II. 3o
On retrouve sensiblement pour incidences celles qui dans le tableau précédent répondent aux maxima. Les différences donnent une idée des incertitudes que comporte ce genre d'observations. On voit que le rapport des axes converge rapidement vers zéro, et que, bien avant d'arriver à r= 90**, l'ellipticité doit devenir inappréciable.
A côté fies deux méthodes précédentes, on peut citer comme digne d'être essayée une méthode directe qui consisterait à isoler par lebiprisnie du § 464 chacun des elliptiques issus du dédoublement du rayon incident. On aurait, par exemple, une série de biprismes dont les faces parallèles feraient avec Taxe, des angles s'éloignant de plus en plus de 90. Les roesiires porteraient sur les paramètres caractéristiques de Tellipse décrite par Fun ou par Faiitre rayon : on en déduirait p et ^. Qu'il nous suffise de recommander cette étude.
Deux savants éminents, MM. Airy et Cauchy, ont essayé de rattacher les valeurs de p et A- à quelque concept théorique. Le premier, guidé par des analogies assurément spécieuses, mais qui cependant devaient recevoir un démenti des mesures de M. Jamin, supposa que la sphère et rellipsoïded'Huyghens étaient remplacés chez le quartz par deux ellipsoïdes' qui coupaient Taxe en des points légèrement différents. Le dernier avait cet avantage qu'il ne s'agissait pas pour lui d*expliquer isolément et par des ressources spéciales imaginées ad hoc la double réfraction elliptique
DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTrQUE DU QUARTZ. 469
du quarUy et qu*il lui suffisait d'étenilre à ce phénomène une théorie qui prend les choses de loin et de haut, et qui de phis avait rencontré le succès dans d^autres circonstances non moins délicates. Mais> sur ce terrain difficile, nous devons nous borner à dire que les valeurs trouvées par M. Jamîn cadrent remarquablemeut avec les formules de M. Cauchy, et à appeler de tous nos vœux le jour où ce grand géomètre, réalisant des promesses qu'aucun ami des sciences n'a oubliées, coordonnera enfin ses travaux considérables sur Toptique moderne.
§ 611. — Equations des quatre elliptiques mis en jeu par un quartz qu'un rayon polarisé traverse dans uBe- direction voisine de Taxe.
En vqyant la double réfraction elliptique modifier aussi* profondément les bras de la croix, on prévoit que son influence s'étendra aux anneaux eux-mêmes pour en changer soit la position, soit l'intensité. Il convient donc de reprendre pour le quarts le calcul des phénomènes étudiés § S78.
Quand Te plan d'incidence étant ZOY, la vibration du rayon incident est dirigée suivant OX, si le quartz est dextrogyre, les deux ellipses d'Airy (§604) ont les positions i, 1 [Pi. XII^ fig, 293). La vibration , supposée de même amplitude, passe-t-elle dans le plan d'incidence, on aura les ellipses 3 et 4 égales aux précédentes, et nous avons annoncé § 610 que la grande ellipse devenait sinistrorsiim. Cela résulte de ce que d'une part, l'elliptique correspondant devient à la limite le rectiligne extraordinaire, et que de l'autre, dans le quartz, cristal positif, c'est ce rayon qui est retardé. En d'autres termes, tandis que pour le rayon ordinaire l'ellipse conservée dérive du circulaire dextrorsum; pour l'extraordinaire, c'est cette ellipse qui devient évanouissante, ce rayon- devant être considéré comme la limite des altérations subies par le circulaire sinistrorsum. Pour un quartz lévogyre la correspondance des rayons rectilignes avec les circulaires est intervertie.
Les deux cas précédents conduisent sans peine au cas général où la vibration u'est ni normale au plan d'incidence, ni contenue par lui, cas qui se réalise quand, pour produire les anneaux du quartz, on lance ivu travers d'une plaque normale à l'axe un cône plein de rayons incidents. Si [PL X!17, fig, ?.c)/{) la vibration du.
faisceau convergent a pour direction OX, on aura, dans un anniut quelconque OYi caractérisé par l'angle a, sîn a pour la vibration normale et cosse pour la vibration comprise dans la section principale, la première donnera (nous négligeons le diviseur i + A*) les deux elliptiques
X, =:sinacos$ J or, = ^' sin a cos ( Ç — p) J
j,= ^sinacos( Ç ^ J I j, =: — Xsinacosl ( — ?"""") I
la deuxième donnera les deux elliptiques représentés en points.
Pour ne pas se fourvoyer dans récriture de leurs équations quelques remarques ne seront pas inutiles. Au lieu de nous donner, dans ce cas général, tour à tour et insolidairement chaque vibration principale, nous les recevons comme résultat de la décomposition d*une vibration primitive. Cette commune origine établit entre elles un lien qui doit se retrouver dans les équations. Il faut que les vibrations x,, r\ , seules indépendantes de A et seules conservées à la Hmite, reconstituent, quand on abolira le retard p, la vibration primitive. Or cette obligation nous signale, comme portions de leurs ellipses simultanément décrites, les arcs m/i, pqy et mène aux équations qui suivent
^, =^»C05aC0SÇ )(*)
x\ = /■ cos a cos ( ï — p — - ) ( Jp', = — A cosa cos( Ç j
L'intensité proviendra du concours de ces quatre elliptiques qui ne reproduiront les ellipses, égales deux à deux, de la^^. 298 que pour les azimuts a = ±4^.
§ 612. - CSalcnl des anneaux quand le polariscope est à
Textinction.
Si nous orientons d'abord le nicol polariscopique à 90 degrés de la vibration, les 8 vibrations projetées donneront pour l'image
( * ) DansTinlérèt du $ 681 , nous allons donner et la représentation graphique et les équations des quatre elliptiques issus, avec un quartz lévoçyre , de la même vibration OX.
Les ellipses 1, 2 {^fig. 295) tracées d'un trait plein , représentent les el-
extraordinaire
sina (/, -f-r» -+-/, H-Zt ) — cos a (x, -I- x, 4- x\ -h x\ },
on a d*abord , en Diadifiaot les coûnus qui contienn^it --9
[k sin a sing — k sin a sin (Ç — p) 1 -hcos«oo»(Ç — p)-h A^'cosacosÇ )J
r sinacosÇH- X'»sinacos(Ç — p) "j L-h Arcosasin(Ç — p) — it cota sin fj
r*est-à-dire un polynôme à huit termes qui se ramène sans \te\ne au quadrinéme suivant
/ [sinÇ — sin (Ç — ?)]+■(' — X-') sina cosa[ cos (Ç — p) — cosj J
qui devient, quand on échange contre des produits les différences comprises entre crochet»,
sXsin^cos (?"^ -) -f-(i — X') sin 2 a sin £■ sin ( Ç — £- j ,
liptiques de U vibration ordinaire sin a. Les autres 3, 4 proviennent de l'extraordinaire cos a. mn^ pq sont encore, sur les elliptiques principaux 1 , 3, arcs simultanés. Les équations , nous n'y introduisons pas le retard p qui appartiendrait alera aux elliptiques 't, 3, seront, povr >c rayon ordinaire.
sin a cos l,
k sin a cos | Ç h — j 1
k* sin a cos | ,
— A sin 0e cos 1 ^-i-
et pour
l'extraordinaire
cos a cos Ç ,
- k cos a cos ( Ç —
A* cos a cos (,
Ar cos a cos | ^ —
Le lecteur constatera sans peine qu^elles se déduisent des hniléquftlions ana*
logues écrite», dans le paragraphe, pourlecas d'un doxtrogyre,en y changeant le Mgne de k.
