COS- 1(1-4-2/) = V^I — X

et noas trouverons sans peine

-îTiJ — sin-/*

jr = sm-r(*4-a') = -

y/ (^triJ - sin^/^y-h (^Wv-hcos^i'y.

Exemple de calcul, — Comme application numérique, cherchons le minimum qui avoisine x = i ,9. Nous aurons :

7ri = 7r.i,9= 342 degrés, pi'= 324^*54', ir/J = 5,3417; sin - P sera négatif et vaudra — o,575oi, le cosinus vaudra -ho,8i8i5,

il en résulte pour le numérateur la valeur 5,9167, et pour le dénominateur la valeur v^7 1,373, et enfin

T|(i + a/) = 440a7'îio-= i8o«dc44'»27'ao''= 36o— 44**a7'ao''= A.

On a donc

d'Où

On choisira A de telle sorte que / soit moindre que — • La seule valeur qui convienne est alors la dernière , qui donne

- 324'-54^+ 36o -^ 44"a7' - 9^al 9%35 ^ ^., '= 34Ï 34^="l4r=-^»^^734.

Ainsi le minimum serait fourni par

53o BTOTBS

c'est le premier ; Fresnel a donné

Pour que c6 calcul , fondé sur l'emploi de la première des deux formules de Fresnel , donne la môme exactitude que celle obtenue dans le premier calcul par remploi de la deuxième formule de Fresnel , il foui,

visiblement, que la valeur de t soit < — • Si, par exemple, j'étais parti'

de f' = 1 ,8, auquel cas la bonne valeur de / eût été 0,07279, la pre* raiëre formule n'eût plus été, en exactitude, l'équivalente de la seconde à laquelle il aurait fallu recourir, au risque d'avoir, pour déterminer t, une équation bien plus compliquée. On évite cette obligation , en refaisant le calcul avec l'autre valeur voisine du minimum , toutes les fois que la valeur, d'abord adoptée > s'en sera trouvée la moins rapprochée.

§ 4. Quatrième calcul. — Il faut calculer

Si , comme nous venons de le faire , nous arrivons au minimum par celle des 55 valeurs qui en est la plus rapprochée, t sera moindre que

— 9 et on pourra encore user de la première formule do Fresnel (celle

qui néglige f) pour passer des deux intégrales tabulaires relatives à V = 1,9, à celles actuelles qui correspondent à

On trouve ainsi sans peine

rA'COS-p'=o,3949— 0,2047 =r 0,3744,

dvsin - f' = 0,3782-1-0,0174 = 0,3906,

et enfin

1 = 1,55775; Fresnel a donné

La table de ces dernières valeurs est surtout utile pour établir des

rapprochements entre la théorie et le phénomène des franges exté* heures; aussi croyons-nous devoir la donner telle qu'elle a été trouvée par Fresnel.

Table des maxéma. et minima pour les franges extérieures et des intensités de lumière correspondantes

Valkom »■ V.

de lomlère.

Maximum du i*' ordre.

Minimum du i" ordre.

Maximum du 2« ordre. .

Minimum du 2* ordre. .

3« maximum

3" minimum

4' maximum

4,8479 5,o5oo 5,2443

4* minimum

5* maximum . . r - , r - - - ■

5* minimum - • ,, t r - -

fS* mflTlmnm

6* minimum . -

7« maximum

7* minimum

La dernière colonne, d'accord en cela avec làfig, 35, montre que les maxima et les minima contrastent de moins en moins; aussi les franges, même avec une lumière homogène, sont-elles de moins en moins visibles au fur et à mesure que leur numéro s*élève. De plus, aucun des minima n'étant nul, elles n'ont pas la netteté des franges d'interférence.

