Théorème sur les vitesses des ondes. Dans réquation
cos'/ ces' m cos'/t
de la surface d'élasticité à deux nappes, les deux valeurs V, V', obtenues pour chaque direction /, m, n, sont les carrés des vitesses de deux ondes planes parallèles excitées par Tonde intérieure. La somme V'+V', égaleau coefficient de — V dans Téquation bicarrée ^ vaut
(6»H-c»)cos'/H-(fl»-+-r»)cos'm ^ (a^ ^ b^) cos*/i; on a de même , pour leur produit,
V» V^»= 6V^cosV-ha*r'cos»/if -h a} ^»cos'/î.
Si Ton ne garde que les deux angles /, /i, à Taide de la relation
ces* m = 1 — CCS* / — cos^ «,
ces équations devienuent
( , ) v'^ -h V"» = fl' -h c» — ( à'^ h^ ) cos' / -*- (A» — é) ces» «,
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. SjS
Or il est visible qu'au lieu de caractériser la direction commune aux trois ondes par les trois angles /, m^ fi (dont deux seuls arbitraires) que leur normale fait avec les trois axes d'élasticité, on peut avoir recours aux deux angles f, t' qu'elle fait avec les deux axes de réfraction conique intérieure, et obtenir les deux vitesses en fonction de t, t'.
Pour cela il suflSt de trouver l'expression de /, n en ^, t' et de les substituer dans Téquation bicarrée.
Les axes de réfraction conique font, avec les trois axes d'élasticité, les angles, a = ff^ 6 = go , y = go — ff pour lun, eta = 180 — Ô', ê = go, 7 = — (go — ff) pour l'autre; et l'on a
'^-s "' = V^^zrê (5««o)-
On en tire
La formule du cosinus de l'anglede deux droites donne alors
ces ^ = i / , ces / -h 1/ : ces n ,
/flî — b^ /b^-^c^
ces
Ces deux équations résolues par rapport à ros /, ros ^i, donnent
ces / — ces cos/= —
CCS / -h CCS t'
COS/l =:
remplaçant dans les équations (i), (2), il vient
H- -j ( «2 c») (cos / -f- cos r')'
=: tt' -h c^' -h («'— C*) cos / COS /',
5^6 CHAPtTRE XXW
et
-f- j a^(<i»— c") (cosr + COS/')'
H- - (û'-- c*) (û* -h c») cos r cos r' ,
d'où, pour V'*, V"*, deux valeurs aflèctées d'un radical qui, par des réductions considérables et des transformations évidentes , s'extrait et devient
- ia^ — cMsinrsinf' ;
on a donc
V'2 v"»=: (fl^— c') sin t sin f',
V'^=-(fl' -hrM-f- -(fl' — cMcosi/ — r'),
V"»= i (fl» -f- cM H- i («'— c^ ) cos (r -4- /') , ou encore
V"»= fl»— (fl»— cM sin»
La première de ces formules constitue une loi remarquable facile à énoncer.
§ 673. — DiscoBsion. — Cas des uniaxes. Quand le rayon est compris dans le plan des YZ , on a
z^/', V'»=<i», V"»=û»— (rt» — ^»)sin»^
Est-il dans le plan XY, t, t' font chacun partie d'un triangle sphérique , où l'on connaît un angle et deux faces, à savoir (eu appelant a Tangle que fait le rayon avec OX) : pour t les faces d', a avec Tanglc compris 90 degrés, et pour t! le même dièdre 90 degrés , et les faces 180 — ô', a 5 il en ré-
suite par la trigonométrie sphérique
CCS t = cos 0' ces a , CCS r'= — cos ô' côs a \ d'où
sin f = sin ^' = v^i — cos' 0' cos' à et
cos (t — /')= 1 — 7. cos' 0' coh' a ,
cos(/H-/') = — 1,
et enfin
V"'= c*, V"= d'— («'— r') cos' 9' cos' a = a'— («'— fe^) cos' a ;
Enfin j quand le rayon est contenu dans le plan ZX^ caractérisons sa position par Tangle ë, que fait la normale à Tonde avec Taxe OX, on aura, suivant que ë est ^ que ô\
tantôt
et par conséf[uent
V" = a'— ( rt'— c' ) cos' Ô'= A', V"' := «'— (o'— t') cos' 6,
tantôt
f= 6—9', r'= 180 — 9'— 6, et par conséquent
V" = «'—(«'-. c') cos' 6 , V"'=fl'— («'— c')co8'9'r= b^i
de sorte que les deux ondes, après avoir eu exclusivement et tour à tour ^ dans chacun des deux premiers plans , Tune le cercle et l'autre Tellipse, se partagent ces deux courbes dans le troisième. Ce qu'il était facile de prévoir diaprés cette simple remarque, que les deux rayons ayant les mêmes droits, ils devaient jouir également de la loi des sinus, toute leur différence consistant à en jouir plus ou moins longtemps dans ce troisième plan, suivant les valeurs de a, b, c. Cette discussion prépare Timportante question de la séparation des deux nappes *et nous indique déjà quHci, comme chez les uniaxes, Tune sera enveloppante et Tautrc enveloppée, circonstance géométrique dont nous tirerons plus loin parti (§ 677).
5^8 CIIAWTHK X\V.
Quand le crislal csl uniâxe ,les doux axes opliques se confondent, suivant qu'on a & = c ou & = a, soit avec Taxe a, soit avec Taxe c. Choisissons la première hypothèse en vue de la notation du chapitre VI \ alors les deux axes de réfraction conique font entre eux, comme les axes optiques, un angle de 180 degrés , / et t' sont supplémentaires , et les expressions précédentes deTienncnt
V'»+V"»-= (a^ -h b^) — (fl» — ^»)cos*r=rfl» sïnU^ b^i-^cosU), V'»v"' = (a^— ^»)sin»r,
V" V"'= tf' ^'— b^ (a»— b^) cos» r,
V» = «'— (a*— b^) ces' r = ^'-h (a*— b^) sin* r, V"» = b\
Les valeurs générales de V'*, V"*, sous leur dernière forme, donnent approximativement, quand on considère le dernier terme comme petit vis-à-vis du premier,
(fl'--c»)sin'-(/-h/') \"=a ^ ,
et par suite
expression qui varie peu chez les cristaux ooanus. Comme nous aurons occasion, par la suite, d^invoquer la quasiconstance de cette somme, ainsi que celle du produit V V", il con.vient ici de donner pour le spath, cristal excessif, et pour le quartz les valeurs numériques de cette partie variable. Chez les uniaxes , V'-H V" devient
20 H r^sin'/.
Pour le spath, le rapport de la partie variable au terme con-
sUnt a pour valeur maximum 0,061 ] pour le quartz, on trouve 0,0089. Chez ces cristaux, le produit V V" prend la forme également approximative
ab (a^ — b^) ces*/ ;
et le terme variable y est limité à une fraction du terme constant exprimée pour le spath par 0,0662 et pour le quartz par 0,00798.
§ 674. — Théorème sur les vitesses des rayons superposés.
Tandis que, sur chaque rayon vecteur de la surface d'élasticité, on. trouve deux points qui déterminent les deux ondes planes parallèles excitées par une onde intérieure normale au rayon vecteur, de même, sur tout rayon vecteur de la surface de Tonde , on trouve deux poin^ déterminateursdedeux rayons réfractés qui s'accompagnent intérieurement. Le premier de ces deux cas est lié , au premier ellipsoïde , à la surface d'élasticité et aux axes de réfraction conique , comme le second Test, au deuxième ellipsoïde, a la surface de Tonde et aux axes optiques. Il en résulte la possibilité d^accommoder sans calcul , et par un simple mu/atis mutandis^ les théorèmes de Tnn des cas à T autre. Cette méthode, à laquelle nous devons déjà Téquation de la surface de Tonde, va nous donner les théorèmes suivants.
