VARIATIONS

Vérifications fondées sur la mesure des déviations. — Méthode de Fresnel. —Méthode de M. Biot. — Formulesqui lient le déplacement des franjjcs aux vitesses; — pour wne seule lame; — pour deux lames antnç^onistes dont use biréfringoote. — Cas où la lame biréfringente recouvre les deux lentes. — Vérification de la loi du produit des sinus. — Quand on possède a^ b, c^ on peut vérifier les vitesses elles-mêmes. — Les indices principaux déduits du déplacement des franges obtenues avec deux des trois lames principales.— Une seule lame suffit quand on connaît Tao^le extérieur -des axes optiques. — Cas où cette lame est oblique à Taxe principal.— Un seul prisme peut donner deux indices. — TablttMix des paramétres des biréfringents. — Comnent la position des axes optiques et les grandeurs des élasticités principales varient sous diverses influences.

§ 6S7. — Calcul approzimaUf de la 4éTiatioQ oaïuée par un

prisme.

Si Ton voulait laire ^)orter les vérifications sur les directions absolues, on serait conduit à établir sur la surface Ae l'onde l'ensefoble des calculs de Tarticle U du chapitre VI. Fresnel et M. Biot ont^ en général, éludé cette complication, et se sont bornés, ie «kernier surtout, à des ooroparaisoas qui portaiîent sur la difTépence des dou4)le8 réfractions surbies par les deux rayons conjugués, ou bien sur l'écart aiiigiilaire qu'ils présenlent nécessairement dès qu'il s'agit d'un cristal prismatique.

L'afïpareil dn à M. Biot et décrit (§180) ilonnaDt avec ppécision l'angle des deux rayons ksus d'un naéme incident, il suffit d'obtenir cet angle par la voie dti calcul . Fresnel y arrivait par une méthode abrégée fondée sur ce que la surface de l'onde donne sans peine (par une simple équation bicarrée) les deux vitesses

6o8 CHAPITRE XXV.

des rayons pour une direction intérieure connue , et celte direct* tion, il la déduisait de l'une des deux directions intérieures correspondantes par remploi d'un des trois indices principaux et de la loi de Descartes. Une fois les deux vitesses intérieures ainsi connues, il leur appliquait de nouveau la loi de Descartes, et arrivait à déterminer les deux directions extérieures, et par suite leur écart. Le succès de cette méthode tient à la faiblesse de la double réfraction qui rend peu différentes sur une même nappe les vitesses des rayons voisins, et permet d'échanger les divers points de la surface de l'onde contre certaines sphères. Il tient à ce que les plans des deux réfractions différant peu du plan d'incidence, l'angle des deux rayons extérieurs est peu modifié si on les rabat sur ce plan. Il tient surtout à ce que cette méthode admet les approximations successives, car on peut Impartir du même rayon extérieur et en tirer, non plus avec l'un des indices principaux, mais avec une des vitesses trouvées, une nouvelle direction intérieui'e qui donnera deux vitesses intérieures, et ainsi de suite.

§ 688. — Vérifications telles qne les pratiquait M. Biot.

Faute d'une théorie capable de lui donner l'écart, d après la détermination rigoureuse ou approximative des deux routes suivies, M. Biot, s'appiiyant sur la proportionnalité établie (§ 181) . entre Técart et la difTérence des vitesses, on, ce qui revient au même, entre l'écart et toute autre fonction des vitesses assimilable à leur différence, se bornait à vérifier que l'écart était proportionnel au produit du sinus de deux certains angles, car ayant soupçonné que la loi du § 179 pouvait s'appli([uer aux biaxes, en substituant au carré du sinus avec Taxe le produit des sinus des angles qui séparent des axes optiques la route sensiblement commune aux deux rayons intérieurs, il réussit à se donner, pour trouver une loi difficile, tous les avantages que procure une préconception théorique. Cependant, même à pro|M)s de ce tour de force de la méthode purement expérimentale, la théorie devait rencontrer un succès bien réel, puisqu'il lui était réservé de fixer le sens précis de la loi de M Biot : sans elle, en effet, on ignorerait l'existence de deux théorèmes analogues portant, l'un sur les vitesses des ondes parallèles, et l'autre sur les vitesses des rayons super|)osés intérieurement; et la diversité des axes avec lesquels les angles sont comptés dans chaque cas : nouvel exemple de In

fragilité des lois empiriques, et de la pénétration singulière de la théorie des ondes. Il n*est pas inutile de remarquer que la méthode de calcul esquissée dans le précédent paragraphe donne précisément les vitesses des rayons superposés et s*adapte mieux à la vérification de la loi de M. Biot qu'à celle des déviations causées parles prismes. Fresnel avait organisé, pour obtenir les vitesses des ondes parallèles, une méthode de calcul analogue par. la((uelle il vérifiait plus spécialement Tautre des deux lois issues de la loi unique posée par M. Biot.

