J-OD V
Enfm , pour arriver à nos intégrales,
Çdp cos- «^) l^*' sin - t'S il suffit de poser
et , par suite ,
d'où
dv = — = </u
pt
f <3^pcos-p'= — = 1 rfiicosu»= — F-i/- = -
donc , entre les limites — 00 et 4- « , les intégrales proposées valent l'unité.
NOTE B (page 17a).
Snr les séries de Cauchy.
Nous avons vu que Cauchy avait donné pour calculer, non plus les accroissements incessants des intégrales définies dus à un faible accroissement de la limite supérieure, mais bien les valeurs des intégrales comptées depuis zéro , les formules
dv cos - f* = ' -i- M sin - /n' — N cos - m*.
Jf rfpsin-p' = i — Mcos-zw'— Nsin-/w*,
qui permettent ainsi de calculer d'une manière indépendante telle intégrale définie qu'il plaît. Nous nous proposons dans cette Note de donner quelques exemples de ces calculs et de montrer par là à quel point , quand m est grand , ils sont plus expéditifs que ceux de Fresnel auxquels sera consacrée la Note suivante.
On a
en laissant de côté m qui variera d'un calcul à l'autre , il reste des coeflBcients purement numériques, j'ai calculé les 14 premiers, et j'ai trouvé
M = o,3i83ii-o,o9676jl -1-0,34311^5 -3,44 ^3 + 68-iry - 22o5 -Î57 -h 108908 -i-T - . . .,
N = o,ioi32^- 0,15399^, +0,98295^ -14,2^, 4-367,9^.-14879^^-866660^-....
Ces séries ne conviennent pas quand m est petit : ainsi pour m = i on devra s'arrêter au terme — 0,09676 , et l'on serait simplement sûr d'avoir, dans le calcul des intégrales définies , une erreur moindre que 0,0971 ce qui est insuffisant; mais dès que m atteint 2 et surtout le dépasse , elles sont d'une étonnante rapidité.
NOTBS. 5ai
Ainsi , soit m =? 5, on aura
M = ^0,31631 — ^0,09676 = 0,06366 — 0,00003, N = — ro,ioi3a + T5 0, 15399 = 0,00081 —0,00000a.
On pourra donc ne prendre que deux termes dans M et un seul dans N. On a d'ailleurs
d'où
CCS- iw* = o sin - »i* = I , a a
donc enfin l'on aura
[ cos-m*= o,5 + o,o6363=o, 56363, o *
f sin- m' = 0,5 — 0,00081 = 0,49919. o ^
Pour m = 4 = 3 le calcul n'est ni moins expéditif ni moins exact. Pour m = a les termes atteignent encore, avant de croître, un degré de faiblesse suffisant, ainsi qu'on va en juger. On a en effet
M = o,i59a — o,oo3oa4 +0,00067 — 0,0004a +o,ooo5i9, N = o,oia77 — o,ooiao3 4-0,00048 — o,ooo435 + 0,00070a.
Puisque les termes cessent de décroître à partir des cinquièmes, il faut s'arrêter aux quatrièmes et de préférence au quatrième de M qui est le plus petit des deux. M vaudra donc
O) 1^99 — e, 00344 = o, i565 et
N = o,ot3i5 — o,ooiao = 0,01 195.
Comme d'ailleurs m = a donne
- j;' = 4 - et ces -r <>'= I , sm - f'* = o , a a a a
il vient
XW!pcos-j'* = 0,5 — 0,01195 = o,488o5,
f dps\n-<^= 0,5— o,i565 = o,3435, o *
522 non».
et ces valeurs, qui diffèrent à peine de celles de Fresnel, sont sans doute plus exactes , puisque Terreur possible y est moindre que
NOTE C (page l'j^).
Sur les calculs niiméiiq[iies réclamés en diiEraction par les Térifications expérimentales.
On doit distinguer six sortes de calculs : i"* celui des valeurs que prennent entre certaines limites o et f^, , o et p, , . . . , les intégrales
X</* cos- •»*, i dvdin- p*.
i"*. La recherche des valeurs que reçoit pour ces limites , prises par Fresnel en progression arithmétique et au nombre de S5, l'expression
qui est une proportionnelle à Tintensité pour certains phénomènes.
