L'ACOUSTIQLE AUXILIAIRE DE L'OPTIQUE

Eu acoustique les méthodes directes mesureut plutôt les durées des vibrations que les longueurs d'ondes. — Secteurs de M. Montigny. — Ventre» et nœuds dus au concours d'un son direct et d'un son réfléchi. — Leur analogie avec certaines franges lumineuses — Incorrections signalées par N. Savart dans la position de ces ventres. — Scchecii en trouve la cause.— Expériences simples qu'il institue pour trouver des ventres conformes à la théorie. — La vibration tourne avec le rayon sonore. — Influence qu^ont sur la valeur des sons et sur la couleur des rayons lumineux: — i<* le mouvement de la source ; — ^^ celui de l'organe ; — 3° celui du milieu. — Expérience négative d'Arago sur la déviation d'un prisme diversement orienté par rapport au mouvement annuel de la terre. — Les deux hypothèses de Fresnel. — Leur vérification par rexpériencc de M. Fizeau. — L'expérience d'Arago expliquée. — Retour sur la nuthode de Bradley.— Comment le mouvement de translation du globe doit produire, à égale distance d un corps lumineux, suivant roricntaliou, des inégalités dans l'intensité lumineuse et calorifique.

L'œil avec ses lentilles, ses images, son Taste champ cl son éducation, possède ' comme un don d'ubiquité qui manque à

l'organe de l'ouïe.

^ 39. — Mesure de T ou n en acoustique.

Si on voulait réaliser en acoustique rexpcrience de Young, on serait gêné par l'aptitude universelle qu'ont les corps i\ propager Je son. Là, en effet, tous les corps sont diaphanes; cependant eomme ils le sont à des degrés très-différents, on doit pouvoir

me uih|

DÉTERMIKATIOX DES COAiSTANTES DE LOPTIQUE ny

lerenJ léussir, si Ton perco les deux ouvertures dans une paroi organisée pour amortir excessivement les mouvements vibratoires. Les franges bruyantes et silencieuses , ou , pour employer les termes consacrés y les nœuds et les ventres , garderaient de la puissance même à de grandes distances angulaires , puisque les mouvements dérivés sonores n'éprouvent avec Tobliquilé qu^une faible dégradation. Mais, pour les percevoir, l'oreille devrait se transporter aux lieux que chacune occupe. Quoiqu'on doive à M. Despretz quelques expériences de ce genre et qu'on en ait d'autres où Tinterfcrence avait lieu entre des ondes directes et réfléchies, cependant on ne leur a pas demandé la détermination des ondulations sonores. Pour l'air et pour l'eau, milieux auxquels nous ferons surtout allusion, les bonnes valeurs de ces longueurs s'obtiennent |)ar le calcul à Faide de la formule

L'acoustique réussit donc à déterminer soit V et T, soit V et //. A l'égard du paramètre T ou /? , le succès repose sur la grandeur

relative de T qui ne descend pas au-dessous de -r de seconde

* ooooo

ft surtout sur l'énergie et l'amplitude de ces mouvements d'ensemble auxquels prennent part des portions considérables du corps sonore et quelquefois le corps tout entit.T.

Grâce à cette énergie on peut confier au corps vibrant, une tijj;e rigide, un léger pinceau, à l'aide desquels il inscrira sur un cadran ou sur un cylindre tournant, le nombre de ses vibrations. Grâce à cette amplitude, l'œil voit les vibrations et peut les compter , quel qu'en soit le nombre , si toutefois on vient à son aide par d'ingénieux artifices, "parmi lesquels il faut citer en première ligne celui qui est dû à M. Montigny (*). Quant aux vitesses, ce que

(*) Moins connu que la sirène et que les méthodes d'inscription employée» par MM. Duhamel et Wertheim^ce procédé consiste à animer le corps Tibranl( une tige par exemple) d'un rapide mouvement de translation. Au milieu de chacune des demi-oscillations rétrogrades, le mouvement abaola de la tige , passant par un minimum de vitesse, l'impression visuelle se forme plus complète, et Ton voit autant d'images de la tige qu'il y a eu de vibrations. Pour qu'elles soient équidistantes, le mouvement de translation doit être uniforme : on lui donne cette qualité en le prenant cîrculuirr. Qu'on se figure donc la lige vibrante encaslrcc par un bout dans un axo, lU-

8o CHAPITRE II.

nous en uvons déjà dit montre c|u*elles sont accessibles et théoriquement (§§ tf et 0) et expérimentalement; et qiroatre la détermination expérimentale directe trop rarement réalisable, existent des déterminations indirectes dont le |x>int de départ est une des manifestations variées de la propriété générale dont l'acoustique entière n'est qu\in corollaire^ c'est-à-dire Véiasiicité,

^ ÂO. — Interférence d'nn son direct avec un son réfléchi. — Anomalies. — Leur interprétation par Seebeck.

Quoique notre intention soit de nous borner à un simple aperçu, et de ne pas nous laisser distraire par le détail des procédés variés que l'acoustique a mis en jeu pour obtenir et contrôler ses constantes fondamentales, cependant nous ne pouvons nous dispenser d'insister sur une expérience de N. Savart, attendu qne Seebeck en a fait jaillir un principe général de la théorie des ondes.

On peut en optique obtenir les franges à l'aide d'un seul miroir MN que l'on place (fig. 24) un peu en dehors de la ligne qui joint l'œil et le point lumineux. L'œil reçoit deux faisceaux, l'un direct, l'autre réfléchi, et comme, vu l'incidence rasante, le dernier n'est guère inférieur au premier, on a, d'un côté de la frange centrale à demi visible, les franges connues (* ). Des franges analogues dues au conflit d'un son direct et d'un son réfléchi s'obtiennent aisément en acoustique : seulement au lieu de recourir à des rémanière à décrire, quand ce dernier tourne, un plan normal à Paxe, etren* contrant à chaque tour, par son bout libre, un obstacle qui lui restitue incessamment la même amplitude de vibration; si la vitesse est telle, que pendant un tour complet ( un mécanisme en donne la durée ) il y ait un nombre exact de vibrations, let images immobiles diviseront le cercle en secteurs égaux que Ton pourra compter. On y arrive plus aisément en mettant d'un côté de la tige unelumière, et de Tautrc un disque transparent sur lequel on obtient des ombres portées permanentes. Une grande vitesse de rotation a le double avantage : 1° de rendre la vitesse de translation supérieure à la vitesse maxima de la vibration, et de ne donner dès lors qu'une seule image pendant la demi-vibration rétrograde; 2<^ de donner aux images et aux ombres portées la permanence qui résulte d'une sensation fréquemment renouvelée. (*) Avec deux miroirs parallèles dont les prolongements passent, pour l'un, à droite, et pour l'autre, à gauche du point lumineux, on obtient trèsaisément trois systèmes de franges, à savoir celles produites pour chaque miroir entre les rayons directs et réfléchis, et au milieu un système de franges plus fines dues aux deux faisceaux réfléchis.

l>èrER]IIllATION DES GONSTANlrES DE LOPTIQtJE. 8l

ftexions obliquas, on peut sans inconvénient user d'une réflexion normale.

Dans ce cas les franges successives données par un même son , ou bien les franges de même ordre données par divers sons, s'échelonnent , non plus sur une droite transversale, mais sur la normale au plan réfléchissant qui est la direction commune des deux sons.

