration apparente E', rapportée aux mômes axes jr el y^ en changeant le signe de /. L'ellipse
j u:==:--^sinu)^
j }' — ^sin(ci)/ -h 0)
PROPEIBTÉS DES VIBRATIONS. l^y
parait, pour Tobservateur qui reçoit la lumière, symétrique de l'ellipse E par rapport aux axes.
Supposons que l'une des composantes y de la vibration E éprouve encore une perte de phase 8,, cette vibration devient
^ ( X rrz a sînci)/, El j
I yz=zbsin{tùt — o — 8,).
Si la vibration E| se propage dans la direction opposée, en conservant la même forme dans l'espace et le même sens pour l'observateur, elle a pour équations
l a? rrr — a sinco/,
*( j — — ^sin((i)/-+- 8-1- 0,).
En donnant à la composante^ de cette nouvelle vibration E', la même perte de phase S| , elle devient
( a: z=z — ârsinu)/,
Ej
( / =— ^sin((D^ -i- S).
La vibration E2 n'est autre que la vibration £' ; elle est donc identique à la vibration E.
Ainsi, lorsque, dans un phénomène d'Optique, la vibration elliptique E a été transformée en une vibration E^ par une perte de phase 8| sur une des composantes, si l'on fait propager la vibration E| dans la direction opposée en lui conservant le même sens pour l'observateur, la perte de phase Si rétablira la vibration primitive, avec le même sens apparent.
En particulier, si la vibration primitive E, étant rectiligne, fait l'angle i avec l'axe des Xy et que la vibration finale soit aussi rectiligne et fasse l'angle /| avec le même axe, les azimuts apparents des deux vibrations sont respectivement -f- « et -f- 1\. La dernière vibration, se propageant en sens opposé, sera pour l'observateur dans l'azimut — «\, symétrique du dernier, et elle reproduira la vibration primitive dans l'azimut apparent — i.
Si la vibration primitive E, étant circulaire, se transforme par la perte de phase 8| en une vibration circulaire droite ou gauche, la marche de la lumière en sens opposé transformera une vibration
circulaire droite ou gauche en une vibration circulaire de même sens apparent et, par suite identique, à la première E.
La réciprocité n^existe plus, d'une manière générale, quand les amplitudes a qI b sont affaiblies en même temps que se produit la perte de phase. En effet, la vibration primitive E donne, dans le premier cas, la vibration
( x=r aasinu)/,
qui, en se propageant dans la direction opposée, a pour équations
/ x:=i — %a sin (d ^,
'( j:z:.p^,sin(a)f-+-8-+-Ô,).
La perte de phase 81, avec un nouvel affaiblissement des amplitudes, donne la vibration
^ ( j7 =1 — oc' a sin (0^,
Cette dernière n'est semblable à la vibration proposée E que si l'on a a- =^2, c'est-à-dire si les deux composantes sont également affaiblies.
178. — La même propriété s'applique au cas où le retard se produit sur Tune de deux vibrations elliptiques conjuguées, pour^u que ce retard soit indépendant du sens de la propagation.
En effet, considérons d'abord une vibration rectiligne ( 173)
[ y=i 0 sinco^.
Les vibrations elliptiques conjuguées équivalentes, après que la seconde a subi la perte de phase 0, sont
j:,i= ai sin (a>^-i-ai).
El '
|x,i= A'6t sin (o)/ -h a, — 8), Jjiir— 6, sin((Df4-aj — OH j
PROPRIÉTÉS DES VIRRATIONS. 249
les quatre inconnues Oi, 625 ^t et a2 étant déterminées par les équations (aS).
Si l'on fait propager la vibration résultante dans la direction opposée, en conservant sa forme dans l'espace et le même sens apparent, il suffit de remplacer les vibrations elliptiques composantes E| et E2 par les vibrations
Xi=i — a|Sin(a)/ — a,), I Vi = — /caiSini tôt — Xj —
/ ^V) Ji = — ^«isin^^to^— 3Ci— ^j;
!a:2 = — kbf sin (tôt — «i-f-o), j', = 4- ôssin^w^ — a,-+-S— ^
Les vibrations E'^ et E2 ont respectivement le même sens apparent et la même forme dans l'espace que les vibrations primitives Ej et E2 dont elles proviennent.
La seconde vibration elliptique E^ éprouvant au retour la même perte de phase 5, on peut, après cette nouvelle transformation, les représenter par les équations
^„ { ^i — — aisin((o/ — aj),
( Ji^— b^cos{(xil— a,).
Comparant avec les équations (24), on voit qu'elles n'en dilïïv rent que par le changement de signe de t. Les vibrations E'J et E"., ont donc une résultante rectiligne
l jc z— — a sino)/,
qui n'est autre que la vibration primitive (aS).
II en sera de même pour les deux composantes d'une vibration quelconque. On retrouvera la vibration primitive, avec le même sens apparent, si l'on fait propager la vibration finale dans une direction opposée avec le même sens apparent.
On suppose toutefois que les deux composantes elliptiques ne sont pas affaiblies ou qu'elles le sont dans le même rapport.
'25o CHAPITRE IV.— PROPRIÉTÉS DBS VIBRATIONS.
179. — Si le retard ne dépend que du sens absolu des vibrations, comme il arrive dans les phénomènes de pouvoir rotatoire magnétique, on conservera aux vibrations E', et E, le même sens absolu, comme si elles s'étaient réfléchies normalement sur un miroir plan, et elles seront représentées par les équations (37).
La nouvelle perte de phase portant sur la vibration E^, on aura
ix*-=z at sin(cu^ + «i), jjr= kai cos {(a t -\- oLi);
j:,~ kb^ sin (ta t -^otx — 28), j,— — ^,cos(a)^ -ha, — 28).
Dans ce cas, le résultat est le même que si la composante elliptique gauche de la vibr)sition primitive avait éprouvé une perte de phase double.
En faisant subir au rayon une série de réflexions normales entre deux passages successifs dans le système producteur des retards, la perte de phase résultante sera proportionnelle au nombre total des passages.
En particulier, si la vibration primitive est rectiligne et que les vibrations elliptiques conjuguées soient circulaires, le plan de vibration éprouvera ainsi une rotation proportionnelle au nombre des passages.
CHAPITKE V. — DIFFRACTION
DIFFRACTION.
