RR

Formules déterminant la distance focale principale des lentilles pour les rayons parallèles à Taxe.

— Connaissant l'indice de réfraction n de la matière dont la

lentille est formée, ses rayons de courbure R et R', sa distance focale principale f est donnée, pour les différentes formes de lentilles par les formules suivantes. Disons cependant que la valeur de f n'est qu'approximative, que nous ne tenons pas compte ici de l'épaisseur de la lentille. Pour une approximation plus grande, voyez le Treatise of the réflexion and réfraction of Light, by Henry Coddington, Cambridge, 1829, pages 91 et suivantes.

y. B. La distance focale f est comptée à partir du centre optique de la lentille (voyez p. 53).

[ 1 ] Lentille bi-convexe (R > R' ou R' > R).

[2] Lentille équi-conreace (R = R').

[5] Lentille plan-convexe.

[4] Ménisque convergent (R' > R).

f — RB >

(» — 1) (R — R') [o] Lentille bi-eoncave (R > R' ou R' > R).

f — RR'

'""(» — 4) (R-t-R') ' [6] Lentille équi-concave (R = R).

[7] Lentille

[8] Ménisque divergent (R > R').

f — RR' (n — 1) (R — R')

Exemples de ces calculs : 1° Quelle est la distance focale d'une lentille bi-convexc, dont les rayons de courbure sont respectivement de 6 mètres et de 1 mètre, et l'indice de réfraction 1,5?

La formule 4 nous donne /"= p-jj | >+<) -p"WU.

2° Quelle serait la distance focale d'un ménisque convergent, de mêmes rayons de courbure et indice de réfraction que dans l'exemple précédent?

Il faut prendre (formule 4) R' > R, donc R'=>6etR=l. Sinon au lieu d'un ménisque convergent nous aurions un ménisque divergent (voyez l'exemple suivant)

-1X6 sZ i BH ' (1,5 — 1) (1-6) —2,5

3° Quelle serait la distance focale d'un ménisque divergent de mêmes rayons de courbure et de môme indice que précédemment.

Il faut prendre (formule 8) R < R', donc R = 6 et R'= 1, et nous avons :

-6 Xi m:= 6 m ' (1,5— 1)(6 — 4) 2.5

4° Je désire faire exécuter par un opticien une lentille biconvexe de l m 714 de distance focale, les deux rayons de courbure devant être entreux de 1 à 6. Quels seront ces rayons de courbure? L'indice est de 1,5.

Puisque l'un des rayons de courbure est 6 fois aussi long que

l'autre, R' = 6R.

Dans la formule 1 , remplaçons donc f par sa valeur donnée (W44) et R' par sa valeur 6R et nous aurons

i ra714= A^ GR d'où 6 R ou R'=l m 714x 3.5=6'»,

et R =l m -

5° Je possède une lentille bi-convexe et je voudrais connaître l'indice de réfraction de la matière dont elle est formée. J'ai

mesuré sa distance focale qui est de 4 TO 7i4, et ses deux rayons de courbure qui sont respectivement de 4 mètre et de 6 mètres. Quel est cet indice? (formule 1),

d'où

(7n — 7) 1.744=6 d'où « = - ou 4,5.

On le voit donc, ces formules permettent de trouver toujours n, R et R' ou f, deux des trois éléments étant connus. Ces formules sont donc d'un fréquent usage.

Distance focale de» lentilles (*). — Supposons d'abord le cas le plus simple, à savoir : celui de rayons lumineux r (fig. 24) émanant d'un point situé à l'infini, d'une étoile par

exemple, et tombant parallèlement à l'axe d'une lentille convergente A. Dans ce cas les rayons émergents convergent tous vers un seul point f de Taxe qui a été nommé le foyer principal de la lentille et où se forme l'image du point.

Invcrsément un point lumineux /"(fig. 25) une bougie par exemple, placée au foyer principal d'une lentille convergente A, émet des rayons divergents qui, après avoir traversé la

lentille, en émergent tous suivant r parallèles entr'eux et à l'axe.

Le foyer principal d'une lentille convergente est donc toujours très-facile à déterminer approximativement par l'expérience, il suffit pour cela de la présenter aux rayons solaires de manière que ceux-ci tombent

Fig. 2i

Fig. 25.

(1) Cet alinéa n'est que l'énoncé élémentaire de ce qui a été démontré géométriquement dans les alinéas précédents.