Pour concevoir la génération des franges, imàginohs les trochoîdes du son incident, et supposons-les continuées au delà du plan réfléchissant ( /%*. 25 ) : la réflexion a pour effet de ramener en avant ces derniers mouvements. Mais comme le plan a plus de masse que l'air, on saura (sauf à y revenir plus loin § 68) que pour tenir compte de cette particularité il faut changer le signe des vitesses oscillatoires du mouvement réfléchi, les prendre appulsives ou impulsives suivant qu'elles étaient, dans le mouvement incident^ impulsives ou appulsives, qu'en d'autres termes les demi-ondes réfléchies sont dilatées ou condensées suivant que les demi-ondes génératrices étaient condensées ou dilatées. Bref, on a les trochoîdes caractéristiques du mouvement réfléchi en rabattant les trochoides postérieures au plan, sur les trochoïdes antérieures, après les avoir relournées dans le plan et avoir mis à gauche les spires qui étaient à droite. Si nous négligeons l'atténuation d'intensité due à la réflexion ; on voit que le mouvement résultant sera donné par la courbe d d! e' facile à construire, puisque ses ordonnées sont la somme algébrique des deux ordonnées correspondantes des trochoïdes incidentes et réfléchies CD£ , tde*

Sans qu'il soit nécessaire d'ajouter ici à la représentation graphique du phénomène les calculs équivalents , on voit aisément qu'au point d' les trochoïdes apportent et continuent d'apporter^ malgré leur déplacement, des mouvements égaux et contraires, qu'ainsi ce point est un nœud permanent de vibration; il en est de même du point c' où s'opère la réflexion. On trouve aisément d'aotres nœuds écjuidistants et distants de la demi-longueur d'ondulation des deux sons qui interfèrent. Intermédiairement, c'est-

I 3 5 à-dire à des distances du mur égales à t9 79 79 * • * 9 d'ondulation,

,444 te trouvent des ventres. Le son résultant du concours des deux

fions, le direct et le réfléchi, a donc la même hauteur qu'eux ; il y

8a (IHAPITRK 11.

a cette seul«) difféi*ence (outre celle d*intensitc) que les nœuds el les ventres, mobiles dans les deux sons composants, soni fiices dans le son résultant. Ainsi la coexistence des deux mouvements donne à Tair l'organisation des corf» sonores, et, sans lui enlever le rôle de propagateur, lui donne en mcme temps celui tPexciteteBr.

Quand plusieurs sons se réfléchiront à la fois, les ventres de leurs sons résultants se trouveront séparés, et on conçoit qu'une oreille exercée qui parcourra la normale, puisse les discerner. Tel est en effet le mode di'analyse à Taide duquel Sa vart démêlait, dans le brouhaha confus d'une cité , divers sons.

Revenonsau cas d'un son unique : N. Savart, qui l'a étudié avec soin, a trouvé que les nœuds et les ventres étaienten désaccord arec la théorie sous le double rapport de leur position et de leur écariement. Quand il s'agit de sons graves dont le > est grand, le désaccord se réduit à un intervertissement à peu près exact des nœuds et des ventres. Seebeck a montré que ces discordances tenaient aux conditions complexes des expériences.

N. Savart, en effet, bouchait l'oreille la plus éloignée du mor. Le son direct n'arrivait à l'oreille libre qu'après avoir fait le tour de la tète et avoir subi ainsi , outre un accroissement de chemin, un infléchissement de i8o degrés. Seebeck remplace l'oreille par une petite membrane convenablement tendue sur un châssis circulaire et touchée au centre par un petit pendule. Vu sa petitesse, cette oreille artificielle ne gène pas sensiblement le passage du son: mais son avantage est de pouvoir être attaquée des deux côtés, d'un côté par le son direct, el de l'autre par le son réfléchi. Eli bien, dans ces conditions simples, les repos et les mouvements du pendule accordent rigoureusement aux nœuds et aux ventres les places que leur assigne la théorie. Seebeck reprend ensuite les mêmes expériences en tendant la membrane sur l'orifice d'un vase fermé par l'autre bout, et en dirigeant vers la paroi réfléchissante la seule face attaquable de la membrane. Dans cette nouvelle série, qui reproduit les conditions adoptées par Savart ( avec toutefois cet avantage que les sons, pour tourner autour du petit vase, n'éprouvent que de faibles et négligeables accroissements de chemin ), les nœuds prennent la place des ventres, et réciproquement.

Il faut donc admettre que, dans l'inflexion, le rayon sonore em-

DiTERlnNATION DBS CONSTANTES DE I/OPTIQUE. 83

porte avec lui la vibration, sans que le sens de la vitesse chan^ par rapport à lui. Qu'unsi un mouvement direct qui eût été antagoniste du HiouveioQent réfléchi, prend, en tournant de i8o degrés, la méaie direction que lui, et donne à la membrane qu'il eût immobilisée une impulsion concordante. Fresnel n'a pas ignoré ce principe ipiportant formulé nettement par Seebeck, et il y a eu recours pour décider un point délicat de la théorie. Mais, à cause delà rapide dégradation des ondes dérivées, il faut, en lumière, recourir à la réflexion (^ 80) pour produire, dans Tun des rayons^ nne rotation de 1 80 degrés.

§ 41. — Le mouvement de Toreille change la hauteur des sons.

Dans notre démonstration de la réflexion et de la réfraction , nous avons supposé miroir et prisme immobiles; dans la pratique, ces appareils partagent le mouvement rapide qui emporte notre terre. Outre ce mouvement inévitable, nous avons dû, dans une expérience, imprimer à un miroir rçfléchissant une grande vitesse. Quelle peut être Tinfluence de tels mouvements sur la direction, la couleur,..., d*un rayon lumineux ? Nous entrerons dans cette question délicate en examinant d'abord les phénomènes analogues offerts par le son.

Une oreille qui se meut vers un corps sonore reçoit dans le même temps plus d'ondes sonores qu'au repos. Si sa vitesse est celle de la propagation du son, 34o mètres, outre les ondes qui seraient venues battre le lieu qu'elle occupait , elle ira re^Tcontrer on nombre égal d'ondes qui ne Fauraient atteinte que plus tard. Si donc, et cela est^ la hauteur du son dépend du nombre des vibrations, plutôt que de la longueur d'ondulation, le son passera à l'octave aiguë; il passe à la quinte, quand le mouvement est de iro mètres.

§ 42. — Altératimis analogues, mais plus rapides, dues au mouvement du corps sonore.

En imprimant le mouvement au corps sonore , on obtient dans la hauteur des sons, des altérations analogues , bien appréciables dans le sifflement de la balle qui vient vers vous et vous dépasse et dans le sifflet d'une locomotive. Sans en faire le calcul tomplet, montrons la marche à suivre sur quelques cas pnrti-

cnliers.

S4 CIIAPITKK II.

Supposons qiroii fasse éclore en un point S {Jfg> 26) des sons brefs équidistants; une oreille placée à distance les percevra à des intervalles égaux à ceux qui séparent leur production. Si ces sons successifs sont produits en des points S, S', S^,... équidistants, il est visible qu'ils seront semés dans l'espace ù de moindres distances et que , par suite de ce resserrement qui n'influe pas sur la vitesse de leur propagation , le nombre des sons apportés dans ie môme temps à l'oreille aura grandi. Si le corps sonore qui sème ces sons se meut vers Toreille avec une vitesse de 170 mètres, la distance des deux, tranches d'air dépositaires de deux sons consécutifs sera réduite à moitié. Si , au lieu de bruits intermittents, j nous supposons un corps sonore qui échelonne dans l'air, bout à I bout, toutes les agitations qui forment des ondes sonores, le ré- | sultat sera le même, et le son aura passé à l'octave; pour qui! f passe i\ la quinte, il faudrait une vitesse de 1 13"^,33. L'expérience ' avoue parfaitement ces conséquences. Dans ce second cas, un -■ raccourcissement des ondes aériennes accompagne, comme d'habitude, rélévation du son.

i^ 43. — Le mouvement du milieu n'influe que sur la vitesse

du son.

