ALLONGEMENT DE DISTANCE FOCALE DE LA LENTILLE

0,001 millimètres.

Ce tableau est très-instructif. Il nous fait voir clairement que pour des objets éloignés de 50 mètres par exemple, la distance focale de la lentille ne s'allonge que de deux dixièmes de millimètres, quantité tout-à-fait inappréciable; pour 10,000 mètres elle s'allonge moins encore, seulement d'un millième de millimètre. Donc tous les objets situés de la lentille à plus de 50 mètres seront au point sur le verre dépoli, quelle que grande que soit leur distance.

Quand l'objet est au contraire situé très-près de la lentille, par exemple, à 50 centimètres, il faut tirer le verre dépoli de 5 centimètres; à 50 cent, de 2 */* cent., à 1 mètre de 11 mill. quantités relativement grandes. Aussi, les objets situés à une faible distance

de la lentille ne donnent-ils d'images nettes qu'à la condition de se trouver très-rapprochés entr'eux, de là la difficulté de les obtenir également nets dans l'image si cette condition n'est pas remplie.

Ainsi donc la profondeur de foyer d'une lentille varie avec son ouverture et la distance des objets qui forment l'image à son foyer. Elle varie encore suivant la forme de la lentille ou la combinaison optique des lentilles constituant un objectif. Les ménisques convergents ont le plus de profondeur de foyer, à condition que leur face concave regarde les objets. Parmi les objectifs composés de plusieurs lentilles, l'objectif orthoscopique a le plus de profondeur de foyer et Yobjectif double ordinaire le moins.

Cela provient de ce que le premier a généralement une petite ouverture eu égard à sa distance focale et que, de plus, la lentille divergente placée à la suite de la lentille antérieure convergente rend les pinceaux émergents moins convergents. Le second, au contraire, a généralement une très-grande ouverture, de plus, les rayons émergents de la première lentille (celle qui regarde l'objet) sont encore rendus plus convergents par la seconde.

Effet de la profondeur de foyer sur la courbure du champ. — La fig. 42 fait voir que si un verre dépoli HI est placé au foyer principal de la lentille D, il n'y a qu'un seul point de net dans l'image des points A, B, C, c'est E; si on rapproche le verre dépoli de la lentille, alors le point E deviendra diffus et les points F et G gagneront en netteté, mais il sera impossible, avec toute l'ouverture de la lentille, d'amener nette l'image des trois à la fois. Mais voyons l'effet d'un obturateur DD placé au-devant de la lentille (fig. 43) et comparons les deux figures 42 et 43 aux figures 44 et 45. On voit d'un seul coup-d'œil que le verre dépoli III (fig. 43) sur lequel le point E était seul au foyer dans l'exemple précédent, peut impunément se rapprocher d'une petite quantité de la lentille sans que, pour cela, l'image diminue sensiblement en netteté. De même, un autre verre dépoli qui passerait par les points F et G pourrait impunément s'éloigner d'une petite quan-

lui OPTIQUE PHOTOGRAPHIQUE.

tité de la lentille sans que pour cela les points F et G perdissent de leur netteté. Il y a donc entre FG et III une position telle pour le verre dépoli que les trois points F, E et G seront tous trois approximativement nets.

Ce rôle de l'obturateur qui réduit l'ouverture d'une lentille à sa partie centrale est d'une importance capitale. En réalité il ne fait qu'augmenter la profondeur de foyer de la lentille et c'est grâce à cette propriété qu'une lentille peut donner une image nette sur une surface plane. L'expérience se vérifie aisément en dirigeant sur un plan quelconque, une carte géographique par exemple, une chambre noire munie d'un objectif simple retourné dont on a ôté tous les diaphragmes. On ne parvient à rendre nette que le centre de l'image ou un petit carré situé symétriquement par rapport à ce centre. Mettez maintenant un diaphragme trèspetit et vous reconnaîtrez que la netteté sera répartie sur une surface du verre dépoli beaucoup plus grande.

