RÉFLEXION ET RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE

Distinction des vibrations longitudinales et des vibrations transversales ; — des ondes longitudinales et des ondes transversales, — Coexislence des deux sortes d*ondes. — Leur inégale rapidité de transmission. — L*œil n'est sensible qu'aux dernières. — Lumière naturelle, — Lumière polarisée, — La Tibration, normale an plan de polarisation. — Réflexion de la lumière. — Principe des couples inséparables. — Adaptation de ce principe aux deux cas simples où la lumière est polarisée dans \e premier et dans le second agimut. — La loi de Brewster retrouvée. — Composition et décomposition des mouvements vibratoires qui , placés dans des azimuts diflcrentSi ont les mêmes nœuds. — Rotation du plan de polarisation par réflexion, — par réfraction. — Cas des réflexions mulliplea. -^ Vérification indirecte des formules de réflexion. — Comment les deux rayons, l'un réfléchi, l'autre réfracté, issus d'un même rayon polarisé, peuvent se trouver polarisés à angle droit.

§ 231. — Transversalité des vibrations lumineuses.

On connaît deux modes de propagation des mouvements vibratoires. Dans Tun les excursions des particules, autour de leurs positions d'équilibre, sont dirigées dans le sens des rayons et, par conséquent, transversalement à Tonde ^ dans Tautre, les vibrations s'exécutent dans le plan de Tonde ei sont dès lors intlinées (généralement à angle droit) sur la direction des rayons. Le premier cas est celui des vibra-

38a ghapithe ix. *

lions longitudinales et des onrlcs longitudinales : la propagation du mouvement dans les billes, et surtout les phé* nomènes du son en offrent des exemples. Le deuxième cas est celui dqs vibrations transversales qui a pour types populaires les rides circulaires de Peau et les serpentements de la corde tendue que Pon frappe transversalement.

Auquel de ces deux modes se rattache la lumière? Nous ne pouvons aller plus loin sans répondre à cette question capitale. Les travaux de Fresnel ne laissent aucun doute à cet égard. La lumière se propage par ondes transversales. Si la vibration a successivement, dans le plan de Tonde, toutes les orientations possibles, la lumière est naturelle; elle est polarisée, quand les vibrations régularisées restent comprises avec le rayon dans un même plan.

Dans le chapitre consacré à la double réfraction théorique, nous aurons occasion de déduire de certains faits une démonstration en règle de la transversalité des ondes lumineuses. Bornons-nous pour le moment k appuyer cette vérité par l'expérience suivante.

§ 232. — L'expérience de Toung a?ec la lumière polarisée.

L'expérience de Young (§ 20) peut se répéter avec de la lumière polarisée ; il suffit, pour cela, de placer sur les deux trous une tourmaline, ou encore d'incliner les miroirs de Fresnel sous l'angle Brewstérien. On obtient les franges, tout comme si la lumière était naturelle; mais, si au lieu d'être polarisés dans le même plan , les deux faisceaux le sont inversement ; si, par exemple, on a coupé en deux une tourmaline d'une épaisseur bien constante, et recouvert chaque trou d'une de ces deux moitiés en croisant leurs axes, alors on n'a plus de franges. Si, tournant une des moitiés, on revient graduellement au parallélisme des axes, les frangés renaissent et reprennent graduellement leur intensité. Cetle expérience, dont on peut varier beau-

POLARISATIOK RECTIMGKE. 383

€Oup la forme, prouve (*) que les rayons polarises à angle droit n'interfèrent pas. Quand de tels rayons issus d^nn même point se superposent, au lieu des alternatives con« nues de lumière et d'ombre, ils donnent un éclairement constant. Or une telle dëchëance e^t inexplicable avec des ondes longitudinales. Avec des vibrations transversales, au contraire, on comprend que Tantagonisme disparaisse, dès que les vibrations sont rectangulaires ^ et Ton verra , en effet, que Fintensité de leur résultante est alors dans une indépendance absolue des retards qui peuvent affecter Tune d*elles. Donc, si l'on attribue la lumière k des vibrations, il faut admettre qu elles sont transversales.

§ 283. — laaaité des oiidds longitndlnftlds ai pfti^a.

Les vibrations longitudinales, portant toutes les particules de Tonde eu avant ou en arrièredeleurposition, occasionnent dans le milieu des condensations et des dilatations ; dans une onde transversale, au contraire, chaque particule se porte vers les autres particules de Tonde, emportées comme elle par un mouvement commun. Il en résulte qu'il n'y a dans le milieu ni condensation, ni dilatation. On pourra ^ suivant la constitution du milieu et le mode d'excitation, n'obtenir que Tune ou Tautre de ces deux ondes; mais on comprend qu en général elles coexistent.