Quand le mouvement appartient au milieu propagateur, et non plus au corps ou à l'organe, quand il s'agit, par exemple, de la propagation du son dans un air agité , on voit aisément que la vitesse du son s'accroîtra de celle du vent, si nous supposons qu'il soufîle dans la même direction. Les ondes sonores sont accrues; mais dans ce troisième cas leur accroissement n'existe que temporairement dans les régions du milieu qui se meuvent. Les ondes reprennent leur épaisseur normale, sitôt qu'elles se retrouvent dans des tranches d'air immobiles.

L'optique doit nous offrir des résultats analogues. Là seulement la question s'agrandit. Puisque l'œil, mieux doué que l'oreille, outre des altérations dans la couleur, sait apprécier encore des déviations; il nous faudra rechercher si l'état de mouvement ne porte pas atteinte à la direction des rayons, il nous faudra, en d'autres termes, reprendre et compléter l'étude physique de l'aberration, La lumière se meut si vite, qu'on est porté iiintroduire d'abord

dans les expériences les grandes vitesses que présente Tastronomîe.

§ 44. — Mouvement du corps lumineux. — Il déclasse les raies.

S'il y avait une étoile qui n^émît que des rayons extrêmes, rouges par exemple, et qui décrivît une orbite avec une grande rapidité, on conçoit que, quand son mouvement Téloignerait de nous y les ondes fussent assez allongées pour sortir des limites de la sensibilité de Tceil humain, et qu'ainsi elle devînt invisible. L'étoile envoie-t-elle un certain nombre de rayons simples, la couleur de chacun, et par suite la couleur composée de l'étoile, changera périodiquement. Si l'étoile envoie tous les rayons simples, sa lumière restera blanche, parce qu'elle reconquerra à un bout du spectre les rayons qu'elle aura perdus à l'autre. Mais comme les couleurs se seront dénaturées, comme par exemple le vert sera devenu jaune, il en résultera un déplacement des raies particulières à l'étoile. Il est fâcheux que les spectres des étoiles soient trop faibles, pour qu'on puisse relever le système de leurs raies à diverses époques.

Le mouvement du point lumineux influe- t-il sur la réfraction et la dispersion des rayons? Evidemment non; car tant que le mouvement du corps est inférieur à la vitesse de ])ropagation , la vitesse des ondes raccourcies et plus nombreuses reste la même que s'il était en repos, et partant la réfraction, qui ne (^épend que des vitesses V et V, ne peut être modifiée. Le mouvement du point lumineux peut donc, ainsi que nous venons de le voir, déclasser les raies, mais il respecte leurs intervalles angulaires.

§ 45. — Mouvement de l'œil.

Relativement à la couleur^ les résultats sont analogues aux précédents. Il y a cependant cette différence déjà signalée (§ ^t)» que les longueurs des ondes extérieures à l'œil ne sont plus modifiées, et il devient nécessaire de décider d'abord de laquelle de ces deux circonstances, le nombre des ondes ou leur longueur extérieure, dépend la couleur. On peut résoudre cette diflicnlté autrement que par l'expérience. En effet, ce n'est pas des ondes extérieures, mais de celles intérieures formées dans l'humeur vitrée

86 CHAPITRK 11.

(|u*il faut se préoccuper; or le iDouvement de Tcnl influe rarla longueur de ces dernières onde^. Mais il arrive que, quand dici deviennent plus nombreuses, elles sont en méroe lemps raccourcies, et Toptique n*oflVe pas sur ce point la même division que l*acoustique. On n'oubliera pas, d'ailleurs, que Tinfluence du mouvement de l'ieil est différente et moins active que la précédente. Quanta Tinflucnce sur la direction, nous l'avons suffisamment étudiée sous le nom à^ aberration.

§ 46. - Mouvement du milieu. - Expérience d'Arago.

On a sur cet important sujet : i° quelques expériences négatives, parmi lesquelles nous choisirons celle d'Arago; 2^ une savante interprétation de cette expérience due à Fresnel , et 3** une expérience de M. Fizeau, qui (en attendant les démonstrations des géomètres) peut être considérée comme justiGant à posteriori les deux ]>ostulata sur lesquels Fresnel appuie son interprétation.

Arago étudie les deux réfractions qu*exerce, à six mois de distance, im même prisme sur une étoile placée dans le plan de Técliptique et dans le prolongement dd Télément décrit par la terre. Dans Fun des cas, le prisme va au-devant de la lumière avec un^ vitesse de 8 lieues; dans l'autre, il fuit la lumière avec la même vitesse. Seize lieues étant loin d'être insignifiantes vis-à-vis de 80000, on pouvait s'attendre à une différence dans les deux déviations minimum opérées par le prisme : il n'en a rien été; mais cette expérience est complexe, l'œil partage le mouvement du prisme, et nous allons voir que Taberration introduite par celte circonstance se trouve être égale et de signe contraire à l'aberration qu'engendre le prisme. Dans l'expérience de M. Fizeau, au conti*aire, l'œil reste étranger au mouvement qui emporte le milieu : il est vrai que ce mouvement est bien peu de chose, mais quoique sa vitesse n'ait été que de quelques mètres, M. Fizeau a su, par un heureux choix des {)hénomènes, en apprécier et même en mesurer les effets. Arrivons aux détails.

s^ 47. - Expérience de M. Fizeau.

Puisque le mouvement du milieu modifie la vitesse de propagation, il ne devait pas être impossible d'obtenir, comme conséquence, un déplacement de franges; il fallait interposer sur la route

deducan des faisceaux interférenis deux longs tubes pleins d*eau, 1 igDureiisement pareils, et produire dans l^une des deux colonnes liquides un mouvement rapide. Les principales dispositions des appareils avaient été tracées, il est vrai« dans un tra%'ail entrepris jadis par Fresnel et Arago pour comparer les indices de Tair sec et deTair humide, mais Texpcrience n'en offrait pas moins de grandes difficultés. Les deux fentes devaient avoir un écartement inusité, et il fallait que la colonne mobile, malgré les variations de température et de longueur que le mouvement rapide de i*eau devait y amener, restât rigoureusement équivalente à Tautre. M. Fizeau obvie au premier inconvénient par un jeu de lentilles, et par remploi de lames obliques L , L' à faces parallèles (§ 3S) ; il obtient le second résultat, en n'usant que d'une seule colonne d'eau piiée en deux et traversée par les deux faisceaux, mais en sens contraire. Les rayons [fig^ 27) partent de P, se réfléchissent sur un petit miroir non étamé, arriventsur l'objectif O, comme s'ils partaient du point P', situé au foyer principal. Rendus parallèles entre eux et aux deux moitiés du tube, ils traversent d'abord les deux fentes, puis chacun une moitié df^la colonne d'eau en mouvement. Un autre objectif O' les reprend, un miroir m! normal à l'axe des deux objectifs les renvoie aux tubes; chacun parcourt la seconde moitié de la colonne liquide, et ils reviennent en P' former un système de franges fines qu'on observe avec un puissant oculaire. Si Teau se meut comme l'indiquent les âèches, on voit aisément, surtout en dépliant l'appareil et le reproduisant avec quatre lentilles et quatre moitiés distinctes de tubes, que les franges seront jetées vers le bas enP|. Chaque lame parallèle agit forcément deux fois dans l'appareil plié, mais il est visible sur l'appareil déplié, que l'on pourrait se passer ( sauf la remarque du § 52) du système des lames parallèles placé près du point lumineux. Il en est de même d'un des deux écrans E ou Et, on pourrait ne garder dans l'appareil déplié que celui qui avolsine l'œil: Enfin, dans ce dernier appareil, s'il était réalisable, on pourrait encore supprimer les deux len- ^ tilles intermédiaires.