tel est le mouvement vibratoire résultant. La forme des facteurs
sin
in f Ç — ^ j ï cos li' j seuls dépendants du temps , montre
que rintensité I vaut la somme des carrés des coefficients de ces facteurs; qu'ainsi, en rétablissant le diviseuf (i + >(^')% l'on a
I = , — .,> sm' ï- + ) 7-^ sin* a a sm» ^•
Discussion, — En faisant A=zi, ^ = o, on réalise les deux cas extrêmes des rayons très-voisins ou des rayons très- éloignés de Taxe. La première hypothèse donne
I = sin» t
c*est-à-dire une teinte indépendante de a et partant uniforme. La deuxième conduit à Texpression
sin' 2 a sin' ~ »
qui admet visiblement : i** le long de chaque rayon vecteur des inaxima et des rainima dépendants dep; n? sur chaque cercle concentrique à l'axe , à cause du facteur sin 2 a^jine dégradation de lumière allant jusqit'à zéro : expression qu'on aurait d'ailleurs trouvée au § 278, si on y avait fait découler comme ici la recherche des lignes isochromatiques de la discussion de l'intensité. Ainsi, quand on est assez loin de Taxe pour que A soit sensiblement nul , on réobtient les cercles des autres uniaxes avec les quatre bras de la croix noire. Plus près du centre on voit encore des anneaux et on les voit aux mêmes distances du centre, car les valeurs de p qui annulent le dernier terme annulent en même temps le premier. Mais il n'y a plus de croix noire, parce que ce premier terme conserve une certaine lumière, quel que soit a,
aux régions qui ne donnent pas sin - p = o.
§ 613. — Le cas général. — Les deux règles de Déleienne.
Quand Tazimut 6 du polariscope, au lieu d'être 90 degrés, devient quelconque, on a, pour constituer l'image extraordinaire,
fos(6 — «)(r>+r.-f-/,.-l-y,) — sin(6 — a)(x,-hx,4-jr',-hx;)-
DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. 4'ji
remplaçant les ^ et les j? par leurs valeurs et opérant des rcduclions faciles, cette expression devient
2 X- sin6 sin£- ces ( Ç — - )
-f-[cosacos(6 — a) — ^'sinasin(6 — a)]cos(Ç — p)* -f- [X-* cosa cos (6 — a) — sin « sin ( 6 — a ) ] cos Ç ,
ou bien, si Ton représente par M et N les deux parenthèses, 2 X- sin - sin ^ cos ( Ç — ~ j -h M cos ( Ç — p ) -4- N cos Ç ,
tel est le mouvement vibratoire, Tintensité vaudra donc I = 2 ^ sin 6 sin - cos- H- M cosp -f- N j
+ I 2 X- sin6 sin - sin - + Msino | •
Les neuf termes qu'on obtient en effectuant les deux carrés se réduisent immédiatement aux six suivants :
I = 4X-»sin'6 sin'^ -+-M»-h N' -f- 4 X- M sin 6 sin ^- cos^
+ 2X-Nsin€sinp + 2MNcosp.
Si l'on remplace dans le dernier, cos p par i — 2 sin' - p, et si Ton
combine le terme 2 MN avec M* 4- N% ces trois termes se prêtent à d'énormes réductions et deviennent cos'6{^'-i- 1)'. Les deux termes qui suivent M* -h N* donnent
2X'sin6sinpcos6(i + X'')=: A(i+X'-]sin2 6sinp.
EnGn si, ayant effectué le produit MN, on y ajoute et on en retranche 1 X* sin a cos a sin ( 6 — a) cos (6 — a), ces six termes deviennent,
après le rétablissement du facteur — 4 sin'- p ,
(1 — A^y sin 2 a sin 2 (6 — a) sin' - — 4 ^' ^s' ^ *'"' - P>
de sorte que, tout compte fait, en rétablissant le diviseur (1 + A^y et remplaçant sin' 6.— cos- 6 par — COS26, l'expression de Tin-
tensité devient
I r= cos' 6 — 4 -; j-^ COS2 8 sin*- p
H 7- sin 2 6 sin p -f- 7 7-7- sm 2 a siD 2 ( 6 — a ) sin' — •
,1 -f- A» '^ (l-f-Xr')' ^ ^ 2
Discussion, — En y posant 6 = 90, elle redonne bien Texpres* sion du paragraphe précédent. En y posant /- = i, elle donne
I = — COS26 sin* — h cos*6 -\ — sin2 6sinp.
Si^ dans cette dernière expression , on introduit en place des angles 26, p les angles 6, -9 on arrive à trois termes qui forment un carré parfait, à savoir
formule qui reproduirait la formule élémentaire du § 498 si Tangle a y était compté, comme alors, de l'axe Oi X,.
Pour déterminer Tespèce d'un quartz, Délezenne recourt à Fun des phénomènes suivants :
1°. Le quartz normal étant placé entre le polarisateur et le polariscope, si Ton vient à tourner ce dernier, les anneaux subissent dans Tune comme dans l'autre image, soit une expansion qui leur fait atteindre un numéro de phis en plus élevé, remplacés qu'ils sont par d'autres anneaux éclos incessamment *du centre; soit un resserrement qui les amène à se résumer en une tarhe centrale pour disparaître ensuite. Eh bien, si la rotation du polariscope est dextrorsum^ C expansion caractérise les dextrogyres et le resserrement les lévogyres. La correspondance deviendrait inverse si Ton convenait d*imprimer aq polariscope une rotation sinistrorsum. Quoique moins net chez les quartz minces, ce caractère leur appartient encore, pourvu qu'à défaut d'un cercle complet, on s'en prenne, pour observer le caractère cenirifuge ou centripète du mouvement, aux quatre taches qui forment l'origine de la croix.
2". Dans le précédent phénomène, Porientation initiale du polariscope peut être quelconque. Convenons maintenant de le niettre à l'extinction el tournons-le soit à droite, soit à gauche. Si
répaisaeur du quartz ne dépasse pas 5 nûttimècres, Tune des deux rotations amènera» avant que le phénomène précédemment décrit se déclare 9 une croix bleue qui, si le mouvement continue, virera au violet. Chez les quartz minces le bleu est trés-sombre et le moindre mouvement de la tourmaline le fait passer au jaune sale, par un violet peu appréciable» Eh bien, la rotation qui amène cette succession est de même espèce que la rotation du quartz, I.e mouvement contraire du quartz montre aussi les croix bleue et violette, mais dans un ordre différent. Dans l'image ordinaire, cVst également la croix violette qui précède la bleue, mais les azimuts où elles apparaissent sont à 90 degrés de ceux obtenus pour rimage extraordinaire, de sorte que, si ces derniers angles sont moindres qu'un droit, c'est par une rotation. contraire qu'on y arrive. Ce phénomène des croix, au rebours du précédent, s'observe mieux chez les quartz minces.