Soient L, M, N une direction intérieure commune à deux rayons, T, 'F les angles de cette direction avec les axes optiques; au lieu de reprendre les précédents calculs avec la surface de Tonde
#1* ces' L b^ ces* M c* CCS* N et la relation
tangô=d=.y/^^-^,
nous remplaçons dans les expressions finales de V, V* et dans leurs relations diverses, a, cpar -> -; V'*, V^ par —-.*
58o ' CHAPITHB XXV
^^j £, «' parT, 1\ ce qui donne
c'esl-à-dîre que la différence des cartes des récipro qiies th^s "vitesses des deux rayons lumineux de même direction est proportionnelle au produit des sinus des angles que fait cette direction commune a\*ec les axes optiques ^et que le quotient de cette différence par ce produit est égal à hi différence des carrés des indices de plus grande et fie moin dre réft^a ction .
Discussion. — En suivant la même marche qu'au § 673, on trouve que, dans le plan YZ, la vitesse West constante et vaut a, que, dans le plan XY, la constance est pour W, qui vaut c, et qu^enfin, dans le troisième plan, la vitesse constante est b et qu'elle appartient tour à tour à chaque rayon. A ce point de vue légèrement différent de celui créé par le précédent théorème, c^est aux ombilics que se fait le départ des deux nappes. Comme la surface des ondes est en relation plus intime avec les rayons qu^ avec les normales aux ondes, nous considérons cette démarcation comme la vraie.
Quand c = è, on a
r=i8o — T, et il vient
W"=/i*^-(/i'„-/ï/)sin*ï, W=n\
§ 675. - Théorèmes sur les plans de polarisation.
Soitunesectioncenlralequelconquedu premier ellipsoïde. Les deux sections circulaires centrales la coupent suivant deux d roi tes EF^ E'F'quî sont égales et conséquemmenl équidistantes des deux axes A6, CD {/ig- 3a4)* ^^^ deux plans
TllÉOniE DE LX DOUBLE IlÉFiWGTlON. 58 1
P, P, menés parla normale à la seclion et par les normales aux sections circulaires (axes de réfraction conique) soûl respectivement perpendiculaires aux intersections EF, E'F'dc chaque section circulaire avec la section quelconque. Les plans normaux à la seclion ^ menés par AB, CD, étant ceux de nos triangles, les plans de polarisation 7r, tr' des rayons se trouvent être (si on les définit comme Fresnel) normaux à ces droites. Bref, un de ces derniers plans et les deux pre^ niiers P, P' se trouvent former un système de trois plans perpendiculaires chacun à chacun aux trois droites, EF, E'F', AB, oubienEF, E'F, CD, dont Tune, ABouCD,bissecleles deux autres. Il en résulte que la relation de bisscction se retrouve dans les plans et que Ton a ce théorème : Dans le cas (Vcxcitation iniérieure^ nieneZy par la normale commune aux trois ondes et par les accès de réfraction conique, deux plans ^ puis les deux plans qui les bissectent ^ ces derniers (ils sont rectangulaires) seront les plans de polarisation des deux rayons réfractés. Ce théorème ne peut pas donner la loi de distribution des plans de polarisation dans le cône de la première réfraction conique, attendu que, pour Fonde plane engendrée par cette réfraction, il y a coïncidence de la normale avec un des axes de iMifraction conique.
Pour avoir l'autre théorème, soit par une normale à une section du deuxième ellipsoïde, c'est-à-dire par le chemin commun à drux rayons intérieurs, et par les deux axes opli- ([ues, deux plans. Ces plans seront bissei'tés par deux autres plans qui sont ceux de la normale et des deux axes de la seclion. Ces demi ers plan s qui, normaux aux plans des triangles, passent par les rayonset auraient pu être choisis pour plans de polarisation, aussi bien que ceux de Fresnel dont ils diffèrent très-peu, sont donc définis par la précédente bissection. Celle règle est également, cl pour les mêmes motifs, incapable de fixer les plans de polarisation dçs. rayons qui constituent le cône de deuxième réfraction conique.
v^ 676. — Le rayon ordinaire chez les biaxes. — Biazes positifs,
négatifs et neutres.
Peut-on adapter aux deux rayons et aux deux ondes
SSa CHAPITAB XXV.
d'un biaxe une distinction analogue a celle qui s'exprime chez les uniaxes par les qualiiications d^ordinaire et d'ex* traordinaire ? Peut-on étendre aux biaxes la division en positifs et en négatifs? Ce sont là des questions que les formules précédentes voot nous permettre de traiter.
Chez un biaxe, les vitesses des deux rayons sont toutes deux variables-, mais à pari certains biaxes exceptionnels, ils y subissent des variations inégales. L'ordinaire d'un uniaxe gardant une vitesse constante, on conçoit qu'on lui assimile et qu'on appelle ordinaire celui des deux rayons dont les vitesses extrêmes différeront le moins. Cherchons donc les valeurs extrêmes de W et W",
On a
tf'c' ..„. û'c'
c' -h ( a» — cM sin» c' -♦- (a' — c^)ûu^
leurs maxima répondent aux directions qui donnent, soit , soit » le plus près de zéro, et leurs minima à
celles qui rapprochent le plus ces demi -sommes de 90 de-
T — T' grés. est nul pour toutes les directions comprises
dans le plan desZY, il a sa plus grande valeur absolue 90 — d quand la direction commune aux deux rayons est située dans le plan ZOX , et est de plus comprise dans Vangle DODj (Jig 3ia). Dans le premier cas,
W = a^ , dans le second,
ou bien égal à i* si Ton remplace cos*0 par sa valeur T—p— 5 jT' Les vitesses de ce rayon varient donc àe a kb.
atteint son minimum 90 — B pour des directions
situées dans le même plan ZOX, mais comprises cette fois dans Tanglc DOD', et son maximum, quand on a, soit
T = 90, 1'' = 90 , ce qui a lieu suivant la seule direction OY, soit plus généralement T -i- ï' = 180, ce qui a lieu suivant toutes les directions comprises dans le plan XOY(^). Les deux valeurs extrêmes de W* sont i* et c'. Ainsi la vitesse de ce rayon varie de 6 à c. Nous en concluons
iw suivant qu'on aura
a — b^ff — c.