^ 48. — Les deux hypothèses de Fresnel. — Calcul de l'expérience de M. Fizeau.

Quand on veut appliquer la théorie à ce genre de phénomènes^

88 GHAPITAB U. f.j-(-w

le difluâle fU de savoir qudle reUtioa existe entre le I d'un corps et celui de Téther qui y est confiné. Fresoel a j

I". Que le corps n^enUnlnait que la portion de son édier qai constitue l'excès de sa densité sur celle de l'éther environnant, c'est-à-dire A' — 1 ($58);

a^ Que la vitesse de propagation» qui s'accroilmit de toute celle do milieu « tout l'éther était «nporté, ne s'accroissait qne d'une partie de la vitesse, à savoir celle qui exprime le mouvement da centre de gravité de l'éther.

Le premier postulatum parait asses plausible. En effet, l'étàcf aurait partout la même conMitution si les corps ne réagissaient pas sur lui. Biais les corps produisent sur l'éther une altératioo qu'on peut évaluer en accroissement de densité. Cet ezoàs accU" roulé sera dans une condition spéciale ; on conçoit qoMl soit seul entraîné par le corps.

Relativement au second postulatum , on comprend que tout k milieu , la portion immobile aussi bien que celle qui se meot, contribuant à la propagation des ondes, leur vitesse se ressente de cette immobilité partielle. Fresnd , par quelques exemples, rend très-probable que le mouvement s'accroît de celui du centre de gravité du milieu.

Soient m la masse immobile, m' la masse qui se meut, g^g^let distances des centres de gravité de ces deux masses à un plan. La position du centre de gravité du corps m •+• m' dépend de l'équation

Si Ton appelle p' la vitesse de m', on aura au bout du temps I

d'où

/w -h/w La vitesse Vi du centre de gravité est donc

m -\- m c'est-à-dire ici

DÉTERMUiATION DES CONSTAMTES DE L OPTIQUE. 89

DoDG dans le milieu en mouvement, la longueur d*onde X' devient

T étant la durée d'une vibration ; ou encore

si Ton représente par c Tespace décrit par le milieu pendant la dorée d'une vibration ; ou enfin

si l*on représente par k la fraction

Dans une expérience de M. Fizeau, la vitesse de l'eau était de 7",07; avec l'indice ~ cela donne, pour la vitesse du centre de gravité de l'éther de l'eau ,

Les deux tubes réunis ayant 3 mètres de long, il suit que l'un des rayons gagnait et que l'autre perdait un petit chemin z donné par )a proportion

z : 3" :: 3,093 : 80000. 3ooo (*).

Comme on pouvait, par un jeu de robinets, changer le sens du mouvement et comparer les positions des deux systèmes de franges correspondantes aux deux circulations contraires , on doit prendre 4z pour la différence de route introduite par le mouvement de Teau; mais ^z est une épaisseur du liquide, et il faut la multiplier par ^« On trouve pour ce dernier produit o"*",ooo 206, et

si Ton suppose que dans ces expériences , faites avec la lumière blanche, on puisse employer la longueur d'onde moyenne ©""•jOooSoo, le déplacement total atteindrait o,4iX, c'est-à-

(' ) La vitesse de la himière dans l'eau est les j de 80000. /|OOo mètres.

go . . CHAPini H. • .u.i Jljil

dtfe près d'imt dhori-finiige. €»eu pwce que In espAriMKW ié

BI. Fiieau ont doDDé sensiblement les déplacements calories, qu'on doit y Toir une vérification des denx hypothèses de Fresnel.

§ 49. - Explication dn résultat négatif de r«q^ériaiG6 d'ixaf o.

Dans l'expérience d'Arago » c^est par un chang^emeot de réfraétîon que se traduit l'efTet du mouvement. Soit un prisme (/!g, 3o) dont le oéié £F soit à la fois perpendiculaire et à rédipdqoa et aux rayons incidents; les rayons entrent sans se réfiradter. Pre* nous Tonde dans la position ab. Le point de première arrivée a commence k donner ses ondes dans Tair ; celui de dernière arrivée b donnera les siennes , non plus à partir du point i'^ mais s partir du point 6 occupé par b% h Tinstant où le mouvement Tatteint. A la rigueur Tespace b' 6 doit être trouvé par le problème des courriers; mais , comme la vitesse de la terre est petite anprài de celle de la lumière ^ on peut prendre pour &'€ l'espace • qoc parcourt la terre pendant que la lumière décrit bb' dans le verre. Pour garder à c la signification de la page précédente, noussupl)osons au faisceau parallèle une épaisseur telle que bb' vaille V.

Soit an' la position qu'occuperait Tonde du point a si le prisme était en repos , auquel cas le rayon réfracté serait aa' donné pai ia tangente b^a\ Le rayon réfracté sera donné ici par une tangente 6^1 menée du point 6 à Tonde émanée de a. Or le rayon d( cette onde surpasse aa' ^ X , puisque Tonde, ne prenant qu'nn< partie du mouvement du prisme, se trouve plus retardée par l'allongement du chemin qu'accélérée par Taccroissement de vitesse

On voit sans peine que ce rayon vaut X r-, r ou sensiblemen

^ M. "*" V (^ ~" ^ ) r P"^^"^ sete^ sont très- petits vis-à-vis deX'

sa' >''

o\\ enfin X -h — puisque i — ^ = — •

Si, au lieu de construire le rayon réfracte, on veut calculer s position, en appelant / ' et r' deux angles comptés avec la normal à la nouvelle face a^, on a

sin/' X'-i-sX

DÉTERMINATION DFft CONSTANTES DE L'OPTIQUE. 91

et l'angle a^aa! des deux rayons réfractés a pour valeur

En partant des deux formules

sin I V sin /' X' 4- e ^

sinr ~" > sin r^ "^ \

ets'aidant de la considération du triangle A'6r, on trouve sans peine

l' -^ l :z^ w siO/COS/.

Uncalçjul ua peu plus long (*), également simplifié par des approximations, donne

, , , . , . « sin r

r^r' = (cos'i-^X-)- \

remplaçant â par sa valeur et ramenant Tanglc r à l'angle /, on trouve finalement

/' — i-{- r — '*'=?/ *iïi ' ^os/ — rr7 sin i yX'* — V sm' /.

U direction du rayon réfracté a donc changé C^*) ; en sera>t-il de même de sa direction apparente?

Le tube ie la lunette qui sert à déterminer cette direction , est emporté par le mouvement commun, dans la direction Aa ', il faudra (ioQc($ 16) lai donner une direction oblique LF, telle que, pendant que la lumière parcourt la distance LM , le point focal F ail.

(*)Oiii»

OD en déduit çin i', puis sin r' et cos r'. De ]k 00 peut former réimpression de^

sin ( /• — r' ) = sin r cos r' -^ sin l' ços r,

eq nyant soin de négliger les termes qui contiennent e* ou une puis«aDG«v supérieure de e.

(**) Pour

/ = 30°, n = I , 7 , A =: 0 , 0005 , on trouve

a' na, = 16" -6"= 10".

9a GUAmmiu. .-:,^^.-

le temps de ▼enir en M» c'est-à-dira qu'on dok avoir

sinFLM :[8ioFIIL = fin (r— /)]::•:>» • or ^

sin(r — {) = tinrco8i— âîn/oosr

= ^ Q,tîo/wi--^'iin/^'*--Vfîn»îj

Donc l'angle FLM n'est autre que la déviation , et Taxe optiqi de la lunette indiquera sur le limbe la même direction que prisme^et limbe étaient immobiles. Le monTement de notre glol est donc latis effet sur la réfraction apparente; il n*est pas difltd de démonti^er qu'il en est de même de la réflexion , mais nous lai serons au lecteur le soin d'en arranger la démonstration. Qui au miroir mobile de l'expérience ($ 54), si sa vitene angnlaire < grande^ sa vitesse absolue reste très-faible; et voilà oommec quoique l'œil reste étranger à ce mouvement , la réflexion ni troublée par aucune aberration appréciable,

§ 80. — L'aberration d'une lunette indépendante du milien ^ remplit le tube.