Cette coexistence a été signalée d'abord par les géomètres, qui ont montré de plus que leur vitesse de propagation était différente, VorxA^ longitudinale allant deux fois plus 'vite^ et tout récemment, M. Werlheim Ta rendue trèsprobable, soit dans les tremblements déterre, soit dans diverses expériences d'acoustique, par exemple celles qui ont donné la vitesse du son dans Teau. On conçoit. donc

(* ) Ainsi organisée l'expérience. de Yoting est complexe; nous verrons rn effet qu^elle manque pour deux motifs. Si on voulait n*y laisser que Vobstacle de la rectangularité et la rendre concluante, il fViudrait employer de la lumière préalablement polarisée.

que les physiciens se soient préoccupés de cette question : Que déifient en optique Fonde longitudinate? Quelquesuns accordent à Téther une sorte d'incompressibilité qui l'empêche d'épouser les vibrations qui tendraient à rapprocher ses tranches , ou qui du moins amène une prompte extinction de pareils mouvements. Pour d'autres, au contraire , Tonde longitudinale existe \ mais la rétine n'est sensible (^) qu'aux agitations transversales. Ce qu'il y a de clair, c'est que les vibrations longitudinales sont comme non avenues en optique , et qu'on peut les négliger sans erreur. Ce droit nous sera très-utile, quand nous fonderons la théorie de la double réfraction.

§ 234. — Le plan de polarisation normal à la vibration.

Si la définition du plan de polarisation avait été faite au point de vue théorique , on aurait sans doute pris le plan qui passe par le rayon et par la vibration; mais la théorie étant venue après coup, on a dû se contenter de rechercher la relation qui, de fait, existe entre la vibration et le plan de polarisation. La double réfraction va nous renseigner à cet égard. La propagation du rayon ordinaire ayant lieu avec une vitesse constante , il faut que sa vibration ait une relation constante avec Taxe du cristal. Comme elle doit déjà avoir avec le rayon, dont la direction peut être quelconque, la relation de perpendicularité, on en conclut qu'elle sera perpendiculaire au plan de ces deux droites. Ainsi la vibration du rayon ordinaire est perpendiculaire à la section principale; donc le plan de polarisation est normal à la vibration. Ainsi dans une lame de tourmaline, par exemple, c'est la vibration parallèle à l'axe qui échappe à Textinction.

{*) C'est ainsi qu'à la grande surprise 'des operateurs on a reconnu que la rétine, si déilcale pour la lumière, jouissait d'une autre espèce d'insensibilité. Elle peut subir sans douleur des tiraillements et des déchirements.

POLARISATION RBGTILIGNE 385

On peut arriver à la même conclusion , en partant du dichroïsme (§203). Supposons le cristal taillé en parallélipipède rectangle (fig* i ao), dont deux faces ÂBCD, EFGH soient perpendiculaires à Taxe. On admettra que la diversité des deux teintes obtenues avec la loupe dichroscopique à travers les faces latérales tient à la diversité de direction des deux vibrations propres aux deux rayons , et qu'une même teinte doit, quelles que soient les faces à travers lesquelles onTobserve, répondre à un même sens de vibration. Cela posé, la vibration qui donne, à travers deux faces latérales, le rayon ordinaire, ne peut être dans le plan de polarisation , car elle serait parallèle à Taxe et devrait res^ ter telle dans le rayon indivisé qu'on obtient dans le sens de l'axe, puisque ce rayon ne donne, même après l'action dédoublante de la loupe dichroscopique , que la teinte ordinaire; mais alors elle serait longitudinale « et nous venons d'établir la transversalité des vibrations lumineuses. Si, au contraire, la vibration est perpendiculaire au plan de polarisation, c'est la vibration extraordinaire qui devient longitudinale dans l'axe, et il n'en résulte aucun embarras, puisque le rayon extraordinaire n'existe plus dans cette direction.

On peut donner un troisième tour à cette argumentation en se fondant sur l'extinction du rayon ordinaire dans les tourmalines parallèles à l'axe, et sur l'opacité bien connue que présentent ces tourmalines absorbantes quand elles sont perpendiculaires à l'axe. Si l'on admet la transversalité, l'extinction complète du rayon naturel, transmis dans le sens de l'axe, indique que les vibrations normales k l'axe ne peuvent se propager dans ce cristal, et quand la lumière n'est plus qu'à demi éteinte à travers une lame parallèle, il faut que la vibration éteinte soit encore perpendiculaire à Taxe et, par conséquent, au plan de polarisa lion. Or ce rayon éteint est l'ordinaire *, donc la vibration de ce rayon, et par I. 35

conséquent celle d'un rayon polarisé, est à angle droit sur le plan de polarisation .

g 235. — Gpmmant se propagent les vibnlions transrenales?

La propagation d'un mouyement vibratoire détermine dans les particules du milieu, une série de vitesses et d'éloBgations périodiques qui se représentent par des sinusoïdes. Quand il s'agit de vibrations longitudinales, en acoustique par exemple , les ordonnées caractéristiques se trouvent à jingle droit sur la direction du mouvement. En optique, ces courbes ont bien plus d'a-propos, car elles représentent en grandeur et en direction les vitesses et les élongaiions. Si Ton connaissait l'écart latéral maximum des particules , la courbe des élongations donnerait les positions vraies qu'ont au même instant les particules dépositaires du mouvement. Ses nœuds coïncident avec celles qui sont en train de passer par teur position d'équilibre.