180. Diffraction sur l'axe pour des ouvertures circutaires. — - Noos avons déjà établi directement, par desconsidiTations géométriques, les principales propriétés de la lumière diffractéc par une fente étroite ou par un écran à bords rcctiligncs parallèles. La même méthode permet de trouver la position des maxima et des minima de lumière sur l'axe d'un système d'ouvertures à bords circulaires.
Supposons que la lumière émanant d'un point O {/fg- 78) tombr
sur un écran E qui laisse une ouverture circulaire BB' dont le centre A est situé sur la perpendiculaire OA au plan de l'écran.
Prenant pour plan de figure un plan passant par la droile OA, appelons s l'arc AB de la circonférence d'intersection par ce plan de Tonde S qui touche l'écran. L'état vibratoire, en un point I' Ac Vz\ej situé du côté vers lequel se propage la lumière, dépend du Dombre de zones élémentaires qui existent dans la surface libre de
l'onde, ou du nombre des arcs élémentaires compris dans l'arc*. Tant que ce nombre est assez petit pour que les vibra lions qu'elles produisent en P soient sensiblement égales et de signes contraires, la vibration résultante est nulle s'il existe dans l'arc s un nombre pair d'arcs élémentaires, puisque les zones successives inlerferenl deux à deux. La vibration passe, au contraire, par un maximum si ce nombre est impair et l'action se réduit à celle de la première zone; l'amplitude est alors double et, par suite, l'intensité quadruple de celles qui correspondent à l'onde entière, puisque celle-ci équivaut à la moitié seulement de la première zone. En déplaçant le point P sur le prolongement de la droite OA, on rencontrera donc une série de minima nuls et de maxima d'intensité quadruple de celle qui existerait sans écran.
En appelant R le rayon OA de l'onde, 8 l'angle qui correspond à Tare 5, 6 et p les distances AP et BP, on a, dans le triangle POB,
p»z=: (6 4- R)*4- R» — 2(^> + R)Rcose.
L'angle 9 restant très petit, on peut remplacer cos8 par i .
RO par 5 et p H- 6 par 26, ce qui donne
(p -f- ^)R 'x\h Ry
Les minima et les maxima correspondent respectivement aux cas où le relard A est un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'onde, ce qui donne, pour les maxima.
et, pour les minima,
Avec une même ouverture, l'inverse de la distance b varie donc comme la suite des nombres pairs pour les minima et comme la suite des nombres impairs pour les maxima.
Le phénomène est très net quand on emploie une lumière
DIFFRACTION. 253
homogène, celle que laisse passer un verre rouge par exemple : on aperçoit sur la tache lumineuse circulaire qui correspond à Péclairement général de Fouverture une série d'anneaux concentriques alternativement brillants et obscurs; le centre paraît un trou noir ou son intensité est maximum quand la distance b satisfait à Tune des conditions précédentes (*).
Quand on se sert de lumière blanche, l'intensité en chaque point varie d'une couleur à l'autre et l'on observe des colorations très vives analogues à celles des premières franges d'interférence à centre noir, puisque l'intensité est nulle pour 0 = 0.
181. Ecrans circulaires. — Si l'on remplace l'ouverture BB' par un écran qui laisse libre le reste de l'onde, on peut encore, à partir du bord B de l'écran, décomposer l'onde S en une suite de zones élémentaires, et le raisonnement général (24) montre que l'onde entière restée libre exerce en P la même action que la moitié de la première zone élémentaire. La vibration au point P est donc la même que si l'écran n'existait pas, en tant du moins que cet écran n'intercepte que les zones comprises dans la partie efficace de l'onde. Poisson avait signalé cette conséquence curieuse qu'Arago (^) a vérifiée aussitôt sur l'ombre d'un écran de 2™'" de diamètre. On observe, en effet, avec la lumière blanche, une série d'anneaux dont le centre est toujours blanc et de même intensité que si l'écran n'existait pas; les anneaux sont plus nets avec une lumière homogène.
182. Ecran partiel. — Si l'écran a la forme d'un anneau dont les rayons intérieur et extérieur s et s' sont
••+^y=.X et (i + l),'.=-..X,
il interceptera la deuxième zone élémentaire. La vibration produite au point P résulte alors de l'action de la première zone tout entière et de la moitié de la troisième; l'amplitude est 2 -f- i ,
(*) Fresnel, ŒuvreSy t. I, p. 365.
(•) Fresnel, ŒuvreSy t. I, p. 369.
'i54 CHAPITRE V.
OU trois fois, et Tintensitë (2 -f- i)^, ou neuf fois, celles qui correspondraient à l'onde entière.
De même, en supprimant par des écrans la deuxième et la qua- Irième zone élémentaire, l'intensité serait (4 •+- 1)^ = 25 fois l'intensité relative à l'onde entière, et ainsi de suite.
Les dimensions de l'écran qui supprime la deuxième zone se calculent aisément. Si la source est très éloignée, on peut faire R =zr 3c, ce qui donne
s^r-bl et s'* 17=2 01;
I Rkin
en prenant /> = 2"* =^ 2000"" et A= -par exemple, les diamètres des cercles qui limitent l'écran annulaire sont
9,5 in 2"*" et 2S'=z2^^.
Cette expérience remarquable a été aussi réalisée par Billet ^*), qui Tattribue à Fresnel.
183. Expérience d^Arago, — L'expérience des ouvertures circulaires a été reproduite par Arago (^), sous une autre forme, (^n observant en dehors du plan focal l'image d'une étoile fournie par une lunette ou un télescope. L'onde qui émane de l'objectif est alors une surface sphérique aj^ant pour centre le foyer principal O {fig' 79), à la distance R de l'objectif, et elle est limitée par le bord de rouverture.
Pour obtenir la différence de marche au point P des vibrations qui proviennent du pôle A et du bord B de l'ouverture, il sufGt, dans les expressions qui précèdent, de remplacer R par — R, ce qui donne, en appelant d la distance PO = R — 6,
" AbiK - lb^' '
Il est à remarquer, dans le cas actuel, que la valeur de A est nulle pour rf= o, puisqu'en effet les rayons sont concordants au
i' ) Billet, Traité d* Optique, l. I, p. lo'i; 1858.
{^ ) Arago. Annales de Chimie et de Physique, [a], t. XXM, p, 43i; tSaf.