Do diaphragme (1). — Si l'obturateur A est placé comme [A nous l'avons montré dans la fig. 43, c'est-à-dire contre la lentille M, c'est comme si celle-ci était toute petite relativement à sa distance focale. Dans ce cas, remarquez s'il est fort petit, que la lentille peut être considérée contre une lame à faces parallèles ab, cd (fig. 46), que c'est donc à peu près comme s'il n'y avait pas de lentille. Le champ de la lentille ne sera certainement pas aussi courbe que si l'on employait la lentille avec toute son ouverture, mais il le sera encore Mg 46, beaucoup parce que la profondeur de foyer c'est-à-dire

(() En optique obturateur et diaphragme sont synonymes. Mais en optique photographique il n'en est ainsi que par une malheureuse confusion de langage. L'obturateur réduit la lentille à son ouverture centrale; le diaphragme, au contraire, laisse agir tous les segments de la Ientille,mais sur les différents points rayonnants placés symétriquement et concentiiquement par rapport à l'axe de la lentille ou du système de lentilles (dont l'axe est d'ailleurs toujours commun).

DES ABERRATIONS. JCtf

la quantité dont on peut mouvoir impunément le verre dépoli sans le sortir du foyer est en somme très-faible et que la

Plg, 47.

de la lentille d'une quantité convenable. Dans ce cas l'obturateur devient un diaphragme.

Soient A, B, C, trois points rayonnants très-éloignés (fig. 47), LL une lentille convergente et voyons ce que deviennent en arrière de la lentille des rayons émanes de trois points A, B et C. Les rayons qui partent du point B (que nous supposons situé à l'infini et sur l'axe), arrivent parallèles sur la lentille et perpendiculairement a sa surface, dont ils iront former l'image du point B en F, foyer principal de la lentille LL. Mais il n'en est pas ainsi des rayons qui émanent des points A et C situés hors de l'axe de Ja lentille. Le rayon A 1 sera réfracté en a; A* en 6 ; A 5 en c ; A 4 en d' y A 5 en N. Il en est de même des rayons 1, 2, 5, 4 et 5 émanés du pointC. (Cet effet provient de l'aberration sphérique, dont nous avons parlé p. 88.) Aussi un verre dépoli placé au foyer principal F ne recevra-t-il pas d'image nette, mais confuse. L'expérience peut se faire aisément en examinant l'image d'un paysage au foyer d'un objectif photographique simple. Quand même ce verre dépoli aurait la forme d'une calotte sphérique encore l'image serait-elle confuse, parce que les rayons émanant des points situés hors de l'axe de la lentille arrivent tous en des points différents en arrière de la lentille. Pour avoir une image nette il faut donc placer en avant de la lentille un diaphragme, mais où faut-il le placer, et quelle sera son ouverture, voilà la question.

Remarquez sur la figure que les seuls pinceaux partant des points A et C qui arrivent à peu près à former leur foyer au plan focal MN sont les pinceaux A* et A 5 et C* et C 5 . Plaçons le diapliagmc en OP de manière à ne laisser passer que ces pinceaux; dès lors notre figure devient tout autre (fig. 46). Mais nous savons déjà que les lentilles armées d'un diapbragme ont une certaine profondeur de foyer et que par conséquent le verre dépoli peut impunément se mouvoir sans que la netteté de l'image change sensiblement. Or, si la distance Md' ou Nd n'est pas supérieure à la profondeur de foyer, alors la dimension et la place du diaphragme seront déterminés. Il est aisé de voir que plus le diaphragme est petit, plus l'image doit gagner en netteté, puisque

les rayons qui viennent troubler l'image sont arrêtés par le diaphragme.

Le diamètre du diaphragme dépend nécessairement de l'expression de l'aberration sphérique pour les rayons obliques à l'axe de la lentille LL, plus petite sera cette aberration, plus grand pourra être le diaphragme, plus grande elle sera, plus petit devra être le diaphragme, cependant il y a une limite à la petitesse de ce diaphragme à cause de la diffraction (voyez page 22), qui aurait pour effet d'apporter dans l'image des objets fortement éclairés, un contour trouble. L'image d'une étoile, au lieu d'être un point unique, serait un point entouré d'anneaux concentriques. Si le diaphragme que l'on place au-devant des lentilles est plus petit que f /w> c de leur distance focale, l'image tend à devenir moins nette par l'effet de la diffraction.

Ajoutons que photographiquement parlant les diaphragmes trop petits donnent des images plates, sans relief ni effet. 11 ne faudrait jamais employer de diaphragmes dont l'ouverture fut inférieure au trentième de la distance focale, et c'est surtout à ce titre que nous préférons l'usage des objectifs aplanétiques. (Voyez page 90.)

Destruction de l'aberration de forme. — A présent que nous connaissons l'usage du diaphragme qui divise la lentille en autant de parties qu'il y a de pinceaux incidents plus ou moins obliques, nous pouvons examiner avec plus d'exactitude la cause de la courbure du champ et comment on rend ce champ plat.