Comment des vibrations transversales passent-elles, sans perdre leur caractère, d'une trancbe à la suivante? Imaginons avec Fresnel (Jig* lai) des trancbes de particules A, B, C, D, Ev9 Ai,B|, Cl, Di, E|,..., etc., et supposons les premières portées a gauche en a, &, c, </,... d'une quan* tité t très-petite et égale pour toutes. Les particules a, &, c. . . situées à gauche deDi s*étant éloignées d'elle l'attireront et les particules e^ f^ g,,,, la repousseront. Si le déplacement est très-peu de chose par rapport à la distance DDi , ces forces attractives et répulsives seront égales deux à deux, et leur résultante entraînera Di vers la gauche. Il en sera de même des autres particules de la deuxième tranche, il suit de là que le mouvement j garde son caractère transversal, et nous pouvons ajouter que, si les tranches sont parallèles et les particules qui reçoivent aussi nombreuses que celles qui donnent, il conserve toute son énergie. Tout serait dit si le déplacement était permanent; mais avec des déplacements

Polarisation rectiligne. 387

përiodiques qui se succèdent iucessamment et dont Vinfluence exige du temps pour se propager, il est visible c[ue le^ sollicitations reçues au même instant par Dj correspondront pour les divers points excitateurs à des phases distinctes de leur mouvement et seront alternativement contradictoires. Bref, il y a lîeU ici de former encore les zones d'Huygliens, et le mouvement transversal transmis à D, sera dû seulement aux particules qui avoisinent D. Nous retrouverions les mêmes théorèmes qu'avec des vibrations longitudinales ; chaque mouvement élémentaire anime exclusivement, tant que Ponde est illimitée, les particules qui lui succèdent dans la direction du rayon.

§ 236. ^ Principe des couples inséparables.

L'explication des phénomènes de polarisation qui dérivent de la réflexion et de la réfraction repose sur le calcul général des intensités de la lumière réfléchie et réfractée. Au point de vue ondulatoire, ces deux phénomènes insépa* râbles consistent dans le partage d'un mouvement primitivement possédé par certaines particules^ entre deux nouvelles séries de particules empruntées à deux milieux différents -, maïs il s'agit de mouvements vibratoires, et au temps de Frestiel la mécanique rationnelle n'offrait pas assez de ressources pour résoudre ce problème difficile. Dans les cas les plus simpleSj il contient deux inconnues, et le principe des forces vives lui était seul applicable (*). Fresnel s'est tiré de ce pas difficile en posant d'autorité, et par suite d'une prescience intuitive, née d'une profonde méditation du sujet, un deuxième principe, qu'on peut appeler prin-

(*) Toutefois il est des géomètres qui ont contesté la légitimité de ce principe lui-même, attendu que , l'oude longitudinale n'étant pas nulle, il n^est pas impossible que dans les réfractions , les réflexions , etc., une partie du mouvement transversal ne devienne longitudinal et réciproquement : ce qui modifierait la force vive propre à Tun de ces mouvements.

cipe des couples inséparables : il consiste à admeitrc que Télreiute à Taidc de laquelle s'opère le partage du mouvement, semblable à celle qui produit la transmission du mouvement vibratoire au sein d'un milieu homogène, s'isole entre des groupes binaires de particules ; les mêmes motifs qui empêchaient alors Texpansion latérale s'opposant à ce que les particules de droite et de gauche prennent part à ce conflit. Ainsi , quoique la particule cesse de transmettre à la suivante tout son mouvement , cependant ce dont elle se dépouille est communiqué exclusivement à la suivante, tout comme si le milieu ne changeait pas; mais alors ces deux particules, dont Tune possède initialenient le mouvement incident et conserve le mouvement réfléchi , tandis que Tautre, immobile au début, reste animée après le choc du mouvement réfracté, doivent, par suite d'un enlrainement que la première exerce sur la seconde, garder sensiblement la même position relative et rester unies (* ) comme le font les particules contiguës d'un milieu homogène quand un mouvement vibratoire y circule.

§ 237. — Division dn problème de la réflexion.

Pour aller du simple au composé, nous considérerons sept cas. La lumière pourra être polarisée : i" dans le premier azimut , a® dans le deuxième , 3^ dans un azimut quelconque ; 4^ <^lle pourra être naturelle ; 5*^ la réflexion sera totale, et enfin elle aura lieu 6^ sur un métal , 7^ sur un cristal. Quelques développements vont nous montrer en quoi consiste la simplicité plus ou moins grande de ces divers cas.

En thèse générale, on doit s'attendre à trouver dans cha-

( *) Cela tient au fond k 9e que les excursions sont peu de chose vis-à-vis des longueurs d'ondes, de sorte que l'écart maximum étant réparti daoK toute la deipi-onde , les particules voisines ne doivent recevoir qu'un déplacement relatif insignifiant.