DIFFRACTION.
foyer principal O. La distance rf< qui correspond au premier minimum nul est
2bR
Si Ton prend pour Xla valeur relative à la couleur la plus importante du spectre, l'intensité sera sensiblement nulle pour toutes les autres et donnera un minimum absolu. La même chose a lieu quand le point P est situé au delà du foyer; il suffit de changer le signe de d ou de A.
Quand on enfonce ou qu'on retire l'oculaire d'un instrument qui vise une étoile, de manière à observer les points situés en deçà ou au delà du plan focal, on aperçoit dans chaque cas une série d'anneaux concentriques circulaires dont le centre montre une succession de maxima et de minima de plus en plus colorés, à mesure qu'on s'écarte du foyer.
La distance rf| du premier minimum et, plus généralement, la distance du point où se produit un phénomène de nature déterminée, est en raison inverse de s^, c'est-à-dire de la surface de l'objectif, ou plus exactement en raison inverse du carré de Tou-
verture angulaire -^ de l'objectif. Aussi les minima se distinguent
difficilement quand on laisse libre toute la surface de l'objeciif, et il est plus avantageux de la diaphragmer par un écran percé d'une ouverture centrale circulaire. Si l'on veut, par exemple, que la distance d^ du premier minimum soit de i*^" = lo"", il faudra
.i56 faire
— ) = lOOOO
ou
— nrzioo:
le diainèlre de l'ouverture doit être alors le ~ de la longueur focale de rinstrumenl.
Si, au contraire, on couvre le milieu de Tobjecuf par un écran circulaire, la vibration en un point P, situé à une distance notable (lu fojer, ne dépend encore que de la moitié de la première zone élémentaire a partir du bord de l'écran.
Dans ce cas, le centre des anneau3c observés est toujours brillant. et son intensité est indépendante de la distance à laquelle on se trouve de l'objectif, à la condition toutefois que l'écran reste toujours dans la zone efficace relative au point considéré.
18i. Formules générales. — La détermination des phénomènes de diffraction en dehors de l'axe des écrans circulaires, et surtout pour des ouvertures de forme différente, ne peut plus être abordée par des considérations élémentaires.
Soient S (//^. 80) une surface d'onde quelconque, partiellement interrompue par des écrans, P un point situé du côté vers lequel a lieu lu propagation, A le pôle du point P, 6 la distance AP,
Fig. 80.
asinco^ la composante parallèle à Taxe des x de la vibration sur Tonde au voisinage du point A, et appliquons à cette onde le principe d'IIuygens en considérant chacun de ses points comme un centre d'ébranlement.
L'élément dx de la vibration (*) au point P produit par un
(^) Pour abréger le discours et quand il ne peut exister aucune équivoqae, nous ai>i)eIlcron<% souvcnl vibration la projection delà vibration réelle sur an aie dcterniiiic.
DIFFRACTION. •?.!}y
clément dS de la surface libre situé en M à la distance p, peut être représenté par une expression de la forme
dœ^^ —r-J%\ï\\ u)t -h OL ;~ 1 '
dans laquelle [a et a sont des constantes.
En effet, Tamplitude de la vibration, toutes choses égales, est proportionnelle à Tétendue dS de la surface agissante et en raison inverse de la distance p.
Le facteur/ est une fonction inconnue des coordonnées du point M, qii^on fera égale à Tunité pour tous les points voisins du pôle et qui tend vers zéro à mesure que le point M s'éloigne du pôle.
Cette diminution, lente d'abord, puis rapide, de la fonction / tient d'abord à ce qu'on a remplacé au dénominateur de l'amplitude la distance réelle p par la valeur plus petite 6, puis à l'afTaiblissement des vibrations transmises à mesure que l'inclinaison de la direction p sur la normale à l'onde augmente, enfin et surtout au défaut progressif de concordance des vibrations sur l'onde elle-même.
D'autre part, l'angle a est le changement de phase inconnu que l'on doit admettre en appliquantle principe d'Huygens.
En remplaçant p par 6 -h p — 6 et posant
fjt ^ > ? — f^
on peut écrire
dx 1= j/dS 6in(to^ -i- a — ^ — o),
et la vibration résultante s'obtiendra en intégrant cette expression pour toute l'étendue de la surface de l'onde laissée libre par les écrans,
(i) jcizz jf/dSsïn{t»}l -+-a — p — o) 1^ A sin(o>^ -h a — 3 — 'i).
Si l'on met en facteurs, dans ces deux expressions de x^ les sinus et cosinus de l'arc (w/ -h a — |j) cl (jue Ton pose
\ F-Z/^Ssina, ^^^ I G=i//^/Scoso,
les quantités A et (p qui défiaissent la vibration résultante ont pour valeurs (154)
tang©= ^•
On voit d^abord que, si le point P est une source de lumière el qu'on observe le phénomène au centre O de la surface S supposée sphérique, la différence de marche relative à chacun des ravons PM ne change pas; le phénomène produit au point O est donc de même nature que celui du point P dans le premier cas. Ce>l Textension du principe général du retour des rayons {oi) aui phénomènes de di (Traction.
183. Détermination des constantes. — Nous utiliserons d*abord ce mode de raisonnement pour déterminer les constantes [jl et 2. en appliquant le calcul à une onde sphérique entière.
Si Ton pose
les diflerences de marche A et de phase 0, par rapport au pôle, pour un point M situé à la distance 5, comptée sur Parc de grand cercle, sont (180)
^-jk^s\ 8 = 211^ =-it»*«.
D'autre part, en appelant S l'étendue de la calotte qui correspond à l'arc 5, on a sensiblement, au moins pour les premières
zones,
S =:: -5-, e/S = - d, S^ = Tj d^.
Pour tenir compte de l'erreur que l'on commet ainsi dans l'évaluation des zones éloignées et de toutes les causes d'aOaiblisseraeal progressif des vibrations produites en P par les zones successives. on remplacera le facteur / par une fonction arbitraire de Parc 5. ou de l'angle 0, soumise à la condition qu'elle soit égale a l'unité pour 0 = o et diminue lentement d^abord, puis d^une manière plus rapide, à mesure que la différence de phase S va croissant .