On pourrait tout aussi bien fonder la distinction des deux rayons sur les inégalités «* — fc'^t* — c' , car les carrés des vitesses expriment les forces élastiques dont le rôle, en double réfraction, est plus primordial que celui des vitesses ; mais ce qui rend les carrés préférables , c'est qu'avec eux la question admet un deuxième aspect trèsimportant. En ellet, d'après la valeur de tangd', ces nouvelles inégalités reviennent à ces autres 0'^ 45° ou 26'^ 90** qui rendent axe principal celui de ^ élasticité. Là fusion de ces deux points de vue amène Ténoncé suivant : Le rayon
tw „ suii^anl que Vaxe
principal a f élasticité \ . Mais quelle que soit
' ' ( maxima ^ ■
l'étendue relative des variations des deux rayons, c'est
W qui, compris entre a et i, est toujours le plus rapide;
ou peut donc dire encore : Suii^ant que Vaxe principal est
celui de plusl , élasticité, c est le rayon le\ rapide
' \ grande ^ \moèiis '^
qtiiest l'ordinaire. La distinction des deux sortes de cristaux découle sans peine de ce dernier énoncé*, car si l'on se rappelle que dans les uniaxes! ^^ .^ 5 c'est Tordinaire qui va
{*) Soit une quelcouque de ces directions caractérisée par l'aucle % qu'elle fait avec OX. T, T' seront les faces hypoténuses de deux triangles spbériques rectangles ayant pour autres faces, Tun a .0, Tautre a . 180— 0. On aura donc
cos T = cos « cos 0^ cos T' =^ — cos « cos 0^
de sorte que T et T' sont bien rcollcmcnl suppicmcniaircs.
le I . vile, oa devra coDsidérer comme leurs analogues, ( moins
et par conséquenl qualifier également de | ^ , » les hiaxes
chez lesquels V axe principa\sera celui de \ , . élas-
' ' ( plus grande
licite. Au point de vue historique, on peut prendre comme
types de ces deux catégories la topaze, qui donne
a' — ^' = 0,0010, b^ — c' = o,oo35,
et Tarragonite, qui donne
a» — ^*= 0,0735, b^ — c^ = o,ooi7;
la thenardite, qui donne nB' sensiblement égala 90°, et partant a* — fc' =r fe* — c', doit êii'e considérée comme un corps limite, un biaxe neutre chez lequel il n'y a plus lieu de distinguer ni rayon ordinaire ni extraordinaire. Il est juste de remarquer que si, en rigueur, les inégalités sur les carrés diffèrent de celles exprimées d'abord entre a, b^ c\ dans la pratique, elles diffèrent très-peu parce que nos cristaux donnent a-^b peu différent de i -t- c.
Au lieu de raisonner sur les rayons qui s'accompagnent, on peut tout aussi bien le faire sur les ondes qui sont parallèles. On arrive aux mêmes valeurs extrêmes, à savoir a* et b^ pour V, fc* et c* pour V"*. La seule différence consiste en ce que c'est OC et non plus OD qui délimite dans le plan ZOX les directions que doit avoir la normale pour amener soit V* à son minimum , soit V* à son maximum. Il y a donc, avec les ondes seules, une parfaite correspondance entre cette délimitation et celle qui donne tour à tour à chacun des axes extrêmes d'élasticité la qualité de ligne moyenne. Avec les 0, la correspondance entre les conditions a' — i*^i* — c* et 0 ^ 45 ne serait plus rigoureuse. On peut donc voir là un nouveau motif de préférence pour les b' , Cependant, comme la surface de l'pnde est plus maniable que celle d'élasticité, la considération des W, W peut, dans certains cas, être préférable à celle dos V, V".
§ 677. — Sur la distinction théorique et pratique des rayons.
Ce sont les formules W, W" qui individualisent analytiquemeiit les rayons. Nous venons de voir que W était constamment supérieur à W\ puisque le minimum de Tun coïncide avec le maximum de l'autre *, nous savons en outre que W, W'ne sont autres que les rayons vecteurs de la surface de l'onde. Il en résulte que le rayon W aura Tusage exclusif des points extérieurs de cette surface, et W" celui des points intérieurs. L'une des deux nappes est donc enveloppante et Taulre enveloppée comme chez les uniaxes, ce qui confirme la remarque déjà faite sur la scission des deux courbes comprises dans le plan des ZX , laquelle consiste en ce que les arcs d'ellipse 2^0, DX ont pour continuation physique les arcs de cercle DX, DZ (*). L'étude des \\ N" conduirait à des renseignements analogues sur les deux nappes de la surface d'élasticité.
Si les formules V, W, si la nappe touchée par le plan tangent distinguent algébriquement ou géométriquement rayons et ondes, il faut à ces deux modes de désignation en ajouter un troisième purement expérimental. Occupons-nous donc de la réalisation de leurs vitesses extrè • mes et des moyens pratiques de reconnaître celui qui se rattache à Tune des formules ou à l'une des nappes.
Admettons qu'on veuille opérer avec des lames parallèles et qu'on leur présente les rayons normalement. On réalisera la vitesse maxima a commune à l'onde V'et au rayon W à l'aide d'une quelconque des lames qui ont leurs faces parallèles auxX^ et la vitesse minima c commune à l'onde 'S" et au rayon W par des lames parallèles aux Z. La vitesse &, minima de \', W et maxima de V''^, W", réclame des lames
; * ) Les développements précédents nous permettent d'ajouter aux diflcrences qui séparent les deux rayons, la particularité géométrique que voici : Le raj on ordinaire est y dans tous les cas y celui qui , dans le pian des \Z, est subordonné au plus grand des deux arcs de cercle et est ainsi^ le plus longtemps j ordinaire.
parallèles aux Y, mais ici il faut distinguer. Pour les ondes,
il faudra que leurs normales tombent dans Tun des angles
( COC, . 1-1 1 • j l minimum de\' ^ ,
\ ^^^/ «uivant qvL il s agira du { , .,,• Pour les
f COC * ( maximum de V
rayons , les deux angles auxquels sera dévolu un rôle analogue par rapport à la direction intérieure du rayon se-
^•ont! rwTkrv/* Comme on est maître, dans x:es réalisations, ( DOD
de s'attacher aux cas les plus simples, on peut se borner à prendre, pour obtenir a*, une lame parallèle aux XY ou aux XZ; pour obtenir c^^ une lame parallèle aux XZ ou aux YZ ; pour obtenir b vitesse minima , une lame parallèle aux YZ, et pour Tobtenir vitesse maxima, une lame parallèle aux XY. Pour un biaxe positif, le rayon ordinaire est donc réalise, suivant qu'on a a — b^b — c, par un
!X¥ k XZ
ou ] \ le der-
nier donne au rayon pour directions OY, OX, c'est-àdire les axes tertiaires et secondaires. Pour un n^atif,
/ XZ L YZ
les deux solutions simples sont \ et | • La première donne au rayon les deux directions OY, OZ. Or, avec un négatif, OZ est devenu Taxe secondaire. Dans sa polémique sur Tabsence d'un rayon à vitesse constante chez les biaxes, Fresnel trouvait donc juste cpiand il posait cette règle générale. Le rayon ordinaire prend ses vitesses extrêmes quand sa direction intérieure est tour à tour bissectrice de l'angle obtus des axes optiques et normale à leur plan.
Chez les uniaxes , on distingue les rayons par leur position relative et par leurs plans de polarisation. Le premier moyen y comporte de telles exceptions, qu'on ne peut songer à l'employer ici. Le deuxième, au contraire, y est un guide sûr. En sera-t-ildc même en biaxie?