POLARISATION RKGTILIGNE 38()

cuu des rayons engendrés par le rayon incident un triple changement : celui de l'amplitude, de la phase et du plan de polarisation^ ce qui porte h six ou à neuf le nombre des inconnues, six quand la réflexion s'opère sur un milieu homogène et neuf quand elle a lieu sur un cristal biréfringent. Les cas simples sont ceux qui n'offrent pfis toutes ces altérations^ celle d'amplitude ayant semblé d'abord inévitable, les cas les plus simples furent ceux qui nVn offrent pas d'autre, et où le problème n'a que deux inconnues, à savoir les amplitudes des rayons réfléchi et réfracté. En faisant appel aux considérations de symétrie, il est facile de voir si le plan de polarisation doit ou ne doit pas changer ; mais nous n'avons aucun moyen pour prévoir que la phase ne sera pas altérée. Fresnel avait cru pouvoir conclure de l'ensemble des faits qu'elle ne l'était pas quand le miroir était formé par nos verres et , en général , par les substances dont l'indice est moindre que 1,7. Les progrès de la science ont montré qu'il n'en était pas ainsi. Le changement de phase est le cas général et pour ainsi dire universel, et c'est à grand'pcine si l'on trouve deux substances (la ménilite et l'alun) qui réalisent les conditions simples admises par Fresnel. L'existence de ce» deux substances limites est pi'écieuse, car sansellesladivisionquenous venons d'établir etla marche progressive que nous allons suivre seraient un pur artifice de méthode, étranger à la réalité des faits. Deux mots encore pour compléter cette appréciation gériéralg. Doit-on regretter que Fresnel^ égaré par des méthodes expérimentales peu sensibles, ait attribué sans fondement une certaine généralité à des faits exceptionnels, à des cas particuliers très-rares ? Non , sans doute. Il est souvent utile de ne voir au début que le gros des phénomènes. Si l'on a considéré comme une circonstance heureuse que Kepler n'ait pas connu tous ces désordres que les perfectionnements de l'astronomie ont fait découvrir dans la marche des astres, on doit s'applaudir que Fresnel ail rencontré d*abord, mcmo

3 go CHAprnuB ix.

là où nous ne Vy retrouvons. plus, la réflexion sans perte de phase; qu'il ait ensuite rattaché à ce cas simple, par un éclair de génie, la réflexion avec perte de phase, due aux réflexions totale», et se soit préparé par cette marche progressive aux complications de la polarisation métallique.

§ 238. — Réflexion. — Réfraction de la lumière pdariaée dans la premier aximnt.

Soit une onde plane incidente délimitée par deux plans parallèles indéfinis normaux au plan d'incidence {Jig» 1 22), chaque ébranlement élémentaire quitte, à l'instant du choc, le prisme d'éther qu'il anime, pour passer dans deux autres prismes, pris, Tun dans la direction du rayon réfléchi et formé du premier éther, l'autre dans la direction du rayon réfracté et formé du deuxième éther. Ce partage est indépendant de l'énergie de l'ébranlement élémentaire^ il est le même pour les chocs énergiques qui répondent aux plus grandes vitesses oscillatoires et pour les chocs insignifiants qui ont lieu aux instants des plus grandes élongations de la particule incidente. Ainsi , les trois vibrations seront proportionnelles à ces facteurs extérieurs, auxquels nous avons donné le nom d'amplitudes. I41 figure représente l'onde incidente à une époque antérieure et les deux ondes qu'elle engendre à une époque postérieure au choc, alors que la propagation de la lumière les a portées dans des tranches d'éther éloignées; mais à Tinstant du choc les deux premiers mouvements résident dans la première des deux particules inséparables de Fresnel et le dernier dans la deuxième. C'est pour cet instant que le calcul est établi.

Le tableau suivant caractérise (au besoin par des proportionnelles ) les masses d'éther qui prennent part au choc.

POLARISATION ABCTILIONE.

Densité d'après

Les trois y=

Masse en

^*~~ V ";* omettant les Ampli- „ dimension. J ' ,,„„„„ ,J, •'•'«•"'•■

d.v.l<m.. •'''*yP«- commun..

thèse de e

constant.

[ sin I

I ABcosf sinV cosisinr r cos/sinr.

{ sin /

j ABcost sin'/- cos/sinr p p'cos/sinr.

Isinr ABcosr sin'i cosrsini t T'cosrsini. La conservation de la force vive donne la première équation

cosf sin r = p'cosi sin r-f- r'cosrsin/.

La première des particules du groupe inséparable subit les deux vitesses i et p, et la deuxième la seule vitesse r. Le principe de Fresnel donne donc pour deuxième équation

et l'on obtient

' Onde incidente.

Onde réfléchie.

Onde réfractée.

sin(i — r) '^■"■^iin(i-hr)'

2COSf smr

^""^ ^~sin(i.+-r)

T est toujours positif ; quanta p, sil'on a r>r, il est négatif. Il

y a donc perte de - et nous retrouvons ce résultat coiinu de la

réflexion de — sur 4- . Nous ne voulions pas prévoir de chan^ gements de phase, et cependant notre calcul se trouve com» pètent pour indiquer une altération de ce genre dans le cas

très-particulier où elle vaut -• Quand la première sub^

stance est la moins réfringente, pi est positif et égal à — p. Il n'y a pas de relard, du moins jusqu'à la réflexion totale ; car nous verrons qu'à partir de Pangle limite, il se développe, entre le rayon incident et le réfléchi, une anomalie graduelle. On a également, dans ce second cas ,

et par suite

T, = 1 p , d'où TTi = 1 — p*,

deuxième des relations citées dans la note du § 77.