L'étude du phénomène m'a montré deux choses. La première consiste en ce que la rotation qui amène la croix violette ou noire est sensiblement égale à celle ae du quartz. La deuxième est que
ae les bras de la croix sont orientés dans un azimut — 9 égal à la moi-
tié de celui dont on a tourné. Avec la lumière blanche, quoique les observations comportent peu de précision, ce rapport de 1 à 2 s'accuse cependant avec une certaine netteté. Passe-t-on au verre rouge et surtout à la flamme de l'alcool salé, alors, s'il reste encore une certaine incertitude sur la détermination absolue des azimuts du polariscope, il n'en est plus de même du rapport. Nous allons voir que ces deux remarques sont parfaitement justifiées par la théorie. Quant à la manière de mesurer commodément l'orientation des bras de la croix, nous renvoyons à la fin de la note du § 695.
Bornons la discussion de la formule générale à la justification des règles pratiques de Délezenne et à la recherche de la loi que semble receler le dernier phénomène.
1°. Puisque dans leur expansion ou leur resserrement les anneaux partent du centre ou viennent s'y absorber, pour retrouver ces phénomènes dans \u formule, on peut y poser X- = dr i , ce qui la réduit à
4j6 CHAPITRE XXIV.
les courbes isochromadques sont donc des anneaux dont les diamètres sont donnés, quand A est positif, par les équations
or, dans la configuration type, € croît par une rotation dextrorsum; on voit donc que les anneaux sWvrent c)uand on augmente 6 et diminuent par le mouvement contraire. Si A est négatif, on a
p = — 2ê=rir — 26 = 27r — ^6=...,
et les variations de 6 produisent un effet inverse. La première régie pratique de Délezenne se trouve donc justifiée.
2°. Posons X = I — J, et cherchons, par la division, ce que
valent les coefficients — /i --r-» r » ; r-r» quand on
y néglige les puissances supérieures à ^. On trouve sans peine
— (i — ^'') , - I I $A et ^», de sorte que l'expression de I se
compose de deux parties, l'une indépendante de 9 qui n*est autre
que cos' [ - p — 6 ) i et la deuxième formée du produit de ^* par
le trinôme suivant
cos 2 6 sin* - p — -7 sin 2 6 sin p H- sin 2a sin 2 (6 — a) sin* ^ •
Dans les expériences qu*il s*agit d'interpréter, le polariscope est placé d*abord à Textinction et c'est à partir de là qu'on le tourne soit à droite, soit à gauche. Pour répondre à cette manière d'opérer, il faut changer 6 en 90 q= 6'. On a donc
I = sin^(lpqiê')-h^»sinip
I — cosa6'sin-p±-sin26'cos- p4-sin2asin (2a±2 6')sin-p U
on rendra le centre obscur en tournant le polariscope, dextrorsum et d'une quantité donnée par
sm c'est-à-dire de
in(Ap-6')=o,
<5' = ?^ =ae.
DOUBLiS RÉFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. 4^^
L'obscurité centrale se continuera dans les azimuts a qui annuleront la parenthèse. Or l'hypothèse 6'= ^ donne à cette parenthèse, après des rédactions faciles, la forme
sin - p I sin' - p -+- sLn 2 a sin (2 a -f- p ) L mais on a
sin ?a Uin (2 a 4- p) = - cos p cos (4 a 4- p).
T inéquation de condition sera donc
sm' - p H-- cosp cos (4 a -H p) = o,
2 ^ Mt
mais
on a donc
c'est-à-dire ou bien
1 1 . ,p - cos p = sin' -,
--cos(4a4-p) = 0,
4a-h(^ = 0=2Tr
on aura donc une croix noire qui perdra de sa netreté quand Téloigneroent de Taxe cessera de rendre négligeables les termes non annniés qui suivent celui en d'.
D'après la manière dont a est compté^ j exprime un angle compté dans le sens de 6', et à partir de la même origine , le rapport de 2 à i doit donc bien exister entre la rotation du polariscope et Tazimut de la croix noire.
Pour rimage ordinaire, le premier terme de I serait
pour amener la croix noire, il faudrait poser, dans le cas oîj - p
478 GHAPITHI;: XXIV.
est moindre que-j
ir I
on devra donc tourner sinistrorsum d'un angle 6' := p ,
qui est bien complémentaire du précédent.
§ 614. — Cas où le faisceau convergent lancé à travers le quartz est polarisé circulairement.
Pour obtenir ce cas, il suffit i** de supposer égales entre elles et à Funité par exemple , les composantes cos a, sin a du précédent problème; 2" d'attribuer à l'une d'elles, et par conséquent aux
deux elliptiques qui la remplacent, une anomalie égale à -;
3® d'introduire chez les deux (§ S6tf ) une anomalie spéciale égale à l'angle azimutal a. On aura donc les quatre elliptiques suivants :
x^= COS (Ç — a), J Xj= ^'cos(Ç — a — p),
^, = X cos (Ç — a j , J ^, = — A- cos (Ç — a— p h
y, = cos (ç— a— ~pj, I y,= ^icosU— a — ^jj x\ = k cos ( ç — a — TT — p) , / ^\'=- — ^ cos (Ç — a — ir ), )
ils fourniront dans le polariscope, pour la vibration extraordinaire,
cos (6 — a) ( j, -h r, -hy, -4- y,) — sin (6 — a) (x,-*- x, -h x^ -f- xj, c'est-k-dire , après substitution des valeurs désuet des x,
cos (6 — a) \k [h -+- i) sin(Ç — a) H- (i — >fr) sin (I — a -h p)] — sin (6 — a) [(it -hi) cos (ç — «) — ^ (i— ^) coi(Ç — « — p)].
Si Ton prend Ç pour phase fondamentale, l'intensité sera
— ^ (X- -f- 1 ) cos (6 — a)sin a — ( i — X-)cos (6 — ajsin (a -h p)"|j
— (^ -h I ) sin (6 — a)cosa -+- X" (H- X')sin (6 — a) cos (a 4- p)J r / (/ -+-i)cos(6 — a)coSa-+-(i — /•)cos(6— a)cos (a + p}l L — (^ -h I )sin (6 — a)sin a 4- X ( i — X)sin (6 — a) sin (a H- p 1 J
DOUBLE REFRACTION ELLIPTiQUË DU QUARTZ. 4yg
on obtient vingt termes, à savoir huit carrés et douze doubles produits. Les huit carrés se réduisent à
(/•>4- ,)>^a^(i *»)cos2(6 — a).
Quatre des doubles produits se détruisent deux à deux , les huit autres se réduisent à quatre par les formules
cos(û H- ^) =. . . , sin (a H- ^)=r: . . . ;
enfin ces quatre termes deviennent
-4-2/- (i — X-^)cosa(6 — a)cosp H- (i — X-^jsin 2(6 — a) sin p»
de sorte qu'en rétablissant le diviseur (i + ^'')% il vient
I = i - 2 X- ^-^T^TTy» cos 2 ( 6 - « )
formule qui accepte encore des réductions, ^t devient enfin I = I — 4 X- — cos 2 (6 — a) sin' - -h -rz sin 2 (6— a) sin 0
I 2 X ces 2 (6 — a) sin-' f — X' . p I ^ ^2,
= 1 2 jrr^ Sin - I
(i-f-A-') 2 1 (x»-hi)sin2(6— a)cos^
Mous faciliterons la discussion si nous transformons la parenthèse en une seule ligne trigoaaoaétrîque par Tinlroduction d^in angle auxiliaire x défini par l'équation de condition
tang 2 (6 — a) = ^^-^-y, tang x-
Cette équation donne
. /- . 2/sinx
sin 2 (€ — a) =
V^{ I -h / *)^ cos' X + 4 ^'* s>"* X
{> -h X-')cosy coS2{6 — a) = ^ ^ ^ ^
la parenthèse vaut donc
2/(i-h/^)sin(^— x) — ^ ' I sm - cos X — sm X <*os - j = . =
48o CHAPITRE X\IV.