Pour un biaxe positif, dans le plan des YZ, le rayon ordinaire suit les deux lois" de Descartes et est polarisé dans le plan ZOY, et tout va pour le mieux. Mais les choses vont
THÉORIE Dfi LA DOUBLE RÉFRACTION. 687
au rebours chez un biaxe négatif, puisque dans le même plan ZOY, c'est le rayon extraordinaire c[ui présente ces deux particularités. On ne trouve pas plus de fixité en s'en référant, avec M. Biot, à la bissection des dièdres formés par les plans que déterminent la direction commune Or des rayons et les axes optiques, et faisant du rayon ordinaire celui dont le plan de polarisation bissecte le dièdre aigu. Car en prenant, chez un biaxe négatif, des rayons compris dans le plan ZOY, et rapprochant ces rayons superposés de raxe OZ, le dièdre DOrD' finit par devenir obtus, quoique son bissecteur ZOY ne cesse pas d'être le plan de polarisation du rayon ordinaire. Ainsi, en dehors des expressions W',W" et des deux nappes de la surface de l'onde, il n'y a plus rien de général sur la distinction des rayons. Deux mots encore. Nous avons vu que les micas et le quartz parallèles à Taxe produisaient des retards de même sens quand leurs sections principales avaient la même orientation , et cependant le mica est un biaxe négatif. Cette similitude d'effets entre un uniaxe et un biaxe de signes contraires s'interprète trèsbien. Elle tient à ce que les micas soi^t normaux à leur axe principal. Les deux axes compris dans le plan de ses lames sont ceux de moyenne et de plus faible élasticité^ et c'est ce dernier qui est aligné dans le plan des axes optiques , et par conséquent dans la section principale. Il est donc bien l'analogue de l'axe du quartz qui , lui aussi , est de plus petite élasticité. Si la lame d'un négatif était parallèle à l'axe principal, ou lui trouverait, pour une même orientation, une action retardatrice contraire à celle du quartz , tout comme on trouve en pareil cas , aux lames positives de gypse, une action de même espèce. Retenons donc bien (|ue quand on conjugue un biaxe avec un uniaxe parallèle ou normal à l'axe, il y aura interversion de leurs rapports, suivant que ce dernier sera parallèle ou normal à son axe principal. Ou doit à M. Delezenne d'intéressants travaux sur cette matière.
588 CMAPITHB \\\
^ 677 bis. — Expérience de MM. Moigno et Soleil.
De ce que le verre, comprimé dans un sens, devient un uniaxe négatif qui a son axe dans la direction de la compression ( § 206) , on en conclut que la compression a pour cfl'et d'agrandir l'élasticité optique dans le sens où elle s'exerce. Cela posé, soit un uniaxe négatif pris sous la forme d'un parallélipipède rectangle (PI. Xlf^, fig> 34') ayant un de ses systèmes de faces, les horizontales par exemple, normales à Taxe optique. Si je le comprime normalement à deux de ses autres faces, les verticales latérales je suppose, l'élasticité, accrue dans ce sens transversal, cessera d'être égale à celle antéro-postérieu^e, et le cristal deviendra un biaxe. Comme les élasticités principales exii*êmcs seront : i® Taxiale qui , maxima au début, garde en général sa supériorité; 2° Tantéro-postérieure qui, n'étant pas accrue par la compression, devient la moindre; on voit que les axes optiques écloront dans le plan normal au sens de la compression. Avec un positif, au contraire, les axes s'ouvrent dans le plan de compression , parce que c'est dans ce sens qu'on a l'élasticité maxima. Cette transformation d'un uniaxe en biaxe par compression , et les deux manières d'êlnî des axes optiques constituent une belle expérience d'optique qu'on improvise sans peine au microscope d'Amici, avec la presse à comprimer du § 296, et qui se laisse très-bien projeter avec le dispositif du §347. Elle est due a la collaboration de MM. Moigno et Soleil. On voit avec quelle facilité la théorie l'interprète.
Si Tunîaxe négatif était assez peu biréfringent pour que l'élasticité transversale, accrue par la compression , y devînt la plus grande des trois, ce serait alors dans le plan vertical décompression que se trouveraient les deux élasticités principales extrêmes, et par suite les deux axes optiques. Il est visible que pour obtenir, chez les positifs faibles, cette dénaturation du résultat ordinaire, il faudrait recourir, \^on plus à une compression, mais à \\w tiraillement.
Un négalif comprimé donnera a — h grand et h — c liés-
petite et par conséquent a — b^b — c. L'axe principal y sera donc celui de plus grande élasticité, de sorte que l'uniâxe négatif sera devenu par la compression un biaxe de même signe.
Nous avons eu jusqu'à présent plusieurs occasions de remarquer la parfaite conformité de la théorie de la double réfraction avec les faits. Mais faute de nous être occupé de ces rapprochcaients d^une manière spéciale, nous sommes loin d'avoir passe en revue l'ensemble imposant de ces vérifications. Les unes, par la nature même du phénomène sur lequel elles reposent, empruntent à leur seule existence une telle force, qu'elles peuvent se passer d'une comparai^ son ^numérique minutieuse et rester en quelque sorte qua~ litati^tis. Telles sont les réfractions coniques étudiées dans l'article précédent, et les lemniscates dont Tétude va terminer celui-ci. Les autres, au contraire, ont été formellement instituées pour avoir au plus haut degré ce caractère quantitatif ^\xi est le nec plus ultra des épreuves que peut subir une théorie. Le dernier article de ce chapitre leur sera consacré.
§ 678. — L'interférence considérée entre les rayons on entre les ondes. -— Loi générale des sinus.
Les phénomènes dont nous avons à traiter se rattachant aux interférences, la pensée se reporte naturellement sur les théorèmes des §§ 672, 674 relatifs aux différences des V et des W. Cependant, si Ton considère que ce que l'œil associe dans la vision k travers les biréfringents, ce ne sont ni deux rayons superposés intérieurement, ni deux ondes parallèles , on prévoit qu'on ne pourra y recourir qu'exceptionnellement. Avec des lames parallèles, cela n'aura lieu pour les ondes que sous l'incidence normale; pour les rayons il faut de plus que la lame soit une des trois lames principales normales aux trois axes d'élasticité. La face de sortie cesse-t-elle d'être parallèle à celle d'entrée, ces théorèmes deviennent insuffisants pour l'évaluation du retard total ^ attendu qu'il cesse de s'engendrer tout entier à l'intérieur
Spo CHAPITRE XXV
du cristal. Les incidences deviennent-elles obliques, ce n'est plus d'insuffisance, mais dHncompëtence qu'ils sont frappés, puisque, d^une part, les conditions fondamentales quMls supposent, cessent d'être réalisées, et que, de l'autre, il y a également cette complication d'un retard extérieur surajouté au relard intérieur. Nous allons procéder à Févaluation de ce retard total en nous restreignant toutefois au cas principalement utile d'une lame à faces parallèles. Nous étendrons ainsi aux biaxes le calcul déjà donné pour les uniaxes (cbapitre X). Mais comme on pourrait se croire obligé d^ établir entre les pbénomènes engendrés par les retards une division fondamentale , séparant ceux où Tinterférence parait s'accomplir entre les rayons (franges de Young par exemple), de ceux où elle semble s'exercer entre les ondes (phénomènes de la polarisation colorée par exemple) ^ il nous faut d'abord montrer qu'il n'y a là que deux manières équivalentes de considérer un seul et même ordre de phénomènes, l'utilité de ce double point de vue consis^ tant à nous permettre d'introduire à notre gré dans les formules, soit les paramètres empruntés aux ondes, soit ceux des rayons.
Loin d^avoir une existence indépendante des rayons, les ondes ne sont, on le sait , qu'une pure association de rayons contemporains dont le trajet commun s'estime d'une ma^ nière spéciale, à savoir sur leurs normales, produisant ainsi de nouveaux angles* de réfraction 9,0^ et de nouvelles longueurs d'ondes X', X,", qui ne se confondent avec les éléments ^de même nom fournis par les rayons, que si le milieu est homogène. Mais ces normales font toujours, avec les ondes, des angles droits et il en résulte pour elles un théorème considérable qui se conserve dans le cas général des biaxes, quoique, quand on veut l'appliquer aux rayons, il se trouve déjà en défaut chez les uniaxes.