Les intensités des trois rayons sont i, jo* et i — p*, ou mieux cosisinr, cosisinrp', cos/sinr(i — p*). On peut encore prendre Tintensité du rayon réfracté sous la forme r'cosrsini; mais, comme dans les impressions visuelles les forces vives animent toujours un même éther, celui de l'humeur vitrée, il vaut mieux ne pas introduire dans l'évaluation des intensités la double diversité de vitesse et de masse et tout ramener aux vitesses. Alors on aura, pour déterminer l'intensité y] du rayon qui|, pris dans le premier milieu, équivaudrait au rayon réfracté, l'équation

. sin / ces r

rî = T»

sm r ces i

Remplaçant r par sa*valeur, on retrouve i — p*. Dorénavant nous nous en tiendrons au premier mode d'évaluation de rintensité du rayon réfracté. C'est en l'adoptant et en prenant par conséquent^i pour le coefficient r de transmission, que la troisième relation de la première note du § 77 se trouve vraie.

Discussion, i = o donne x= -; mais en différentiant,

il vient

l'intensité de la lumière réfléchie normalement est donc

POLARISATION RECTILIGNE. ig3

Pour le verre (n = i ,5) , on a

1 = 0,04; pour n = 2, on aurait o,ii', au contacl du verre et de

I = o,oo33.

Ce chifTre est la fois moindre que o,o4. On saura que ces résultats numériques restent vrais pour la lumière naturelle, et nous devons considérer comme expliquée la pâleur des anneaux formés, sous Fincidence normale, par une goutte d eau mise entre deux verres bombés (§ 69).

i=go^ donne p= — i ; à cçtte limite la réflexion est totale et rien ne se réfracte. Pour l'angle brewstérien

I =r COS' 2 1 = ( 1 •

On trouve o,i48, quand n =; i,5.

La dérivée de l'expression -: — ; L réduite aux fac-

tcurs essentiels , prend d'ailleurs sans peine la forme

(cosv— cos^i)

ncosr

ce qui montre que la lumière réfléchie croît continûment depuis « = o jusqu'à / = 90 , le contraire ayant nécessairement lieu pour la lumière réfractée.

§ 239. — Réflexion. — Réfiraction de la lumière polarisée dans le deuxième azimut.

Tout à l'heure, quelle que fût l'incidence, la vibration se présentait toujours de la même manière au plan de démarcation. Ici il n'en sera plus de même, et c'est ce qui rend ce cas plus compliqué. Toutefois le précédent tableau et la première équation restent applicables. La différence n' apparaît qu'ti propos de la deuxième équation et de l'usage qu'il faut faire du principe de Fresnel. L'inséparabililé ne

doit êire exigée, suivant lui, que parallèlement ('*') à la surface. Or les composantes horizont-dles des deux premières vitesses sont cosi et p cosi, celle de la vitesse réfractée est r cosr*, on a donc pour deuxième équation

(p -¥■ i)cos/ ^Tcosr.

En résolvant on trouve

, sinicosf — sinrcosr

smicosi +suiroo6r 2 cos I sin r

' sin f cos / + sin r cos r

Introduisons les tangentes à la place des sinus et des cosinus, et chassons les doubles dénominateurs, il viendra

tang / -H tang / tang^ r — tang r — tang r tang^ i

^ tang / -#- tang' î tang» r -f- tang r -4- tang r tang» i

(tangi — tangf) (i — tang/tangr)

"~ (tangi -4- tangr) (i -f- tang/ tang r)

tangi — tangr i -H tang I tangr

tang/^- tangr

1 — tangi tangr

ce qui conduit à la formtde élégante

tang(i--r) ^ tang(/-+-r)'

On trouverait encore j comme précédemment, les trois relations

p,=— p, TT, = 1— p%

et en adoptant la réduction à un même milieu^ sans laquelle cette troisième relation n'aurait pas lien,

I==p»-hT'.

{*) Il semble en effet qu*à la limite d'un corps, les mouTements obliques sur la surrace amèneraient forcément des dilatations et des condensations fl seraient enUchés de longitudinal ité.

POLARISATION RBGTIUGNE. 396

Ainsi, vraies pour ces deux premiers cas, ces équations le seront encore (§ 260) , ainsi qu on Ta supposé (§ 77) pour la lumière naturelle.