on pent d'ailleurs chasser Tangle auxiliaire du radical , car la ménie équation de condition donne
(H-**)sina(€ — a)
sinx =
cosx =
V^4 k^cQS^ 2(6 — a) H- (1 + it»)'sin* a (6 — a)
et par conséquent
(1 +X»)«cos»x-l-4^**»°'X -irfi I rr cos'2(6-«)-^sin»2(e-a)
•"^ ^ ^^ 4X'cos»2(6 — a)-h(i-hA?sin»2(6 — a)
de sorte qu'on a
1 = 1 — 2 7— sm *-
(i-hX-T 2
2X(H-X»)sin(£- — x) ^ '
X ^^.^^^;.'| W4^'cos'a(6-«)H-(n.X')^siV2(<^*)
= 1—2 7^-^^^, V'4X»cos'2 (6— a) -4- (i-h X»)«sin'2 (6 — a) (i-h X )
Xsin^sinf^— XJ-
Si Ton voulait se borner au cas de 6 = go^, il faudrait , à cause de Inéquation de condition , reprendre les calculs. On trouverait ainsi l'ensemble des équations
tang2a = — — p-jj-,tangx,
1 = 1 + 2 r—T;y, v/4 ^ ' c«*' 2a -h ( 1 4- X ')»sin» 2a sin £- sin (£— x)»
et si Ton gardait la même équation de condition
2X tang 2 a = — j--j^, tang X ,
Cette dernière fbrnuile est celle que nous discuterons (§ 624). Sa discussion sera conduite parallèlement avec celle d'une autre for-
DOUBLE RÉFH ACTION ELLIPTIQDB DU QUARTZ. 48 1
Uiiile dominée comiiic celle-ci par inéquation de condition
2 /' tang 2 a ^ -h --^^ rang x-
Grâce à cette équation commune, les deux sortes de spirales répondront aux mêmes signes de x dans le facteur sin ( - ± ;^ j •
§ 615. — Antre manière de faire le calcnl.
Pour se rapprocher de l'expérience, on aimerait ji introduire <lans le calcul Taugle de position du mica circularisant. Supposons sa section principale à + 4^ ^^ ^^ vibration ifig. 296], il
fournira dans Tazimut -H 4^ '* vibration — = affectée de l'ano-
malie -9 et dans Tazimut — 4^» ^^ vibration non retardée -p.
Il suit de là que pour un ay.imut quelconque 0Y|, on aura, suivant O, X,
-ru I cos (45 — a) cosÇ — sin (45 — a) cos 1 Ç j 1
= -r=:COs(Ç + 45 — a), V2
fl suivant d Y,
-^ cos (45 — a) cos (?— H -*-sin(45~-a)cosÇ
=r=— .sin (Ç-+-/|5 —a); O, X, donnera les deux elliptiques
Xt = cos {X -1-45 — ût) J,=:XC0S ( Ç-h45 — a— -j
.r,n=X-'cos(Ç-|-45--a — p) j
>', =r — .XcOSU-h45---a— -- p
et O, Y, les «Ylipliquea
y, = cos U H-45 — « — ^ —Pj \ x\ = k cos (Ç -H 45 — a — ir — p) *
.r\ = — Aro09({ 4-45 — « — w ) )
expressions qui ne différent, et pour un motif facile à saisir, de celtes du calcul précédent que pifr l'anomalie — a. Si donc, dans la formation de l'intensitéy en part de ranomalie Ç — a, les calculs seront identiquement ceux déjà faits; mais on n^aura que moitié de Tintensité précédente, parce qu'alors le rayon incident valait a.
§ 616. — Cas où le quarta étAnt encore déxfrogjrre, le circulaire convergent devient sinistrorsom.
La section principale du mica est alors diri,;ée dans Tazimut — 4^9 ^' Fanomalie - appartient à la vibration correspondante. On a, suivant O, X, ,
— I cos (45 — a) cos ( Ç j — sin (45 — a) cos 5 1
= — sin(Ç — 45-*-a),
suivant O, Y, on a
-p. cos (Ç — 45 -+-«).
Le lecteur qui reprendra, sur les quatre elliptiques issus de ces deux rayons, les calculs précédents trouvera, en négligeant le
facteur -»
— ^ 7-^ sin 2 (6 — a) sin p.
DÔVi^L'E RÉFRACTION BMJPTIQUE DU QUARTZ. 483
Si donc le circulaire dexlrorsum donnait un maximum, le siDis<^ irorsum donnera un minimum, et ce changement de rayon aura tout simplement amené un changement d'image.
§ 617. — Expériences snr les spirales des circulaires lancés à travers les deux sortes de quarts.
Quand on observe les courbes isochroraatiques données par des faisceaux convergents de lumière polarisée circulaire, lancées à travers un quartz normal, on trouve qu'elles comprennent des spirales qui, prises à partir de leur origine se déroulent tantôt dextrorsum et tantôt sinistrorsum. Nous croyons devoir préluder à la discussion des formules par la description de ces courbes. Leur étude se fera, à moins qu'on n*en prévienne, avec le microscope d^Amici, et nous nous bornerons presque exclusivement aux deux configurations que présentent les deux images quand l'analyseur biréfringent possède son orientation fondamentale, ou, ce qui revient au même, aux deux configurations déterminées dans une même image par 6 =r 90 = o.
Ces spirales sont au nombre de deux ; leurs origines sont séparées, équidistantes du centre et disposées sensiblement sur un diamètre qui n'a que deux positions, à savoir l'orientation anléro-postérieure et l'orientation transversale.
1^. Si le circulaire est dextrorsum et le quartz dextrogyre^ le< spirales s^ déroulent dans l'image extraordinaire de droite à gauche, et le diamètre qui relie leurs origines est l'antéro -postérieur; c'est le cas de lay%. I97.
2®. Déplacez l'œilleton et donnez- vous l'image ordinaire O, les spirales gardent leur gyration, mais elles débutent sur le diamètre transversal {fig. 298).
3**. Tournez le mica quart d'onde de 90 degrés de manière à avoir un circulaire sinistrorsum ; la spirale reste lévogyre , mais c'est alors pour TimageOque le diamètre des originesest Tantéro-postérieur.
4^ Prenez un quartz lévogyre; les spirales deviennent dextro-
gyres [fig» ^99)9 H"^' ^"^ ^^ ^^ ^"^ ^" circulaire : avec un dextrorsum et dans l'image E, les origines occupent le diamètre transversal.
Forme des spirales. Ces courbes ont des ressauts situés sur les deux diamètres précités et sont comme formées intermittemment
48/j CliAPITAK XXiV
(le quarts de cercle qui s'éloignent hriisquenient k chaque nouveau quart. De plus, en ces points, robscurité est moins vive, de telle sorte que les spirales sont comme coupées par une sorte de croix blanche. !Nous retrouvons ces parliculariiês, avec, il est vrai, plus ou moins de netteté sur des quartz d'épaisseurs très-différentes. On les discerne surtout avec la flamme de l'alcool sale. Avec la huniere blanche, il y a une dispersion très-prononcée qui met le rouge h Fintérieur des courbes, amsi que le témoigne la lettre r dans \^Jtg, 267.
