TT. = I

et 3°, dans une certaine supposition,

C'est en nous inspirant de ces résullate et en remarquant qu'il y a lonjoins deux transmissions pour chacun des rayons succcssil's, que nous avoris cru pouvoir conduire le calcul, comme si les mcnies cocflicicMits présidaient cl aux deux réflexions et aux deux transmissions.

l4o CHAPITRE IV.

La résultante générale dés rayons réfléchis, donnée par la formule ($ ^5), sera

u ^ m \ î^rê r~ 8Îre ~ xiize \* , ,/ . lyize , . 8t<î V

K =1/^*1 — i-Hr*«os-2-j-4-T*f*co8-T--HTV cos— r h...j -hp'TMsin-— — j-p'sin— : — H...» ,

et celle des rayons transmis I on pose ~- — = a )

T=v^T<(i-4-p»cosa-|-p*cos2aH-. . .)'-t-p*T*(sina-|-|5»sin2a-h...)% les formules connues

COS a :

^ sin a = L= (^'^ V^ — e-^- V^-' )

permettent d'opérer d'importantes réductions, dans les quantités sous-radicales qui expriment les intensités des deux faisceaux. On a

COS a H- p'cos 2a 4- p*cos 3 a -H . . .

I g^V^^-hg-^-V^ -,2p» COS g -p^

Un calcul analogue donne

sin a -f- p' sin 2 a -f- o* sin 3 a -h . . .

""2v^~\,pVW^ i-p'6'-«V^/ sin a sin a

— 2 p' COS Gt

i-h p* — 2p'cos a D

Substituons dans R% aux deux srrics, ces valeurs réduites, rendons,

INTERFERENCE DE LA LUMlàRB NON POLARISÉE. i4i

dans la première parenthèse, le dénominateur D commun, et tenons compte de la relation

il viendra

R» [— D-hT'(cosa — p^)Y -h r* sin^ a

le coefficient de t* sera » > „ * '

cos^a — 2p'cosa-f-p*-f-sin'a = D; \ -M^fi-s t, D est donc facteur commun; supprimons-le, on aura ^^^/ '*^*' '^^' '

R' D — 2t' cos g -{- 2T^p*-+- T* p^~ D

iH-p^ + T*-»- 2t'P* — 2 (p*-+-T')cOSa

I H- 1 — 2 cos a r= -—- ,

c'est-à-dire finalement

2 TTff

expression qui est bien nulle quand e vaut o, -> 1, 3-f-->>

c*est-à-dire un multiple pair de y

En ne considérant que les deux premiers rayons , l'intensité résultante serait

RJ =p'[p' -H4(,-p')sin'^]

ce qui donne, quand e = o et dans Thypothèse p' = o ,o4 , RJ = o,oooo64-

Comme le maximum I il correspond visiblement aux valeurs de e

l42 CHAPITRE IV.

multiples impairs de j \ est alors o , 1 53 664 9 on voit que le rapport des intensités extrêmes s^élcve à 24^' (^)*

En différentîant R' on trouve d'abord que les maxima continuent de répondre aux mêmes épaisseurs de la lame mince, mais leur énergie, moindre que dans le cas de deux rayons, n^atteint que o , 1 47 • Cela vient de ce que , aux maxima , si les deux premiers rayons sont concordants, le troisième leur est discordant et que tous ceux qui suivent sont alternativement en antagonisme. Aux minima au contraire tous les rayons qui suivent le premier sont d'accord entre eux et réussissent par leur concours à éteindre le premier. 11 va sans dire , du reste, que dans la pratique, Tœil avec sa pupille étroite ne recevra pas la série infinie des rayons de Poisson et que pour ce motif, au moins théoriquement, les intensités apparentes différeront de celles qui viennent d'être établies.

En remplaçant les séries dans l'expression de T', on trouve, comme on pouvait s'y attendre,

2 TTC

(i— p»)» + 4p«sin»-y-

Nous engageons le lecteur à appliquer au cas des anneaux à centre blanc et les calculs qui précèdent et les considérations diverses dont nous les avons accompagnés.