DIFFRACTION. 269
On représenlera ainsi Faction lentement décroissante des premières zones et l'on remplacera celles des zones éloignées, qui sont très petites, par d'autres quantités également très petites. Au point de vue physique, l'intégration devrait être étendue depuis 8 = 0 jusqu'à la valeur de 8 ou de l'arc s définie par la portion de l'onde visible du point P, c'est-à-dire par le point de contact de la tangente menée de ce point à la surface de l'onde; mais, comme les éléments de l'intégrale diminuent très rapidement par les variations du facteur/, il sera permis de faire l'intégration entre les limites S = o et S = 00, puisque les termes ainsi ajoutés pour simplifier le calcul sont négligeables.
En prenant l'expression
qui satisfait à la condition indiquée quand le facteur e est positif et très petit, tes intégrales F et G deviennent
e~^^ sin 8 t/o HZ y^ ,
par suite, en appelant ao l'amplitude correspondante,
lang<f=:-, «3=^^^-^,
Gomme la phase de la vibration au point P, en l'absence de tout écran, est simplement co^ — p, il en résulte
a zz: 9 = - •
Gette condition montre que, pour appliquer le principe d'Huygens en considérant chacun des points comme un centre d'ébranlement, il faut ajouter à la phase réelle de vibration sur l'onde une
quantité constante - qui équivaut à une avance de marche d'un
quart de longueur d'onde.
'i6o CHAPITRE V.
Comme on a, d'autre part (17),
H en résulte
Le facteur [x représente Famplitude de la vibration produite à r unité de distance par l'unité de surface de l'onde S.
Si la distance b du point P au pôle de l'onde est au contraire un maximum, ce qui aurait lieu pour une onde sphérique concâTe lorsque le point P est situé au delà du centre de courbure, le retard relatif aux points  et M change de signe.
En posant
on a alors
X — j f/dSsïn{ts)t -h a — P -H o) i^ Asîn(wl-|- a — ? -h «p). Les mêmes calculs que précédemment donnent encore
Lorsqu'il s^agit de vibrations transversales, deux points de Tonde situés de part cl d^autre du centre sont dans le même état vibratoire; il en résulte
b - - K /i i\ hn
ou
L^application du principe d'IIuygens exige alors que la phase de chacun des points de Tonde, considéré comme un centre
d'ébranlement, soit en relard de - sur celle de la vibration réelle.
La valeur de la constante a est la même dans les deux cas.
Enfin, si Tonde S ncst pas sphérique, il suffit de compter
DIFFRACTION. 2G1
Tare s sur la diagonale du paraliélogramme des axes de Tellipsc qui correspond à la même différence de marche A. Toutes ces ellipses sont semblables, au moins pour les premières zones, et le calcul reste le même.
Le calcul de la vibration relative à Tinterposilion d'écrans de forme quelconque présenterait de grandes difficultés; nous examinerons ce problème dans des cas plus simples et plus utiles.
186. Cas des écrans circulaires. — Lorsqu'une onde sphérique est couverte par un système d'écrans circulaires concentriques au pôle A et que les portions libres restent comprises dans Tonde efficace relative au point P, on peut faire /= i.
Dans ce cas, la valeur de dx s*intègre facilement et la vibration a pour expression
X = ^/sin(a)/ -f. oc p 8)6fa = ^j*^ [cos(io^ -h a - 3 - 8)],
le dernier membre devant être pris entre les limites des arcs qui correspondent aux zones laissées libres par les écrans.
Si l'ouverture est un anneau circulaire limité aux arcs 5| et S2 qui donnent des différences de phase S, et 82? on a
JCZ=: -rfl S»n ^Sin 0)^4-2 — 3 ■
La phase de la vibration résultante est identique à celle qui serait produite par le point de l'arc dont la distance au point P est la moyenne des distances des deux bords de l'ouverture.
L'amplitude de la vibration est nulle quand on a
et maximum pour
Oj — 8, — (2/> -h 1)7:,
c'est-à-dire quand la différence de marche correspondante esl égale à un nombre pair et impair de demi-longueurs d'onde, comme on l'a vu directement (180).
En remplaçant (jl et k'^ par leurs valeurs, Tamplitude de la vibration est alors
2^0 sin =: T. « sin -^ — •
2 0-ht\ 2
Pour une ouverture circulaire, on fera 8| = o et Oj = o. L'intensité de la lumière résultante (150), avec une source non homogène, est donc proportionnelle à
et les teintes varient suivant la même loi que pour les franges d'interférence à centre noir.
En appliquant la règle de Newton (146) au calcul des teintes, Fresnel a trouve, entre l'observation et la théorie, un accord aussi complet que le comporte l'exactitude de cette règle (* ).
187. Écrans complémentaires {^). — Supposons qu'une oode soit interceptée par un écran qui découvre une étendue E delà surface et que, sur cette portion restée libre, on applique alternativement deux systèmes d'écrans qui en découvrent des étendues E| et E2, telles qu'en passant de l'un à l'autre les vides soient remplacés par des pleins et les pleins par des vides; ces deai systèmes d'écrans sont complémentaires par rapport à la surface E et l'on a évidemment
Si Ton représente par x, Xi et X2 les vibrations produites en un point quelconque P respectivement par les surfaces E, E| el E2, il est clair que
Ju ' '^1 "T" '^î>
puisque la vibration due à la surface E est la somme algébrique des vibrations dues aux deux parties E| et E2 qui la constituent, et Tune quelconque des vibrations pourra être déduite des deux autres par la règle ordinaire.
Si l'on connaît, par exemple, la vibration x due à la surface E et qu'on ait calculé la vibration Xt produite quand on y ajoute le
(') FnEsxEL, Œuvres, l. I, p. 871.
{') Habinet, Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. I\% p. 638: 1S37.
DIFFRACTION. 203
premier système d'écrans E^, le problème sera résolu pour le second système E2.
Deux cas particuliers sont remarquables :
1° L'élendue E comprend Tonde tout entière. Comme on connaît alors la vibration x^ le calcul de la vibration x^ relative à un système d'écrans donne immédiatement la vibration x^ relative au système d'écrans complémentaires par rapport à l'onde entière.
Il en est de même si le point P est situé dans l'espace directement éclairé par l'ouverture E et très loin des bords de l'ombre géométrique.
2** L'étendue E est nulle ou, ce qui revient au même, le point P est situé très avant dans l'ombre géométrique des écrans qui la limitent, de façon que l'onde efficace relative à ce point soit totalement interceptée. On a alors :r = o et, par suite,
Xf -f- J7j=: O.