LES LENTILLES. 7i

perpendiculairement à son contour, et de mesurer la distance qui sépare le centre de la lentille de l'image solaire la plus nette possible qu'elle forme à son foyer (voyez page 80). Il y a cependant une légère erreur qui provient de l'épaisseur de la lentille surtout si c'est un ménisque convergent. m

Au lieu d'un point rayonnant situé à l'infini, choisissons un point plus rapproché de la lentille, mais toujours situé sur son axe. Dans ce cas, les rayons émis par le point lumineux ne sont plus parallèles , ils divergent et tombent divergents sur la lentille, dont le foyer se forme dès lors d'autant plus loin en arrière de la lentille que le point se rapproche davantage. Le point rayonnant se trouve-t-il à une distance de la lentille égale au double de sa distance focale principale, alors son image se forme à une distance précisément égale en arrière de la lentille. Se rapproche-t-il davantage, son image se forme plus loin encore, et il arrive enfin un moment, celui où le point rayonnant se trouve à une distance de la lentille égale à sa distance focale principale, où les rayons émergent parallèlement entr'eux et qu'il ne se forme plus d'image du tout.

Les lentilles divergentes ne forment point d'images du tout, quelle que soit la distance du point rayonnant. C'est ainsi (Cg. 26) que des rayons rr parallèles à l'axe A/' d'une lentille A émergent suivant r* en divergeant. Il ne se forme donc point d'image réelle en arrière de la lentille. Prolongeons les rayons r' jusqu'à ce qu'ils rencontrent Fig- 26.

l'axe, comme le montre la figure, et Af sera la distance focale principale de la lentille A.

La même relation qui existe entre la distance focale variable des lentilles convergentes et la distance du point rayonnant existe pour les lentilles divergentes, seulement au lieu de se former en arrière de la lentille, le foyer ne se forme pas réellement (on dit qu'il se forme virtueMiemeni).

De même que la déviation d'un rayon lumineux produite par un prisme dépend de l'angle de ce prisme et de l'indice de la matière dont il est formé, de même la distance focale principale d'une lentille dépend des rayons de courbure des surfaces spbériques qui la constituent et de son indice de réfraction. Il est clair, en effet, que plus ces rayons de courbure sont courts, plus la distance focale le sera. De même de deux lentilles à courbures égales, celle-là qui sera formée de la matière la plus réfringente, aura la distance focale la plus courte (voyez page 82).

Du plan focal. — Si au lieu d'un point lumineux unique situé sur l'axe de la lentille nous considérons un objet CD (fig. 27)

d'une certaine dimension, nous trouvons sensiblement les mêmes résultats si l'objet n'a pas une étendue très-grande. Car considérons un point D de cet objet (que nous supposerons situé à l'infini) envoyant à la lentille convergente AB un pinceau de rayons obliques à l'axe aC, et son image se formera en p r qui sera sensiblement sur le même plan (perpendiculaire à l'axe aC) que le foyer p des rayons parallèles à l'axe de la lentille et émanant du point C. Le plan pp' est dit le plan focal.

On voit donc que l'image pp se forme renversée en arrière de la lentille et sa grandeur dépend évidemment de la grandeur CD, ou de la distance aC de l'objet à la lentille et de la distance focale pa de celle-ci : puisque dans les deux triangles semblables pp'a et CDa on a la proportion :

CD : pp : : Ca : ap.

Plus donc la lentille convergente a une courte distance focale (l'objet CD restant à une distance constante), plus l'image de cet objet sera petite. Plus l'objet s'éloigne de la lentille AB

Coo

(sa distance focale étant donnée) plus l'image de cet objet sera encore petite.

Entre la distance focale d'une lentille, la distance de l'objet à la lentille, et la grandeur de l'image, il existe donc des rapports géométriques que nous étudions plus loin. La loi qui lie ces distances s'appelle la toi ife* foyer» conjugué».

Détermination expérimentale de la distance focale absolue des lentilles. — Nous avons donné page 68 les formules à l'aide desquelles on déterminait aisément la distance focale principale d'une lentille et page 71 un procédé expérimental pour le même objet, mais ni l'une ni l'autre de ces méthodes n'est suffisamment exacte, s'il s'agit d'un système de lentilles dont l'axe est commun, par exemple, des objectifs photographiques. Alors on applique la méthode suivante :