Discussion, — Loi de Brtwster,

' Quand i^r^p est négatif et reste tel jusqu'à i-hrrsrgo qui le rend nul (c'est l'angle brewstérien) (§ 185) \ au delà, le dénominateur est négatif et p positif. On s'en rend compte aisément en figurant les trois vibrations et remarquant que quand l'est petit, le rayon incident donne une grande composante horizontale qui doit être diminuée par la vibration réfléchie, pour devenir égale à la composante de la vibration réfractée. Quand / grandit, la première composante horizontale décroit et peut décroître jusqu'à zéro , tandis que celle du rayon réfracté reste toujours plus grande que zéro. 11 y aura donc un angle intermédiaire pour lequel ces deux composantes seront égales sans le concours de celle du rayon réfléchi qui sera dès lors nul. Au delà, cette dernière, pour renforcer le rayon incident, change de sens et se trouve directe; elle reste telle jusqu'à 1=90° (*).

Quand le deuxième milieu est le moins réfringent , de-t puis /= o jusqu'à /-t-r = 9o, la vibration réfléchie est directe et s'ajoute à celle de l'incident. On ne s'en étonnera pas, car dans ce cas (rappelons-nous les billes) r surpasse p. Au delà, la vibration réfléchie devient inverse jusqu'à l'angle limite; passé cet angle, on entre dans un casque nous réservons.

Il faut^ en général , discuter les amplitudes et quant au signe et quant à la grandeur absolue ; on encore il faut di»^

( * ) Pour juger si la yibration réfléchie est directe ou inverse, il faut ramener le rayon réfléchi sur l'incident {Jtg. i33). Ainsi quand i = 90, il faut le faire tourner de 180 degrés et une vibration directe a toutes les allures d'une vibration inverse , puisque si elle est dirigée de haut en bas dans Tincident » elle le sera de bas en haut dans le réfléchi.

396 CUAPITAE 1\.

eu ter et leur première et leur seconde puissance : cette dernière discussion est celle de l'intensité, la première est celle de la pbase. Grâce à elle nous voyons, par exemple, qu ici , entre des rayons réfléchis sous des incidences a/ifébrewstériennes et ultrabrewstériennes ^ il s'introduit une

différence de route égale à — De telles pertes se manifestent

habituellement par des inversions de franges \ nous reviendrons bientôt sur celle-ci (§363).

Les hypothèses « = 0,1= 90** donnent encore

et si Ton forme la dérivée de l'expression — ^-7-: ,1 on

^ Ung'(t -H r)

reconnaît (*) quelle est négative jusqu'à 1-1-^ = 90^, et positive au delà ; de sorte que l'intensité diminue jusqu'à l'incidence brewstérienne où elle est nulle, et grandit ensuite avec continuité. On voit même qu'elle est toujours moindre, à égale incidence, que dans le premier azimut. La lumière réfractée étant complémentaire de la lumière incidente, suit, mais inversement, la même variation.

§ 240. — Réflexion. — Réfiraction de la lumière polarisée dans on azimut quelconque. — Principe fondamental.

Puisque la lumière est du mouvement , les procédés de la mécanique sont l^itimement acquis à l'optique. Nous pouvons donc décomposer la vibration située hors du plan d^incidence, en deux autres comprises dans les azimuts principaux, et ramener ainsi ce cas aux précédents. Inversement, nous pourrons reconstruire, avec deux vibrations situées dans des plans distincts , une vibration résultante

( * ) Pour simpliGer cette dérivée on osera des deux formules Hîn (i-»-r)co»(i-»-r) — 8in(i — r)cos(i--r) = 2 8inrco3r(cos"« — sin'i), sin(iH-r)cos(i-hr)-+-8in(e— r)cos(i — r)= 3sinj cosi (cos' r — sin*/).

POLARISATIO:^ RfiCTILIGNE. 397

polarisée, pourvu toutefois qu'elles aient les mêmes nœuds; car avec des noeuds superposés, les vitesses ou les élongations apportées en un même point par les deux mouvements vibratoires ont un rapport constant; et les parallélogram* mes qui construisent, soit les vitesses totales, soit les posi^ tions résultantes, sont semblables et ont des diagonales coïncidentes. Dans la Jig. 1 24, on a, pour plus de clarté et conformément à une remarque ancienne, remplacé les vitesses et les excursions qui atteignent successivement une même particule par les vitesses et les excursions subies au même instant par les particules qui, dans leur état de repos, marquent la route commune aux deux rayons. Si nous considérons les trois courbes comme étant celles des élongations, on sait qu on aurait celles des vitesses en accroissant dans un rapport constant les ordonnées des courbes , et en les reculant d*un quart d'ondulation , ainsi que le représente pour le mouvement résultant la courbe ponctuée MN.