Reportons-nous au § 16 et à la fig. 4 > ^^ supposons qu' i*emplisse le tube d'eau , la lumière mettra à le franchir un ten plus long, le tube éprouvera dès lors un plus grand déplacemei donc au lieu de battre en C% le rayon atteindra un point C| sil plus à droite : partant l'aberration aura grandi. Cette argumen tion, toute spécieuse qu'elle puisse paraître, est cependant ino recte. Si l'éther du vide est immobile , il n'en est plus de même réther de l'eau qui participe au mouvement de translation et e porte les ondes vers la gauche. Le déplacement effectif est donc différence entre le déplacement de droite agrandi et ce nouv< déplacement qui intervient. Soient /la longueur du tube, Via vite

dans l'eau , et —7 le temps du trajet. La vitesse de la terre est

vi, d-«ù cc. = l/J = /i;

DÉTERMIBIATION DEâ CONSTANTES DE L OPTIQUE. 93

les ondes ayant pour vitesse V - — r; — seront entraînées de [ s -k^—y J____{l Xj--X^

(liïïéreDce /— , — • Divisant par /, le quotient -— exprime Tangle (l'aberration intérieur au liquide. L'angle extérieur correspondant s'obtient en multipliant par ~ : Taberration du tube plein

d'eau est donc -» c'est-à-dire le quotient des deux vitesses de la

terre et de la lumière , comme si le tube était vide: et voilà pourquoi, ainsi que nous l'avions annoncé, la méthode d^ ffradley donne rigoureusement la même vitesse que celle de Roimer. Toutefois, nous retrouvons ici, comme dans l'expérience d'Arago ($49), que les résultats diffèrent suivant qu'ils sont traduits en déplacements linéaires ou angulaires. C'est à ce dernier point de vue seulement que le mouvement du prisme et celui du tube I plein d*eau ne produisent aucun effet.

§ 51. — Curieuse expérience proposée par M. Fizeaa.

L'immobilité de l'éther du vide et de cette partie de l'éther des corps à travers laquelle ces derniers glissent sans lui communiquer une partie appréciable de leur vitesse, a suggéré à M. Fizeau une remarque extrêmement ingénieuse qui a été de suite convertie par lui en un projet d'expérience. Nous ne pouvons mieux clore ces considérations délicates qu'en jetant un coup d'œil sur cette conception qui doit apporter, si elle est couronnée de succès, une nouvelle preuve du mouvement de translation de notre globe.

Soient un point lumineux et un écran solidaire emportés l'un et l'autre par un mouvement commun très-rapide ; puisque l'éther interposé est immobile, ou que tout au moins, quand il participe au mouvement, sa vitesse reste toujours inférieure à celle du mi> lieu, il suit que l'écran, quand le mouvement est dirigé de lui vers le point lumineux, va au-devant des ondes, et les reçoit à une moins grande distance du centre d'ébranlement et partant moins atténuées. Si le sens du mouvement change, cela équivaudra,

an contrairey à od accroisfenieiit de diiUnce : en panant «Ton m à raafre; c*est comme si la distance grandiiiait dans le rapport

en jeu, le rapport des deax intensités sera

/'-H 77^77 Y sensiblement i V — irrnl

i^ooo Sooo

La photométrie ne saurait sans doute apprécîar une atiaiî £riUe différence; mais on peut croire avec M. Fizeau qu'il n'en serait pas de même dt la thermométrie : on aunrit donc mw sMwea de chaleur placée entre deux piles très-sensibles, dont les souatioDS seraient rigoureusement en équilibre sur un galvanomètre dittèrentiet trèa-délicat ; par une rotation de 180 degrés , oh passerait d'une position à l'autre, et il s'agirait de consUtfr nn monvemeat de Taiguille aimantée.

COMMSmON DBS MOUVBMSirrS VlBRATOIRIâS. 9$

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES

Composition de deux mouTements vibratoires de même direction et de même période. — Ce problème se confond avec celui de la composition de deux forces concourantes. — Décomposition d*un mouTement vibratoire en deux. — Composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires. — Zones d'Huyghens. — L'écl ai rement d'une onde libre, en un point, est le quart de celui dû à la première zone. — Accroissement prodigieux, de lumière donné par récran deFresnel. — Éclat central de Tombre d'un disque circulaire opaque. — Obscurité paradoxale obtenue, à certaines distances , dans la tache lumineuse du trou circulaire. — Diffraction avec la lumière convergente. — Construction des fonctions et des intégrales qui s'intro-^ daisent dans le calcul des phénomènes précédents. — Tranches de Fresnel. — Cas où le rayon réfféebi est engendré dans la concile extrême. — Cas où la réflexion s'opère dans toute la masse du corps. — Cas des milieux dits opaques. — On peut résoudre le problème de la composition des mouvements vibratoires en considérant les seules excursions.

§ 52. — Un cas de la composition de deux mouvements vibratoires.

A propos de l'interférence de deux sons, l'un direct, l'autre réfléchi , nous avons indiqué (§ 46) la construction géométrique qui donnerait le son résultant et montrerait qu'il a la même hauteur que les sons qui le forment. Dans liniérêt des chapitres suivants, nous allons traiter cette? question par le calcul.

Trois hypothèses restrictives, autorisées par l'état actuel de l'optique expérimentale, sont introduites dans ce chapitre : les mouvements vibratoires don ton cherche la résultante sont parallèles, de même période et proviennent d'une même source^ en d'autres termes, il ne sera question ici que de rayons parallèles, de même couleur, issus d'un même luminaire.

96 eiiAnnB m. .:-<^w:»

Ces divers rayons diflTéreront par les chemins d^erin. K

V = s SID a ir - T

est la vitesse oscillatoire du point Inmineux, les yiteiMs qu'ils apportent an même instant , A une même tranche ' d'éther, seront (§ 10)

V =zh sin 2ir u'= b' sînair

&, Vy Vy... étant les coefficients que leur laissent les circonstances qui allongent leur route, et 3^ 3\ d" les chemins décrits. Si en place des retards on introduit les phsses /,/',/^-.. (S")>ona

M = bsin i^^j—f) ' v' = ô' sin f 2ïr- — /' Jv-

Nous supposerons toujours les rayons rangés de manière que y, y, f"y* aillent en croissant, et comme ce sont les différences de route e( non les routes absolues qui nous in* téressent, nous négligerons la partie commune à tous les rayons, à savoir d A Ton garde les retards et /"si l'on garde les phases, et nou# partirons des équations

u = ^ sm 2 ir -; 9

U'= ^'Sin f 2 7r-;— (pJ5

y^=y'sin(^,^I-7'), dans lesquelles 9,9',... sont les di fférences J'—J\ f"^fy . . .

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 97

des phases , différences qu'on appelle habituellement anomalies (*).

Ne considérons d'abord que deux rayons. La vitesse U du rayon résultant vaudra la somme algébrique des vitesses. On^aura donc

U=ôsin27r- -h ^'sin (aTTr, — y| = (fr -H ^' cos ç) sin 2 TT - — b' sin f cos 2 tt - 9

= Bsin f 2 7r - — >^j

si Ton pose

h -^ b' cos ^ = B cos >|< et b' sin cp = B sin i|/ ,

et si Ton remarque quf ces deux équations de condition seront toujours admissibles, puisqu'elles conduisent aux

valeurs

b' sin y

B= v^M-^^H-aTFcos», rang\L = -r rr

dont la première ne cesse pas d'être réelle, même quand cosy vaut — I.