Méthode desjranges',

§ 689. — Calcul du déplacement des fk-anges aTec une ou deux

lames.

Ce qui rend précieuses les vérifications par interférences, c'est qu'elles s'accommodent de lames minces. On s'est occupé ailleurs des conditions de succès de ces expériences ; ici on va surtout établir les relations fondamentales qui conduiront des interférences aux retards, et compléter ce qui en a été dit au § 652.

Et tout d'abord, puisqu'il s'agit de vérifier les lois de la double réfraction, il est inutile^ et c'est là un avantage marqué de cette méthode, de se jeter dans le cas si compliqué des incidences obliques, et Ton peut, par un choix de lames minces taillées dans diverses directions, se borner aux incidences normales. Dans ce cas, on a, fig. 3^5 ,

et ^expression du retard devient

Il dépend uniquement des vitesses des deux ondes sans mélange d'aucun des angles mis en jeu dans une double réfraction.

Les franges que l'on va déplacer seront indifiérenmient celles des deux trous ou des deux fentes de Young, celles du biprisme, des miroirs ou des demi-lentilles. Le déplacement s'obtiendra en interposant sur la route d'an des

6jO GUAPlTflB XX\

faisceaux, ou même, ainsi qu'au le veira, sur la route des deux, la lame bir^ringente. La faible obliqoi té que preii«nent les rayons généraleurs des franges visibles, permec d'admettre que tous ceux qui sont en jeu traversent la lame normalement. Mais si l'on craignait que l'obliquité du trajet de certains rayons dans la lame n'eût une influence appréciable, on y remédierait en plaçant la lame en avant des fentes et en leur offrant par un artifice connu un faisceau parallèle.

Nous avons vu (§ 34) que, si Ton intei^osait sur le trajet dos rayons une lame monoréfringeote d'épaisseur e et

d'indice n =--=--» et si l'on prenait pour mesure du

deplacenuaxt, le nombre [i de francs entières qui séparait fa nouvelle frange centrale de l'ancienne, on avait

c'est-à-dire

OU encore, en appelant i la vitesse dans Tair,

Si l'on place en même temps devant la deuxième feute

{fig- 333) la lame <?,, d'indicé «j = --9 on aurait

d'où l'on lire

et en posant V = i ,

ri

On peut, avec 1 Vesnel , coller les deux lames bord «1 boni

THÉORIE DE LA BMBLE IlÉFRAGTION. 6i i

sur utt-e lame idUYÎlî aire et leur donner par l'usure la môme épaisseur ) et avoir ainsi

Quand les deux lames , la principale e et l'auxiliaire et> sont toutes deux monoréfringentes, on peut remplacer les réciproques des vitesses par leurs indices et écrire

mais, que rp? jj- soient ou non constants et puissent ou non

s'appeler indices, )a formule reste la même, a la condition que les vitesses V, , Vj soient les vitesses des ondes ou autrement les quantités /;, p^ du § 681.

Qu'une des lames soit biréfringente, la lumière de Tune des fentes sera naturelle et suffira pour former des franges et avecles rayons ordinaires et avec les extraordinaires transmis par l'autre fente. On a donc deux systèmes de franges polarisées inversement et reconnaissables au sens dans lequel elles sont polarisées. On s'affranchira du zéro en tournant la bilame de i8o degrés dans son plan et se donnant le déplacement des franges de Fautre côté. Bref, avec le micromètre de Fresnel, ou plus simplement en recevant les franges sur un verre divisé, on aura les quantités fz', fx" caractéristiques du déplacement de chaque système de franges, et, partant,

V'= n » V":rr

valeurs qui donneront, soit la différence soit l'autre différence

qui devient, dans certains cas, une BiflTérence d'indices,

6l2 CHAPlTHfi WV.