Or cette coïncidence des nœuds se présentera toutes les fois que les deux vibrations , issues d'une vibration primordiale unique, n'auront éprouvé, avant de se retrouver (outre les altérations d'amplitude) que des retards égaux à

un multiple exact de -; mais il convient de remarquer, dès

à présent, que F azimut 5 de la vibration recomposée aura deux positions distinctes, suivant que le multiple n sera pair ou impair. En effet, si a et a' sont les amplitudes des deux rayons, et si Tangle s est compté avec la vibration a ifig' 1^5), on a dans un cas

tangf =

et dans l'autre

tangj = -

c'est-à-dire généi

ralement

a' ung.=-

ces 71 ir

Comme les mêmes angles séparent et les vibrations et leurs plans de polarisation {fig> 1 26 ) , on peut voir encore dans s Tangle compris entre les plans de polarisation du rayon composant a et du rayon résultant. Quant à Tamplitude A de ce rayon résultant , si Ton continue de supposer rectangulaires les deux vibrations données, elle vaut visiblement \/fl*-f-a'*. Ces deux formules

tang j = — cos /itr et A = ^a* 4- a!*

qui résolvent le problème de la composition de deux mouvements vibratoires situés dans des plans rectangulaires, dans le cas où il y a coïncidence de leurs nœuds , sont fécondes et nous y reviendrons fréquemment; mais nous ne pouvons nous empêcher de remarquer ici que Téquation

tangf =db — n

ramènera à la mesure d'un élément très-accessible, à savoir l'angle qui sépare deux plans de polarisation , la mesure photométrique du rapport des intensités de deux rayons.

Remarquons encore que la démonstration théorique de la loi de Malus ressortira d'une décomposition du rayon polarisé incident, opérée, dans la section principale du cristal biréfringeitt et dans le plan rectangulaire, et provoquée par des motifs délicats qui seront étudiés plus loin (chapitre XXY).

§ 241. — Rotation du plan de polarisation par réflozion.

Soit a l'angle du plan de polarisation et du plan d'incidence, ou, ce qui revient au même, l'angle de la vibration donnée et delà première direction (fig*^ 127). Si i est l'amplitude de cette vibration , ses composantes principales seront cosa et sina ; la première, après réflexion, vaudra

sîn(/ — r)

— ces a -T— ^ -[ ,

sm(/ -h r)

t't la deuxième

tang ( I -^ r)

— sin a — 2J £,

lang(/-^r)

POLARISATION REGTILIGNK. igg

L'angle «' de la résultante avec la première direction , est donné par

tang (f — r)

sma-

tanff (i-hr) cos ( /-+- r)

tang a' = ^;. / = Ung a ji-^-

^ sinfi — r) ^ cos (i—r)

cosa-r— r: f ^ ^

sin ( I -i- r)

Les cercles de la figure sont normaux aux rayons incidents et réfléchis ; on les a supposés rabattus sur un même plan avec coïncidence des deuxièmes directions. Dans le cercle annexé au rayon incident la partie ombrée est antérieure. Discussion. — Quand 1 = 0, les deux vibrations sont réduites dans le même rapport. La vibration résultante B&,

quoique retournée et affectée de la perle -X, n'a pas changé

de direction. Pour tout autre angle, la deuxième vibration est plus altérée que la première.

Quand i grandit, cos (<-+-/*) est positif et moindre que cos(i — r), d*où il suit que tang(x' est de même signe et plus petit que tang a. D'ailleurs, en formant la dérivée de

— y-, li on trouve que celte fraction décroit eraduelle^

cos (1 — r) ^ ^

ment, il en résulte que le plan de polarisation du rayon réfléchi se rapproche du plan d'incidence. Il l'atteint pour i-^ r=:z 90** ; car alors a' =i o, quel que soit a , et le rayon est entièrement polarisé dans le premier azimut. Quand i-|-r=90, il passe de l'autre côté 5 car a' devient négatif et la vibration résultante quitte le quadrant Bh pour passer dans le quadrant Bi|.Pour / = 90, langa'= — tanga, et l'azimut redevient égal , mais seulement en valeur absolue, à celui du rayon incident.

Quand la substance sur laquelle la réflexion a lieu est la moins râringente , jusqu'à i -h r = 90°, la vibration résultante du rayon réfléchi reste comprise dans le quadrant homologue de celui où était la vibration incidente, c'està-dire, pour notre figure rabattue, dans le quadrant supé-

4oo CHAPITRE IX

rieur de droite : au delà de Tangle brewstérien , elle tombe dans le quadrant supérieur de gauche^ c'est-à-dire que le plan de polarisation passe encore de Tautre côté du plan d'incidence. •

Quant à rintensité, elle vaut visiblement

, sin^fi — r) , . tan£;'(< — '')

I = cos' a — -f: { -h sin» a — ^^ (.

sin»(i -l-r) tang»(i + r)

Si le rayon subit plusieurs réflexions, le plan de polarisation tourne chaque fois d'une quantité facile à trouver, quand on connaît et la position des sections principales des miroirs successifs et les angles d'incidence. Si, par exemple, ces sections sont parallèles et les incidences égales, s'il s'agit d'un rayon ballotté entre deux miroirs parallèles, on a la formule

tang Un = tang a

[cos(fM-r)"j* cos(/ — r)J '

Quand on sera dans cette période d'incidences ultrabrevfstériennes qui donnent — p . négatif , le plan de polarisation est porté à chaque nouvelle réflexion d'un c6té différent de la section principale commune aux diverses réflexions. Comme les puissances d'une fraction convergent vers zéro, il suit que quel que soiti, après un grand nombre de réflexions , le rayon sera sensiblement polarisé dans le premier azimut.

§ 242. — Vérification des formules de réflexion.