De ce que U a la forme

Bsin

^27ci-~+j,

nous en concluons que le mouvement résultant eât. du même genre que les deux mouvements donnés, qu'il est

{*) Avec la forme

^e nous adoptons, les rayons qui sont en retard auront des anomalies po-» Hthres. Une anomalie négatÎTe indiquera que le rayon qu'elle caractérise précède le rayon fondamental dont l'anomalie est zéro. Ce serait le contraire n BOUS partions de la forme

soumis à la même période T et défini par U» don putmètres B et ^.

Lea deux équations de oonditidn dannent

,. t -h^'eosf . ^'ftiBf ■ ^ Mn(f-4.)= g îsmy B^f^ , .

c'est-à-dîre

On a donc

ù : b' :B:: sin(f — >p) : siniji : sin^;

de sorte qu'entre les trois coefficients et les trois différences de phases (f — ^, ^, 9, on a les mêmes relationa que dans le problème de la composition de deux forces, entre les trois forces et leurs angles d'assemblage. Ainsi le rayon résultant est, parla phase, intermédiaire aux deux autres et soneœf* ficient B est lié aux deux coeflBcients &, b' et k la différence des phases 9, précisément comme si b, b' étaient des forces et 9 leur angle d'écartement. Tous les résultats, toutes les constructions de la statique sur ce problème sont donc acquis à notre question d'optique. Assemblons (Jig* 3i)deu3i droites sous Tangle 9, anomalie du dernier des deux rayons donnés, prenons sur chacune, des quantités OA, OB proportionnelles à leurs coefficients i, i', construisons le parallélogramme^ la diagonale OC sera l'amplitude du mouvemen résultant , et les deux tronçons COB, AOC de l'anomalie AOB expriment ce dont le rayon résultant précède le dernier rayon et suit le premier.

Si du sommet O on décrit une circonférence, les troidirections y déterminent trois arcs, mesureurs des troi' différences de phases. Si la circonférence avait pour Ion

gueur X ou pour rayon — » les longueurs des trois arcs rectifiés ne seraient autres que les trois retards.

Mous avons supposé, dans ce qui précède, l'anomalie 1 moindre que 36o degrés, mais la règle précédente est gén^

COMPOSITION DES MODVBMENTS VIBRATOIRES. 99

raie; seulement, quand l'anomalie surpasse une ou plusieurs circonférences , il faut prendre pour (f Tangle qui reste qutnd on en a retranché le plus grand multiple de quatre droits qui y est contenu.

Le problème inverse, qui consiste à substituer, à un mouvement vibratoire, deux autres mouvements de même période, est indéterminé. Mais quand on se donnera les deux difiérences fi, f, comprises entre leurs phases et la sienne ^, on connaîtra B, (jpi, 9s (?i appartenant au rayon qui est en avance); dans ce cas le problème est déterminé et donne -^

b : B :: sinçj : sin((p, -h q>j), ^' : B :: sinflp, : sin(f, -H tpî);

de sorte que les deux rayons seront

^ sin®2 . / ^ , \

u = B -; — - — ^ — — , sin ( air- — y -+- ?i h

, ^ sinipi . / ^ , \

u'= B-: — :Sm(27r- — \L — ©a)-

Discussion, — Si dans le problème direct, ç = o, on a ^=:Oy B = b-hb\

Imtensité 6' surpasse donc de 2 bb' la somme des deux intensités, f = 1 80 donne encore

tangi]; * ou \p=o et B =5 ft — b\

Quand q? = 90 et que le retard du second rayon vaut jy

on a

If

tang>|» = T- et B*=^»-h^'%

et l'intensité du rayon résultant vaut alors la somme des intensités des deux composants. Ajoute-t-on la supposition b=: b\ alors l'intensité est doublée dans le rayon résul-

loo GHAPmsni.

Unt et la phase <f», donnée par ungtp = i| répondant 1 g)

îe retard du rayon résultant sur le premier rayon êM*^i%d à son avance sur le second. ' J* ^^

Dans le cas très-important où f = 90, les éqdhtiwrde condition deviennent 7t : ^

^ = Bco84>, ^=Bsinf.

On voit donc que si, passant au problème inverse, on le propose de remplacer un rayon U = B sin air - par deux

autres qui diffèrent de 7 X, Tun ayant Favance p et l'autre

le retard 7 X — ^9, ce qui donne les anomalies

21r^ = ^^ et --^^fr, \ ^ 2 ^

le premier composant serait

V =: B CCS 27r£sin(2ir--H27rM et le deuxième

u'=: B sin 2 TT Ç sin f 2 TT ,j; — - -h >^ j •

Si le rayon à décomposer avait été pris de la forme U = Bsin (^îT- — ^U

ses deux composants seraient u = B cos 2 TT ^ sin 2 7x - 5

u'= Bsin 2»r^sin( 2ir- ) =— Bsin2tr

^C0S2ir--

Toutes les fois qu'il ne sera question que d'intensités, on se bornera à considérer les facteurs

3coS27r^j Bsin27r^»

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES lOI

ar

§ 63. — Gonpositioii d'un nombre quelconque de rayons. ^ I — La méthode.

On donnera à ce problème la tournure suivante, imitée férf de la sjLatique :

On sait qu'en statique, ayant les forces Py P', PV -m dont la direction est définie par les angles a, a', a'^,... comptés avec Taxe des X , on substitue d* abord à chaque force, ses deux composantes

iP ces a , j P ces a', ( • • • I P sina , 1 Psina', ( . . . . (

ce qui donne deux résultantes partielles ZPcosa, 2 Psina y et qu'ensuite on a la résultante totale

R = ^{2Pcosa)*-f-(2Psina)' :

ayant ici une foule de rayons, de coefficients 6, &', i",..., sachant qu'ils ont, par rapport au premier, les retards o,

p', p%... ouïes anomalies o, 2 7r^> 27r^v«-* Pour avoir

les deux caractéristique» B et i{< de leur rayon résultant , nous remplaçons chacun d'eux' par deux autres ayant pour

retards o et -> ou pour anomalies o et - : les coefficients

des rayons du premier système seront

b^ ^'cOS27r^j 6"c0S2rrY7"M

et celles du second

j o, "6'sin2 7r^r ^"sin 2 7r ^5 •• •?

la phase étant la même pour les rayons de chacun de ces systèmes ,. les deux coefficients des résultantes partielles sont

2 b COS 2 TT Ç ) 2 />> Sin 2 TT ^ )

loa CHAPITRE III.

et celui de la résulunte, d'après la fermule particulière

B=v^F+l!^' (page 99) sera

B = i/(2 6cos27rn H-fs^sinairn •

Quant à Tanomalie de ce rayon résultant , d'après la formule particulière

. b' tangi|; = ^,

elle dépend de l'équation

taDg\|/ =

2 ^ fin s r -

2 b CCS 2 TT Ç

Pour trouver sans retard une occasion d'applicpier ces formules , et pour alléger le chapitre de la diffraction, nous allons compléter les développements que nous ayons déjà donnés sur le principe d'Huyghens.

s^ 54. — Zones d'Huyghens.

La lumière au point P est, avons-nous dit (§ 19), la résultante des ébranlements que lui envoient tous les points p, p'^ p'\ . . . , de Tonde prise dans une quelconque de ses positions antérieures. Supposons (fig^ Sa) que ces points soient définis par les équations

P/>' ~ Pj. = ^ , P;," == P;>^ = i , . . . ,

les lignes P//, Vp" détermineront sur Tonde sphérîque, en tournant autour de CP, un anneau central et dés surfaces annulaires qu'on appelle les zones d'Huyghens.

