POLAR. GIRCUL. ET ELLIPT. PAR RÉFLEXION TOTALE

(§ 589) les signes de sin ^* et cos^;', on trouve sans peine

. , . , . , 2/1 cos / sin* f Jn* sin* i — i

sin('V— 4^)==: , , , . ,. >

... ., 2/i*sin*f — («' -Hi)sin'i-|- I

et partant

i ,,, . , n sin' I

tang-(4i'-+)= —=====.

^ cos I V'» «n ' — '

Veut-on introduire avec ce géomètre Tangle limite L, on verra que Ton a

Vsin (/ — L ) Vsin (/ -4- L) = - v'''»' sin^ ' — i ,

ce qui permet d'écrire

I / • f , \ sin* i

tang-(4» — +) =

^ cosiVsin(/ — L) \/«n(''+L)

Prise sôus cette forme ou sous la précédente, l'expression de

*angr (+' — +)

n'a pas seulement l'avantage de la simplicité, elle se prête encore à montrer nettement ce qui aurait échappé, dans son travail sur la réflexion totale, au génie de Fresnel. Cauchj, dans ses profondes études sur le même sujet, arrive à une valeur de

tangi (+' — >{»)

qui ne diffère de la précédente que par l'addition , au second mem bre^ d'un terme t, qui a été trouvé entièrement négligeable pour les substances qui se prêtent par leur transparence et par leur homogénéité à l'étude de ce' phénomène.

§ 394. — Recherche dn maiimnm de ranomalie due à une

senle réflexion.

Pour trouver le maximum de l'anomalie due à une seule réflexion, on peut partir d'une quelconque des lignes, trigonoroétriques del'angle \|;' — >{>. Fresnel partaitdu cosinus, nous partirons de

tangi(f —>}»);

I 1 6 CHAPITRE Xlfl

en égalant à zéro sa difTérentielle, on obtient Téquation très-simple

qui donne pour i, 5o® 20' 3o'^. Cette valeur introduite dans la tan- {^ente donne

ung-(+ — >^ = ;

qui amène

En doublant, on a le cSiiffre inscrit dans le tableau du ^ 587. S'il y a en général deux incidences capables de donner un même retard, elles se réduisent à une quand le retard est maximum. En effet, réquation

(/ï'-H i) sin'/ = 2

n^st que du second degré. Ou encore, si Ton calcule la valeur de

P==cos(>|/' — >!*)

8/?* qui répond au maximum, elle est égale à r -h i , et

si on la porte dans l'expression générale de sin' / (§ SOI), le radical s*annule, et les deux valeurs de sin' i deviennent égales.

§ 395. — Réflexion totale à la limite dn lierre et de Tean.

Pour s'éclairer sur le nombre des réflexions totales qui engen dreraient, au contact du verre et de Teau, un circulaire, Fresnel traita d^abord la question du maximum d'anomalie dont serait capable une seule réflexion totale opérée à la démarcation de ces deux corps. Il trouva pour l'incidence la plus avantageuse/ =69° 34' et pour l'anomalie correspondante seulement 1 4 degrés, d'où ilconclut que pour atteindre 90 degrés, il faudrait au moins sept réflexions. Comme il redoutait dans d^aussi longs parallélipipèdes ces effets de trempe que la précision des expériences actuelles permet de reconnaître dans presque tous ces solides , il s'arrêta à la construction d'un cinquième parallélipipède qui donnait seulement quatre réflexions dont deux auraient lieu au contact du verre et de l'eau. Pour répartir entre ces d.eux sortes de réflexions l'anomalie go degrés, on procède par tâtonnement. Fresnel a trouve

POLAn. CIRCUL. Et ELLIPT. PAA RÉFLEXION TOTALE. il j

ainsi que sous Tangle i = 68'' 27' le verre sec donne

et le verre mouillé ,

c'est-à-dire, pour les quatre réflexions, deux fois

Ce parallélipipède cesse de donner un circulaire quand on laisse ses faces latérales sèches, ou bien quand , au lieu de n^appliquer que sur Tune un papier mouillé , on rapplique sur toutes deux.

§ 396. — Remarcpies finales.

Nous sera-t-il permis de présenter les réflexions suivantes qui nous sont suggérées par le remarquable travail que nous venons d'exposer.

Un grand progrès des mathématiques est attendu, à savoir l' interprétation des imaginaires.