3*". Ce second tableau faisant connaître les valeurs c, de p voisines de celles qui donneraient une intensité maximum ou minimum, il faut, par la méthode des maxima, trouver ce qu'il faut ajouter à v^ ou en retrancher pour obtenir une intensifié extrême.
f". Une fois ces valeurs connues, on calcule pour elles, en leur étendant ainsi le «ieuxième calcnl , l'expression
et l'on a le tableau des maxima et des minime. Ce tableau comprend sept maxima et sept minima.
5"". n faut dédaire de ces 14 valeurs de p la position que, dans une expérience de franges extérieures, la théorie assigne aux franges.
6". Enfin , quand il ne s'agit plus de franges extérieures , et qu'une des limites de Vint^gralc cesse d'être zéro , il faut organiser le calcul
MTW. 5^3
analogue de la position théorique doB ffMif es , si le pMoomène en comporte.
§ i . Premier calcul. — Les 55 valeurs de v croissent par dixième et atteignent ainsi p = 5,5. Supposons que connaissant les intégrales pour (', = 1 ,8 on veuille les avoir pour la deuxième limite c, z= i ,9.
i*". On pourra, d'après la méthode générale de sommation, décomposer rintervalle compris entre i, S et 1,9 en dix parties égales et
multiplier l'intervalle commun Ap = — par la somme des dix valeurs
de Tordonnée de manière à avoir
C08(9CJ°. 1,8 )^-cos9o^I,8I
rfrcos-P-zzr — I -|-cos90^I,8a 4- .. .4-00890°. 1,88
\H-eo890^i,(
On aura donc à chercher le nombre de degrés sur lequel porte chaque cosinus, puis les cosinus naturels corree|)ondants (il existe des tables qui les donnent de minute en minute). Ces angles allant de lè^t^fi à 3!i 1^,49 tombent tous dans le quatrième quadrant et ont des cosinus positifs; on en fera dès lors la sonune et on en prendra le centième. Je trouve ainsi, pour Tintégrale définie, 0,05695. Un calcul analogue, également abrégé par l'emploi d'une table de sinus naturels, m'a donné pour la seconde intégrale >- 0,07913. En ajoutant ou retranchant ces valeurs aux valeurs déjà calculées o , 3342 , o , 4509 des intégrales
f //ccos-«'% I rfpsm-p%
j'obtiens les dix-neuvièmes termes du premier tableau, à savoir
^/('cos-«'*= 0,393*2, I r/Msin-*''^ 0,3718. ^ t/o ^^
Autre manière de faire le premier ca/!r{£/.— Simpson a donné pour les quadratures une méthode qui procure ordinairement plus d'exactitude que si l'on prenait des ordonnées plus rapprochées d'un tiers. Sa règle , qui suppose uniquement l'intervalle divisé en un nombre pair de parties égales, consiste à prendre le tiers du produit qi^on obtient en muitipliant , par ^intervalle constant ^v compris entre les ordonnées de la courbe , la somme des ordonnées extrêmes augmentée de deux fois celle des autres ordonnées {le rang inijmry et de quatre fois
celles clés ordonnées de rang pair. Ici cette règle donne
dtf C08- P* = r • X
[coS9o^I,8Vco89o^ 1,9* |
-l-a(co8go.i,82 -4-co8 9o*».i,84 4-. . .-Kos 90.1,88 ) h + 4(cos<)0.i,«i +C08 9o.i,83 -h.. .-1-00890.1,89 )J
on effectuant les calculs je trouve
rt<'C08-p' = 0,05796, f rfi'Sin-<^= —0,07716. 1,8 a '^' J ifi *