Loi générale des sinus. — Quand le milieu qui délimite un biréfringent est monoréfringent, la droite par laquelle sont menés les plans tangents dé termina te urs des rayons et
TilÉOBlB DE LA DOUBLE RÉFBAGTION. 691
des ondes est normale au plan d'incidence. Il en résulte que les trois normales caractéristiques de Tonde incidente et des deux réfractées sont toutes situées dans ce plan et que déjà les figures construites pour Févaluation du retard contracté par les deux dernières ondes, seront planes. IVIais il y a plus. Soient en effet (PL XIF^ fig. 3^5) c/P, dp^ dp^ les traces des trois plans tangents ou ondes ; /P, fp^ fp* les trois normales, on a, vu la rectangularité des trois triangles, et en songeant que la normaleyP n'est autre que la continuation du rayon incident,
d'où l'on tire
sini __/P sin / /P
sin ff ~^ /p sin «r' /p^
Or^fP^fp^fp'sonl des proportionnelles aux trois longueur» d'onde i, V,, i*-, on a donc
sin / \ sin / "k
siD <r A , sm <T A ,
c'est-à-dire une proportionnalité incessante des sinus d'incidence et de réfraction avec les longueurs d'onde correspondantes. C'est là la loi des sinus prise dans son acception la plus générale. Elle ne donne un rapport constant pour
-: — que quand leslongueursd^ondes restent les mêmes dans
toutes les directions.
§ 679. — Calcul du retard introduit entre les deux ondes dans la trayersée d'une lame biréfringente.
Dès que Tincidence est oblique, le passage d'une onde à travers un milieu réfringent est accompagné de dislocations. Mais si les divers éléments de l'onde n'y entrent ainsi et n'en sortent que successivement, les chemins qu'ils parcourent le long des normales, entre les deux positions extrêmes de Ponde, à savoir celle abc (Jig* 3a6) qui précède la dislocation d'entrée et celle a! V d qui termine la dislocation
Sga CHAPITRE Xx\.
de sortie, chemins représentes en général par trois termes bS -h hSe -+- eb\ (sont tous équivalents. On peut donc s'en référer, dans l'évaluation de ce retard commun , aux chemins, formés de deux termes seulement, qui appartiennent à l'un des éléments extrêmes de la portion d'onde considérée. Le cristal dédouble-t-il Tonde et fournît-il deux ondes distinctes ayant pour normales intérieures /«',/«,, traçons, et les normales extéi*ieures afip , a^g de cet élément extrême seul considéré, et les positions o'A't/, a,è,c, des ondes reconstituées Comme elles sont sur des plans différents, il faudra ajouter a^ g au retard intérieur, et le retard total aura pour expression
Soit c Tépaisseur du cristal, on aura
ces tr ces cr
a^g=za'ay sin i=:e ( tang «r — tong d' ) sin i.
Nous venons de trouver pour les équivalents optiques, n, ni, les valeurs
/P sin I /P sÎD I
fp sin (T fp' sin a' '
il eu résulte donc pour T anomalie contractée entre les deux ondea,
. / 2rr . / I , 1 \
\ -:--e%mi[ -: — -f- tang tr — tang tr' :
/.vj ^ Vsin ff' ces T siDffCosff/
i - 2Tr . .
f = T- ^ sm / (cot «r' -— cot èr).
§ 680. — Calcul du retard introduit entre les deux rayons dans la traversée d'une lame biréfringente.
La fig, 325 devient insuffisante. C'est en dehors du plan d'incidence et des deux traces d/7, dp^ que tombent les deux points de contact y, (f déterminateurs des deux rayons. Nous la remplaçons par la fig. 327, dans laquelle AMN figure le plan d'incidence supposé vertical, ACN, ABN, les
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. SpS
deux plans de réfraction caractérisés par les angles azîmntaux <f, f', NCB le plan de sortie horizontal. Le retard contracté commence en A et se termine sur la droite BD menée par B perpendiculairement à CR', direction extérieure de celui des deux rayons qui est sorti le premier du cristal* Son expression est
vÂB — v'ÂC — CD.
Soient p, jd' les rayons vecteurs de la surface de Tonde qui, aboutissant aux points de contact ^ , </, mesurent les vitesses
des rayons *, les équivalents optiques v, v' vaudront -y -^^
9 P et Ton aura
vÂB = iÂB= — ^9 /AC =
p p cos r p' cos r'
Pour avoir CD^ j'abaisse du point B sur la droite CF (menée par le point C, et dans le plan de sortie, parallèlement au plan d'incidence) une perpendiculaire, et je prouve qu'en joignant DF, le triangle DFC est rectangle en D ('^). J'en . conclus, car FCD = 90 -r « ,
CD = Cl- sin I.
Projetons BN et CN sur le plan d'incidence, il viendra
FC = BN cos f — CN cos ^' = c tang /• cos ^ — e tang / cos f '.
Le retard R, exprimé à l'aide des caractéristiques des rayons, sera donc
(B) R = ; — — - — tf sin /(tang r cos • — lang/cos«').
^ ' p cos r p' cos f^ \ o I o T /
Le cas particulier traité (§ 277) se déduit de cette formule générale en y posant ^ = o : mais on n'oubliera pas que • (p y désignant un angle que nous avons fait ici égal à zéro,
( * ) Le plan vertical meDé (>ar FC contient CD, la droite BF perpendicolaire à CF étant dans un plan horizontal est perpendiculaire an plan vertical. Du point B, extérieur au plan vertical, nous avons donc abaissé deux perpendiculaires, Tune BF au plan, Vautre BD à une droite CD située dans le plan. Or on sait qu'en pareil cas, la droite CD est perpendiculaire à DF, ligne dos pieds.
594 CtlAWTHK XXV.
à savoir l'ariiniil du plan d'incidence, tes choses analogiifs sont le 9 aciuel et le tp' — ç du § 277.
§ 681. — Gomment les deux formules aboutissent aux mêmes
chiffres.
Qu'il soit évalué sur les rayons ou sur les ondes, le relard, dès qu^il est ramené h une certaine longueur d'air ou à un certain nombre 3'ondes ^ doit être exprimé par un même ■chiffre. Pour s'en convaincre d'une manière générale, iiiiagînons {Jig- 3^5), en dehors du plan d'incidence fffP^ !e point de contact 4/ conjugué de p. Je dis que p est la projection de q et qu'ainsi gp est une horizontale. Cela résulte de ce que le plan d'incidence, le plan tangent et le plan projetant du rayon vecteur f/f sur le premier de ces plans sont trois plans rectangulaires deux à deux. Si donc le plan de sortie était le plan horizontal passant par qp, onde et rayon auraient fourni dans le cristal le même nombre d'ondul a tioni, puisque les longueurs jf/>jyÎ7 sont leurs vitesses respectives. Reculer le plan de sortie en le laissant horizontal ne change rien à ce premier résultat. Il en sera de même pour l'autre rayon, et les différences dues au ^trajet intérieur se composeront pour les ondes comme pour les rayons d^un même nombre d'ondulations. Restent les quantités ex térieurrsai^ de la^g'. 326, et CDde la fig, 327, on se convaincra qu'elles ne dictèrent pas Tune de l'autre.
Quand l'incidence est normale, le retard est tout intérieur. Pour les ondes, lesquantités^=;7,//;'=p'nedi fièrent plu&desquantités\', V" (§672), et puisqu'elles correspondent
i un ckemin d'air égal à l'um^^ le relard est -— —» lafor-
P P mule (A) devenant o X 00 ne donne pas immédiatement ce
résultat, mais on le retrouve en s'en prenant à Tune des expressions antérieures. Dans ce cas de * == o l'expression (B) devient
p cos r p' cos / ' |D, p' continuant de différer des W, W du § 674.