L'expérience a d'abord montre que parmi les lentilles convergentes simples les ménisques convergents armés d'un diaphragme convenablement placé sont celles dont le champ est le moins courbe à la condition cependant de leur faire présenter leur face concave à l'objet à reproduire. Le champ est même complètement plat si la lentille n'embrasse pas un angle considérable (10 ou 15 degrés par exemple). Mais pour les usages de la photographie, cette lentille doit embrasser au moins un angle double. Or, dans ce cas le champ devient fort courbe, et l'image perd complètement sa netteté vers les bords.

Soit, en effet, ML un ménisque convergent armé d'un diaphragme NO, Run pinceau lumineux émanant d'un point situe à l'infini sur l'axe de la lentille et R' un pinceau oblique tombant sur les bords de la lentille. Le plan focal PF sera déterminé par la distance focale de la lentille (où les rayons R ont leur foyer). La distance focale du pinceau oblique R' ne sera pas égale à la

précédente, mais beaucoup plus courte MF", de sorte que le plan focal FP sera courbe, FP' X P'F' étant la mesure de la courbure du champ. Supposons

FJg. 49.

que nous nous servions d'une lentille négative au lieu d'une lentille positive, et exactement dans le même cas. Il est entendu que nous n'aurions pas d'image réelle, mais seulement une image virtuelle. Dans ce cas la courbure du champ serait renversée puisque les bords de la lentille ont une distance focale plus grande que le centre, résultat précisément inverse à celui obtenu par la lentille convergente.

3Iais les lentilles simples ne sauraient être employées en photographie à cause de l'aberration chromatique dont le résultat serait une différence considérable entre les foyers visuel et chimique, de là nécessité d'employer des lentilles achromatiques, qui, on le sait, sont composées d'une lentille positive alliée à une lentille négative. Or, en associant convenablement ces deux lentilles dont l'aberration de forme est opposée dans les deux, ainsi que nous venons de le voir, on arrive à rendre le champ complètement plat, c'est-à-dire à rendre la distance focale des pinceaux obliques à leur axe égale à celle des pinceaux parallèles à ce même axe.

11 existe donc entre la position du draphragme, les rayons de courbure négatifs et positifs des lentilles qui constituent un

objectif, une relation telle que le champ puisse être rendu plat en même temps que l'achromatisme soit obtenu. La relation entre les rayons de courbure des trois surfaces constituant une lentille achromatique n'cst-cllc pas exacte, le champ peut être courbe soit à la façon d'une lentille simple convergente, soit à la façon d'une lentille simple divergente. Ainsi la lentille achromatique plan convexe LM (fig. 50) formée d'un plan concave en flint et d'un bi-convexe en crown a pour les pinceaux obliques incidents R' un foyer F' plus près de la lentille que pour les pinceaux centraux H dont le foyer F est plus loin. Donc cette lentille, tout en étant achromatique, possède le champ courbe analogue à celui des lentilles convergentes simples.

Une lentille achromatique convergente LM, (fig. ÏH) dont le flint est bi-concave et le crown bi-convexe, peut avoir des propriétés inverses au cas précédent, et avoir un champ courbe analogue à celui des lentilles simples divergentes, tout en étant convergente. Il faut donc éviter dans la destruction de l'aberration de forme de dépasser une certaine distance focale pour les pinceaux obliques, sinon on retombe dans la même aberration (de signe contraire).

Il en est donc de cette aberration comme des aberrations sphérique et chromatique, où l'on* peut dépasser les corrections et rendre ces aberrations négatives dans des combinaisons convergentes et positives, dans des combinaisons divergentes.

L'objectif simple employé en photographie, ainsi que nous le verrons au chapitre suivant, possède un champ assez plat tout en embrassant un certain angle. Cet objectif est nécessairement achromatique comme tous les objectifs employés en photographie. C'est un ménisque convergent dont la face concave regarde l'objet

ù reproduire et la face convexe le verre dépoli de la chambre noire sur laquelle il est monté. Si Ton employait cette lentille dans la position où elle offre le moins d'aberration sphérique, c'est-à-dire la face convexe tournée vers l'objet à reproduire, comme les objectifs des lunettes d'approche, alors le champ de l'image serait très-courbe, toutefois la partie du champ avoisinant l'axe serait d'une netteté parfaite, même avec toute l'ouverture de la lentille, ce qui se conçoit, puisqu'elle est à peu près exempte, pour les rayons incidents parallèles à son axe principal, des aberrations sphérique et chromatique. En associant à une pareille lentille une lentille achromatiséc négative de rayons de courbure appropries et située à une certaine distance de la première, Jf. JPeizrai est parvenu à rendre le champ du système entier très-plat. Son objectif porte le nom d'objectif orthoscopique. La fig. 52 explique le principe sur lequel sa construction est basée. A est la lentille convergente aplanétiquc et achromatique dont la face convexe est tournée vers