Si la lumière est blanche, la présence de sin' 2ir - au dénominateur rend la teinte différente de celle donnée (§ ^9) au centre d'une ouverture circulaire. Si cependant , ainsi qu'il arrive avec

( ** ) Ce rapport diminue quand p grandit , et alors les rayons de Poisson deviennent indispensables pour expliquer l'obscurité bien réelle des anneaux noirs. Ainsi quand |9 = o,5 1es éclairements minimum et maximum n*ont plus que le rapport de i à 17. 11 est vrai que les substances qui sous Tincidenoe normale pourraient réfléchir moitié de la lumière incidente ont droit à un indice ou tellement petit, 0,173, ou tellement grand, 5,8, que dans le premier cas elles n'existent pas et que dans le second elles n'existent que dans un état d'opacité qui doit modifier profondément à leur égard, les résultats précédents. Mais en prenant les substances diaphanes sous de grandes

incidences, p grandit, atteint et dépasse - ($ 2tfO), et la remarque qui fait

Tobjet de cett« note aboutit parfaitement.

INTERFÉRENCE DE LA LUMIÈRE NON POLARISÉE. l43

les verres ordinaires, p' est assez pefitpour qa'on puisse négliger

4 p' sin* 2 ir - vis-à-vis de (i — p*)' et se bornera la formule approximative

alors Touverture et la lame mince donnent la même teinte, Tépaisseur de cette dernière étant donnée par l'équation

Un dernier mot : chaque observateur, quelle que soit sa vue , voit les anneaux , au même lieu , entre les deux verres. Un résultat pareil se retrouvera souvent, nous le justifierons à Taide d'un principe d'optique géométrique qui sera développé plus tard (chapitre VIII).

§ 78. — Accord de la théorie des franges avec les anneaux réflécliis.

Revenons aux tranches de Fresnel (§ 6S) , et voyons comment elles se tireront de l'interprétation des anneaux colorés. Mais insistons d'abord sur l'extrême différence qui existe entre la théorie précédente et la théorie des tranches.

La première ( § 38) résume l'action des particules des corps, dans un accroissement de la densité de l'éther qui y est cocrcé ; de là le point de vue simple du partage d'un mouvement vibratoire entre deux milieux homogènes contigus. Il est vrai que pour apprécier le mouvement conservé par le premier milieu, il faut distinguer deux cas, mais ces deux cas sont liés par une règle simple devinée par Young(§ 68) et démontrée rigoureusement par Poisson.

La seconde, au contraire, n'admet plus de modifications appréciables dans la densité des éthers enfermés dans les corps. Leurs particules matérielles interviennent directement et incessamment, et leur participation effective dans les phénomènes n'est limitée que par le concours du principe des interférences et des lois de l'extinction propres au milieu. On est alors privé de la distinction si utile offerte par la réflexion de — sur -t- , mais on retrouve d'autres causes de retard , et notre but actuel est précisément de

l44 CHAPITRE IV.

voir si ces retards surajoutée se plieront aux diverses exigences des cas nombreux des anneaux colorés.

Pour une lame d'air entre deux verres, le premier rayon, partant du milieu de la dernière tranche du verre supérieur, est en

avance de j sur le rayon réfléchi à la surface même. Outre le retard 2 tf, le second rayon éprouve un retard - dans la première

tranche du verre inférieur. La différence déroute est donc ac -f- -

et on a bien antagonisme et centre noir là où l'épaisseur est nulle. La lame est-elle plus réfringente que les deux milieux, le premier rayon est en retard de 7 et le second de o^e — 7» dif-

férence 2 e — — Enfin quand la lame est d'un indice intermédiaire

à ceux des deux milieux qui la coercent (§75), le premier rayon

(retard , ^ , , ( retard , , ,

de 7 9 et le second en { de la même quantité

avance 4 I avance

, .,. , , , (moindre , ....

suivant que le milieu supérieur a le { , , des trois indices,

. (plus grand

c'est-à-dire que la différence de route est 2 ^ et que Ton a bien les centres blancs. Les anneaux réfléchis s'expliquent donc d'une manière très-satisfaisante dans la théorie des tranches. Passons aux anneaux transmis.

§ 79. — Désaccord avec les anneaux transmis Le deuxième rayon transmis est en retard de

et, s'^il s'agit de la lame mince de verre , de