§ 618. — Spirales obtennes quand le faisceau convergent ne traverse le quart d'onde qu'après le quartz.
Partons de la première expérience et faisons passer le mica pardessus le quartz dextrogyre sans le désorienWr, Les spirales deviennent alors dextrogyres et leurs origines passent sur le dian)ètre transversal, tout comme si dans la précédente expérience on changeait l'espèce du quartz.
Tournons le mica de 90 degrés, de manière à ce que^ si Ton
ôtait le quartz, il produise un circulaire sinistrorsum ; la )>osîtion
des spirales en sera encore seule affectée; elles débuteront sur le
diamètieantéro-postérieur; avec un quartz lévogyre, les spirales
,, . I i. « I anléro- postérieur,
sont Icvo^vres et elles naissent sur le diamètre ( * ,
^~ I transversal
suivant que le circulaire qui apparaîtrait par Tablation du quartz
i dextrorsum , , . .1,1.
ost / . 1.0 paragraphe suivant contient le calcul de ce
( sinistrorsum.
phénomène.
Le microscope d^Amici ne permet pas de voir Tinfluencc qu'aurait sur les spirales le changement du plan de polarisation. Pour y arriver, prenons la pince à tourmalines et interposons entre elles un quart d'onde à 4- 4^ degrés, puis un quartz dextrogyre. Si elles sont à l'extinction, et si Taxe de la première est horizontal, suppositions qui reproduisent les conditions de la première des expériences faites avec l'appareil d'Amici, on a des spirales gauches qui naissent sur le diamètre vertical. Eh bien, tournons de 90 degrés la première* tourmaline, les spirales restent gauches, ainsi qii'wn pouvait le deviner, et leurs origines passent sur le diamètiT horizontal. Mêmes effets quand ce changement du plan de polarisation s'adresse aux dernicros spirales décrites, à savoir celles
OOUBLK IlÉlIlACilOK KL Ll P'I'IQl L DU QDAKTZ. 485
tjiron olttient après rcTlitiiigc des positions <Iii quartz et du iiiica.
Enfin ayant rendu rhorizonlalilc' à Taxe de la première tourmaline et remis le quartz dexirugyre en avant du mica, retournons tout le système de manière «^ mettre contre Tœil la tourmaline qui était antérieure, les spirales deviennent dexlrogyres, mais leurs origines restent sur le diamètre vertical. En effet, par ce retournementon produit quatre changements : i^ celui du plan de polarisation qui n'influe pas sur les spirales et change seulement leurs origines; :>." rechange des positions du quartz et du mica qui renverse et les spirales et leurs origin<'s; 3" la desorientation du mica qui donnerait maintenant un sinistrorsum, ce qui D*influe que sur les origines; 4" la rotation du polariscope qui n*a prise également que sur les origines. Somme toute, les origines changées quatre fois sont restées les mêmes, mais les spirales sont renversées. Si eu même temps on changeait Tespéce du quart/.; les origines auraient subi cinq changements et envahiraient le diamètre horizontal : ce serait aux spirales qu*écherrait le nouïbre pair de renversements, à savoir deux, et partant la conservation de la disposition primitive.
Nous terminerons ces descriptions par une allusion trèsécourtée à ce qui arrive soit quand le polariscope quitte la position dV'Iite où nous l'avons confine, soit quand le quart d'onde, quittant les azimuts iti 4^ degrés, fournit des elliptiques. Dans le })remier cas , les spirales n'éprouvent pas d'altérations bien tran- . dues, et tout se borne pour ainsi dire à une rotation du diamètre des origines qui suit le mouvement du polariscope, et le suit avec une vitesse angulaire égale. Dans le dernier, les spirales s'altèrent cl leurs origines se rapprochent ou s'éloignent suivant le sens de la rotation du mica.
Il est superflu de s'appesantir sur Fimportance pratique qu'ont les phénomènes décrits dans hîs deux paragraphes précédents, ils servent manifestement à déterminer le sens de la rotation d'un quartz.
$ 619. — Galcnl des courbes fournies par un faisceau convergent rectiligne qui traverse d'abord, un quartz dextrogyre normal à l'axe, puis un quart d'onde orienté dans celui des deux azimuts ± 45 degrés qui donnerait un dextrorsum si l'on enlevait le quartz.
Au sortir du cjuartz on a dans l'azimut O, X, (J/g. ?ty4 ^'t § 61 1 )
et dans l*aziinut Oi Y, ,
la traversée du mica donne pour vibration extraordinaire
S =: cos (45 - a ) (7, -hr . H-y, 4-y, ) — iin(45 — a) (x, -*-;r,-h jr', -f- Jf',),
et pour vibration ordinaire
R = sin (45 - a) (j, -hj, -h y. -h- y, )
-+-cos(45 — a)(^, -harj-h Jr', -f-*',),
et tous les termes de S sont frappés de Tanomalie - • Vienne alors
le polariscope orienté dans l'azimut 6, et il se constituera pour vibration extraordinaire
Scos(6 — 45) — Rsin(6 — 45),
ou bien si nous nous bornons au cas de 6 =r go ,
Le calcul de S — R n^offre aucune difficulté , et conduit pour rintensité à Texpression
1= 1 -__--cOSaa-h 2k- 7--;COS2aCOSfi
H r:*in 2a sin a;
or si Ton pose 6 = 90 dans Texpression du § 6 14 , on obtient les quatre mêmes termes avec un changement de signe pour les termes 2 et 3 , qui seuls contiennent A à une puissance impaire. Donc, au moins dans ce cas particulier, cela revient bien , ainsi que le témoignent les expériences des §§ 617 et 618, à laisser le mica antérieur au quartz, et à changer Tespèce de ce dernier.
§ 620. — Calcul d'un qnarti deztrogsnre placé, daas on fedsceav polarisé convergent, entre deux micas quart d'onde.