soil enfin celle aulre combinaison V* — V* qui donne lieu au ihéorème de Biol. Comme on peut déduire les angles t^ t' de rorientation connue des lames, il sera facile de vérifier si les valeurs de cette dernière ditléi^ence, dues aux* diverses lames , sont ou non pix)portionnelles aux pro duits sin t X sin t' correspondants. Mais si Ton possède les constantes a^ h^ c^ il vaudra mieux assurément établir fa comparaison entre les valeurs absolues trouvées pour V, V et leurs valeurs théoriques individuelles. Fresnel a obtenu l'accord le plus satisfaisant dans les vérifications de ce genre qu'il a entreprises sur la topaze. Aucune des quantités V, V ne s'y est montrée douée d'une valeur constante, comme il l'eût rependant fallu, si l'un des deux rayons eût été ordinaire, et leurs rariations atteignaient leur maximum quand on prenait les lames extrême^ signalées § 677. Quand on peut considérer comme constants le produit V X V" et la somme V'-hV'", la différence, si simple d^expression ,

v7 "~ j7^ devient proportionnelle à

et la vérification de la loi du § 672 revient à voir si Ton a proportionnalité entre les quotients - — ^» propres aux div<îi'ses lames, et les produits correspondants sin t X sin i\

§ 090. — Cas où les deux fentes sont reconvertes par la lame

biréfringente^

On peut, tout en conservant les avantages d'une lame auxiliaire (ils consistent surtout à pennettre l'emploi plus exact de cristaux épais), simplifier l'expérience et s'épargner, par exemple, la peine d'un polissage simultané de deux lames. 11 suffit de recouvrir les deux fentes par la lame cristallisée elle-même. Mais alors rintervention d'un polarisateur et d*un polariscope est nécessaire pour avoir les (ranges latérales déviées. On aura ainsi à la fois et sans lou-

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 6l3

cher à la lame ces franges de droile et de gauche (]iii afîran*

chissent du zéro. Si on appelle ii(ile nombre de franges qui mcsureul la distance des centres des deux systèmes latéraux, et si on continue d'appeler i la vitesse dans l'air, on a

Si on veut que les deux systèmes de franges soient également visibles , on aura soin de mettre les sections principales du polarisateur et du polariscope à 4^ degrés de celle do la lame,

§ 691. — Les indices principaux déduits du déplacement

des franges.

Les valeurs des constantes a, 6, c, que nous avons obtenues (§ (>52) avec certains prismes , Fresnel les demandait également aux phénomènes d'interférence. Ici, au lieu d'avoir des orientations quelconques, les lames doivent être parallèles aux plans principaux du biaxe. Si Ton place devant les fentes la lame parallèle aux XZ, l'écart dépendra des vitesses /z, c , et Ton aura

la lame parallèle aux XY donne

et la troisième

.'"(-^-jl = u-),.

Or ces équations , par leur composition spéciale , se refusent à donner en échange de la différence des inconnues

- 9 T» -» ces inconnues elles-mêmes. Elles se bornent à dona 0 e

ncrle rapport de deux de ces inconnues à la troisième. Aussi

vaut-il mieux ne couvrir qu*une des fentes avec la lame

el lui associer comme précédemment un verre de même-

6l4 CVAPITI^B XXV.

épaisseur. La première lame donne aJ^rs

— pi'X -^ ne — pi*> H- /?^

OU bien , puisque ici les vitesses peuvent s^échanger contre les indices,

n zzz n — — — 9 n = n — ■■■ - >

une deuxième lame donnera le troisième indice n^ et , de plus , l'un des deux premiers , ce qui fournira une véri6cation. On n'aura donc pas besoin de préparer la troisième lame.

Les lames principales ne sont même pas indispensables. Ai^si une lame qui passf^rait simplement par Tun des axes, OXp^r exemple, donnerait-

c'est-à-dire une relation entre le paramètre a et une certaine vitesse d'onde conjuguée V. Mais en ne la mettant que sur l'une des fentes , l'un des systèmes de franges , à savoir celui qui sera polarisé dans le plan des YZ de la lame, dépendra de a seul et pourra servir & le déterminer.