Les vibrations produites au point P par deux systèmes d'écrans complémentaires par rapport à la surface restée libre sont toujours égales et de signes contraires; il en résulte que l'intensité est la même.
Ainsi, l'intensité de la lumière produite par un écran circulaire en un point quelconque très éloigné de l'ombre géométrique est égale à celle qui correspond à une ouverture circulaire de mêmes dimensions.
Ce théorème a un grand nombre d'applications; on peut le vérifier sur les cas que nous avons déjà examinés directement.
Écrans a bords rectilignes.
188. Dwision dUine onde en fuseaux, — Lorsque les écrans sont limités par des bords rectilignes, il est utile de choisir une autre manière de diviser l'onde en éléments.
Soient une source de lumière O {Jig- 81), un point P, et considérons l'onde sphérique S dans une de ses positions. Menons par la droite OP un plan qui coupe l'onde suivant l'arc de grand cercle SA, dont le diamètre est DD'. Par deux points infiniment voisins B et B' de l'arc de grand cercle AC, perpendiculaire au premier,
menons des plans DBD' cl DB'D' qui limitenl la surface d^an fuseau DBD'B'; enfin, sur Tare BD' prenons un arc élémentaire MM' par rapport au point P, c'est-à-dire tel que la difTérence des chemins M'P — MP soit d'une demi-longueur d'onde, et menons par ces points des arcs de grand cercle MN et M'N' perpendiculaires au plan DBD'. iNous aurons ainsi défini un rectangle curviligne M N M'N'.
Le point B est le pôle du fuseau pour le point P. En partageant
Fig. 8i.
ce fuseau^ à partir du pôle, en rectangles successifs qui correspondent aux arcs élémenlaires de la circonférence BD', il est clair que les vibrations envoyées au point P par ces surfaces élémentaires sont alternativement de signes contraires. Les aires de ces surfaces vonl constamment en diminuant à partir du pôle, parce que la base MM' el la hauteur MN diminuent toutes deux; c'est une nouvelle raison pour que les vibrations correspondantes produites au point P soient rapidement décroissantes. Le même raisonnement que plus haut (23j montre donc a fortiori que la vibration produite en P par le fuseau est proportionnelle à celle que donnerait l'arc BB', sauf une différence de phase qui sera la même pour une série de fuseaux voisiiis, le coefficient de proportionnalité variant d'une manière continue le long de l'arc AC.
Le grand cercle AC est appelé souvent \ êqaaleur de Ponde pour le point P.
Lorsque la surface d'onde n*est pas sphérique, on prendra comme équateur Tune des sections principales au pâle A; les fuseaux élémenlaires seront déterminés par des plans perpendicu-
DIFFRACTION. 265
laires à l'équateur et Taction de chacun d'eux se réduit encore, dans les mêmes conditions^ à celle de Tare correspondant.
Si des écrans à bords rectilignes parallèles réduisent une onde sphérique à un fuseau d'ouverture angulaire finie, limité par deux grands cercles perpendiculaires à l'arc AC et passant par les points Bq et Bi, la vibration en P est proportionnelle, sauf une différence de phase, à celle qui serait produite par les différents points de l'arc BqBi d'équateur.
Enfin, en divisant cet arc BoB| en arcs élémentaires à partir de Bo, on verrait de même que la vibration résultante est proportionnelle à celle du pôle Bq de l'onde restante, avec une certaine différence de phase.
Il en serait de même pour des écrans à bords rectilignes parallèles à l'une des sections principales de la surface d'onde au voisinage du pôle, lorsqu'elle n'est pas sphérique.
Quand on réalise l'expérience d'Young (123) avec deux fentes parallèles, l'action de chacune d'elles est proportionnelle à celle de l'arc correspondant d'équateur, c'est-à-dire au diamètre de la fente; mais ce diamètre est généralement plus petit qu'un arc élémentaire si l'on veut que les taches centrales aient une partie commune pour rendre plus apparentes les franges d'interférences.
Dans l'expérience de Maraldi (122), l'onde étant interceptée par un écran étroit à bords parallèles, l'équateur libre est formé de deux arcs illimités à droite et à gauche. Pour les points situés dans l'ombre géométrique de l'écran, l'action de chacun d'eux se réduit à celle du bord de l'écran ; la vibration est donc de même nature que si elle était produite par deux sources identiques dont la distance est égale à la largeur de l'écran. Les franges n'ont pas beaucoup d'éclat, parce que le premier arc élémentaire est notablement plus petit que si l'écran n'existait pas; d'autre part, les interférences ne sont pas complètes, parce que, pour un point situé en dehors du milieu de l'ombre, le premier arc élémentaire n'a pas la même grandeur à droite et à gauche.
189. Intégrales de FresneL — L'élément dx de la vibration produite au point P, par un arc ds d'équateur à la distance p, est encore (184) une expression de la forme
dx^z y f ds sin((o^ -f- a — 3 — 8),
dans laquelle m et a sont des constantes et où
S-rCiTr-, ônraici — ;
Si l'on pose ks ^^ r, on a, pour les premiers arcs, S = -r', ce qui donne
77 //sin(u)/-+-«— ? v^\ di\
Cette expression doit ôirc étendue à toutes les portions de Téquateur laissées libres par des écrans.
Le coefficient /est égal à Tunité pour les premiers arcs; d'aulre pari, la valeur approchée qui a servi pour exprimer la différence de phase 3 varie beaucoup trop rapidement pour les arcs éloignés, de sorte que les termes de l'intégrale relatifs aux arcs élémentaires diminuent très vite à une distance notable du pôle. En faisant y = i, on remplacera donc encore l'action très petite des arcs éloignés par d'autres actions également très petites (185), et l'on peut écrire
.r — — / sinf o)/ -i- a — 3 — -f* j riv r=z A sin(co^ -h a — 3 — z).
En posant (2) F - / r/i' sin - (♦*, G -rz j dvcos-^i^*,
les quantités A et o qui définissent la vibration résultante ont pour valeurs (lot)
m* \- — - — fF* -4- G^)
tango- ^.
Les fonctions F cl G de celte forme sont connues sous le nom iVintrgrales de Fresnel {*). Elles ne peuvent pas s'exprimer en termes finis d'une manière générale ; on sait d'ailleurs qu'entre les
(') Fresnel, Œuvres f t. I, p. 3i3.