THÉORIE DE LA DOUU» RÉFAACTIOK. 5p5
§ 682. — Courbes isochromatiqaes ches lot biazM.
Des deux formules (A), (B) ({u^il s'agit d^appHquer, la première est âe beaucoup la plus simple : aussi est-elle la seule qui ait été appliquée franchement i des cas un peu généraux. Quelle que soil l'orientation d'une lame parallèle, on obtient les lignes isochromatiques en égalant tour
à tour aux multiples successifs de - l'expression du retard.
Nous avons vu que chez les uniaxes, pour y échanger les variables contre les coordonnées des points des courbes , il fallait choisir son terrain; on conçoit donc qu'ici, où il s'agit de surfaces bien moins maniables que celles qui ser* vent chez les uniaxes, il faille en général , pour arriver à quelque chose d'explicile, chercher ^ybrfKitrf les cas simples et y aider par des approximations.
Calcul des lemniscates, — Le calcul qui va suivre est moins une application des formules précédentes qu'un calcul évasif d^ns lequel on se rattache aux théorèmes des vitesses. Comme la superposition qui en résulte pour les rayons allonge visiblement le chemin intérieur décrit par Tun d'eux, on corrige partiellement cet accroissement en négligeant le retard extérieur. Si les incidences sont faibles, si les directions suivant lesquelles le cristal est traversé, ne s'éloignent pas trop des ombilics de la surface de Tonde^ régions où 1rs rayons dilBcent le moins de vitesse, la correspondance entre les rasultats du calcul et les phénomènes n'en est pas sensiblement altérée.
Supposons la plaque perpendiculaire à l'axe principal et les axes de réfraction conique assez peu ouverts pour que le couple d'ondes extérieures, qui chacune n'engendrent exceptionnellement qu'une onde intérieure, puissent y entrer et en sortir. Dans ees directions, l'œil ne recevra qu'une oade et il n'y aura pas 4'interference possible. Dans toute autre direction, il en recevra deux parallèles dont l'une aura un retard et qui, suivant ce retard, donneront, avec l'aide
d'un polarîsaleur et d'ua polariscope, lumière vive ou obscurité.
Ed rigueur, ces ondes extérieurement parallèles ne le sont pas inlërîeurement ; mais^ ainsi qu'on vient de le dire, dans nos cristaux sî peu biréfringents, ce défaut de parallélisme peut se négliger et l'on peut remplacer l'expression duretard par une autre plus simple tirée du premier des deux théorèmes relatifs aux vitesses.
Ainsi, soit OR (fig- 328) cette direction commune, caractérisée, comme précédemment, parles angles /, t'. Le trajet
durera pour l'une -rry-, pour l'autre , etle retard exprimé en longueur d'air vaudra
y -yftf
or si, conformément à la remarque du § 673, on introduit les deux facteurs sensiblement constants V + \" et \'Y^
celte expression prend la forme OR ( V* — V"*). Mais on i
y 7 V"» — ( rt' — . c») sin t sin /' ;
donc le retard peut s'exprimer par
ÔR (/!*— r») sin /sin /'.
Autour du point R on trouvera des points pour lesquels la différence de route sera la même. Ces points traceront sur la surface supérieure du cristal une courbe isochromatique dont Téquation est
OR [a^ — c*) sin / sin /' = constante.
Nous nous proposons non-seulement d'y exprimer OR en ty t'y mais encore d'y introduire les a: et les y. Nos axes coordonnés ont pour origine le point où se croisent , sur la face inférieure, les rayons entrants et pour directions les trois axes d'élasticité.
Pans le triangle sphérique CBAO, nous connaissons les
trois faces /, t*^ 2 ^. Le dièdre C, opposé à t, vaudra
ces t! cos ?. 0' — cos /
cos G =
%\iit' sin 1^
Dans le triangle sphérique CDAO, on connaitle dièdre C, el les deux faces adjacentes /', d^, ce qui donne pour la face DOA = /•, opposée au dièdre C,
^ A/ ' ^ • wcos/' cosaO'— cos *
cos r = ces r cos W — sm r sin Ô ; — 7— ^ —, — —
sin r sin 2 0
2 cos ^ cos* 0' — cos t* cos 2 9' H- cos > cos ^-+- cos /'
2 cos G' 2COS0' '
et comme OR = ? l'équation de la courbe, ramenée à
COS r *
ne plus contenir que t et i\ est
/ , ,v A/ sin* sin r'
2 e (a^ — cM cos 0' ^ ; = A.
^ ' cosf-hcosr
Les équations de la droite OR sont
elles donnent pour les coordonnées du point R,
celles des deux axes OB, OC sont
X = tang ô' «, « = — tang ô'ï ;, l'angle ROB donne
^ x^-f- j» séc' Q^ — 2 gjr tang 9' -h g' tang' 0^ /*^ "~ ÔR séc 9'
a: tang 9' H- <? cosf =
OR séc 9
(* ) On a pris la formule du sinus de l'angle de deux droites, et l'on 7 a mis les coefficients des deux droites actuelles ; seulement on a gardé au dénominaleur, pour Tun des deux radicaux, la distance OR.
l'angle HOC donne de même
smf=:
^x" -+- /» aéc» ô' -+- 2 ex tang 6' -h é" tang» 9'
ORsécO'
cosr'tn
e — « tang ô' OEsécO' '
on en tire
ain t ftin t'
V («* H-r»aéc» e'-+. <?» ung>ô')»— 4r'x»uiig'0'
cosr + cosf^ affORsécô'
En repoi'lant cette valeur dans Véquation de la courbe, et
remplaçant OR par x* -H y' 4- e% il vient
Avec une lumière simple, les conrbe» isoehromatiques sont alternativement noires et éclairées. Leurs endroits les plus sombres ou les plus vifs correspondent aux valeurs suc* cessives entières impaires et paires de Xr.
L'équation précédente est de la forme
*« H- M/^ -h Na:*7» -♦- Px» -h Q r'-H R = o.
Si l'on définit lemniscateune courbe telle, que le produit des distances de ses points à deux points fixes distants de 2a soit constante et égale à D', on trouve sans peine pour les nom' breuses courbes de ce genre
quand toutefois on prend pour axes coordonnés la ligne des deux points et la perpendicuiairé élevée sur son milieu. Nos courbes ne sont donc pas des lemniscates ^ mais elles le devieiinent quand Tangle ^ff des aTes de réfraction conique est assez faible pour que séc 6' Suit sensiblement ^» à I . Car on trouve alors Téquation
Herschel a trouvé en effet que chez le niire, ou ff vaut i^^t
TllÉORit: DU LA DOUBLE RÉFRACTION. 5gQ
le produit d«s distances des points d'uoie méiae courbe à deux certains points signalés par des particularités physiques, restait constant. Ce n'éuit pas sur les courbes telles qu'elles se dessinent sur la face supérieure du cri&tal qu'il opérait, mais sur d'autres courbes bien plus grandes, peu déformées par la sortie et, par conséquent, semblables aux précédentes, courbes que la projection lui donnait sur un tVran parallèle à cette face.
L'éqnalion primitive devient avec cette supposition
et elle est d'autant plus admissible qu'on l'applique à des courbes d'un numéro moins élevé, et qu'ainsi ^, t' sont moins grands. Cette expression montre que le produit rt',
ou, ce qui revient au même, d'après le* relations ^ = ~ j
t* = ^, le produit RR' des rayons vecteurs des lemniscates
correspondantes est, pour la même courbe isochromatique, en raison inverse de l'épaisseur e c'est ce que Herschel a
également vérifié.