Quand la forme cristalline est muette sur la direction des axes d'élasticité, c'est en cherchant par tâtonnement les axes de réfraction conique qu'on arrive aux prismes principaux et aux lames principales. En effet, quand on est parvenu à un système de faces parallèles qui donne dans un plan normal les deux sommets de l'hyperbole , ce dont l'appareil de M. Soleil est bon juge , il suffit d^ donner, dans Ija direction.de ce plan 19 deux traits de scie norma.ux pour en détacher une lame parallèle aux XZ. Si ces faces étaient en outre normales à l'axe principal (le même appareil* de M» Soleil le montre aisément) , deux nouveaux traits de scie normaux et à la lame et aux précédents donneront^ ou>Ie plan YZou le plan YX, suivant qu'on aura affaire à un

THÉORIE BS LA l>OI>llfe« HEFRAGTION. 6l5

biaxe positif ou négatif. Dans ce cas, la lame elle-même se trouve former la troisième lame principale.

§ 692. — Emploi d» l'angle des axer de réfraction conique. — Cas où Taxe principal est oblique à la lame.

L'appareil de Soleil détermine si aisément Tangle extérieur 20' des axes de réfraction conique et, par suite, en usant de Tindice

r9 leur angle intérieur 2O', qu'on est conduit à employer cette

donnée concurremment avec les résultats dus k l'inlerfénence ou aux prismes. Ge dernier angle donne

V fi^ — à'

tatïgô

et il suffira d^avoîi^ une sente des trois lames , à* ia- (x>ndition toutefois d(Rn*en cou vi4r qu'une des fentes. Le' mieux sera d'user de la lame même qui vient de donner 6'. Car elle conduira à' deux constlintes b^ a on h^ e, et Ton saura lequel' des denx systéfmes, puisque les fVanges de b sont polarisées* dans le plan des axes. Le passage e' à 0' n^est d^ailleurs pas obligatoire, puisqu'on a>

smô'= i/

et par suite

sin0' = -=- 1/ (

Cette dernière expression montre que la méthode réussirait même alors que la lame sei\iit parallèle aux XZ et ne donnerait pas b. Cet emploi de Pangle extérieur suppose que Taxe principal est normal aux lames. Si, tout en étant perpendiculaire aux XZ, la lame était oblique à l'axe principal, 0' ne serïiit plus la moitié de Tangle extérieur {fig. 334)* ^^^ angle 2&\ serait là somme des deux a, € correspondants à ^et 7. Les équations du problème se-

{*) Cette formule suppose que Taxe principal est celui de plus grande élasticité. Si le cristal est positif, ce ne sera pas à 6' y mats à 90 — 0', que correspondra B', et Ton aura

sin0' = 7 cos 0 b

6l6 eHAPITIIB \\\.

raient les suivantes :

ae', = a -f- 6, sin 7 = A sin a, sin^=^8iii6, 7-4-^ = 2 9',

V fl' — r»

£n supposant que la lame donne par les interférences b,a cmb^c^ il resterait les six inconnues a, 6, 7^ S y 0' et r ou â ; de sorte que les cinq équations seraient insuffisantes. 11 faudrait donc encore une donnée expérimentale, telle que la mesure peu fieicile d'une des incidences a ou €. Il est donc heureux que chez les cristaux dont les axes optiques sont peu ouverts, Texcès de 2 e', sur ae' reste insignifiant, même pour un notable défaut de normalité. Chez l'arragonite, cet excès nes*élève qu'à 4 minutes et à 1 5' minutes quand Fangle c, compris entre l'axe principal et la normale, atteint 5 et 10 degrés. En supposant même le cristal normal à l'un de ses axes optiques, ce qui porte e à 1 7^ 5o', l'excès n'est que de 47 minutes. Avec la topaze, les inclinaisons c = 5**, s = 10 accroissent 20' de i«24et&»6'.

§ 693. — Tirer deux indices d*iiii senl prisme. — M. de Senar-

mont.— M. Ângstrom.