On sait que V algèbre donne des formules qui s' appliquant à tous les cas d*un phénomène, que ces formules purement passives acceptent tous les chiffres qui ressortent d^une quelconque des questions numériques posées à F instar de la question générale. *

Que ce cas particulier soit absurde ; Talgèbre serait une science trompeuse, si elle n'avait quelque moyen évasif de se désintéresser dans une telle question.

Ces moyens elle les possède, elle sait à sotte question faire sotte réponse, et elle a deux manières de le faire ; elTc amène du négatif ou de Timaglnaire.

L'algèbre, et c'est. là une belle découverte, a su tirer parti du négatif en y montrant la solution d'autres questions voisines de celle qu'on étudie^ et sa généralité s'est singulièrement accrue , puisque grâce au négatif, au lieu dus cas particuliers d^une seule question , elle embrasse dans une même formule ceux de plusieurs questions.

Eh bien, il est possible que le facteur réel de ses imaginaires convienne comme bonne solution à d'autres questions solîdaîros do oello qu'on étudie, eî si Ton savait

Il8 GHiiPITRE XIII

(comme on y a réus^si pour le négatif) discerner à coup sûr et par un procédé général ces questions, les imaginaires ainsi interprétées apporteraient encore à l'algèbre un nouvel accroissement de généralité.

Plusieurs mathématiciens se sont occupés de cette étude au point de vue géométrique, et M. Faure (*) entre autres est arrivé à énoncer' la relation qui unirait à la question principale les questions auxquelles conviennent les facteurs réels des imaginaires ; il a même obtenu, en se fiant à cette interprétation, de curieux résultats. Mais malheureusement la meilleure consécration des principes de son interprétation leur vient plutôt à posteriori qu à priori, et les 'géomètres répudient comme peu solides les bases théoriques sur lesquelles elle repose.

Toujours est-il que Fresnel en polarisation circulaire et M. Faure dans le domaine des mathématiques ont su tirer un excellent parti des imaginaires, et que, chose digne de remarque, les principes de M. Faure conduisaient droit à l'interprétation de FresneL

Un dernier mot. Les physiciens, à moins de nier la réalité de leur science, ne peuvent avoir la même exigence que les géomètres. Pour quiconque admet que la voie de l'observation est un moyen doué d^une puissance à lui propre, et souvent Tunique moyen d'arriver à la vérité, un principe hypothétique, un pressentiment hardi, peuvent être établis à posteriori par la confrontation de ses conséquences avec les faits. Nous considérons donc comme de bon aloi, et cette interprétation des imaginaires due à Fresnel, et ces quelques principes féconds qui ont, comme autant de phares puissants, éclairé ses prodigieux travaux : aussi désireux cependant que tout autre de voir l'analyse pure les démontrer à priori (**).

( * ) Faure, Essai sur la théorie et Pinierprétation des quantités dites Imabinaires. Paris, i8/|5.

( ** ) Ces lignes étaient écrites avant les remarquables travaux de Cauchy sur l'interprétation des imaginaires.

POLAU. CIRCUL ET ËLLIPT. PAR RÉFLKXIOK TOTALE. 1 I ()

g 397. ^ Polarisation elliptique par les parallélipipèdes.

Dès qu'on n'a pas la précaution de mettre la vibration incidente à 4^ degrés du plan d'incidence, les deux rayons principaux sont inégaux, et partant l'ensemble des deux rayons dus à leur réflexion forme un rayon elliptique.

Comme leur anomalie vaut -y ce sûnt les rectilignes prin-

cipaux de l'elliptique qui sont en évidence, a étant l'angle que fait avec le miroir la vibration incidente, cosa est la première vibration, sina la seconde, leur rapport, avant

comme après la réflexion totale, sera • Ce sera celui

'^ cosa

des axes. Il peut visiblement prendre toutes les valeurs

possibles, ce qui rious montre qu'un parallélipipède peut

donner la série complète des elliptiques et qu^il la donne

au point de vue simple des rayons principaux.

Si, au lieu des solides de Fresnel a angles calculés, on

prend soit un parallélipipède â angles quelconques, soit un

simple prisme analogue à ceux de Dove, le résultat sera

généralement un elliptique; mais comme l'anomalie de ses

deux constituants sera quelconque, les réflexions multiples

ou la réflexion unique ne mettront plus en évidence ses

rectilignes principaux. Mais il sera facile de les obtenir par

les formules du § 355, puisqu'on connaît les valeurs cosor,

sina, (f/ — ^ d'un système de constituants.

g 398. — Travaux de M. Jamin sur la réflexion totale.

