MM'=^5^ P
Le déplacement MM' est donc en raison inverse de />, c'està-dire proportionnel au rayon vecteur de la surface polaire réciproque de E.
L'angle 0 du déplacement MM' ave»c le rayon vecteur OM esl donné par Téqualion
MM' ^'f r . / sJa^x^-\-b^y^-i-c^z^
Si les coefficients a, t et c ne sont pas tous de même signe, le dernier par exemple étant de signe contraire aux deux autres, la surface E
ax'^ 4- ^ v^ — CZ^:=. 2Z>
est un hyperboloïde à une ou deux nappes, suivant le signe de 'v. Dans ce cas, il existe des directions pour lesquelles la dilatation
cîst nulle, c'est lorsque le déplacemeal MM' est perpendiculaire au rayon vecteur. Le plan tangent au point M à la surface E passe alors par l'origine et '^ = o, c'est-à-dire que le raj^on vecteur OM est situé sur le cône
GJC^ -^ hy^ — cz^ r— o.
Les cosinus a,, J3| et y, des angles que fait le rayon vecteur avec les axes de coordonnées satisfont à la condition
(a 4-c)aJ-h(A -i-c)^\=zc.
Pour le spath d'Islande, par exemple, les coefiîcients a el b relatifs à des directions perpendiculaires à l'axe sont négatifs el égaux h — 540.10""^ et le coefficient c suivant l'axe -4- !îG'2i.io~'. L'angle i que font avec Taxe les directions de dilatation nulle e>l
lang'{^= i / , ou ^=: 65^35'.
Pour Vcmeraifde (béryl) qui est aussi un cristal à un axe, on a. de même, c = — loG.io"^ et b = a = -{- i3y. io~**.
La dilatation moyenne dans une direction déterminée est nulle pour la condition
AÔ
309. Dildtations cubifjues. — (^uand il s'agit de corp> 1^»»- Iropes, celle IcnijX'ralurc 0' correspond à un maxinuini de don-^iu. M. Fizeau a Irouvé ainsi les lempéralures suivantes :
Diamant — \}:\ 3
Protowile de cuivre — \'\^
Pour les corps anisolropes, raccroissement du volume d'un parallélépipède dont les cotés x^y el :? sont parallèles au\ axes t>L en négligeant les termes du second ordre,
(•'* + '^-^O ( J' -t- ^j) (- -r- ^^-) — 'Tyz =-: xyzi^a -\- b — c) 0/ ;
le coefficient moyen de dilatation cubique est donc la somme iiv> coefficients principaux de dilatation linéaire.
APPLICATIONS DES INTERFÉRENCES. 6l3
On peut appeler dilatation linéaire moyenne d'un corps anisotrope la dilatation uniforme qu'il devrait avoir pour éprouver le même changement de volume.
Le coefficient / relatif à cette dilatation est évidemment
H existe dans tout milieu une direction suivant laquelle la dilalation réelle est égale à cette dilatation linéaire moyenne. Si Ton pose, en effet,
cette condition est satisfaite pour
La direction qui correspond à la dilatation linéaire moyenne fait donc des angles égaux de 54^*44' ^^vec les axes principaux de dilatation; elle est normale aux faces d'un octaèdre régulier dont les diagonales sont parallèles aux axes.
Les expériences de M. Fizeau ont été étendues à un très grand nombre d'espèces minéralogiques et ont fourni plusieurs résultats imprévus (*). Nous citerons seulement les particularités que présente Viodure d'argent.
Lorsque ce corps est à Tétat cristallin, les valeurs des coefficients sont, en les multipliant par lo* pour simplifier l'écriture,
Crzr- 397, — ^-4,27,
b z-a -;- r65, -- zzz-i-l ,38.
Al)
 l'état fondu, sa dilatation linéaire est
Enfin, quand il a été comprimé après la fusion, il se comporte comme un cristal à un axe symétrique par rapport à la ligne de
(•) Voir l'Annuaire du Bureau des Longitudes.
5l4 CHAPITRE VII.
compression el donne
c — - — iG6,25,
h -- a -■ — ia'î,25.
Ae
Dans ce dernier cas, sa dilatation lînéaii
Ainsi, non seulement Fiodure d'argent s€ \ation de température, mais la valeur ab augmente avec la température moyenne 0.