Fig. 5i.

l'objet à reproduire, B est la lentille négative également aplanétique et achromatique. La lentille A, employée seule, donnerait une image très-courbe sur le verre dépoli, puisque la distance focale A/ 7 des pinceaux obliques R' serait beaucoup plus courte que celle /"des pinceaux axiaux R. La lentille négative B, allonge de beaucoup (de f en F') la distance focale des premiers, puis-

qu'elle agit sur ces pinceaux par son bord qui est fortement prismatique, tandis qu'elle allonge à peine (fF) la distance focale des seconds. Le champ primitif ff est donc rendu plat suivant FF'.

Le triplet de Mf. DaUmeyer est composé de deux lentilles convergentes achromatiques situées à l'extrémité d'un tube. Un pareil système aurait un champ extrêmement courbe, mais une lentille négative placée entre les deux agit pour aplanir le champ à peu près comme dans le cas de l'objectif orthoscopique.

Section IV. — Aberration de l'épaisseur des lentilles ou distortion.

De la distortion. — Tendez horizontalement et verticalement des fils sur un cadre et examinez-les au travers d'une grande et forte loupe B montée dans un cadre à manche A (fig. 53). Vous observerez, en plaçant l'œil à une distance de 2 ou 5 pieds et à la hauteur du centre de la loupe que les fils qui se croisent dans le sens de deux diamètres perpendiculaires de la loupe sont les seuls qui restent droits, les autres apparaissant courbes. Remarquez dans la figure que les fils supérieurs soîiî infléchis en sens inverse des fils inférieurs. C'est que la partie supérieure de la lentille est un prisme à faces courbes dont l'arête est précisément en sens inverse du prisme à faces courbes qui constitue la partie inférieure. Aussi, en élevant la lentille (tout en tenant l'œil immobile), de manière que le fil supérieur soit vu à travers la partie inférieure de la lentille, tout de suite le fil est-il courbé en sens inverse. C'est ce qui constitue la distortion.

Si les deux fils du milieu restent droits, cela provient de ce que l'œil se trouve placé juste à la hauteur du centre, mais si l'œil se déplace, ces fils eux-mêmes se courbent immédiatement.

Fi? !>3.

i 12 OPTIQUE PHOTOGRAPHIQUE.

La distorsion pour les lentilles divergentes est juste inverse à celle des lentilles convergentes, ainsi les fils de la figure où au lieu d'être infléchis avec leur convexité vers l'intérieur, le sont avec leur convexité à l'extérieur comme la paroi courbe d'un baril.

Plus les lentilles employées dans cette expérience ont un court foyer, leur diamètre restant le même, et plus l'aberration d'épaisseur est grande, ce qui s'explique de soi-même.

Fig. 84.

La fig. 54 fait comprendre parfaitement l'effet de l'aberration d'épaisseur ou distorsion. Soit L une lentille convergente, audevant de laquelle nous plaçons un diaphragme D percé à son centre d'une ouverture O 7 infiniment petite. Soient AB l'axe principal de la lentille L, KM un plan (situé à l'infini) perpendiculaire à cet axe, K'M' le plan focal.

Je disque toute droite CE passant par l'extrémité A de l'axe BA contenue dans le plan KM, sera reproduite droite n'O'. En effet, rappelons-nous que les centres de courbure des faces de la lentille se trouvent nécessairement sur son axe principal, que de plus tout rayon réfracté l'est toujours dans le plan du rayon incident. Or, le plan des rayons incidents C o, E », qui divise la lentille en deux parties égales et est perpendiculaire d son contour, est aussi le plan des rayons réfractés tin' et oO' dont l'intersection avec le plan focal K'M' est la droite n'O'. Il en serait ainsi, du reste, de toute autre droite, IA par exemple, choisie dans le plan KM, pourvu qu'elle passe par l'extrémité A de l'axe.

