INTENSITÉS

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Os résultats, quant à la position des franges, ont été vérifiés par Fresnel avec toute rcxaclilude que comporte l'expérience; les carrés des dislances au bord de Tombre sont très sensiblement proportionnels k .ip — i . Le calcul approché (19â) donnerait donc (les positions manifestement inexactes pour les premières franges; les intensités, au contraire, ont presque exactement les mêmes valeurs dans les deux cas.

Lorsque le bord de l'écran est une courbe continue de forme

(') Kresnel, Œuvres^ l. I, p. 3j2.

DIFFRACTION. 5l8l

quelconque qui ne présente pas d'angles vifs, la diffraction dans le voisinage de Tombre géométrique est sensiblement la même que si Técran était limité par sa tangente au point correspondant. Les ombres réelles se terminent donc par une zone d'intensité croissante, bordée de franges dans la région qui correspond à Féclairement direct.

196. Diffraction d^ine fente ou d'un fiL — Pour une fente limitée aux arcs 5| et s<x^ Tamplitude de vibration est proportionnelle à la corde M1M2 (^fig* 86) d'un arc de longueur constante Tj — p| correspondant à la largeur ^2 — s^ de la fente.

Si la fente est très large, Tare v^ — Vx est très grand; les phénomènes ne diffèrent pas sensiblement de ceux qu'on observe avec un bord unique, parce que Tun au moins des points M| ou M2 est très rapproché de J' ou de J.

Avec une fente assez étroite pour que les franges d'un ordre peu élevé qui bordent l'ombre portée empiètent Tune sur l'autre, l'arc ^2 — ^\ comprend un petit nombre de spires.

Tant qu'on reste dans le champ des rayons géométriques, les points M I et M2 sont situés de part et d'autre du point O. Pour la frange centrale, ces points sont symétriques; l'intensité est maximum ou minimum suivant qu'ils sont situés sur une branche extérieure ou intérieure de la courbe, et sensiblement aux points de

rencontre avec la droite OJ. Comme la valeur de - r^^^ 3 - *^-^

chapge de iti pour chaque tour de spire, la condition des maxima d'intensité est

et celle des minima

\ A tzi 2 /^ - ,

c'est-à-dire que la moitié de la fente comprend un nombre impair ou pair d'arcs élémentaires.

Les franges se prolongent alors dans l'ombre et suivent une loi assez simple. L'arc M|M2 comprend, en effet, un nombre entier de spires, ou un nombre pair de demi-spires, pour les minima, et un nombre impair pour les maxima, ce qui correspond aux con-

'282 CHAPITRK V.

ditloDS

Aj — A, lin 2 /i - >

Aj— A,—- (2W -+-!)-•

La fente comprend donc pour les minima en nombre paird^arcs élémentaires et pour les maxima un nombre impair.

Si la fente est tellement étroite qu'elle ne comprenne pour la frange centrale qu'une fraction d*arc élémentaire, cette fran^^e donne lieu à un maximum très étendu qui envahit Pombre géométrique et s'élargit d'autant plus que la largeur de la fente diminue davantage. Cet épanouissement du faisceau lumineux qui traverse une fente est la démonstration la plus simple de Texislence de5. phénomènes de diffraction.

197. — La diffraction d'un <il est complémentaire de celle d'une fente de même largeur.

Les points M| et M2 correspondant aux bords du fil, l'amplitude de la vibration est proportionnelle à la somme géométrique des droites J'M| et M^J. La frange centrale est toujours un maximum, puisque les points M| et M2 sont alors symétriques.

Si la moitié du fil comprend un grand nombre d'arcs élémentaires, les points M| et Mo sont situés, pour toute la région voisine, sur des spires d'un ordre élevé et les amplitudes J'M| el M2J sont sensiblement égales. Il y a interférence complète quand les droites J'Mi et JM2 sont parallèles et de même direction, c'està-dire, quand on a

ou

- (^J r- ( 'J /i, -h I ) 7: f- a r-= 2 TT - - '

A;j — A, 3 [ o, ( /l.^ — /ij ) — I ] - -^ ( a /i H- I ) - .

Les phénomènes de diffraction dans le voisinage du centre sont donc tout à fait comparables aux franges d'interférence; mais les minima cessent d'être absolus et n'obéissent plus à la même loi

dès qu'on s'approche du bord de Tombre, parce que les points M, et Ma sont alors sur des spires d'ordres très différents.

La succession des franges se fait suivant une loi encore plus complexe pour les points situés en dehors de l'ombre portée.

198. Deux fentes, — Le cas de deux fentes parallèles, de même largeur aa, séparées par un intervalle 2rf, se traitera d'une manière analogue. L'amplitude de la vibration résultante est proportionnelle à la somme géométrique des cordes M, Ma et N| Na de deux arcs égaux de la courbe figurative correspondant aux deux fentes {fig* 87).