Les vériGcations nombreuses récemment exécutées par M. Jamin ont le même caractère que celles deFresnel : comme lui, il détermine l'anamolie ^ — ^. Seulement, grâce à la méthode qu'il suit et k l'appareil dont il dispose, il n'est pas obligé de pousser cette anomalie, par la méthode des mut'tipleSy jusqu'à une partie aliquote déterminée de la circonférence. Dans ces conditions favorables, il lui est inutile de recourir à ces réflexions successives qui allongent le trajet du rayon au sein de la substance. Décrivons d'abord cet

I 20 GHAPITRB XUI.

appareil , qui a pour organe principal le compensateur à franges de M. Babinet, et qui s'adaptera avec un égal suc* ces à Tétude des phénomènes qui nous occuperont dans les chapitres suivants.

Appareil de M. Jamin (Jîg. 207).

Au centre d'un limbe horizontal se trouve une plateforme, munie d'une alidade, sur laquelle on installe centralement et normalement le miroir. Sur la circonférence se trouvent deux tubes T, T' dirigés dans le sens des rayons du cercle, l'un fixe armé d'un nicol qui communique au rayon incident la polarisation rectiligne, l'autre confié à une alidade et armé, i^ d'un compensateur c dont les sections principales coïncident avec celles du réflecteur; a° d^un nicol oculaire. A chacun de ces tubes est annexé un limbe vertical qui permet d'apprécier, l'un l'azimut du polarisé primitif, l'autre Tazimut de restauration.' ^

Plaçons le zéro de ces derniers limbes sur le diamètre vertical et admettons que ce zéro indique, sur le premier, la verticalité de la section principale du nicol polarisateur, et sur le dernier rhorizontaltté de celle de l'analyseur, de manière que quand les alidades des niçois marquent toutes deux soit zéro, soit le même angle oc = 5, on ait en visant directement, Textinction. Alors, quand la première alidade marquera zéro, la vibration incidente sera verticale et le rayon offert à la réflexion sera polarisé dans le premier azimut.Marque-t-elIe 90 degrés, le rayon l'est dans le deuxième azimut; s*arrête-t-on à l'angle a, la vibration incidente se résout en deux, l'une cosa constitutive du premier rayon et l'autre sina constitutive du second.

§ 399. — Cas on les amplitudes sont seules altérées. Si la réflexion altère simplement les amplitudes, les deux vibrations gardent leurs nœuds et recomposent au delà du miroir, un recliligne. On le reconnaît â ce que, le compensateur restant au zéro, on obtient entre les fils, par la rotation du nicol oculaire, des variations d'intensité qui vont

POLAR. GIRGUL. BT ELLIPT. PAR RÉFLEXION TOTALE. 121

jusqu'à rextinciion. Si A et Xr sont les facteurs d'altération des première et deuxième vibrations , F angle s marqué par ce nicol, quand la frange placée entre les fils sera la plus noire possible, satisfera à Téquation

ksïna A

et comme l'appareil donne a et 5, on se trouvera avoir déterminé la seule inconnue du problème t= />.

§ 400. — Cas où raltération n'atteint que les phases.

Quand la réflexion altérant simplement les phases introduit entre les deux vibrations une anomalie ^ — tp, ou le reconnaîtra à ce que si Ton place d'avance F alidade du nicol oculaire dans Tazimut a et si Ton ramène, en faisant jouer le bouton du compensateur, la frange noire entre les (ils, le nicol oculaire donnera, lors de ce retour, une extinction complète. Supposons, par exemple, ^ — ^ positif et <] ît, auquel cas la frange centrale aura été jetée à gauche des fils : en tournant le bouton sinistrorsum, on diminuera le retard de la deuxième vibration OY et quand ce mouvement aura opéré la diminution ^' — (p, le rayon sera restauré et il le sera bien dans l'azimut primitif a. ^' — ^ est-il, au contraire, négatif et plus petit en valeur absolue que tt, il faudra tourner, le bouton dextrorsum. Ici c'est donc sur le compensateur que se mesure la seule inconnue du problème, et les deux cas du phénomène, à savoir la génération d'un dextrorsum et celle d'un sinistrorsum, se trouvent distingués par le sens de la rotation du bouton.

Quand \f/ —r^ surpasse tt, la frange centrale, nettement reconnaissable quand la lumière est blanche, s^ trouve jetée encore à gauche ou à droite, suivant que ^' — ^ est positif ou négatif, mais d'une quantité qui surpasse moitié de l'intervalle de deux franges. Pour ramener cette frange entre les fils, il faudra donc pousser le prisme d'une quantité plus grande que 7*""', 4 (S ^^) ^^ ^ P''^'*^ cola, on ob-