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DES ABERRATIONS. H3 Mais il n'en est plus de même pour toute droite OH menée dans le plan KM et qui ne passe pas par l'extrémité A de l'axe de la lentille. En effet, un plan mené par cette droite et l'ouverture du diaphragme, sera oblique à Taxe AB et ira couper la lentille en nz, non plus en deux parties égales, mais en deux parties inégales.

Remarquons que les rayons a;H et ZO partant des extrémités de la droite OH passent par les bords x et Z de la lentille, tandis que les rayons menés de l'ouverture du diaphragme à tous les points intermédiaires situés entre 0 et H, It par exemple, choisi au milieu, passent plus loin du bord, là où la lentille est plus épaisse. Aussi les rayons réfractés qui, dans le cas précédent, émergeaient de la lentille dans un plan perpendiculaire à son contour, émergent maintenant obliquement à ce contour suivant une surface courbe dont la trace sur le plan focal est x'iT, ayant sa concavité tournée vers l'axe principal de la lentille. Si cette lentille L était formée d'une infinité d'anneaux concentriques ayant sensiblement la même épaisseur, la réfraction à travers un point quelconque de sa surface serait, pour une même incidence, égale à celle produite par une lentille infiniment mince. Mais formée comme elle l'est à présent de parties inégalement épaisses, la réfraction pour une même incidence est inégale, suivant que le rayon incident tombe plus ou moins loin du bord, de là la tHêioriion.

Il est bien évident que la distance du diaphragme à la lentille fait varier la distortion, puisque plus ce diaphragme est rapproché de la lentille et plus les rayons incidents d'une obliquité donnée à Taxe passent près du centre de la lentille. Si ce diaphragme est en contact avec la lentille, celle-ci réduite à son centre optique est évidemment exempte de distortion.

Vobjectif simple employé en photographie ne donne pas des images exemptes de distortion, ainsi un dessin pareil à celui représenté fig. 55 est reproduit comme figure 56. En effet (fig. 58), dans les objectifs simples employés en photographie le diaphragme

étant placé en A au devant de la lentille B a pour effet de faire agir chaque segment de la lentille sur une partie différente de l'objet à

reproduire CD. De là distortion dans le sens indiqué par la fig. 54.

Fig. 55. Fig. 5«. Fig. 57. En plaçant le

diaphragme en arrière, c'est-à-dire entre la lentille et le verre dépoli (fig. 59), la distortion serait inverse (fig. 57) puisque

Fig. 58.

Fig. 59.

dans la première le rayon partant de D traverse la partie supérieure de la lentille et dans la seconde la partie inférieure. Destruction de l'aberration d'épaisseur. — En

réunissant deux objectifs simples égaux entr'eux LL' (fig. 60) et en plaçant le diaphragme D au milieu il est facile de voir que les rayons partant du point A d'un objet extérieur, passent par deux parties opposées des lentilles. La première lentille donne la distortion en barillet (fig. 56) et la seconde en croissant (fig. 57), mais elles s'annullcnt en se combinant.

MM. Hnrriêon et Sch-itzer de New-York (en 1862) et M.Sieinheii, de Munich (en 1865), ont adopte ce système optique dans « Yobjectif-globe » et « Yobjectif périscope. » Les deux lentilles (fig. 60) (identiques entr'clles) ont la forme de ménisques dont la concavité se regarde. Le diaphragne est fort petit afin de corriger l'aberration sphérique du système qui est considérable.

DES ABERRATIONS. m

Le champ est plat, grâce à la forme toute particulière des lentilles et surtout aux très-petits diaphragmes dont ces objectifs sont munis.

Un savant anglais, M. Sut ton. dès 18^8, conseilla de placer

entre les deux lentilles (identiques cntr'ellcs) et à égale distance de chacune d'elles, une lentille concave. En effet, en réunissant deux lentilles ordinaires A et B (fig. Cl) (telles que les objectifs simples employés en photographie) le champ fa' est très-courbe.

Kig. 61.

Mais en plaçant entre les deux une lentille négative C, les rayons partant d'un point a hors de l'axe au lieu d'avoir leur foyer au point a', l'ont au point 6 par l'effet de la lentille négative. Celte lentille négative allonge donc la distance focale des rayons obli-

ques. Dans ce cas, le champ est plat et il n'y a plus de distortion si la lentille négative est bi-concave à faces identiques entr'elles. Cet objectif a porté le nom de triplet symétrique. Cependant tel n'est pas le triplet de M. UnUwneyer qui a exécuté le premier ce système optique; car M. Sut ton n'a fait qu'indiquer la possibilité de corriger ainsi la distortion.