Le §614 nous donne, au delà du quartz, dans les azimuts 0|Xi , Oi T, les vibrations
X, = j-, -h X, 4- x\ -+- x\, Y, =/, -h ri -^r'i -♦-/i >
au lieu de les recevoir sur le polariscope , nous leur ofTrons un
DOUBLB RËFRACTIOV ^LITTIQUË DU QDARTZ. 487
nouveau mica que nous supposerons d*abord orienté à 90 ilegrcs (lu premier. II en résulte une vibration ordinaire non retardée O égale à
Y, cos (45 — a) — X, sin (45 — a) ,
et une vibration extraordinaire E , retardée de -9 égale à
Y, sin (45 — a| -♦- X, cos (45 — a). Un polariscope orienté dans TazÂniut 90 degrés aura pour ima^e
extraordinaire -p (O — E^. Passons au détail du oslciil, el ^posons
[Xcos( Ç,— a J— Xcosl Ç,— a— p | / tr\ * / ,\ -h cosi Çi— a— p— -l4-*'coslÇ,— a-:- j
•fit: S COS(Ç. — a)-+-^'C0S(Ç.-a-p) 1
'"*'°(*^'-*)[^Acos(Ç.-.«-p)^-*cos(?.-«)J'
• /r ^\ Acos(Ç, — a— ït) — /.oos(É, — it-^p--r)'|
^ = "°^*^--*)L-+-cos(Ç,-«-p-~7r)-hX-cos(Ç.-a-K)J
-H.cos(45^«)| ) \\ / l\ V
ArcoslÇ, — a— p |-|-Xcoau,— a ) 1
la différence O — E ne présentera que quatre sortes de termes, caractérisés par les sinus et les cosinus des arcs S. — a etÇ, — a — p. Or, les polynômes coefficients se prêtent à des réductions tefles, qu*on arrive à
O — E = — (1 — k')cos{^5 — a) [sin (Ç, — a) — sin (Ç, — a — p)] -h(i— A»)sin(45 — a)[«os(Ç, — a — p)— €Os(Ç, — «)]
— cos(45 — k) cos ( Ç, — a — £-1 ! = 2(i-X>)sin£| ^ ^;^ '
I 4- sin (45 — a) sin fç, — a — ^ |
= — 2 (i — ^^)sin-cosf 5, +45 — 2a — ^jî
et , en remplaçant Ç, par Ç -h 45,
O — E=2(i*— >t')sinf sin (ç — 2a— i^\ :
n'ayant qu'un terme, on obtient Tintensité en carrant le coefficient du facteur seul périodique et seul fonction de Ç. En rétablissant le diviseur (i + i(' )% on a donc
de sorte que les courbes isochromatiqiies sont des cercles dont les positions sont déterminées par la manière dont grandit p en s*éloignant de Taxe. Nous renvoyons sur ce point au premier tableau du § 610.
Si le deuxième mica avait la même orientation que le premier, on aurait, dans l'azimut -^-^Sde^rés^ pour vibration extraordinaire
retardée de -9 Tancienne ordinaire, c'est-à-dire
E = Y, cos (45 — a) — X, sin (45 — a) et pour vibration ordinaire non retardée ,
O = Y, sin (45 — a) -h X, cos (45 — a).
Pour éviter une petite complication de calcul , tournons le nicol polariscopique de 90 degrés , et cherchons l'autre image , sa vibration sera-T=:(0 + E). Or les calculs, tout à fait semblables
aux précédents, donnent
OH-E=(i — ^»)[cos{Ç,-f-45 — 2a) — cos(Ê,4-45— 2a — 5=)]
= — 2(1 — A') sin -^ sin ( Ç, -h 45 — 2a — - J
=r — 2(1 — ^' ) sin - cos (H — 2 a — - | ;
l'intensité est donc encore
I = 4- — i- sin- —
Ainsi le phénomène reste le même, mais avec échange des deux images. Précisons- en le caractère.
Je phice sur le disperseur du microscope d*Amici :
1^ Un mica qui donne un dextrorsum ;
!>.**. Un cfuartz dexlrogyre dVnviron 7. millimètres;
3". Un mica croisé «ivec le premier; et j'obtiens, soit avec la lumière blanche , soit avec l'alcool salô, dans rim.'ige E, des cercles à centre noir. Avec la première lumière, le centre de l'image O est blanc et entouré d'un cercle bleu. Un quartz plus épais n*a plus son centre noir dans E. Dé place-t-on le polariscope, les cercles se déforment et aboutissent à des spirales.
§ 621. — Calcul des spirales, dites d'Airy, obtenues quand un fEdsceau polarisé convergent traverse l'ensemble de deux quartz normaux à l'axe, égaux d'épaisseur et de gyrations contraires..
Le § *]ift nous donne, à la sortie du premier quartz, supposé dextrogyre et avant l'action du polariscope, pour les deux composantes principales du rayon considéré,
X, = sin a cos Ç -h ^' sin a cos (Ç — {")
-f- h cos a sin [g — p ) — / cos a sin c ,
Y, = k sin a sin Ç — X^ sin a sin (Ç — p j
-h cos a cos (Ç — p )-H ^' cos a cos Ç, et comme chaque azimut est pour les deux quartz une section principale, X, Y| resteront, pour le cristal lévogyre qui vient ensuite, composantes principales. Appliquons à chacune de leurs parties la transformation en deux elliptiques, et alors le second (|uartz se trouvera recevoir 16 elliptiques, à savoir 8 sinistrorsum non retardés et 8 dextrorsum auxquels il faudra appliquer l'anomalie p qui était dévolue aux sinistrorsum pendant la traversée du premier quartz. Voici leurs équations d'abord pour Xi , :
sin a cos Ç , / ' sin a cos ( ç — p) ,
— k sin a sin E , X sin a sin (£ — p) ,
k cos a sin (Ç — p) , / cos a sin^ (ç — 2 p) ,
/ ' cos a cos (H — p) , — / - cos a cos (ç — 2 p) ,
X ^ sin a cos (Ç — p) , X* sin a cos (Ç — 2 p» ,
— X^sin a sin (Ç — p), X sin a sin (Ç — 2p),
— X cos a sin f , — X* cos a sin (ç — p) ,
— X-cos a cos ? , -h X' cos a cos (ç — p) ;
4go CHAPtTRB X%àV.
puis pour Yi
k sin a sin (Ç — p) , h} sÎD a sin ( ,
X *sin a cos (Ç — p) , — X' sin a cos 5 ,
cos a cos (Ç — 2p) , X'cos a cos (Ç — p) ,
— X- cos a sin (Ç — 2 p) , X cos a sin (Ç — p),
— X sin a sin (Ç — 2p), — X^ sin a sin (Ç — p)>
— X 'sin a cos (Ç — 2p) , X*' sin a cos (Ç — p) ,
X' cos a cos (S — p), X*cosacosÇ,
— X'^cosasin($ — p), X'cosccsinÇ,
On aura les deux composantes X, Y, issues du deuxième cristaU en prenant parmi ces 32 composantes, les i6 parallèles aux Xt, et les i6 parallèles aux Y|. On obtient ainsi (*), après quelques réductions manifestes,
X = sin a (i — X') cos \ — X- (i — X') cos a sin Ç
-h 4 ^^sin a cos (Ç — p) 4- aX (i — X^) cos a sin (Ç — p)
-— X-*(i— X^) sin a cos (Ç— ap) -— X- (i— X-') cos a sin (Ç — 2p},
Y=: — X»(i-- X^)cosacosÇ — X (i— X'')sinasinÇ H- 4^'co8a cos(Ç — p) -h 2X- (i — X') sin asin (Ç — p) H- (i— X-*) cos a cos (Ç — 2 p) — X- (i — X») sin a sin (Ç — ap).
Vienne alors le polariscope et bornons-nous au cas de 6 =:: 90. La vibration constitutive de l'image extraordinaire sera
X sin a — Y cos a ,
c'est-à-dire, après réductions,
— ( 1 — X-*) sin a cos a cos Ç -H X { 1 — X^) cos 2 a sin Ç
— 2 X- ( I — X*) cos2a sin (Ç — p)
-4- ( 1 — X'<) sin a cos a cos (Ç — 2p)-+" X- ( i — X' j cos 2 a sin (Ç — 2p) ,
pu enfin
( I — X-*) sin 2 a sin psin (Ç — p) -h 2 X(i — X*) cos 2 a cos p sin (Ç — p)
— 2 X- (i — X-') cos 2 a sin (Ç -- p) .