DIFFRACTION. ^67
limites o et oo, elles ont la même valeur
Jf dç cos - (^' =: / di^ sin - V* z=: - 0 ^ ^0 22
" La limile i^' = oc, ou 5 = oo, ne correspond pas à un phénomène physique, mais les intégrales de Fresnel, entre les limites o et ^, sont alternativement croissantes et décroissantes et elles s'approchent rapidement de leur limite ^ dès que la variable v prend des valeurs notables, c'est-à-dire que l'arc correspondant s renferme un grand nombre d'arcs élémentaires.
190. Détermination des constantes. — Lorsque tous les écrans sont supprimés, les intégrales F et G doivent être prises entre les limites — oo et -l-oo, c'est-à-dire que chacune d'elles doit être égale à l'unité, ce qui donne
Comme la vibration réelle au point P dans la propagation régulière est
il en résulte
Tt a 1/2
oc "HZ O zzr — % m ::iz — - — •
On doit donc ajouter ^ à la phase des différents points de
l'équateur quand on les considère comme des sources indépendantes.
La même chose ayant lieu quand on remplace un fuseau par l'arc correspondant ds de l'équateur, nous retrouvons finalement
la différence de phase - qui correspond à l'application du principe
d'Huygens(185).
Lorsque la distance b est un maximum, on aurait encore, par le même raisonnement appliqué à l'équateur,
TT mv/2
4' °~ ùk
Si celle distance esl également un maximum par rapport aui fuseaux, la même opération répétée pour les fuseaux donne finalement la perte de phase - que Ton devait trouver en effet.
Enfin, si la distance b est minimum par rapport à Téquateurel maximum par rapport aux fuseaux, ou inversement, rapplicalion du principe d'Huygens n'entraîne aucun changement de phase dans la vibration des différents points.
Avec la valeur trouvée pour m, l'expression de Tamplitude dans le cas général devient
Lorsque le point P est sur le bord de l'ombre géométrique, les
intégrales F et G sont toutes deux égales à ^ et l'on a A = -;^;
rintensité est alors le quart de celle qui serait donnée par Tonde entière et l'amplitude moitié moindre.
191. Table des intégrales, — Fresnel a imaginé une méthode ingénieuse pour calculer une ïable des intégrales F et G entre les limites o et r, pour une série de valeurs de v variant de dixièmes en dixièmes depuis o jusqu'à 5,5.
L'arc - r- = o varie de iz quand le relard croît d'une long^ueur
d'ondr, ou que l'arc s augmente de deux arcs élémentaires. Pour r = 5, l'arc s contient déjà plus de 12 arcs élémentaires, car on a
Le développement des lignes trigonométriques en séries donne facilement
/ dvC09> -\"- - \'[ \ - — -, 4- ..4- -2 J,
; (hs\ï\-v^- t'o ,. - 4. . .H .
Les termes des deux séries vont en décroissante partir des
valeurs de n plus grandes que - ou t i^-, ce qui donnerait /i > 20
DIFFRACTION. 269
OU i' > 5. Ces séries ne sont donc pas rapidement convergentes; pour de petites valeurs de v^, la première se réduit sensiblement à ç et la seconde est proportionnelle à ç^.
Plusieurs géomètres, particulièrement Knochenhauer^ Cauchy et M. Gilbert, ont étudié les propriétés des intégrales de Fresnel, soit pour en faciliter le calcul numérique, soit pour discuter leur marche et la forme des phénomènes correspondants.
Nous reproduisons un extrait de la Table des valeurs de F cl de G, entre les limites o et 5, d'après M. Gilbert (') :
Table des intégrales de Fresnel.
/ co - »** dv
1 hin — ^''a^•.
o,55oo
0 , ooo5
o,oi4i
o,58ii
0, iio5
0 , 5ooo
0 , 5ooo
(') GiLBERT, Mém. couronnés de l'Acad, de Bruxelles, t. XXXI, p. 1; i863.
L^ntensité de la lumière diflfractée dans un cas particulier s^obtiendra en prenant pour chacune des intégrales F et G la somme des valeurs relatives à tous les arcs d^équateur qui correspondeDl aux ouvertures.
192. Considérations élémentaires, — On peut encore déterminer directement la nature des phénomènes et calculer, au moins d'une manière approximative, la position des maxima et des minima d^ntensité.
Soient O {fig- 82) une source de lumière, P le point dont on
veut apprécier Téclairement, E un écran opaque perpendiculaire à la droite OP, illimité dans un sens et terminé par un bord rectiligne Aq perpendiculaire au plan de la figure. Pour Tonde S qui passe par le point Aq, Tare d^équateur est limité en Ao et ce poinl est le pôle du point P.
En appelant R la distance OAo = OA, b la distance AP, p^ etp les distances du point P au pôle Aq et à un point quelconque M de l'arc d'équaleur, s^ et s les arcs AAq et AM, Aq et A les différences de marche po — 6 et p — 6, on a (185)
Azz:
kn
par suite,
kn , , ,, kn s
Si Tare ^o n'est pas très petit, le premier arc élémentaire, à
DIFFRACTION. lyi
partir du pôle Ao> est
S — Sq— -. .-
Cet arc diminue 1res rapidement à mesure que Tare Sq augmente, c^est-à-dire que le point P, étant situé dans Tombre de Técran, est plus éloigné de son bord géométrique C. La lumière pénètre donc dans Tombre géométrique, mais l'intensité décroît rapidement et d'une manière continue quand on s'éloigne du bord.
Pour So = o, c'est-à-dire quand le point C est situé au bord de l'ombre, Tare AqS est la moitié de l'équateur total : l'amplitude de la vibration est donc moitié et l'intensité le quart de celles qui correspondraient à la suppression de l'écran.
Si le point P est en dehors de l'ombre {fig- 83), l'arc d'équa-
Fig. 83.
leur AS produit une vibration dont l'amplitude est la moitié de celle qui serait due à l'onde entière pour la distance 64-R. Quant à la vibration due à l'arc AAq, elle est maximum ou minimum, suivant que cet arc renferme un nombre impair ou pair d'arcs élémentaires.