M. M)attineyer donne aux deux lentilles convergentes des distances focales différentes et place entr'elles la lentille négative, le diaphragme étant dans une position telle que la distortion est annulée ou à peu près. Son système a sur celui de Harriêon et Schnitzer l'avantage d'une absence complète d'aberration sphérique, mais la lentille négative par son épaisseur donne encore une légère distortion parce qu'il est extrêmement difficile de lui donner juste la position assignée par le calcul et qui varie avec la nature du verre employé. Cependant cette distortion n'est appréciable que lorsqu'on se sert de l'objectif pour une dimension d'épreuve plus grande que celle pour laquelle il a été construit.

L'objectif double ae M*etzval, quand les diaphragmes sont placés convenablement entre les deux lentilles, est à peu près exempt de distortion. Mais si les diaphragmes sont placés au-devant de l'objectif, alors la distortion est considérablement plus grande que dans l'objectif simple.

Section V. — De l'astigmation ou aberration de position

des lentilles.

Procédé expérimental pour démontrer Tastlgmatlon. — L'astigmation s'observe avec un petit objectif double (système à portraits) placé sur une grande chambre noire dont le verre dépoli est deux ou trois fois aussi grand que la surface que cet objectif couvre ordinairement. Ainsi, par exemple, un objectif quart sur une chambre noire plaque entière. Collez sur un mur blanc un pain à cacheter noir (ou de tout autre couleur), et examinez-en l'image au centre de votre verre dépoli,

l'axe de l'appareil étant à la hauteur du pain à cacheter. Vous remarquerez que l'image en est ronde, quand même vous déplaceriez votre verre dépoli en arrière ou en avant du foyer, dans lequel cas l'image perd seulement de sa netteté. Mais tournez l'appareil sur son pied de manière que l'image du pain à cacheter vienne aussi près que possible du bord du verre dépoli, vous remarquerez qu'il est maintenant impossible d'en avoir une image nette et que, en déplaçant votre verre dépoli en avant ou en arrière du foyer, l'image s'allonge dans un sens vertical ou horizontal.

Explication théorique de rastigmation. — La fig. 02 nous permet d'expliquer ce résultat et d'en analyser les conséquences. Soit LOMN une lentille convergente dont l'axe principal est AB. Obliquement à cet axe, choisissons un point rayonnant R situé à l'infini et qui envoie par conséquent des rayons parallèles à la lentille. Par l'axe AB et le point R faisons passer un plan dont la

Fig. 62.

(race sur la lentille sera le diamètre LM, et considérons un second plan passant par le point R et perpendiculaire au premier dont la trace sur la lentille sera le diamètre NO. Voyons la marche des rayons émis par le point R dans ces deux plans, en commençant par le premier.

Menons d'abord le rayon RC passant par le centre optique de la

lentille, lequel ne subira pas de déviation par la réfraction à travers les faces courbes de la lentille et qui prolonge constituera donc un axe secondaire RP. Menons aux deux extrémités du diamètre LM de la lentille les rayons incidents RL et RM, qui après la réfraction iront couper l'axe en Q et en P, ainsi que nous l'avons vu au chapitre de l'aberration sphérique. Mais, si la lentille a une faible ouverture, le point de concours sera sensiblement le point Q.

Dans le plan RNO qui contient aussi l'axe secondaire RP, les rayons incidens RN et RO sont symétriques par rapport à l'axe secondaire, aussi après la réfraction vont-ils couper l'axe au même point S.

On voit donc qu'il y a deux distances focales de la même lentille pour les rayons obliques à l'axe tombant parallèlement entr'eux à la surface d'une lentille, l'une dans le plan passant par l'axe principal de la lentille et le point rayonnant, la seconde dans le plan passant par le point rayonnant et le centre optique et perpendiculaire au premier. Cest ce qui constitue l'astigmation.

Réduction de l'astigmatlon au minimum. — On

réduit l'astigmation (c'est-à-dire la différence entre le foyer primaire et le foyer secondaire) au minimum, d'abord à l'aide du diaphragme qui partage la surface de l'objectif en autant de surfaces séparées dont chacune d'elles agit sur des points rayonnants d'une incidence différente; secondement, en choisissant les surfaces sphériques de manière que les rayons immergents et émergents fassent un très-petit angle avec les normales aux surfaces sphériques des lentilles.