N'ayant plus de varia)>le avec le temps que le facteur sin (Ç — p),
C^) N'oublioDs pas que pour les huit derniers elliptiques les Tibralions parallèles aux X sont écrites les dernières.
on aura Tintensitc en formant le carré du trinôme qui lui sert de coefficient, de sorte qu'en rétablissant !e diviseur (i -h X*)* omis h deux reprises, il vient
I == \ f f( I H- A^) sin 2 a sin û + 2 X cos 2a cosp — 2X' cos 2ap
= ^ -T-r^ j (H-X-*)sin2a5inp — 4 ^* co$ ^a sin' - p
z= Â \ -2 sin' - p n I -4- /•')sin 2a cos - p — 2X cos2asin - p 1 •
Si nous posons , comme an § 614 ,
tang2a=Y-^, tangx,
les mêmes calculs donneront, pour la quantité qui est entre les crochets ,
— \/4 X ' cos' 2 a -^- ( 1-+- X ')' sin* a a sin l- x)^
et Ton aura
ï = 4r-^— 7!rJ4*'co«'2a -h (i H- X»)2sin'2a]sin»£-sin» (£-— xV
Les spirales d'Airy (la^^. 3oo les donne pour le cas où le quartz dextrogyre précède Vautre ) partent du centre même, et au nombre de quatre, y formant d'abord un rudiment de croix noire dont les bras rectangulaires ont une orientation variable avec l'épaisseur commune aux deux quartz. Elles tournent dans le même sens que le premier des deux quartz et ont le rouge en dedans comme tes spirales des § § 617 et 618; mais elles les priment par la vivacité de leurs couleurs. Elles coupent obliquement les cercles qui leur restent associés et en des points situés sur les diamètres antéro-postérieur et transversal , de manière & venir s^éteindre dans les bras renaiiwants de la croix noire ordinaire. En ces points de rencontre s^ob^rvent les ressauts déjà signalés. Deux quartz inégaux continuent de donner, au moins dans certaines limites, des spirales qui ont encore le caractère de celui des deux quartz que le faisceau rencontre d^abord.
Les spirales d'Airy constituent pour deux quartz égaux, un phénomène résiduel analogue aux hyperboles issues de deux uniaxes égaux et parallèles à Taxe , qu'on dispose en duplication croisée (§ 969). Il y a toutefois à leur égard plus de difficulté à voir syn-
49^ CIIAPITHË \\IV.
thétiqucmi'ut puiirquoi, nii lieu de s*annihitor, les (knix actions (•ootradictoires aboutissent à une action différentielle.
L*Oplique ofTre assurément de précieux exemples des artifices (jui constituent nos méthodes et des détour;» auxquels il nous faut souvent recourir pour concevoir et calculer les pliénumcnes. Ici par exemple, le succès s'obtient en remplaçant le rayon donné par 32 rayons. Plus loin (§ 069) ce sera en une infinité de rayons qu'il sera décomposé.
t) 622. — Phénomènes obtenus en associant aux quartz d*Airy
un ou deux quarts d'onde.
On peut varier à l'infini les expériences. Nous citerons encore les suivantes sans en aborder le calcul. Nos deux quartz avaient environ 2 millimètres d'épaisseur.
i". Je place par-dessous les quartz un quart d*onde donnant uu
circulaire dextrorsum^ et j'obtiens, si le premier quartz est dex-
i E trojj;yre, dans Timagc ■ deux spirales dextrorsum, dont les ori-
i transversal iiines séparé<^s résident sur le diamètre ! , «Si
* ( antero-poslcrieur
j'échange les positions des quartz , les spirales deviennent sinistrorsura , et c'est dans Timage O que le diamètre des origines est transversal. Le circulaire devient-il sinistrorsum , les spirales gardent leur caractère, mais le diamètre des origines tourne de ()0 degrés.
2? . Je fais passer le quart d'onde par-dessus les quartz, et dans chaque image le phénomène continue d'être ce qu'il était quand le quart d'onde précédait les quartz. Ainsi, avec un premier quartz dextrogyre et un quart d'onde orienté dextrorsum on a dans l'image £ deux spirales droites qui débutent sur le diamètre transversal.
3°. J'insère le mica entre les deux quartz, il en résulte dtîscourbes dont la forme spiraloïde s'apprécie mieux sur l'image O. Bornons-nous donc à cette image. Eh bien , si le premier quartz est dextrogyre, et le mica orienté dextrorsum, les spirales sont tlroites et débutent sur le diamètre antéro-postérieur, ainsi qu'on lu voit {Jig, 3oi). L'échange des quartz change encore et les spirales et le diamètre des origines. L'orientation sinistrorsum du mica se borne encore à ce dernier changement.
4". Je dispose les quartz (ceux de 2 millimètres) entre deux
DOUBLE RÉFRACTION KLLIPTIQUE DU QUARTZ. /^y^
micas croisrs ou parallèles. Les courbes deviennent cârcnlaires, ainsi qu'on pouvait le prévoir. Si l'on a
Premier mica dextrorsum , Premier quartz dextrogyre , Deuxième quartz Icvogyre, Deuxième mica sinistrorsum ,
rimage E est à centre noir, et le centre blanc de Timage O est entoure d*un cercle noir. En faisant tourner de go degrés Tensemblo des quatre pièces, ce qui échange les micas, on ne change rien aux images; il en est de même quand , laissant les micas croisés, on cliani^r de place les deux quartz. Pour amener le centre blanc dans rimage E, il faut donner aux micas la même orientation.
vi 623. — Avantages qn'offre l'appareil de Norremberg ponr certaines expériences de polarisation elliptique.
L*appareil de Norremberg permet de reprendre avec élégance et rigueur quelques-unes des expériences qui précèdent.
Quand, à Taide d'une réflexion normale, on ramène dans un quartz un rayon qui vient de le traverser suivant l'axe, ce deuxième trajet détermine une rotation égale et contraire à celle de l'allée, et ramène ainsi le plan de la polarisation dans l'azimut primitif tout comme si le rayon, continuant sa route, avait rencontré un quartz inverse d'épaisseur rigoureust»ment égale. En effet, pour apprécier celte deuxième rotation, l'observateur doit (fig, 3o2 ; elle est établie pour un dextrogyre) passer de A en B. Or, dans cet échange de position, sa droite, qui était d'abord du côté Pr, passe du côté Ps.
Cela posé, pour reproduire les spirales d'Airy, il suffit de déposer sur la glace horizontale un quartz et de mettre au-dessus de lui, à une distance convenable, la lentille aux deux rôles (§ 9^9): on se soustrait ainsi à l'obligation coûteuse d'avoir en double ?es quartz destines à ces études. Il est facile d'improviser une mesure de l'angle que fait avec la vibration primitive l'un des bras de la croix centrale rudimentaire. Nous trouvons ainsi pour un quartz épais de o'"'",63, environ 7 degrés, et pour un quartz de 2,o5, environ 2.3 degrés, c'est-à-dire pour chacun sensiblement moitié de la rotation qu'il ferait subir au rayon moyen D (*).