§ 5. Cette méthode de Fresnel est indirecte, car elle exige que l'on connaisse d'abord une valeur de p voisine de celle qui donnera un maximum. M. Quet a eu l'heureuse idée de demander aux formules de Cauchy la connaissance immédiate des maxima et des minima , et il les obtient d'emblée comme il suit :

Remplaçons , dans l'expression qui donne l'intensité , les int^rales définies par leurs valeurs explicites , et nous aurons

1= ri-|---f Msin-m*-Ncos-/w»T La 2 2 51 J

[- H M ces - m^ — N sin - //?' 1 • a '2 2 a J

Prenant l'éqoation différentielle et régalant à zéro, il tient ponr l'équation qui donnera les mauma,

^dU . ^.dS . /dM . ^ \ / ^ , '^^\

maison a

dM I , i.3.5 1,3.5.7.9 . V'

l'équation devient donc

. ir , . ^ , vT ï 4 1.3.5 . 1.3.5.7.0 )

Quand ut est un peu grand, N est Bensiblement nul et l'équation déterminatrice des maximas et des minimas prend la forme trôs-simple

ou bien

sin - m' -h cos - iw* = o,

tangîiif»=-f.

Pour m = 3, nous trouvons 0,0037 pour la valeur des termes auxquels on peut borner la série, m = a donnerait également une valeur négligeable. Cette nouvelle formule reproduit donc, ainsi qu'on, devait 8*y attendre, le contraste qu'avaient présenté les formules dont elle est déduite. Prodigieusement simple au-dessus de m = 2 , elle reste impuissante au-dessous; mais comme le premier maximum et le premier minimum répondent seuls à des valeurs de m inférieures à a , cette limitation n'a rien de bien regrettable, et les lois que nous allons formuler avec M. Quet, exactes pour la presque totalité du phénomène des franges d'un bord indéfini, ne pourraient en délaisser que le début.

§ 6. Loi de M, Quet, —Profondément convaincu que la complication des phénomènes de diffraction , tels que les avait laissés le travail de Fresnel, pouvait être amoindrie^ M. Quet s'est mis à élaborer à la manière de Kepler les quatorze valeurs de v comprises dans son tableau des maxima et des minima, et il est arrivé à ce curieux résultat. Élevez ces valeurs au carré et doublez les carrés obtenus , et vous aurez la

IVOTES. ^Ji

série 3, 7, 11, i5, 19, 23, 27, 3i, 35, 89, 43, 47, 5i, 55. Le plus grand écart a lieu pour la première valeur de i* qui donne 2,963 au lieu de 3; pour le chiffre suivant, l'écart ne vaut plus que 0,01 3; pour les autres, il n'atteint que quelques millièmes.

Démonstration de ia loi de M, Quet, — La formule approximative du précédent paragraphe

tang - /i^' = — I

est satisfaite par les valeurs suivantes

ïr , 3 ir 3

-ne = -T. =r2 7r— 7 = 2774-777^..., 24 4 4

c'est-à-dire par

ce qui est précisément la loi précédente. § 7. Cinquième calcul. — Il s'agit ici de calculer l'expression

donnée § 401. Elle est si simple, que nous nous dispenserons d'en donner une application numérique , préférant revenir sur les différences qui séparent ces franges de celles deYoung. Sa théorie, remplaçant les valeurs successives de V„ par la suite des nombres 1,2, 3, 4,5,... promet aux franges une équidistance qui leur est refusée aussi bien par la théorie de Fresnel que par Texpérience. Mais M. Quet a pu , grâce à sa loi , présenter le mode de succession des franges à la manière de Young, c'est^'^lire caractériser leurs positions par la différence de route de deux rayons qui atteignent la frange, Tun directement et l'autre en touchant le bord , et il a mis ainsi en relief, de la manière la plus saisissante, la divergence des deux théories. On a en effet, pour les franges, la relation

ou bien

OU enfin ,,en mettant pour a c' les valeurs constitutives des maxima et des minima,

Or s- .s' est 1p retard du rayon direct sur le réfléchi; donc aux

534 noTBs.

maxina et aux mmima le retard atleûit les valeurs

8 ' 8 ' 8 ' 8 '•••• pour Young, les valeurs du retard sont au contraire

8 ' 8 ' 8 '"■ g 8. Sixième calcul. — Les corps opaques et les fentes considérées par Fresnd étaient assez allongés pour ([u'on pût les considérer comme inimités dans un sens. D en résulte (pie la considération des fuseaux du § l(M est applicable à ces cas, et qu'au lien des intégrales doubles dtt§58, ilsacceptent les intégrales simples en xdu §i(H. Gela posé, pour un point tel que P, Jig» 56, PL III ^ on devra intégrer ces intégrales depuis s = MA = j, jusqu'à s x= MG = j„ ou, ce qui revient au mémo, intégrer les int^jales tabulaires , depuis

aêÀ jusqu'à '