Un prisme principal donne,, outre l'image ordinaire, un rayon extraordinaire qui suit la première loi de Descartes et se trouve subordonné à une ellipse. Il admet comme l'autre une déviation minima , et M. de Senarmont vient de donner la formule qui permet d'en tirer la valeur d'un second paramètre. Un prisme peut donc donner deux des quantités a^ b, c, La difficulté de se procurer les matériaux convenables est souvent telle, qu'on doit lui savoir gré de cet accroissement de ressources. Nous recommanderons, au même titre, la manière dont M. Angstrom a disposé ses prismes dans son étude sur le gypse. Quand les deux faces d'un prisme principal sont équidistantes du plan principal auquel son arête est parallèle, ce prisme peut donner deux indices, et les donner tous deux par la méthode et par la formule d'interprétation de Newton , comme si Ton avait affaire à deux ordinaires. Soit par exemple le prisme principal parallèle aux X , si ses faces font avec le plan YOX, Tune en dessus et l'autre en dessous, le racmc

angle a (fig. 335), OY sera la bissectrice, et OZ la direction intcrieuro propre a la déviation minima. Pour cette direction, les deux rayons se construiront donc par deux plans tangents à la surface de Fonde menés aux distances bya.Or ces plans sont orthogonaux sur la direction AB prolongée. Si donc nous nous attachons à celui des deux qui, polarisé normalement au plan dUncidence, n'est pas ordinair<>, il sera mis en place, à la sortie, par les tangentes DG, DE, cette dernière menée au cercle de rayon i. Les triangles DGB , DBE donneront

sin r I

sin r a

et la symétrie fera que pour l'entrée, on aura le même rapport. Cette déviation du rayon AB , si elle est minima , aura donc lieu

comme s*il s^agissait d'un rayon ordinaire d^indice — Comme la

vitesse /i, qui seule donne Tangle C droit, est maxima, on con* çoit que AB donne réellement la moindre déviation. Plous laisserons au lecteur le soin d'en donner une démonstration en règle en recourant, par exemple, h des calculs du genre de ceux de M. de Senarmont. M Angstroni avait un premier prisme normal au plan des lames et k faces équidistantes du plan principal YZ, et deux autres qui admettaient pour plan bissecteur le plan des lames, et avaient leurs arêtes respectivement parallèles aux Z et aux X. Le

premier a donné les deux indices 7 9 -9 car le gypse est positif;

le deuxième les indices -9 - 9 et le troisième les indices - 9 — Les

trois valeurs de n' et les deux de /i'" ont été parfaitement concordantes.

§ 694. — Tableaux des constantes des nniaxes.

Les tableaux qui suivent, contiennent les constantes des cristaux biréfringents uniaxes et biaxes, et les divers angles B\ &\ Cl) , Wi issus de ces constantes. Les chiffres des trois premiers sont extraits de la thèse si instructive de M. Des Cloizeaux. Les vides des tableaux II et III témoignent assez de la (liflicullé qu'on éprouve souvent à appliquer les mélliodes précédentes. Il est même un assez grand nombre de

6i8 cflAPmoKxxv.

cristaux uniaxes^ou bi»xes ekent on a pu seulement déterminer le signe. Nous* ne leur avons pour ainsi dire pas donne place dans ces tableanx;

Le tableau II' est consacré aux biaxes du quatrième système. Nous en avons régularisé comme il suit les indications cristallographiques. On peut toujours se figurer un pareil cristal sous la forme d'un prisme rhomboïdal droit qui sera suffisamment désigné, parmi tous les prismes de ce genre que peut fournir une même substance, si Ton donne Tun des angles de la base (ce sera Tobtus). Si nous convenons de mettre ce prisme vertical et d'orienter la petite diagonale de la base parallèlement aux a [*) ^ on connaîtra nos axes cristallographiques. Cela posé, que Von s'attache au plan des deux élasticités extrêmes a et c, on aura trois cas, suivant que ce plan des ac coïncidera avec celui des ab, des ac ou des bc, et chacun de ces cas se subdivisera en deux autres, suivant qu'un axe désigné , celui des a par exemple , coïncidera avecTun ou T autre des deux axes cristallographiques du plan. On aura donc six cas pour les positift et autant pour les négatifs, c*est«-àHlire doufieenitout.

( '^ ) LaB oaractères a, b, o représentent les trois axes cristallographiques.

THÉORIE DB LA DQVBtJS RÉFRACTION. 619

l" TABLEAU. — ' Constantes des uniaxes.

Quartz Raie D.

Cinabre

Pbénakitc. Rouge.

Dioptase

Parisita Rouge .

Sulfate de potasse à )

un axe \

Sulfate de lanthane

Zircon Rouge.

Calomel id...

Schéelite

LE

système oristallin.