Troisième manière de faire le premier calcul, — Au lieu de procéder par quadratures , Fresnel avait recours à une formule approxiniative. n a donné deux de ces formules. L'une, moins exacte, mais qui cependant nous sera utile dans une autre circonstance, néglige dans les lignes trigonométriques le carré de la différence t entre les deux
limites, c*estrà-dire ici ( — \ = L'autre ne néglige que le carré
de -j c'est-à-dire - — • C'est par elle qu'il a, en réalité, obtenu les 1 10
valeurs numériques de son premier tableau. Démontrons-les tour à tour. Première formule de Fresnel, — En posant
on a
' dçcoB-v^= I dyjcos-(i-\-yjy= I //ucos-(i'-h a« « + «*)•
i ^ Jo ^ Jo ^
Si u est petit, on pourra négliger y% ce qui revient à faire une sommation un peu moins étendue et à se borner à l'intégrale intégrable
J[ rftiCOS-(i*-|-a«ti) o *
= / c/ucos-i'cosTriu— / //usin-i'sinTriu
' ir - . I . w ^
= —rcos -rsmTTiv-h — -.sm -l'cos^iu-l-C
:;i8in^(i'-4-aiu)-hC;
e n passant aux limites u = o, v = /, on trouve
ROTBS. S 25
Dans le calcul numérique nous aurons 1 = 1,8, / = o,i, 7r = 3,i4i6, ou bien = i8o (
les angles -i(i+2/) ei-P tombent dans le quatrième quadrant et
ont des sinus négatifs ; en en tenant compte, on trouve, tout calcul fait,
/ rt<'COS-(^=4-o,o5i7.
On aurait de même
f dpsm'-(^= f rfwsin-(irhv)*= / d\jsïn-{p'^^i\t)
I r w ., . . . îT -T
= — . — cos-ilz + ari-hcos-i' U
ÎTI L ^ ^ J
et en passant aux chiffres
Quatrième manière de faire le calcul. — Deuxième formule de FresneL — Désignons par 2/(*)rintervalle choisi, à savoir ici — » et nous aurons, en posant
«> = I -h f + V, dv= rfv,
' f/pcos-<'*= f ^/ucos-(/4-/-|-v)',
dans laquelle w reste compris entre — / et -h/. Négligeons encore ^S" et il viendra
r r/ucOS-r(i-|-0'+îï(«-h/)vl rfyC0S-(lH-/)'C0S7r(i-h/)u
flfvsin-(i-|-/)*sin7r(i-h/)v
[C0S-(i^-r)*sin7r(f-h/)u"1 + sin -(i + 0'co8^('-H')^J = ;;]7Îir7)8>'»î[(' + ')"+2(/ + 0^] + C;
(*) Dans le Mémoire de Fresnel on a , par erreur, continué d'appeler r la limite.
pour ■)=+!, il vient
i sinî(/.+4// + 3/',+C
et poar u^— /
" -sin-(/'-/») + (;
la différence donne
En dirigeant les calculs de la même manière, on trouverait
iH-i ^ , r-co8j(f-h0 ('-hSrH
J' fiv sin - «'' = —T. T I I
Si nous passons aux chiffres , en restant toujours dans le cas i= i ,S
long,
a/ — — our = — 7 nous trouverons, par un calcul qui n*a rien de bien
r/«'cos-p*= 0,06071, / dipsin- 1^=0,07763. 1,8 » •^1,8 a
Cinquième manière tie faire le premier calcul, — Gmmne nouvelle application des formules de Cauchy, ajoutée à celles contenues dans la note B, voyons si la limite p = i ,8 est encore au nombre de celles pour lesquelles elles donuent une approximation suffisante.
On a
M-n^.ft^. ' 0,09676 , o,343n M-o,3i83i--g ^^^ h-znzi ..,
N =o,ioi3!i:^^ L r^'4...;
en effectuant ces calculs numériques, il vient M = o, 17684 — o,oo5i2 4-0,001730 — o,ooi653 -ho, oo3ii i —... , N =0,01737 — 0,00251 -f-o,ooi53o — o,oo2ii2-ho,oo5i97-h..., et l'on voit qu'il faut s'arrêter au terme 4-o,ooi53o et prendre dans M trois termes et trois aussi dans N, ce qui donne M = 0,17345, N =3 0,01639.