Fig. 87.

Si les fentes sont larges, et que Ton considère la région voisine de l'ombre projetée par l'intervalle opaque 2rf, les points N| et Ma sont très voisins de J' et de J ; les phénomènes ne diffèrent donc pas de ceux qu'on observe avec un fil de diamètre id.

Si les fentes ont une très petite largeur par rapport à la longueur d'onde, les cordes M|Ma et NiNa diffèrent peu des arcs correspondants et représentent toujours des amplitudes égales. Les maxima et minima ont lieu quand les tangentes aux points M| et Na sont parallèles; c'est-à-dire quand Tare NaMirrrr satisfait à

la condition - v^ = piz, ce qui donne, pour la différence de marche

'lS\ CHAPITRE V.

A des vibrations émises par les deux fentes

r^e champ est alors couvert de véritables franges d'interférence.

Dans les cas intermédiaires, les arcs MiMj et N|Nj comprennent un petit nombre de spires.

Si Tare N2M| est assez grand et que Ton considère l'ombre de

rintervalle, la variation de l'angle -v^ et, par suite, celle du carré

de l'arc r^ entre les points M| et JVI2 sont sensiblement constantes. Les cordes M| ÎM2 et N| N2 sont à peu près égales et constantes et font toujours le même angle en M| ou Nj avec la courbe; elles sont parallèles (de même sens ou de sens contraires) quand les tangentes en M| et N2 sont parallèles. A une petite distance du centre, on retrouve donc encore des franges d'interférence, mais l'intensité des maxima est variable avec la largeur des fentes; elle est maximum ou minimum suivant que l'arc MtM2 comprend un nombre impair ou pair de demi-spires, c'est-à-dîre la fente ellemême un nombre impair ou pair d'arcs élémentaires.

.\ partir du moment 011 Ton s'approche du bord de l'ombre projetée par l'écran intermédiaire, le phénomène devient plus rom|)lcxe; à plus forte raison quand on s'écarte de cette ombre.

Deux écrans noirs à bords parallèles, de largeur a a, séparés |)ar une fente de largeur 2rf, forment un système complémentaire dont la solution est donnée par celle du problème précédent.

On voit ainsi que. dans la plupart des cas, le phénomène ne pourra être déterminé que par une série de valeurs des intégrales F et G empruntées aux Tables ou par des constructions graphiques (le la courbe figurative faites d'une manière indépendante pour les diflorenles ouvertures.

199. /i crans successifs. — La méthode de Fresnel suppose impli cilement que les ouvertures ne sont pas très éloignées du pied de la perpendiculaire abaissée de la source sur le plan des écrans, et elle ne pourrait être appliquée dans des conditions différentes qu'avec les plus grandes réserves.

Considérons, par exemple, une lame opaque à bords parallèles

DIFFRACTION. M5

BB' (Jig. 88), dont le plan n'esl pas normal à la perpendiculaire OO' abaissée de la source sur la ligne médiane parallèle ans bords. Pour obtenir la vibration en un point P, au voisinage de l'ombre portée DD*, on pourrait appliquer les calculs qui précèdent en comptant les arcs j, ainsi que les valeurs correspondantes de v, à partir du pied Q de la perpendiculaire abaissée de la source O sur l'écran ; mais les arcs — s el — s' borrespondaot aux bords B et fi' contiendraient un trop grand nombre d'arcs élémentaires et la métbode serait en défaut.

On peut aloi-s considérer les deux ondes BS et B'S' sur lesquelles les pôles de point P sont A et A', et dont les dislances à ce poinlsonl AP= t, A'P = i' = i + AA'— t + A^.

En posant

Hi + 4„(H— i>)-^

on appliquera les intégrales de Fresnel à l'arc BS et à l'arc B'S' pour lequel on a sensiblement f/ = A', en ajant soin d'ajouter à lu

valeur -v* relative à ce dernier un terme constant ô„.

Comme construction graphique sur la courbe figurative, si l'arc

Remarquons d'abord que, si un écran indéfini est terminé par un bord rectiligne B (Jiff- 90), il est indifférent, pour les phénomènes qui suivent, de le remplacer par un écran plan E limité au même bord et perpendiculaire à la droite OP.

Pour obtenir la vibration en un point P, on peut évidemment substituer à Tonde réelle BS une surface quelconque partant du point B, par exemple le prolongement BS| du plan de Técran, en tenant compte, pour chacun des arcs ds^ d'équateur, de la différence totale 0| de marche correspondante par rapport à celle que donnerait le pôle A|. Dans le cas d\m écran unique, il est clair que les formules ne changeront pas.