Nous n'insisterons ni sur les diverses variétés que présente la lemniscate ni sur la manifestation progressive de ces variétés au fur et à mesure que la valeur constante du produit grandit, ni sur les courbes limites qui séparent chaque grand groupe do lemniscates. Qu'il nous suffise de recommander cette étude.
g 683.— Calcul des hyperboles.
Quand les tourmalines sont à l'exlinclion, il existe sur chaque courbe isochroma tique, ici comme chez les uniaxes, quatre points où la lumière n'est pas restituée, ou en d'autres termes n'est pas dépolarisée par le cristal , points dont l'ensemble formera des courbes noires. Ces courbes ne sont plus deux droites rectangulaires, mais les deux branches d'une hyperbole, ainsi qu'on va le démontrer.
Soit ad la distance des points H, G où les axes de réfrac-
€oO CHAPITRE XXV.
tion conique coupent, dans le plan ZOX, la surface supérieure du cristal , c^est-à-dire la distance des pôles de nos courbes, et a Tazimut, compté avec ZOX, du plan de polarisation du rayon incident. Le rayon passera sans se diviser quand ce plan coïncidera avec celui de polarisation d'un des deux rayons réfractés. Or on sait que ces derniers plans sont les bissecteurs de deux plans auxiliaires qui coupent la face supérieure suivant les droites RG, RH. Mais quand un dièdre est bissecté par un troisième plan, leurs intersections par un plan quelconque donnent deux angles plans égaux, il en résulte que la trace d'un des deux plans de polarisation sur la face supérieure du cristal n'est autre que la bissectrice RI de l'angle GRH {fig* Sap), et que pour qu'un point R fasse partie de la courbe noire, il faut que cette bissectrice fasse avec l'axe OX l'angle a. On a
GRH = RGX — RHX = 6 — 6', et
CRI = -(6 — g'),
GIR = 7 = 6'-f- - (6 — 6') = -(e-H 6');
mais il faut que y égale a, l'équation est donc
Soit Xi^ji les coordonnées du point R, les lignes RG, RH donnent
et
tang 6 -H tang 6^
Ung (6 -h 6') =
1 — tang 6 tang 6'
d'où enfln
2 x,y, = (.r J — ^ ; — ^) tang 2 a
= tang 2 a,
THÉORIE OB LA DOUBLE RÉFRACTION. 6o I
équalion d'une hyperbole équilalère. Si le plan de polarisatîon bissectait Tangle obtus fourni par les axes optiques, la dépolarisation n'aurait également pas lieu dans le cristal et les points de cette seconde bîssection appartiendraient encore aux courbes noires. L'byperbole trouvée donne ces deux espèces de points.
Les variations de a répondent à la rotation de l'ensemble des deux tourmalines qu'on laisse rectangulaires, ou autrement à la rotation du cristal entre les tourmalines immobiles, a = o** = 90° donnent xj' = o, c'est-àdire une croix noire, a = 45 donne x* — y^ =zd*, La rotation du cristal modifie donc les courbes. Les points G et H sont constamment sur la courbe, car Téquation est satisfaite parj^=o jc=it^, quel que soit a. La touchante en G fait avec la ligne des pôles, axe des x, un angle dont la tangente s'obtient en posant ^ = o , x z=zd dans
l'expression générale de la dérivée -—? et
jr tang 2 a H- JT dx
vaut tang 2 a. Le trait le plus saillant du changement subi alors par l'hyperbole consiste donc en ce que la tangente au pôle tourne avec une vitesse angulaire double de celle du cristal.
§ 684. — Cas de la plaque oblique sur l'axe principal et de la plaque normale à Tan des axes de réfraction conique.
Quand les axes optiques sont inégalement inclinés sur la face, qu'en d'autres termes l*axe principal diffère de la normale, le calcul des lemniscates ou des hyperboles se conduit de la mém'e manière, la seule différence consistant en ce que, ayant pour les angles Z0B9Z0C(yîg^. 828] deuxvaleursdistinctesO,etO,= 26'— 6,, certaines réductions n'ont plus lieu. Nous n'écrivons pas Téquation actuelle des courbes, car leur recherche n'offre aucune clifBculté, et nous nous bornons à y poser 0, = o, ce qui réalise le cas intéressant d'une lame biaxe taillée perpendiculairement à l'un des axes de réfraction conique. On trouve
(rtï c^Y sin^ 2 9' = (•*^* -+- y^) (•'^^ + ^^ séc^ 2 0' 4- 2 ex lang 2 ô' H- e^ tang' 2 ô').
6o9 CHAPITaB \XV.
Suppose-t-on ces axes rectangulaires, ou 2 ô' = 90**, il vient
Les courbes restent lemniscates, et il y a réalisation de la varîêté qui consiste en deux courbes isolées et analogues à des cercles, mais dont une seule est ici visible.
L'équation des courbes noires s'obtient en introduisant dans les précédents calculs pour les abscisses des points G, H» deuic quantités inégales ^1, — 5^, ce qui donne toujours une hyperbole équilatère
tang 2a[x» — 7' ^x{$^-'S,] — 3, $,] = axj -+-^ (5, — ^.)-
Si Ton veut atteindre le cas d^une kime normale à un des deux axes, on posera
^, = o, d'où
(.r=» — 7^ -H x5,) tang 2a = 2^/ -h jr 5,,
équation dans lacfuelle Sj vaut e tanc; 2 G'. £ofin , quand 2O' =r go ou ^3 = 00 , on a une droite, x tang 2 a :=r 7, variable avec x.
^ 685. — Expérience utilisée par M. Soleil.
Cette expérience consiste à placer sur le miroir étamé de l'appareil Norremberg, d'abord un mica quart d'onde, puis la lame, de manière que les angles de leurs sectioBs prîocipales avec la vibration incidente soient o on 90 pour le mica, et + 4^ pour le cristal ; et à se placer, par l'interposition de la loupe, dans les conditions de la lumière convei^gente. Avec les uniaxes, on obtient, si l'axe est oblique sur les faces, des franges d'autant plus serrées que la coupe s'éloigne plus du parallélisme à t'axe, et au contraire, quand le parallélisme est parfait, une nuance uniforme très-sombre. De telle sorte qu'on a, dans cette expérienoe si facile à improviser, un moyen à la Ibis commode et précis de voir si nne lame est ou non rigoureusement parallèle à son axe optique et de l'y amener par des retouches.