— Détermination de n,

La formule

, cos(i-f-r) lang a = tang a — )- \

étant une conséquence des formules des (§§ 238 et ^39), ces dernières seront vérifîées indirectement par les expériences qui vérifieront celle-ci. Comme la détermination de 1^ azimut d'un plan de polarisation est en optique chose plus aisée qu'une mesure d'intensité, on conçoit que Frcsncl se

POLARISATION RECTILI6NE. 40 1

soit placé sur ce terrain favorable pour confirmer sa théorie de la polarisation. Les mesures de ce genre, effectuées par lui et par d'autres physiciens , s'accordent avec les résultats du calcul. Aujourd'hui le progrès des méthodes expérimentales a montré que si Ton voulait avoir une confrontation irréprochable, sans s'asservir aux précautions pénibles prises par Sçebeck (§ 185) , il fallait déterminer l'indice n du milieu, non pas d'après la déviation d'un prisme , mais par une des nombreuses observations qu'on veut vérifier. Soit 4^ degrés Tazimut du rayon incident, a! celui que l'expérience accorde au rayon réfléchi ; on a

,^cos(i-f-r) 1 — tangitangr

tanga' = tang45 — f-. ( = , ,'., ^ y

^ ^^ cos{i — r) i-f- tang{ tang/-

tong/tangr=L^^^=tang(45~a'),

d'où

tong(45 — aM tang r = — s-LÎ — -, ^ -,

connaissant r, on aura l'indice par la relation

• sin /

8În/'

Cet indice, qui convient aux formules , s'est trouvé plus petit que celui fourni par la déviation d'un prisme ; quant à la manière d'obtenir « , nous renvoyons à l'appareil de M. Jamin.

Les formules précédentes conviennent également à la chaleur, et elles peuvent s'y vérifier d'une manière indépendante. Polarisez à l'aide d'un spath un faisceau solaire, tour à tour dans chacun des azimuts principaux d^un miroir de verre installé sur la plate-forme de l'appareil de M elloni , et recevez-le sur la pile thermo-électrique, tantôt après réflexion, tantôt directement. Les déviations galvanométriques converties en intensités donneront les intensités

4o2 CHAPITRfi IX.

vraies, ei il suffira de les comparer aux valeurs ihëoriques de p* des §§ 238, 239. MM. de la ProvosUye et Desains, qui ont las promiers tenté ces confrontations , les ont trouvées exirêraement salisfaisauies.

§ 243. — Rotation dn plan de polarisation par réfraction. En suivant la marche précédente , on trouve aisément

^ sin I cosr + sin r eos /

tang oT = tang a -= — : r-, — ; *

• ^ sinicos<-4-smrcoisr

et par des transformations faciles

tança" = tanga jr-, -^

^ ^ cos(t — /-J

ou encore

cola" = coltt cos (/ — r).

Sans recourir à la dérivée, on sait que i — r grandit avec /, et que dès lors cos (i — r) diminue, a'' est donc plus grand que a et le plan de polarisation s'éloigne progressivement du plan d'incidence, sans pouvoir aller au delà de

rang a" = n tanga.

Il n'y a rien de particulier quand n < i.

§ 244. — Les plans de polarisation des rayons réfléchis et réfractés, rendus rectangnlaires.

Les plans de polarisation des rayons réfléchis et réfractés font entre eux Tangle a" — a'. Cet angle n'est généralement pas droit, mais il le devient quand la relation

cos(/-f- r) ^^ cos*(i — r)

est satisfaite. Quand on se donne i et « p / étant ultrabrewstérieup on peut toujours trouver une valeur de a qui rende ces deux plans rectangulaires. Ainsi pour i = 60** et n sr i,5ai on trouve

POLMilSATION RBCTILIGNK. 4o3

Des drconstances expérimentales que nous développerons plus loin rendent utile de faire oe éalcal pour les deux rayons qui, dans une lame mince >, engendrent les anneaux réfléchis. Soit n* rindice du milieu qui touche la seconde surface de la lame et /'

Tangje corre^ondant à /*, angle donné, on le sait, par -r-7 =~ •

Soient enfin cl" et a*^ les aadmnts du plan de polarisation du deuxième rayon, quaad il a subi réflexion et transmission > on a visiblement

- „cos(i'-4-r)

tanga'^=: tang a* — j- :

° ^ cos(/ — r)

I cos («■'-+-?)

= '""«"cos'(.-r) cos{r~.-')'

et la rectangularité des deux plans dépend de l'équation

, 00s (/ — r) cos (i' -i- r) ^ ^ cos»(« — r)cos(r— 1")

En prenant A =s i,336, A' = i,5a> et 1 c=:6o% on trouve pour l 'asimut du rayon incident, qui met à angle droit les plans de polarisation des deux rayons interférents,

a = 76p43'îi5\

En effet le premier plan, porté de l'autre côté du plan d*incidence, a tourné de

et le deuxième, à trois reprises, de

la différence de œs deux rotations vaut bien 90 degrés.

4^4 tSlIAPITRË IX.

ARTICLE IL