S'il se trouve ensuite un nouvel écran indéfini E' déterminé par un bord B', on déterminera d'abord Fétat vibratoire produit aux différents points du plan B'S', par la surface BS|, puis l'état vibratoire produit par B'S', sur le plan B^S", d'un autre écran E^, et

286 GHAPITBB V. i

BS donne une amplitude J'M, (Jig. 89) et l'arc B'S' une amplitude J M|M2y il suffira de faire tourner cette dernière de Pangle Oe d l'amplitude résultante sera J'M.

La diffraction n'est plus la même que si l'écran était perpendiculaire à la droite 00' {Jiff- 88). La frange centrale, en particulier, n'est pas en C, mais plus rapprochée du point ly, d'une quantité variable avec la longueur d'onde, et les irisations ne sont plus symétriques de part et d'autre.

On obtiendrait de même les phénomènes relatifs à l'écran complémentaire, c'est-à-dire à une fente oblique aux rayons incidents.

Cet artifice permettrait de traiter le cas de plusieurs écrans à

bords parallèles situés dans le même plan, mais il devient difficile

à appliquer lorsque les écrans sont successifs et l'on devrait alors

modifier la méthode.

Fig. 89.

DIFFBACTION. 287

ainsi de suite. Finalemeoty la vibration du point P sera déterminée par celle des différents points de la dernière surface libre B^'S", ou de l'arc d'équateur correspondant.

On peut encore appliquer le principe d'IIuygens à une surface arbitraire S', un plan par exemple, passant par les bords B et B' des deux premiers écrans et déterminer Tétat vibratoire aux différents points d'une surface S''^ passant par les bords B' et B'^, .... L'état de la dernière surface ainsi définie déterminera la vibration au point P.

Fig. 90.

Si ^ 2"^, .4 1 B E

Si.

On prévoit aisément que les calculs seront le plus souvent très difficiles et les résultats très complexes ; l'expérience les vérifie toujours exactement, mais ils ne présentent pas, au point de vue de la théorie ou des applications, un intérêt qui nous permette d'y insister plus longuement ( * ).

200. Historique et expériences, — La diffraction par les bords rectilignes a donné lieu à un grand nombre de travaux et de discussions sur la cause du phénomène.

Newton, raisonnant dans la théorie de l'émission, supposait que les molécules lumineuses sont soumises à des forces émanant de l'écran et rejetées dans l'ombre ou en dehors, suivant qu'elles sont

(•) QuET, Ann, de Chim, et de Phys., [3], l. XLVI, p. 385; i856.

dans un accès à' inflexion ou de déjlexion, ces accès dT^^pendanl de la distance des molécules à Técran. Aucune lenlative n*a élé faite d^aillcurs pour préciser cette conception par un calcul et 11 soumettre au contrôle de Texpérience.

Une autre opinion, émise d*abord par Mairan ( * ) et reprise pu Dutour ('), consiste à expliquer la production de lumière dans Tombre par des rayons qui se réfractent dans une couche d'aii condensée au voisinage de Técran. On réfute aisément cette explication par la remarque qu'elle ne rend pas compte des franges situées en dehors de Tombre, et que la diffraction dans le vide est exactement la môme que dans Tair.

Sans se prononcer d'une manière explicite sur la lumière qui pénètre dans Tombre, Young (3) attribuait les franges extérieures à rinterférencc des rayons directs avec ceux qui se sont réfléchis sur le bord dePécran sous une incidence presque rasante. Dans ce cas, le lieu d'une frange d'ordre déterminé serait encore une hjperbole, mais elle aurait pour foyers la source et le bord de l'écran ; c'est Thypothèse que Fresnel avait adoptée d'abord.

Ces différentes explications ont pour caractère commun de faifLjouer un rôle physique à l'écran lui-même; la position et la forme des franges devrait donc varier avec la nature et les dimension» du bord de l'écran. Fresnel a montré, au contraire, qu'on obtient exactement les mômes franges en formant le bord de l'écran par Ir dos ou le tranchant d'une lame de rasoir, et que les franges d'une fente étroite occupent exactement les mômes positions quand on forme la fente avec deux cylindres, ou les arêtes de deux prismes aigus, ou un simple trait sur une lame de verre enfumée, pourvu (|ue la largeur de la fente ne change pas.

Fresnel a d'ailleurs déterminé par des mesures micrométriques. et au moyen de l'observation avec un verre rouge laissant passer une lumière de longueur d'onde ol*,638, la position des frange? d'intensité maximum ou minimum dans le cas d'un écran illimité, d'une fenle unique, d'un écran opaque très étroit, de deux fcnlo

(') Mairan, Mémoires de l' Académie des Sciences, p. 53; 1738. ( *) DuTOUu, Mémoires des Savants étrangers, l. V, p. 365; 1768. (') Youxo, Lectures on natural Philosopher, p. S^i; Londoo, 1807.

parallèles, etc.; l'accord du calcul avec Tobservalion a toujours été aussi absolu que le comportait la précision des mesures.