La vibration incidente OX {/ig, 33o) donne dans le cristal (nous le supposerons positif) deux vibrations égales OX', OT' séparées par une certaine anomalie p et forment, si p est compris entre 2/i7r, et (2«-H »)w un dextrorsum dont les coastituanls princi-
THÉORIE DE LA DOUBLE HÉFRACTION. 6o3
paux sont dès lors dirigés suivant OX, OY. La lame de mica^ tra* versée par eux deux foisel traversée suivant ses azimuts princier " paux, retarde OX de a- = tr, et transforme l'elliptique £F en
l'elliptique f/zn^Vn'^tf^ inverse E'F', lequel a ses constituants égaux
diriges suivant OY', 0X% et séparés par la même anomalie p. Mais
cette anomalie appartient maintenant à la vibration OX', si bien que, dans le second trajet à travers le cristal» le nouveau retard
p' atteignant OY', il s'agit de voir quelles sont les circonstances qui rendent p' égal à p, reconstituent dès lors une vibration finale dirigée, comme ao début, suivant OX, et rétablissent ainsi pour le polariscope qu'on suppose à Textinction, l'obscunté primitive. p' est égal à p , 1*^ quand Taxe optique ayant une direction quelconque, on ne considère que les rayons normaux à la plaque; 2° quand les rayons étant obliques, l'axe est dans le plan des faces. Mais si l'incidence est oblique en même temps que l'axe, l'anomalie p' essuyée au retour n^est plus égale à p. Lu ^g. 33 1, qui justifiera en même temps les assertions let 2, montre en effet le rayon d'allée lA coupant Tellipsoïde d'Huyghens à une distance de Féquateur moindre que Tangle de réfraction /*, de Fangle a qui sépare cet équateur de la normale» tandis que le rayon de retour l'A' leeoupe à une distance angulaire visiblement égale à ^ + 2a; et comme l'inégalité de ces deux retards imposés consécutivement aux deux composantes, dépend de Tincidence i, on conçoit que l'ioterférence varie périodiquement et produise des franges. Il s'agit d'en trouver la forme.
§ 686. — Application de la formule (A) an calcul de cette
expérience.
L'anomalie contractée dans le premier trajet est dormée par in formule (A), et vaut
2 jr f . , . , .
-— sin / (cot <T — cot ff).
Quoique les rayons rentrants arrivent sous la même incidence, lu manière distincte dont ils se présentent à la surface de l'onde amène deux nouveaux angles cr,, g\ , et par suite assigne au rayon
6o4 CHAPITRE XXV.
qui n*a pas subi le retard du premier trajet Tanomalie
— — SID i (COt ff, — COt ff,j,
de sorte que TaDomalie totale sera
smi(cot 0-, — COt a -h cot^ — cot «rj,
il reste à évaluer les angles o-, a^, 9|, a, . On a
\/i — A'sin*/
sin 9 = 6 sin / et cet 9 =
b sin I
Les longueurs/? des normales obtenues avec la surface de Toncle étant correspondantes à l'unité, on a
( E ) sina' = p sin i ,
et la formule
( F ) ^ï =: ^» 4- (flî — b^) siD» 6',
du § 179. Comme on peut avoir G' en (t\ p n'est lui-même qu'une fonction de v', et en l'introduisant dans la formule ( E)> il restera une équation où 0^ seul sera inconnu; elle pourra donner cot a^. Voyons comment ces calculs aboutissent.
On obtient sin 9' par la considération dedeux triangles successifs. Soit [fiç* 332), comme dans l'article II du chapitre VI, OS la trace sur les XY, du plan d'incidence, ^ son azimut, ON la normale à l'onde extraordinaire, contenue, ainsi que l'incident 01, dans le plan ZOS. Dans le triangle sphérique OXRS, le dièdre OX est droit, on a les faces adjacentes a, ^ . Donc on aura l'hypotéuuse ROS = ^ et le liîèdre OS = û par les formules
tan*' z cos /* = cos a cos 9 et tanc A =. . ^ »
^ ^ sm f
qui donnent
sin a
sm A:= .— -.
sm h
Dans le triangle sphérique quelconque ORSN, on a le dièdre OS^rgo — A, la face ROS =r /i et l'autre face adjacente SON = 90 -<- 9', on en déduit pour la troisième fac« NOR, qui
THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 6o5
nVst autre que B\
cosô' = cos(90 -hff')cos/<-+-sin(9o + </)sin/f cosfgo — A) = — sin <r' co» h -h cos o-' sin A sin A = — sin ff' cos a cos ^ -h cos o-' sin a.
Portons maintenant la valeur déduite de là pour sin^ 0' dans
inéquation (F), puis la valeur issue de là pour/? dans l'équation (E\
remplaçons sin <y' et cos o-' par leurs expressions ,- = t
COt 0"' r • 1 /
en fonction de cot <r , et nous arnvcrons sans peine à
une équation du deuxième degré qui donnera, pour cot o-', la
valeur
sin / («' cos' a H- 6* sin' a) — («' — ^') sin a cos a cos f sin i ,
r ( tf' — fc'/ sin' a cos' a cos' ^ sin' / T '
L — [a'sin'/ — I — (fl' — ^')cos'acos'fsin'f] («'cos'a+ 6'sin'a) J
Pour le but que nous nous proposons, il est inutile de pratiquer sur le radical les réductions dont il est susceptible. En effet, pour déduire de la différence actuellement connue col a' — cot v celle, cotff, — coter,, qui exprimera le retard contracté au retour, il suffit visiblement {^g. 33i) de changer le signe de a Or ce changement n'altère ni cot <t ni le radical de coto-', d'où il résulte que la différence des deux retards est le double du terme qui, seul, a changé de signe, et qu'on a pour l'anomalie totale
2 ir . 2 («' — ^'J sin a cos a cos »
— <r sm / , , ,, . , ' »
\ a' cos' a -h o'sin'x
les courbes isochromatiques obscures s'obtiendront en égalant cette anomalie à (a/i -h ijtt ; or on a
cos ^ = ■
Si Ton se restreint à de petites incidences, et si l'on appelle D la distance du cristal au tableau, on a
sin I -=: tang / —
6o6 CUAPIT&E XXV.
Enfin si Ton admet que a est petit, on obtient pour l'équation de ces courbes
c'est-à-dire un système de franges rectilignes^ normales à la vibration primitive. Leur largeur égale à 2 x étant inverse de a, devient infinie quand a est nul. La première, qui, donnée par m = o, est noire, envahit donc toule la plaque, qui serait en efiec noire si la dispersion du mica n'épargnait quelque^ rayons auxquels est due la teinte soiubre qu on observe.
M. de Senarmont, auquel on doit ce calcul, a pu mener à bonne fin, au motns dans quelques cas particuliers, des calculs analogues sur les biaxes. On va en juger. On a toujours
sin f I I
sin (t' p V
Si donc on pouvait exprimer en (/ le cos (/ — t*) de la formule du § 674 , comme on y a réussi pour sin* tK, Téquation
sin 0^ = V sin 1
n^aurait plus qne cette inconnue. En l'amenant à ne plus contenir que cot <t', elle donnerait cette valeur, et, partant, le retard. Or quand on donne une lame, ses axes de réfraction conique sont connus. Il est donc possible, par des triangles sphériques analogues à ceux déjà considérés, d'avoir les angles r, r'. Il est même des cas où ce calcul ne diffère pas de celui déjà fait , à savoir quand la face comprenant un des deux axes d'élasticité qui bissectent les axes. optiques, on prend cet axe d'élasticité pour axe des X. Alors, en effet, les deux axes de réfraction conique compris dans le plan ZOX font avec OX, Tun Tangle a, l'autfe Taille — a, et l'on a
cos f = — sin a' cos a cos y H- cos 0^ sin a , cosf' ~ — sin ff' cos a cos f — cos a' sin a,
de là cos (r — t') et une équation bicarrée en cot a'.
En employant de la même manière V, on amènerait l'équation
sin <ra= y sin / à ne plus contenir que cot a, d'inconnu, et l'on aurait Pexpression
THÉORIK DB LA DOUBLiC RÉKRACTIOK. 607
dn n»tard rn prenani la dîffôrrnre des deux cotangentes rt réduisant. Les calculs ne sont que longs et minutieux. Nous engageons le lecteur à les faire, ou tout au moins à voir, dans le Mémoire de M. de Senarmont, les résuhats auxquels il est parvenu.
ARTICLE V