Les divers rayons que les points de la calotte sphérîque

centrale envoient en P, ayant des retards moindres que -7

a joutent quelque chose à Teffet du rayon CP. Il en est de HK ine (les divers mouvements envoyés par les points d'une

COMPOSITIOM DES lifUlYBUIOITS VIBRATOIRE». I o3

mémezone^ ils ont entre enx tous les degrés de concordance imaginables depuis le plus paVfait, jusqu^à celui qui inaugure la série des discordances. Mais les rayons de deux zones contiguës sont au contraire en discordance, et sMls étaient en même nombre dans les deux zones , parallèles , et chacun à chacun de même énergie, ils s'entre-détruiraient rigoureusement. Mais cette triple équivalence, quoique bien approchée, n^a pas mathématiquement lieu: d'une part, l'étendue des zones, et avec elle le nombre de leurs rayons, décroît progressivement j de l'autre, Ténergie de leurs rayons dérivés s'affaiblit. Bref, si i^ i', i", . . ., sont les coefficients de vitesse de la résultante des mouvements que chacune envoie , B vaut

Avant de chercher cette série. B à l'aide de nos formules, lâchons d'obtenir sur elle, par des moyens simples, quelques renseignements.

La petitesse de -fait que, dans les conditions denos expé^

riences, la triple dégradation que présentent les mouvements vibratoires des zones est lente et que deux anneaux contigus envoient presque la même lumière au point P. Cette équivalence est surtout admissible pour les dernières zones qui , en outre , par suite d'une grande obliquité , n'envoient plus qu'une lumière insignifiante. En tenant compte de cette faiblesse des derniers rayons et de leur meilleure compensation, on n'a plus à chercher si le nombre des zones est pair ou impair et on peut considérer la série

conune allant à l'infini. Nous allons en conclure avec Fresnel que le mouvement de chaque zone est détruit par la moitié des mouvements des deux zones entre lesquelles elle % trouve : qu'ainsi , les mouvements épargnés et la lumière se réduisent, les uns à moitié de ceux du premier anneau ^ et l'autre au quart de è^

io4 CHâPnruBiu. -^^-^^^

Soient en eflet

les surfaces des zones d'Huyghens et les ? alenn lentement décroissantes des coefficients de leurs Tihratioas, les vibrations résultantes seront proportionneUes aux produits

la demi-somme du premier et du troisième vaut

le produit intermédiaire est

Leur différence estdonc une quantité petite du second ordre. La somme des erreurs de ce genre obtenue de procbe en proche, en très-grand nombre, nemontera qu'aune quantité petite du premier ordre et peut être négligée. Si au contraire on voulait réserver tout le mouvement b de la première zone et détruire J' par &'', b^^ par i*^, . . ., les difierences 6' — i", i"' — i*^,. , ., seraient petites du premier ordre et leur somme donnerait une erreur comparable à b,

§ 55. — Multiplication de lumière par récran de Fresnél.

Si on obstrue , par un écran construit avec soin , les zones 2, 4 î 6, . . . , de manière à ne laisser parvenir en P que les mouvements concordants des zones i, 3, 5, 7, ...» on aura un accroissement prodigieux de lumière. Fresuel a fait construire un écran de ce genre. Pour notre salle, longue de 10 mètres, et pour des rayons rouges, la largeur de la deuxième zone (elle est maxima quand C;^ = pP) atteint presque un demi-millimètre et nous avons pu Texécuter : en la soutenant avec une petite tige (/ig» 33), onobtientaupointP, d'abord toute la lumière de la première zone, puis le quart

CmiPOSITlON DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. Io5

de celle de la troisième, c^est-à-dire environ cinq fois plus de lumière que sans Fécran.

1 56. — fidairement du centre de l'ombre d'un disque opaque.

Nous prévoyons de même, qu au centre de l'ombre géométrique obtenue derrière un petit écran circulaire, on aura sensiblement la même lumière que si l'écran n^existait pas. En effet Fécran supprime un certain nombre de zones, plus une fraction de zone^ les mouvements qui restent doivent être groupés en nouvelles zones dont la première est à demi épargnée. Or, si Fécran est assez petit pour que celte première zone ne soit pas d'un rang élevé ,

le quart de sa lumière ne différera sensiblement pas de-yb^.

§ 57. — Obscurité au centre du cercle lumineux donné par un trou rond.

Le centre de la tache lumineuse circulaire qu'on obtient, quand on place devant un point lumineux un écran opaque percé d'un trou rond, peut être parfaitement noir. Il suffit pour cela que le bord du trou corresponde exactement à un nombre pair de zones, c'est-à-dire que l'on ait (Jig' Sa)

Pw — P, 0 = 2/1 — ' 2

Derrière un trou quelconque on trouve toujours plusieurs distances pour lesquelles cette condition est satisfaite. Si ou appelle a et S les deux distances C;;, /?P, la différence Ptt) — l?p vaudra à très-peu près les deux sinus verses wj, «TT, et Féquation précédente deviendra

En mesurant r, rayon de l'ouverture, et les distanees a , 6 , et en partant d'une distance 6 assez grande pour ne pas manquer la première tache noire, on connaîtra n et on pourra tirer de Féquation précédente une bonne valeur de/.

Io6 CHAPITU m.

Sans uoiu «rrèter à tirer simplement d*aiitreB eomé^ quences du principe d'HuyghenSy arrivons aux calevlsqai donnent, avec plus de précision, celles qui précèdent.

§ 6S. -- GompositîiMi des mouvemanta Tilnratoirea aiaooiéi par la dérivation. — La calcul.

Puisque Tefficacité appartient surtout aux premières zones, puisque les zones d^un rang un peu élevé cessent de contribuer sensiblement a la lumière du point P, il soit que Ton peut considérer comme parallèles les rayons envoyés par Fonde et appliquer à leur composition les formules précédentes.

Associons [fig, 3a) au rayon Cp, pris pour axe des Zy deux axes rectangulaires ^X, ^ Y situés dans le plan tangent à Tonde menée par le point /?, et soient x, y^ z les coordonnées d'un élément e de cette onde situé dans Fazimut CeP : pour des zones dVn rang aussi peu élevé, e ne difiérera sensiblement pas de sa projection dxdy. Si donc on désigne pary(6) la fonction suivant laquelle le mouvement dérivé s^atténue avec l'angle d'obliquité 0 qui sépare sa direction sP deCs, la vibration envoyée par l'élément e en P sera déjà proportionnelle à dxdyflB). Si nous représentons par i le coefficient de vitesse sur la sphère de rayon i , sur la

sphère de rayon a il sera - (§7)^ mais le principe d'Huy-

ghens, en faisant, de chaque point de l'onde, un centre d'émanation , autorise à étendre aux mouvements, dérivés dans une même direction , la même loi de dégradation : donc sur les sphères secondaires de rayon 6, le coefficient

sera encore réduit dans le rapport -• Somme toute, la vibralion en P issue de l'éléraent e sera

Sou retard vaudra encore sensiblement la somme de deux sinus verses, que Ton pourra évaluer approximativement

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VlBRATOliUSS. 107

en attribuant aux deux arcs une même valeur, k savoir la corde pe = ^x*-hy*-h z* de l'un d'eux ; mais z est si petit, dans les conditions admises, qu'on peut le négliger et adopter pour le retard Texpression

L'anomalie de ce rayon sera donc

et si on le transforme en deux autres qui aient pour anomalies o et-t leurs coefficients seront

~^^j/(0)sin7r"-^(*^+r^).