Calcul du foyer primaire et du foyer secondaire. — Nous considérerons le cas le plus simple, celui d'une lentille simple; piano convexe, munie d'un diaphragme à ouverture trèsétroite, placée au centre optique de la lentille. Nous supposons le point rayonnant situé à l'infini et le faisceau de rayons parallèles tombant sur la face plane de la lentille.

Soit CD (fig. I, pl. I) l'axe de la lentille, Aa l'axe du faisceau

lumineux après la réfraction à la surface plane de la lentille. Faisons passer un plan par ces deux axes et soit ab un arc de cercle , ayant son centre en C, représentant la coupe de la surface convexe de la lentille par ce plan. Considérons dans celui-ci un second rayon B6 du faisceau, les deux rayons Aa, B6 émergeront suivant aV et 6V, le point d'intersection V sera approximativement le foyer primaire et le sera exactement quand les deux rayons seront infiniment voisins.

Calculons la distance oV en fonction du rayon Ca = r de la lentille et faisons les angles

VaD « G A'aD = /i bCa = <p 6Va —4»

Le triangle Xab donne

Va : 6a = sin V6a : sin ^

. sin V6a

sin «|

Calculons chacun des facteurs qui entrent dans cette expression. En abaissant Cp perpendiculaire sur la corde a6, le triangle rectangle Cpb donne

6a = 2p6 = 2c6 sin ^= 2r sin ^ •

Appelons k le point d'intersection du rayon V6 prolongé avec l'axe aC, l'angle V6a considéré comme extérieur au triangle kba est égal à la somme des angles intérieurs opposés,

V6a = Yka bac.

Mais, le triangle Yka donne de même

Xka tsa VaD — kVa = G — ty,

et le triangle rectangle cpa donne

6ac = 90° — ï.

En faisant la somme on trouve

d'où

sin V6a = sin j^90> — ^ 1 — 9^ J = cos ^ h- | — 9 J En substituant dans la valeur de Va, celle-ci devient :

sin 7- • cos

Va = 2r •

sin

Observons maintenant que les angles et 9 sont infiniment petits, puisque les rayons Aa et B6 sont infiniment voisins, on a donc

sin 4* ^ 2'|» '

D'autre part, en développant le cas de la différence des arcs i|/ + ? et 0 , au moyen de la formule connue

cos (a — 6) = cos a cos b — sin a sin b ,

il vient

cos

^ 4" g — 0^ = cos G • cos ^| -h i|r^ -4- sin 0 sin ^|

où, en observant que l'arc J -4- ^ étant infiniment petit, on peut

DES ABERRATIONS. 121 le subslilucr à son sinus et faire son cosinus égal I,

cos yty | — G^ = cos 0 ^ sin 0.

Il vient donc :

Va=rr|^cos9+ sin9 ^*

A cause de la petitesse des angles 9 et ^, le 2 e terme de la parenthèse peut être négligé devant cos 0 et il reste simplement

Il ne reste donc plus qu'à calculer le rapport

Prolongeons B6 et Aa respectivement en bïï et a\'. Si l'on observe qu'au point 6 le ravon lumineux passe d'un milieu dans un autre moins dense; que l'angle d'incidence est C6B = E6B\ et l'angle de réfraction V&E, l'on aura en appelant n l'indice de réfraction

sin VBE == n sin EoB\ Mais V6E = C6K = VKa — 9 = G — — 9 et E6B' — C6L — BXD — 9 = A'aD — 9 = yj — 9.

Donc sin [G — (9 = n sin (/] — 9) ,

mais à cause de la formule connue

sin (a — 6) = sin a cos 6 — sin 6 cos a ,

l'on a

sin [G — (9-+-^)] = sin G- cos(9-h — cosO • sin (9-*sin(y) — 9) = sin v? cos 9 — sin 9 cos ij

Les angles 9 et ^ étant infiniment petits, ces formules reviennent à

sin [G — (9 — ty)] = sin G — (9 ^) cos G sin (y? — 9') = sin /? — 9 cos r\.

et par substitution de ces dernières valeurs on trouve sin G — (9 -4- vj/) cos 0 = n (sin r, — 9 cos /,).

D'autre part, la refraction en a donne de même :

sin 0 = 7i sin y;; (1)

ce qui réduit la relation précédente à

(v cos 9 = ny cos yj.