Le premier arc élémentaire St a pour valeur ^; l'arc élémentaire d'ordre p est la différence Sp — Sp i des arcs, comptés à partir du point A, qui satisfont à la condition
l=zp~ ou Sp=zSi\^P'
y-l CHAPITRE V.
L'expression générale d'un arc élémentaire est donc
\fp^\/p — i
Les vibrations qu'ils produisent étant sensiblement proportionuelles à leurs longueurs, si Ton appelle a^ Tamplilude relative au premier arc élémentaire, l'amplitude de la vibration résultante est, pour les minima,
^/,^ — rt,[i — (y/o. — i)-i-(v/3 — v^'i)— . ..—{sjip — sjip^ i)| —ay l.f, et, pour les maxima,
Les amplitudes des maxima et des minima diffèrent de moins en moins, mais leurs variations sont très lentes.
Les deux séries ^ip^i et ^2^ tendent vers la même limite 0,76; pour un point très éloigné de l'ombre portée, la vibration produite par l'arc AAq est donc égale à o, yUai, ou environ les f de la vibration due au premier arc élémentaire. Comme cette vibration est égale à celle que produit la moitié de Tonde, on a
Les amplitudes des maxima sont donc
^ip-Ki ^ ffoio,'') -+- o,658Sj^^,),
et celles des minima
Eu prenant pour unité l'intensité relative à Tamplitude a^ qui correspond à l'absence de tout écran, l'intensité d'un maximum ou d'un minimum peut être représentée par
I,, 1^7 (o,:» }-o,658l;,)^ suivant que/? est un nombre impair ou pair.
DIFFRACTION. 273
Le Tableau suivant donne les résultats relatifs aux premiers maxima et minima :
Ordre des franges. latensité.
i (max.) 0,5 1,1 58o ij^Ji
2 (min.) 0,2929 o,8854 0,784
9 0,4217 1,0549 i,ii3
Le rapport des intensités du premier maximum el du premier minimum, qui difTèrent le plus, est
Ii f ,341
Remarquons encore que la distance PC = Xp du point P à l'ombre portée, pour la frange d'ordre p^ a sensiblement pour valeur, cette distance étant toujours très petite,
h(hv R) p
En considérant Xp et h comme les coordonnées rectangulaires x ely d'une courbe, l'équation
montre que le lieu d'une frange d'ordre déterminé, à différentes distances de l'écran, est une hyperbole ayant pour sommets la source O et le bord Aq de l'écran. Toutefois la portion de courbe voisine du point Aq ne représente pas réellement le phénomène physique, parce que les raisonnements qui ont servi pour substituer l'équateur à l'onde et calculer l'action des arcs élémentaires ne sont plus applicables.
Sur la droite CP, la distance x d'une frange d'ordre déterminé est proportionnelle à la racine carrée de la longueur d'onde. Avec M. — I. 18
la lumière blanche, les colorations seront donc toutes différentes de celles des franges d'interférence et ces couleurs n'auront pas d'éclat, puisque les vibrations a^, aa, ... doivent toujours
s'ajouter à la vibration - produite par la demi-onde libre, laqueUe
donne de la lumière blanche.
L'angle apparent ^p d'une frange d'ordre />, vue du bord de l'écran, est donné par la relation
Enfin les carrés des distances à l'ombre X|, x^^ j?3, ... des maxima et minima successifs seraient proportionnels aux nombres entiers successifs.
Ajoutons cependant que ce mode de raisonnement n*est pas tout à fait correct et permettrait difficilement de traiter le cas de plusieurs écrans à bords parallèles. Il est nécessaire alors de recourir à la méthode plus générale de Fresnel.
193. Traduction graphique des intégrales. — Au lieu de recourir à des Tables numériques ou aux propriétés analytiques des intégrales de Fresnel, il est plus avantageux de les traduire par une construction graphique, qui permet de suivre plus facilement la continuité des phénomènes (*).
ni a
de la vibration produite par l'arc ds d'équateur et ~ ç>* est la dif-
férencc de phase correspondante. Les fonctions F et G sont les projections sur deux axes rectangulaires du polygone formé par chacune des amplitudes dv menée parallèlement à une direction
qui fait avec les axes de projection les angles - i;* et - (i — ^'-).
A un facteur constant près — = -— > rf(^ représente i*amplitude
conformément à la règle générale (15-i). L'amplitude ^/F* -f- G- de la vibration résultante et la différence de phase cp correspondante
(') A. Cornu, Journal de Physique, l. III, p. i et 44î '874.
DIFFRACTION. 27$
sont données par la longueur et la direction du côté qui ferme ce polygone, ou plutôt la courbe continue correspondante, et Ton peut remplacer l'étude des intégrales par celle des projections de la courbe entre les limites convenables.
Construisons donc la courbe dont les coordonnées rectangulaires sont
.r i=L I dv cos - (♦*, y :^ l dv sin — v^.
Pour les valeurs de v positives et croissantes, les coordonnées x cl y passent alternativement par des maxima et des minima et tendent vers les valeurs constantes x=j^ = ^. La branche de la courbe correspondante a donc un point asymptotique J {Jig. 84) dont ces valeurs limites sont les coordonnées et dont le rayon vecteur est -p' Cette branche forme une sorte de spirale.
Les valeurs de dx et de dy relatives à un arc de courbe di^ au point M sont
dx^=.dv cos - v^.
dy z=z dif sin - c*,
TT
et la tangente fait avec Taxe des x l'angle - ç^=zo,
La valeur de ç représente la longueur de la courbe à partir de Torigine. L*angle S variant de n pour chaque arc élémentaire, deux points de la courbe où les tangentes sont parallèles correspondent
à des variations de Tanffle - v^^ - 5 j'yu nombre entier de fois :i.
Les divisions marquées sur la figure indiquent, en dixièmes, les
valeurs des ordonnées x et y et de Tare s^.
Le rayon de courbure eu un point, qui a pour expression
dv I
do TTi^
est en raison inverse de Tare correspondant. Comme il diminue de plus en plus, il en résulte que les spires successives sont renfermées dans les précédentes sans se couper.
Les valeurs négatives de r, qui correspondent à l'arc — s compté à gauche du pôle, donnent une branche en spirale symétrique de la première par rapport au centre O, et ajanl un point asymplotique J'.
Fig. 8',.