(*) Cette loi, qu'accusera nettement la formule, est assez importante pour que nous disions comment Tappareil de M. Soleil (^ 227 ) se pn-to à la me-
494 GHAPITHK XXIV.
Quand un rayon est rendu, par une réflexion normale, à un polarisateur circulaire, si ce quart d'onde est orienté pour produire sur le rayon allant la rotation dextrorsum, il sollicite le rayon revenant à tourner sintstrorsum. Si donc nous déposons sur le miroir horizontal d^abord un quarts et par-dessus lui un mica quart d*onde orienté à ^S degrés, au retour {fig. 3o3) ils traiteront le rayon Pun comme un quartz inverse et Tautre comme un mica croisé , et Ton retrouvera Tun des phénomènes du paragraphe précédent. Je constate ainsi avec un quartz épais de 6™"^,o3 que dans la quatrième expérience le centre noir tenait k l'épaisseur particulière du quartz, car celui-ci donne un centre rougeâtre. L*appareilde Norremberg ne peut évidemment pas s*adapter au cas où les deux micas sont parallèles. Pour rendre la figure plus nette, nous avons séparé du mica d'allée le mica qui agit au retour, et nous en avons de plus montré l'autre face. Si Ton déposait d'abord le mica, puis le quartz, on aurait un autre phénomène que nous étudierons et dont nous tirerons parti au § 68l>.
On pourrait répéter encore d'autres expériences, par exemple la deuxième du paragraphe précédent. On disposerait alors le mica sur la plate-forme supérieure, de manière qu'il ne fut tra* versé qu'une fois par les rayons. Mais il faudrait alors remanier l'appareil de Morremberg et le doter d'un disperseur et d'un collecteur indépendants l'un de l'autre.
sure exacte de ces angles , quand toutefois on possède le système des deux quartz égaux et contraires.
Ayant confié à la pince Tensemble des deux quartz, je tourne le micro-* mètre jusqu'à ce que l'un des fils coïncide avec un des bras de la croix, et comme l'autre fil épouse alors la direction du second bras, j'en conclus dëgâ que cette croix est bien orthogonale. Quoi qu'il en soit, je marque sur lé tambour fixe où s'engage le micromètre et sur la douille de ce micromètre deux points correspondants. Je tourne maintenant la pince de 180 degrés dd manière à renverser les spirales, et j'amène le même fil à se confondre avec le même bras de la nouvelle croix. Ce dont a tourné le micromètre est visiblement le double de l'angle chercbé^ Si cette extrémité du tambour était divisée , on aurait cet angle par simple lecture. Faute de cela, il faut relever au compas la distance des deux points et la reporter sur la graduation dont ce même tambour est muni du côté du polariscope. Outre l'avantage de mesurer le double de l'angle, on a celui d'opérer rétimination du zéro.
Les mêmes fils ont servi k relever les bras de la croix de Délezenne ($ 615). Seulement cette mesure ne se prête pas à l'élimination du zéro.
ilOUBLE RÉFRACTION BLLIPTIQtlE DU QUARTZ. /(qS
§ 024. — Discussion des formules.
Parmi les formules de ce chapitre qui n*ont pas été discutées se trouvent celles des §§ 614, Iil9, 621, qui conduiseat à des spiraies. Nous allons réparer ici cette omission, et comme les deux premières ne diffèrent pas, nous n*aurons à nous occuper que des deux formules
(A) I = n — ! — — ^^4/t»cos'2a-f-(n-^?sin'2asinî-sin(£-hx)î
(Bj I = 4^-^Il^J4X'cx>s'2a^-(iH-A»)»sin'2a]5in^^sin'(£ — xV
dans lesquelles Fangle x ^^ défini par la même équation de condition
Douées d*uae vive analogie, ces expressions présentent cependant deux différences : i** si le terme colorigéne y est formé des mêmes facteurs, ces facteurs sont élevés dans la dernière au carré ; a^ ce terme colorigéne, qui forme à lui seul toute la dernière , se trouve associé dans sa première au ternie constant i .
Cette seconde différence est considérable. Elle établit entre les valeurs de p et x» qi^î donneront aux deux expressions (A) et (B) leur minima et leur maxima, leur minima surtout, un grand désaccord. En effet, tandis que les minima dérivent pour (B) de toutes les manières possibles d*annuler le terme colorigéne et sont des minima absolus entièrement privés de lumière, et donnant au phénomène une grande vivacité; pour (A) l'annulation de ce terme n'aboutit qu'à réclairement moyen, marqué par le terme constant. C'est aux valeurs de p et x q^ii rendent maximum ce terme variable et le laissent négatif, valeurs auxquelles sont dus moitié des maxima de (B), qu*il faut demander les minima de A, et ces minima purement relatifs gardent un éclairement marqué par Texcès du terme constant sur le terme variable. Si donc la discussion de (B) repose sur la recherche des valeurs qui rendent nul et maximum le terme colorigéne sans qu'à Tégard des dernières on ait à se préoccuper, puisque ce terme y est seul et y est au carré, de distinguer si la valeur absolue est positive ou nega-
4y6 CHAPITRB XXIV.
tive, la discussion de (A) n*a besoin que des maxima et doit s'attacher à cette distinction.
Discussion de (B). Recherche des minima. Des quatre facteurs qui entrent dans (6), le premier s*annu1e là où ^= i, c'est-à-dire au centre, quels que soient p et a. Le centre est donc noir. Loin du centre, quand k devient sensiblement nul, le deuxième se réduit à un monôme et s*annule, quel que soit p, dans les azimuts a = o et a =z= 90, c'est-à-dire que la croix noire est restituée dès que la (fouble réfraction elliptique n*est plus appréciable. Aux deux derniers facteurs appartiennent les phénomènes intermédiaires.
Courbes du troisième Jacteur, Nous savons que la rotation du plan de polarisation s*élève à la moitié de Tanomalie. Il en résulte que Tanomalie - dont le sinus forme le troisième facteur»
nVst autre, au début, que la rotation de chacune des plaques. S'éloigne-t-on du centre, p prend des valeurs croissantes, et ce facteur donne visiblement des minima circulaires déterminés par
•^ = /ÎTT = (« -f- I ) ff = (/l -h 2) TT = . . . {*),
et partant situés comme ceux que donnerait, avec une lumière recriligne. Tune des deux plaques (§ 61ft). L'appareil de M. Soleil avec son micromètre permet encore de constater cette identité.
Courbes du quatrième facteur . Si p n'est pas un rayon vecteur des courbes isochromatiques, il détermine, dans le plan de la face de sortie, un rayon vecteui; R qui croît en même temps que lui,
L*arc X associé à - est également variable, mais tandis que les va-
riations de p sont causées par T incidence / et indépendantes de Tazimut a, celles de x dépendent et de Tazimut et, à cause de la
présence de — ^^ dans l'équation de condition, de Tincidence.
(^) La valeur de n, et par conséquent la fixation du multiple de ?r qui romniencc la série, dépend de l'épaisseur. Si minces que soient les plaques, n ne peut être nul ; si les quartz ont 2 millimètres, la rotation ac du rayon moyen vaut !\\ degrés, et Ton a n = i . Il faut prendre n =2 dès que la rotalion ?/>° X f surpasse tt, c'est-h-dire qunnd e surpasse 8*"*",î8.
DOUBLE RÉFRACTIOIV BLUPTIQUE DU QUARTZ. 4gy
MaiSy dans le voisinage du centre, r— difTéraot peu de Tunité,
on peut dire que x n*y dépend que de Pazimut et en vaut le double.
Cela posé, il est facile de voir que le facteur sin | ~ — ;^ j donne
quatre spirales dextrorsum partant du centre. Plaçons-nous en effet dans le premier quadrant, et supposons la valeur initiale
de -^ = "^ moindre que ir (*). Puisque ;f = 2a peut grandir dans