On tire de là

<|i n cos yj — cos G

et la substitution dans Va donne

n cos vj — cos G

Cette valeur peut se mettre encore sous une autre forme en

remplaçant n par - — » il vient alors

sinyj

cos 2 0 • sin vj

Va r • -— 5 : ,

sin G • cos Y} — sin y? cos r t

ou encore

cos 2 G . sin y; ,- x

Va = r- — : — (0)

sin (G — y;)

Si l'on fait varier la direction de l'axe du pinceau incident A«, c'est-à-dire l'angle yj. La formule (i) donnera l'angle G qui fixe la direction du faisceau émergent, a\; la position du foyer primaire V sur cet axe sera ensuite connue par la formule (2). Si {l'on fait yj = o le faisceau lumineux devient parallèle à l'axe de la lentille et le foyer primaire coïncide avec le foyer principal F, la formule (2) donne alors (en remarquant que y;=Q=o, d'où cosyj = cosG — 1),

De là le rapport

Va cos*G(/i — 4) F " n cos n — cos G

Cette relation entre Va et 0 est l'équation polaire de la courbe VF de tous les foyers primaires et fait connaître la courbure du ebamp de la lentille en tant que Ton ne considère que ces foyers.

Mais cette courbe diffère de celle des foyers secondaires HF qu'il nous reste encore à déterminer.

Considérons en a une section passant par l'axe de la lentille et perpendiculaire à ab; supposons que cette section soit l'arc de cercle am; soit un rayon lumineux Mm infiniment voisin de l'axe Aa du faisceau, il ira couper le rayon réfracté en aV en un point H différent de V, et c'est ce point II que nous avons appelé le foyer secondaire.

Prenons MW et Mm équidistants de Aa, les rayons réfractés sont m'H, mil, le plan MmH renferme le rayon de courbure Cm, normale au point m et le plan M'm'H contient aussi le rayon Cm', ces deux plans passant par C, leur intersection passe donc par le même point et ne sera autre que la droite CH. Mais ces plans contenant chacun une parallèle aux rayons incidents, leur intersection CH est une même parallèle à ces rayons, donc Cil est parallèle à Aa, et l'angle HCa = vi (fig. 2, Pl. I).

Le triangle HaC donne

a H sin HCa sin /î 1

CH sin CaH sin 0 n

La courbe HF des foyers secondaires est donc telle, que le rapport des distances Ha, HC de l'un quelconque de ses points

à deux points fixes a et C est une constante - et il est aisé

de démontrer qu'une pareille courbe est un cercle.

Soient C et a les deux points fixes, II un point quelconque

m OPTIQUE PHOTOGRAPHIQUE.

de la courbe. Prenons les points B et D de telle façon que l'on ait

OB I aD 4

BC~n Ct CD~m*

D'après la définition de la courbe, celle-ci passera par les deux points B ct D.

Joignons BH et DU. On trouve les proportions

«H aB «II «D

CÏI CB 0t CÏÏ""CD*

La première nous apprend que BH est la bissectrice de l'angle CHa et la deuxième que HD est la bissectrice de l'angle supplcmenlaire alIK. Ces deux droites HB et HD sont donc perpendiculaires l'une sur l'autre ct la courbe jouit de cette propriété que tous les angles inscrits tels que BHD sont droits, c'est donc une circonférence de cercle.

Remarquons maintenant que dans les proportions

CB : Ba = n : 4

l'on tire

Ca r

CB -4- Ba : Ba — il 4 : 4 ou Ba == - = r •

De même la proportion

CD : aD = n : 1

donne

CD — aD r

CD — «D ; aD = n — 4 : 4 ou aD ==

en faisant la somme il vient

r r 2ra

Ba aD = BD =

Or, BD est le diamètre du cercle BHD, donc en désignant par R le ravon de ce cercle, on a

DES ABERRATIONS. 125 Quand le rayon ail tombe sur l'axe aD, le foyer secondaire H vient en D qui n'est par conséquent autre que le foyer principal F et en effet on a trouvé plus haut :

aD = -^— =F.

Pour trouver maintenant la valeur de ail observons que le triangle CHa donne

ail : Ca = sin r t : sin (G — /;),

d'où

r sin 'i

ail

sin (G — r,)

En comparant cette dernière formule à la formule (3) on aura finalement pour les rapports des distances focales primaires et secondaires qui correspondent à un angle donné 0

— -=cos* Q.

ail

Pour avoir la distance de ces foyers on tire de la proportion ci-dessus

ail — aV i — eos* G . . „ -— — T =s,„«0

r sin ri sin 2 0

VU = sin* 0 X «H =

sin (ô — y)

Cette formule montre que l'astigmation est d'autant plus considérable que le faisceau de rayons incidents s'incline plus sur l'axe.