310. Détermination des axes principa la direction des axes principaux de dilatati trope, il faul déterminer les axes de la surfa et Téquation de cette surface rapportée à « traires renferme six coefficients indétermini
Six expériences dans des directions dîflR nécessaires en général, mais le problème s milieux possèdent des plans de symétrie crîî cflel, que les plans principaux doivent eln (le svmélrie et <]ue les dilatations perpendi (le svmélrie équivalents sont <'^ales.
Dans les cristaux appartenant au système lalations principales sont égales el le milîei:
Les corps qui cristallisent en prismes ciro en rlionihordres ont im axe de svmélrie. 1 perpendiculaires à Taxe sont égales entre elL dilatations est de révolution autour de Taxe.
Le prisme rliomboïddl droit présente trc (lifTérenls. l^es axes principaux de dilatation perpendiculaires à ces plans et leurs coefficic
Le prisme rliomboïdal oblirpie n'a plus qu La direction d*un des axes principaux seulei et les deux autres sont situés dans le plan cî biènie consiste alors à déterminer les axes d section de la surface K par le plan de s\métri
(Considérons dans ce plan deux axes rectî
APPLICATIONS DES INTERFÉRENCES. 5l5
supposons que l'on détermine les coefficients de dilatation /, m et n suivant trois directions OL, OM et ON, qui font respectivement avec Taxe des x les angles )x, jjl et v. Pour que les axes de coordonnées soient des axes principaux de dilatation dont les coefficients sont respectivement a et 6, il faut qu'on ait
/: - a cos*X 4- h sin'X r=za~\- (b — a) sin*X,
m --. a ces* [i -+- /> sin* jx r— a h- ( 6 — a) sin* [x,
n —- rt cos*v -^ b sin^v z-. a~\- \b — a) sin*v;
par suite,
/ — m sin' \ — sin'fx sin(X -f- |jl) sin(|jL — ).>
" / — n sin*X — sin*v sin(X -h v) sin(v — X) '
sin ( :î X 4- jx — X ) sin ( [x — X )
sin(2X -h V — X) sin(v — X)
Comme les angles jjl — X et v — X sont connus, il en résulte
. A?sin*(v — X^l— sin'dx — X)
tan":2X r 2". ., . - -, <- >
sin2((x — X) — yt?sin2(v — X)
équation <jui donne pour \ deux valeurs qui diffèrent de 90".
Choisissant l'une de ces valeurs, on déduira les coefficients a et h des expériences combinées deux à deux.
Au point de vue expérimental, il sera plus avantageux de faire jx — X = 45" et V — X = 90®, c'est-à-dire que les directions OL et ON sont rectangulaires et la troisième direction OM à 45® sur chacune d'elles; on aura alors
/ I \ / — m I — 'xm -^ n
tau2 2 A -: 2 p - - 1 " - 2 -, — — I — r-
Nous citerons, comme exemple, les résultats des expériences relatives au feldspath orthose, pour lequel on a
Ar Cr- — l5l, — --- t 1,40,
5l6 CHAPITRE VII. -- APPLICATIONS D
La dilatation moyenne linéaire, déteri normale aux faces de Toctaèdre régulier parallèles aux axes, a donné
La relation indiquée plus haut (309) s< sèment vérifiée, puisque les valeurs dédut cipales seraient respectivement 5i^ et i , a
Enfin le prisme doublement oblique n' talline, et rien ne fait prévoir la direction d< L'expérience présenterait alors de grandes
Remarquons aussi qu'en Pabsence d'une directions des axes de dilatation ne sont pi pendent des conditions de Texpérience. Si d'une manière continue, par exemple, h dilatation correspondant à des variations i température se déplacent eux-mêmes d'un»
rapport aux directions cristallines, lorsqu' par la symétrie du milieu.
Pour le prisme rliomboïdal oblique, les > drs coeflicionls relatifs à trois directions variation AO de la température moyenne, d< correspondante Aa de la direction des ax plan de symétrie.
Dans le cas le plus général, le problème e connaît les coefficients moyens de dilatatic distii)('les, ainsi que leurs variations; ma rexpériencc ait pu étrc^ réalist-o. les calcu difïVrenccs extrêmement petites et ne pour résiillals très doutciix.