Ces vérifications numériques et Télude particulière du phénomène sur Taxe d'un écran circulaire ne laissent aucun doute sur l'exactitude de la théorie.

201. Diffraction éloignée, — La diflVaction dans Tombre d'un écran diminue très rapidement quand on s'éloigne du bord et devient bientôt insensible. M. Gouy (*) a pu l'observer à une grande distance et pour des déviations qui allaient jusqu'à 120^^ et même i4o®. Il emploie pour cela des écrans à bord très aigu, débarrassé de toute poussière, en les éclairant par un faisceau conique de rajous solaires qui convergent sur l'arêle même de l'écran, et il observe la lumière diffractée avec un microscope pointé sur cette arête. Le bord de l'écran se montre dessiné, dans le champ du microscope, par une ligne lumineuse extrêmement fine, qui se détache vivement sur le fond obscur, et qui est limitée aux régions sur lesquelles se projette l'image de la source.

Quand on veut obtenir des déviations supérieures à go", le plan de l'écran est placé obliquement sur les rayons incidents de manière à ménager en arrière la position du microscope.

Avec un bord tout à fait tranchant, la lumière difiraclée reste à peu près blanche; mais, si le bord est arrondi, on aperçoit, pour des déviations supérieures à lo**, des colorations variables avec la direction et avec la nature de l'écran. Ces colorations présentent parfois des alternances de teintes qui correspondent, pour une lumière homogène, à de grosses franges de diffraction irrégulières embrassant une étendue angulaire de lo** ou 20".

L'influence de la nature et de la forme des écrans sur la teinte montre que le phénomène simple de la diffraction est compliqué par d'autres causes accessoires.

202. Banc de diffraction. — La disposition expérimentale la plus habituelle consiste à prendre comme source de lumière, soit

(*) Gouy, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XCVI, p. 697; i883. — Ann. de Chim. et de Phys., [G], i. VIII, p. i45; 1886.

-içp CHAPITRE V.

une ouverture très petite (trou ou fente) éclairée par un faisceau (le rayons très intenses, comme les rajons solaires, soit Fiinage réduite que Ton obtient au foyer d'une lentille très convexe, oa la ligne focale que donne une lentille cylindrique ; on place à la suite les écrans de diverses formes et Ton observe avec une loupe les phénomènes produits dans le plan focal de la loupe. Tous les organes de rcxpérience, ouverture, écrans et loupes, sont portés par des montures spéciales pouvant glisser sur une règle divisée, qu'on appelle souvent banc de diffraction; cette règle donne facilement les distances de Técran à la source et au plan des franges. Pour faire des mesures, la loupe est munie d'un fil réticule et elle est commandée par une vis micrométrique qui la fali mouvoir dans une direction perpendiculaire à la règle.

L'origine à partir de laquelle on doit compter la distance des franges se détermine aisément quand le phénomène est symétrique, comme dans la diffraction d^une ouverture circulaire, d'une fente, d'un iîl, de deux trous ou de deux fentes; le centre du phénomène est alors le milieu de l'intervalle de deux franges symétriques de même ordre et la distance de l'une des franges au centre est égale à la moitié de cet intervalle. Lorsqu'il n'y a [«s symrlrie, comme pour la diffraction par le bord d'un écran, on commence par rétablir la symétrie en approchant un second écran terminé par un bord ])arallèle au premier, de manière à constituer une fonlr, et Ton détermine le milieu du nouveau système; la position de Tombre géométrique se déduit alors de la largeur de la fente et de sa distance à la source et au plan d'observation. On enlève ensuite le second écran [)Our observer les franges.

Diins ers différents cas, les distances df l'écran à la source et au plan d'observation soni généralement assez grandes et les f rangea ne sont bien visibles qu'avec un très vif éclairage.

2(K{. Ohseixatiun par les systèmes optiques, — L'emploi des lunettes permet d'obtenir de très belles franges avec des lumières très faibles, comme la flamme d'une bougie, parce que les rayons utiles sont concentrés dans le champ d'observation. Quelques rcniar(|urs sont alors n<'?eessaires.

Snj)posons qu'on reroive sur une lentille R {Jtg* 91), qui serl (le collimateur, la lumière émise par une source S (trou ou fente»

DIFFBACTION.

située en dehors du plan focal principal. La lumière incidente, après avoir traversé cette lentille, se comporte comme si elle émanait du foyer conjugué S' de la source.

Si Ton observe dans un plan CX la diffraction produite par un écran E, on aura les mêmes résultats que si Técran était éclairé par rimage S' de la source.

Fig. 91.