Soient AB (fîg. 28) des objets très-éloignés situés à l'horizon, C l'objectif vissé sur une chambre noire placée sur une table bien de niveau. En les mettant au point sur A -J>le verre dépoli, nous trouvons que les objets D et E forment la limite de l'image sur le verre dépoli. DCE est Tanglc qu'embrasse l'objectif. Tracez au milieu du verre dépoli une droite verticale et tournez la chambre noire jusqu'à ce que le point E tombe sur cette droite.Avec un crayon appuyé sur le côté de la chambre noire tracez la droite ce. Tournez la chambre vers le Fig. 28.

point D jusqu'à ce que ce point tombe sur la droite tracée sur le verre dépoli. Tracez la droite cd comme vous l'avez fait pour ce. Si cette droite ne vient pas couper ce prolongez-la suffisamment. Il est clair que l'angle ecd est égal à DCE. Donc, en plaçant le centre d'un rapporteur en c, on lit le nombre de degrés ed 9 c'est l'angle embrassé par votre objectif. Sa distance focale absolue s'obtient ainsi : mesurez avec un compas sur le verre dépoli la distance des

7i OPTIQUE PHOTOGRAPHIQUE.

points D et E, prenez-en la moitié. Bissectez l'angle ecd par une droite cf sur laquelle vous placerez un équerre. Portez votre demi-distance DE (mesurée sur le verre dépoli) sur l'équerre et faites fg égal à cette demi-distance et perpendiculaire à cf. Alors fc sera la vraie distance focale de l'objectif, qui une fois connue, permet de calculer la grandeur des images. (Grubb. British journal of Photography.)

Détermination dn foyer conjugué et de la grandenr de l'Image. Rappelons-nous d'abord ce fait : que si, dans une chambre bien obscurcie (fig. 2, p. 22) nous perçons une petite ouverture, les objets extérieurs viendront se peindre sur un écran blanc placé en arrière de cette ouverture. Plus la distance de ces objets est grande, plus leur image est petite, mais on peut agrandir ou diminuer cette image, en reculant ou en avançant Vècran qui reçoit Fimage. Si, sur l'ouverture, nous plaçons une lentille convergente, nous remarquerons qu'il y a une place en arrière de cette lentille où l'image est la plus nette; en avançant ou enjreculant l'écran, cette image perdra de sa netteté primitive.

Si l'objet fixe, qui, dans notre figure (2, page 22), est représenté par une église, est remplacé par une figure mobile, par un homme qui marche, par exemple, on pourra vérifier que, si cet homme s'éloigne, l'image pour être la plus nette possible se rapproche de la lentille et diminue de grandeur; et que, inversément, si l'homme se rapproche, le foyer s'allonge, et l'image augmente de grandeur.

Or, il y a entre la distance focale de la lentille, la grandeur de l'image et la distance de l'objet à la lentille des rapports trèssimples, à l'aide desquels connaissant deux de ces rapports on peut toujours trouver le troisième. Soit /"la distance focale principale de la lentille (ou du système de lentilles combinées), p la distance de l'objet à la lentille , p' la distance focale de la lentille où l'image se forme nette, on a le rapport :

L'objectif a-t-il 24 cent, de foyer, la distance de l'objet à la lentille étant de 400 centimètres, nous aurons pour la distance p' où l'image se peint avec netteté sur le verre dépoli :

1 \ 1 . . lMk 24 X 400

— = — - ou bien 400 =

d'où p' = 25,5 centimètres. La distance focale principale se sera donc allongée de 1,5 centimètres.

Le rapport de grandeur entre l'image et l'objet sera comme p' : p soit de 25,5 à 400, c'est-à-dire de approximativement 1/46° de sa grandeur.

Il est donc toujours aisé, connaissant la distance focale de la lentille dont on se sert, la dimension de l'objet et sa distance à la lentille, de calculer exactement la dimension de l'image, ou, changeant le problème et voulant avec un objectif donné, obtenir une image de telle grandeur déterminée, chercher à quelle distance il faudra se placer de l'objet. Cependant pour éviter à nos lecteurs ce travail, nous extrayons de l'excellente brochure de M. Secretan, intitulée « De la distance focale des systèmes optiques convergents » les tableaux suivants, avec l'explication de leur usage (').

(1) Les opticiens, dans leurs catalogues, donnent généralement, au lieu de la véritable distance focale de leurs objectifs, celle mesurée à partir du verre qui regarde le verre dépoli. Il n'y a pas là d'erreur bien sensible pour l'objectif simple à paysages, mais pour tous les autres, il faut, ou les mesurer comme nous l'indiquons plus haut, ou bien ajouter au chiflFre que donnent les opticiens la moitié de la longueur du tube dans lequel les objectifs sont montés.

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