CommeiadilKrenee(*)desdeuxlimitefte8tégaleàc, largeur de Touvertitre, celle des deux limites p„ p^ sera

on appelle cette quantité ia valeur tabulaire de Pouverture, En n^ligéant le focleur constant — p — grqui ne change pas la position des

maxima , on voit donc qu'il s'agit de calculer les maxima et minima de l'expression

1=1 I //(CC0S-*»' J4- j 1 r/psin-f'l

Fresnel pour y arriver cherchait d'abord les intensités pour un certain nombre de points voisins , puis quand la marche des intensités lui montrait qu'un minimum était voisin d'une valeur de i*,, il cherchait

( * ) On raitooiie ici pour un point P qui est en dehors de la projection de Vourerture.

par interpolation ce qu'il fallait, soit ajouter à cette valeur de i>p soit en retrancher pour atteindre le minimum.

On pourrait établir ces calculs pour des points P', P", P "',..., choisis et caractérisés par des coordonnées x'^x'^x'" soumises à une loi de succession simple , telle que l'équidistance. Il faudrait alors , puisqu'on a

une fois les points choisis, déterminer pour chacun d'eux la limite c^ par les relations

ce qui donnerait en général pour v^ une valeur distincte des 55 valeurs tabulaires. Fresnel aimait mieux faire porter le choix sur les quantités i^i ) <'^ , . . . , car il les prenait égales à un nombre exact de dixièmes et trouvait dans la table deux des quatre intégrales qui entrent dans I ; il n'avait ainsi à calculer par sa première formule que les deux autres intégrales, puisqu'on général ('i + 7 = ^, se trouvait distinct d'un nombre exact de dixièmes, et ce n'était que quand il avait trouvé les valeurs de p^ caractéristiques des maxima qu'il cherchait par la relation

'(a4-6)gÀ^

les .r correspondants, a&n de les comparer à l'expérience (*). Soit avec Fresnel

a = aoio"", 6=i5o3"", c=:i"", > = 0,000 638,

on en déduit

de sorte que les x sont presque numériquement égaux aux «v Cherchons les intensités pour les valeurs

Calcul pour tf^= Oy^j et p, = 0,2 + 1, 9096 = 21,1096. Les tables donnent

r/*^cos-c' = 0,1999, / rfp 8m-p' = 0,0042,

(*) On abrégerait singulièrement les calculs si on choisissait 6 de telle sorte que y fût un nombre exact de dixièmes.

^A eus - *-*- I <A suk- • '.

<m peot : i* partir 4» valeurs tabulaires

o ^ ^ Jo ^

et cbercber par les premières formules de Fresnel • page Sfii oe qu'il but y ajouter; oo trouve ainsi les deux quantités tontes denx positives, 0.007096. o,oo5668. de sorte que ces deux intégrales valent o,5S9 et 0,3796, alors les quantités compnseë pntre les deux parenthèses de l'expression 1 sont 0.3891. 0.3754: la somme de leurs carrés donne

Oa pourrait, 2* calculer d^emblée j par les formules de Cau-

chy, si rapides au-dessus de m — i. Nous nous bornons à le remarquer. En faisant le calcul des deux autres intensités, on trouve le taMemi suivant :

<' = o, ou bien j* = o,oo, 1 = 0,2981, -=o,\, =0,0915,' =0,3765,

do sorte qu*ii y a un minimum aux alentours de »" = o, 1 . Pour le trouver, soient trois pointa

J X = 0, i X\ i J^:=.'kX\

et une courbe du second degré de la forme x* -h <£r -h f/y = o.

Pour que celte courbe qui passe par le premier point passe par les deux autres, on a les deux équations de condition

x'»-»-rfr'-hr/y=o, x"-h/i:r''-»-rf'/ = o.