En étendant la même opération à tous les éléments de l'onde, le carré de l'amplitude de la résultante générale de tous les mouvements, c'est-à-dire Tintensitél delà lumière en P sera

I anomalie du rayon résultant sera

dxdx/(B) sini:'^-^ (x' -h X')

Çfdx dyf[ 0 ) cosTT ^^ (x' ^ j»)

Pour les premiers rayons, l'atténuation due à l'obliquité ^t insignifiante ; les mêmes motifs qui nous ont permis d'étendre à tous, le parallélisme apprpximatif des plus in^ fluents, nous autorisent à négliger entièrement rinégalilt*

tu i. ■•

io8 ^, • caAjmmEiii. r«iri^

introduile par la d^rivalion el k poser

La solation da problème dépend alors des dêut intégrales -

jyiforfjcosirî^(x»H.r>),

développant les lignes trigonométriques , la première

donne

ce a-f-€ a-f-€

I I dxdy CCS ir -33^7- a' cos tt — ^^ ^

et la dernière

I I ÉfX€fy sinir —^^ -c*cos7r--5^j'»

aa oGX

aSX ^ a6>

remarquant que a: et j^ sont séparés, et représentant par les lettres A , B , C , D chacune des intégrales simples , on a les expressions

r/jTsinTT — sr-«^' \ dy^iuit — sr"r*=AB— CD,

^arcosTT — 2r-^' I ofj sinTr — — j'=CB4-AD,

en élevant au carré pour obtenir Tintensité, les doubles produits se détruisent el il reste

I = A'B^-4-C'D'H-CB2-h A'D^

COMPOSmOli DES MOUVEMENTS VIBRATOIRE^- 109

Enfin, quand les limites seront les mêmes pour x et -poury, quand, par exemjple, la portion de Tonde épargnée autour du rayon. C/7, sera un carré dont les côtés soient dirigés suivant les X et les y^ ou encore quand il s'agira de Fonde entière, on aura A = 6, C = D, et, par conséquent,

Dans tous les cas, les intégrales en y portant sur les mêmes fonctions que celles en or , le problème se ramène à l'intégration des deux seules expressions

Posons

dx cos TT — —— ^% \ dx sin tt — — — a:*.

<xZ\ J a6X

V''"-^'=Vï' '■'•' '^='^\/i

agX

2 (a -H 6) elles s'échangent contre les deux autres

On ne connaît pas F intégrale générale des expressions différentielles

rtc cos - p^, dp sin - p' :

mais on a trouvé (note A) que, soit entre les limites o et 00 , soit entre les limites — 00 et o , elles avaient toutes

deux la valeur -y et, par conséquent, entre les limites — 00

et -f- 00 la valeur i . Cette connaissance ne parait guère devoir profiter à notre question, puisque, dans le cas le plus large, quand on prend l'onde entière, les limites s'arrêtent au cône enveloppe mené par le point P, et correspondent à des valeurs finies de a: et de j^. Cependant Fresnel remar- ({uant qu'il n'y avait aucun inconvénient à étendre les zones d'Huyghens à l'infini , puisque une telle hypothèse n'introduisait dans l'intégrale, à la suite des éléments vrais, que des éléments égaux et de signe contraire qui ne modifiaient

" ' v^vf:

IlO ! ^ GHAPTUUIIII. i*r4.

pas dès lors la somme des premiers élémniik, en acoiNlv que pour avoir rédairemeni normal en P, il fallnl pfeadie tes intégrales ci-deisus entre les limites -*^ eo et «K • ; c'estri-dire poser

/dlrcos-x*=i, lutrsin — =1.

L'intensité donnée par Tonde entière vaut donc I=A*-4.e-+.2A'C»=4A<==4f r'*"*d:rcosic —?*»,]

puisque entre ces limites l'intégrale da sinns a la même valeur que celle du cosinus : il vient

Et si Ton rétablit le facteur — ; on trouve enfin, pour 1 9 Texpression

qui est, comme on devait s'y attendre, indépendante aussi bien du rayon a de la sphère sur laquelle il nous a plu d'appliquer le principe d'Huyghens , que de la distance supplémentaire S, et qui ne dépend que de la somme a -f- £9 distance totale à laquelle elle reste liée par la même loi de h raison inverse du carré. On a en outre

*"°«*=AB = CD = Â^3Â' = ^' cest.à-dire + = -•

Ainsi le rayon résultant a pour coefficient -r et il est eh

retard de j\ sur le premier rayon CP.

§ 59. - Autre expression de la résultante. On peut diriger autrement les calculs précédents et ob tenir des formules précieuses pour le cas où la portion d< Tonde utilisée sera de révolution autour de CP.

GOMPOSITIOl» DBS MOUVBMKNTS VIBRATOIRES. 1 1 1

a cokB Soit s la disiance ^x* -hj* d'an point quelconque au poiot p : tous les mouvements de Panneau 2 'Ksd^ ont le t 4{| même retard

ou la même anomalie t:s* — — -; il s'ensuit que l'intensîté en P sera

a iM

pou/i

ppjr

et la phase du rayon résultant

1 ^itsdssim: ■

tangrj/

I 2 IV sas cos TT — :— - .v'

ici les intégrales s'effectuent et Ton a

a -f- 6 aê>. . a -h 6 ^ 2 TT ^rw COS TT — 2r- >*'' = 2 s»n tt — --— .v^ -f- r ,

aS/. a -h 5 a5A

, . a -4- 6 , aS^ a + 6 ,

^oj smw — -— - 5'= r cosTT — sr— -^ -'"<^«

Pour avoir la lumière de la première zone d'Huygliens , les limites seront

ce qui donne

s = o et 5' — = - ?

tang \p = = 00 ,

c est-à-dire que le rayon résultant éclaire quatre fois plus

que si Fonde était libre j et au il est encore en retard de y

Ob trouverait le même résultat en prenant trois zones ou,

plus généralement, un nombre entier mais impair de zones.

lia GHAnnuB m .

On voit ici que pette moitié réservée de la d'Huygliens, qui constitue Téclairement nonnal,doit se ciniiposer d'éléments uniformément disséminés dans la «one entière.

Si le trou circulaire occupe juste les deux premières zones ou plus généralement un nombre pair de zones, les limites seront

^ = 0, J* — =riî>:

on trouve alors I =: o.

Si au lieu de prendre ainsi pour s des valeurs particulières, nous le laissons quelconque, les limites seront 5=0, j = r et Tintensité vaudra

,1Tê7[(-''-^^)-(— =^'— )■] •

ou bien simplement

4sin'7r — — r»,

si l'on ne prend que le rapport entre l'éclairement obtenu et la lumière normale. On aura aussi

^^"fe- + = . a + 6 = ''"^ "" "i^ "^^

sin TT — -- /•'

aSX

Si la lumière est blanche, la teinte s'obtiendra en faisant la somme des expressions analogues données (a et 6 restant les mêmes ) par toutes les valeurs de X ; et elle sera représentée par le symbole

> sm'TT --r'.

^^ • 2 aêX

On chercherait en vain à réobtenir, à Taide de la nouvelle formule, l'éclai rement normal, car les hypothèses 5 = 00 , 5 = — 00 donnent des valeurs indéterminées.

GOMPOSITIOIII DES MOUVBHBUTS VIBRATOIRES. 1 1 3

§ 60. — L'éclâirement central de l'ombre du disque opaque, justifié par le calcul.

Pour avoir réclairement au centre de Tombre du disque circulaire /il faut chercher le rayon qui, en se superposant au rayon résultant d'une ouverture égale , restituerait le rayon résultant de Totide illimitée. Ce dernier a pour paramètres et - ; l'amplitude de l'autre est

\ . îT a -4- 6 .