194. Cas particuliers. — Une fois tracée la courbe figurative des intégrales de Fresnel, on peut, dans chaque cas particulier, obtenir Tamplitude et la phase de la vibration difTractée par de simples constructions géométriques.
Pour une ouverture limitée aux arcs d'équateur 5| et 5^, les valeurs correspondantes Vt et Pa détermineront sur la courbe les points M| et Ma (./?^. 85); Tamplitude de la vibration résultante est représentée par la corde M1M2 et sa différence de phase par Tangle cp, de cette corde avec Taxe des x.
Pour deux ouvertures qui produisent respectivement les amplitudes M, Ma et N{ Na, Tamplitude résultante sera la résultante, ou la somme géométrique, des amplitudes relatives à chaque ouverture. En menant la droite Ma M égale et parallèle à NfNj, Tampli-
DIFFRACTION.
lude de la vibration résultante est M, M et sa difTérence de phase est Tangle cp de cette droite avec l'axe des x*
Fig. 85.
On ferait la même construction pour un nombre quelconque d'ouvertures à bords rectilignes parallèles.
193. Ecran illimité. Formation des ombres, — Quand on supprime tous les écrans, Tare s doit être pris entre deux limites très grandes, Tune positive et l'autre négative; les valeurs correspondantes de V peuvent être considérées comme étant — qo et -h QO, c'est-à-dire celles des points J' et J. On retrouve le résultat connu que l'amplitude de la vibration résultante, étant le produit
de -= par J'J = y/'i, est égale à a et la différence de phase j •
L'écran étant illimité du côté droit, par exemple, et terminé par un bord rectiligne, si le point considéré Pest situé au bord de l'ombre portée, les limites de v sont — oo et o, et la vibration est représentée parla droite J'O. L'intensité est le quart de la précédente et la différence de phase est la même.
Lorsque le point P est dans l'ombre portée de Técran, on prendra l'arc d'équateur depuis — oc jusqu'à une valeur — Ti = — ks^. L'amplitude de la vibration est proportionnelle à la droite J'M| {Jig. 86) qui joint le point J' au point correspondant M». On voit, par la figure même, que cette amplitude décroît d'une manière continue à mesure qu'on pénètre davantage dans l'ombre portée et, que la différence de phase croît elle-même d'une manière continue, n n'y a donc pas de franges dans l'ombre, mais seulement un affaiblissement continu et très rapide de l'intensité.
On doit remarquer toutefois que les valeurs ainsi obtenues ne
conviennent plus dès que Tare 5, contient un trop grand nombre d'arcs élémentaires, c'est-à-dire que le point M| est sur une spire d'ordre élevé, auquel cas la lumière est insensible.
Pour un point situé en dehors de l'ombre, on doit prendre l'arc r depuis — 00 jusqu'à une valeur ('2= ks2- L'amplitude de la vibralion est proportionnelle à la droite J'Ma- A mesure qu'on s'écarle de l'ombre, le point Ma s'éloigne sur la courbe OJ.
La droite J'Ma est la résultante des droites J'J et JxM^ ; la vibration réelle est en efTet la résultante de la vibration relative à l'onde entière et d'une vibration égale et contraire à celle qu'on obtiendrait en remplaçant l'écran par l'ouverture et inversement, puisque les deux sortes d'écrans seraient complémentaires ( 187).
L'intensité passe par une série de maxima et de minima, sans être jamais nulle. Ces maxima et minima ont lieu quand la droite J'M'2 est normale à la courbe au point M2, c'est-à-dire très sensiblement pour les points Qi, Q2, Q3, ... où la droite J'J rencontre la courbe, les indices impairs correspondant aux maxima et les indices pairs aux minima. Le coefficient angulaire de la tangente
étant alors égal à — 1, Tangle - r^ est sensiblement égal à /^ir— 7-
En réalité, les maxima et minima ont lieu pour la condition
F clF -h G rfG ri: o,
qui donne, en remplaçant F et G par 7 4- ^i et ^ 4- J'i ,
tang-r»i=i •
Dès que v a une valeur notable, les intégrales x^ et^'i diffèrent peu de leur valeur limite et le second membre de cette équation est égal à — i. On peut donc représenter les valeurs relatives aux maxima et minima par
la quantité €|, tendant rapidement vers zéro.
Les distances Xt, X2, x^, ... des franges successives d'intensité maximum ou minimum au bord de Tombre sur la droite CP satisfont donc, avec une approximation d'autant plus grande que les franges seront d'un ordre plus élevé, aux relations
■^3 /y»* -'T*' fy*m
JZJ **'* '^3 ^P / I \
L'étude du phénomène par des considérations élémentaires avait donné les mêmes rapports, sauf la fraction \ aux dénominateurs (192). Il y a donc sur ces valeurs approximatives une erreur notable, surtout pour les premières franges.
On a d'ailleurs
Si l'on considère Xp el h comme les coordonnées rectangulaires d'une courbe, on trouve encore que le lieu des points occupés par une frange d'ordre p est une hyperbole ayant pour sommets le bord de l'écran et la source de lumière.
On peut remarquer que l'existence d'un maximum ou d'un minimum dans l'espace extérieur à l'ombre géométrique correspond à des valeurs déterminées pour les intégrales F et G entre les limites — ooetp; mais la variable \^ ne dépend en définitive que de la différence de marche po — 6, c'est-à-dire de la différence
(«) Knochbnhausr, Z>iè Undulations- Théorie des Lichtes, p. 87; Berlin, iSSg.
des chemins parcourus par le rayon direct OP {Jig' 83) el le rajon qui a suivi la ligne brisée OAqP dont le sommet est sur le bord de Técran. Cette difierence étant constante pour une fraDge d'ordre déterminé, le lieu de la frange doit être une hyperbole ayant les points O et Aq ^oxvc foyers et non pour sommets.
D'ailleurs, toutes les simplifications qui ont été faites ne sont plus acceptables quand on considère des points très rapprochés de Técran ; la recherche rigoureuse du lieu des franges au voisinage de Técran par celle méthode est illusoire.
D'après les calculs de Fresnel (*), les valeurs de ç et les intensités correspondantes pour les premiers maxima et minima seraient les suivantes. Nous y avons ajouté quelques autres colonnes pour la comparaison des deux modes de raisonnement.
onDRK (les franires
1 (max.)--
2 (min.) . .
I iZf
i»97^^ 2,oo38