Une tangente horizontale est donnée par

ffy 2X,-|-r/ ,. , ri

^ = 0 = -^ dou x,= --.

mais

NOTBS. 537

on en déduit pour Tabscisse du minimum ,

C'est précisément à l'aide d'une telle courbe auxiliaire que Fresnel détermine la valeur de v qui donnerait l'intensité minima ; en d'autres termes , il suppose que les trois valeurs de t^ et les trois correspondantes de I sont les unes abscisses , les autres ordonnées d'une courbe du second degré, et il obtient le p, du minimum par la précédante formule dans laquelle on doit faire .

j:'=o,i, 7= — (0,^981— 0,1765)= —0,0216, >-*= 0,2981 — 0,2923 = o,oo58 , ce qui donne

On en conclut

Dans ses vérificalions, Fresnel comptait la distance qui séparait ces franges du milieu de la projection de l'écran. Or la demi -projection est

donc la quantité qui sera comparée à l'expérience vaut

Cette expérience est une des rares expériences où Taccord du calcul et de Tobservation n'a pas été satisfaisant. Les deux positions vraies et calculées ont différé de Ténorme quantité o"^,ii.

Tandis que l'illustre auteur de la Mécanique céleste avait le secours d'auxiliaires habiles et dévoués pour établir des confrontations entre les formules de la mécanique céleste et le cours des astres, son non moins illustre contemporain Fresnel assumait, sans doute seul, Timniense fardeau des calculs numériques dont la Note actuelle donnera, nous Tespérons, une idée exacte. Ainsi Texpérimentateur habile , Tétonnant théoricien a su encore au besoin devenir un calculateur infatigable. Peu de savants assurément l'ont été aussi complètement que cet homme incomparable.

§ 9. Expériences de lord Brougham. — Jetons , pour terminer cette Note, un coup d'œil rapide sur l'une des expériences (ab una discc omnes ) faites dans ces derniers temps par lord Brougham et présentées par lui commo inconciliables avec la théorie des ondes.

L'œil étant placé derrière un écran, près de la limite de son ombre, de

538 Nmt».

manière à voir les trois franges des écrans indéfinis, passez un second écran entre le premier et Tœil , en le faisant arriver tantôt du côté de l'ombre et tantôt du côté de la partie éclairée. Dans le premier cas, ni Tombre ni les franges n'éprouvent de changements ; dans le second , au contraire, les trois franges sont remplacées par d'autres plus nombreusesji dans quelques expériences on peut en compter dix) et plus brillantes, qui s'installent finalement toutes dans l'ombre. Les rayons sont donc autrementjtraités par le second écran quand ces derniers les attaque par un côté, que quand il les attaque par le côté diamétralement opposé, preuve évidente , conclut le noble lord, que ces rayons, quoique naturels , n'ont pas la même organisation sur leurs différentes faces 1 La théorie des ondes assigne, sans eff^ort, à ce contraste la cause suivante :

Quand l'écran va de gauche à droite (Jig. 53, PL III )^ les rayons élémentaires émanés de la moitié de l'onde épargnée par le premier écran, continuent d'arriver aux points^, p', />*,... , comme si ce deuxième écran n'intervenait pas ; dès lors l'éclairement dû à leur résultante y garde la valeur continuellement décroissante , établie § 103. S'avance-t-il , au contraire , de droite à gauche, il ne tarde pas à empêcher certains rayons d'atteindre les points />, />',/>', — Prenons-le, par exemple, dans la position EB', assez voisine de l'ombre pour que cette élimination porte sur des rayons influents. Le premier point ne sera plus éclairé que par l'arc AU , le second que par l'arc AN', .... On conçoit donc que, suivant que ces arcs épargnés formeront à l'égard de p^p\—y un nombre impair ou un nombre pair de zones d'Huyghens, il y ait lumière ou olrâcuriié, et que ces alternatives, analogues à celles qui produisent le phénomène de la fente étroite, donnent, comme dans ce cas, des franges vives et nombreuses; mais, s'il y a analogie générale des deux phénomènes, celui qui nous occupe est bien plus compliqué, parce qu'au lieu d'être la même pour tous, la portion de l'onde qui réussit à envoyer des rayons aux divers points, varie pour chacun. Cependant M. Quet, enhardi par les simplifications qu'il lui avait été donné d'introduire dans le reste de la diffraction, en a abordé résolument le calcul, et il a trouvé que la théorie rendait minutieusement compte de toute les particularités du phénomène des écrans multiples. Ajoutons qu'il a rencontré le même succès dans l'étude des autres phénomènes étudiés et décrits par lord Brougham.

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