AC CB

ui effet, si l'on caractérise [fig, 21) la position des deux K>ints A et B par les longueurs J, A, li de la distance ab et les perpendiculaires Aa, B&, et celle du point inconnu C

par aC = a: , 1 expression '•^ + —, devient

elVéquation du minimum

ac I $ — X

V y/h^J^x'' V' ^h'^ -f. (^ - xy ' cesl-à-dire

'ijW-i- {§ — xY

Le seul reproche qu'on puisse faire à la méthode emiployée par Fermât, est d'être la plupart du temps hors de la jportée de l'intelligence humaine. Où a-t-il plu à Dieu de 'placer l'économie? Il n'est plus facile de le découvrir dès qa'on sort des cas simples où l'économie porte sur le chemin et sur le temps. Aussi , tout en applaudissant aux succès qu'obtiennent quelquefois dans cette voie, des intelli- |ences supérieures, nous ne voyons dans la méthode des causes finales qu'un procédé scientifique exceptionnel. En général c'est à posteriori y c'est à la suite de recherches déoumées et pénibles, et non pas par une sorte d'intuition, p'il est donné à l'homme de comprendre l'infinie sagesse jà règne dans les œuvres du Créateur.

Toujours rsl-il (|uc Fermât el la tliéorie des oiides s'ac- ( orilent pour houvor le rapport tics sinus égal h celui des vitesses, cl faire aller par conséquent la lumière moins vite dans Teau (|ae dans Taîr. La théorie de l'émission donne, au contraire, une vitesse plus grande dans les milieux plus réfringents. On ronçoit doue qu'on se soit attaché à trouver des expériences catégoriques pour décider une division aussi formelle. Arago a fourni les meilleures.

i^ 34. Transport des franges, lleprenons rcxpéricnee de Young, cl plaçons devant I(* trou A (fig. 9) une lame mince de verre ^u^ d'indice n et d'épaisseur e. On prévoit un déplacement des franges. Si la lumière allait plus vite dans le verre que dans l'air, la frange centrale qui marque le point où les deux rayons ont battu le même nombre de vibrations , et avec elle loutTensemble des franges, serait jetée h droite 5 or c'est à gauche eu T el du côté du trou masqué par la lame que le déplacement a lieu. Si le déplacement, tiès-mesurable au micromètres , est de IX franges , on a d'une part GH = jutX , cl ic l'autre GH excès géométrique du chemin GT, égale (/ï— 1)^ (îxeès physique du chemin Aï ; d'où ak = {n — I ) ^.

Au lieu de cette forme donnée h l'équation du transpor par les auteurs qui ont proposé de l'appliquer à la détermination de l'un des deux éléments de la lame, e ou n , non' préférons la suivante :

al -f- <î r

qui exprime que, dans la lame el dans l'air excédant, il y *

le même nombre d'ondulations. Elle donne X'= A r

et, pour ceux qui a^mctlentla proportionnalité des vitesse el des longueurs d'onde, elle établît que V et par codscquenl Vsonl moindies que/ el V.

DÉTERimiATIOAI DBS CONSTANTES DE L'OPTIQUE. 67

§ 35. — Les demi-lentilles.

Voici une variante de Texpérience de Young, qui offrira degrands avantages , toutes les fois qu'il s'agira, comme ici, d'introduire dans l'un des faisceaux inierférents, à l'aide de Tînterposî lion d'un corps, un retard physique.

Coupez en deux une lentille convergente , d'un foyer un peu long , un verre de lunettes de presbyte par exemple , et raccordez-en les deux moitiés de manière que leurs centres optiques respectifs soient distincts et légèrement séparés. Les rayons issus d'un point suffisamment éloigné formeront, [ au delà de ces demi-lentilles , deux faisceaux convergents ; qui se résumeront en deux points distincts c', c". L'écartementde ces deux images pourra être poussé jusqu'^ quelques millimètres sans que les faisceaux redevenus divergents cessent d'entrer, un peu plus loin, en superposition et, partant, d'engendrer des franges.

Or, ces images réelles constituant des défilés par lesquels passent tous les rayons, en couvrant l'une d'elles du corps retardateur, on atteintla totalité d'un des systèmes de rayon s interférents , et comme le corps peut visiblement n'avoir que des dimensions insignifiantes, ou que, si on le su{)pose étendu, son action est circonscrite dans une région micro • scopique, toute difficulté provenant, de l'épaisseur qui doit être uniforme , de la pureté et de l'homogénéité qui doivent être parfaites , s'évanouira. Les deux trous seuls offriraient les mêmes avantages , mais la lumière y est trop faible. Avec les deux fentes , le corps agit déjà par une étendue notable : avec le biprisme, les miroirs et tous les appareils à foyer virtuels^ la section minima des deux faisceaux est aisément

^ grande. Il y a plus , les portions qui donneront l'înterfélence s'y trouvent , dès le début , dans un état de superpo- «lion tel, qu'il n'est pas facile de n'agir que sur l'un des «jstèmes.

Les^g^. 199 et 23 1, tome II, se rapportent à des plié-

iiomèiies J'intcrleieiice ainsi engendrés avec les demi-leu" tilles.

§ 36. — Vitesse de la lumière par les miroirs tournante.

L'expérience suivante, imaginée encore par Arago, a sur la précédente Tavantage d'être affranchie de notions théoriques que l'on pourrait récuser.

Quand on fait tourner un miroir autour d'un axe situé dans son plan, on sait que l'image d'un point lumineux, vue dans ce miroir, s'anime d'une vitesse angulaire double et décrit, h chaque tour, deux fois le cercle qui a pour rayon la distance du point à Taxe. Les deux cercles consécutifs seront réellement décrits par l'image, si les deux surfaces du miroir sont polies, s'il est formé, par exemple, de deux miroirs égaux et adossés.

Un miroir tournant offre de grandes ressources pour l'étude des phénomènes qui ont une courte durée. 11 dilate énergiquement dans l'espace ce qui est fortement serré dans le temps. Le point lumineux est-il formé de deux poinls ^ qui se succèdent à court intervalle, on en verra deux images dont Técarl croîtra avec la vitesse de rotation.

Pour approprier cet appareil à la question qui nous occupe* supposons d'ahord avec Arago qu'on se donne, au même instant, sur une parallèle à l'axe, deux points lumineux instantanés. En les regardant dans le miroir que nous supposerons vertical, on les verra alignés sur une même verticale. Il n'en sera plus de même, si l'on interpose entre l'un d'eux et l'œil une colonne d'eau. La lumière retardée, suivant notre théorie , par ce lîcpiide , et accélérée dans sa marche suivant les émîssionistes , rencontrera le miroir dans une position postérieure ou antérieure, et l'image de ce point sera jetée à droite ou à gauche de la verticale qui contient l'autre image.

La réalisation du plan que nous venons d'esquisser présentait plusieurs difficultés qui ont été éludées ou surmontées, presque auniêmc moment et par des moyens analogues,

d'un côté par M. Foucault, et de l'autre par MM. Fizeau et Bleuet. Nous nous bornerons à décrire l'expérience du premier de ces observateurs, auquel est écliu le béuéiice de la priorité.

Soit (fig» 22) un point lumineux P, plus loin un objectif C, immédiatement après, lemîroir mobilemÛAi, etenfin, en dehors delà ligne PCO, un miroir concave /r/'fx/ï', dont le centre de courbure soit mis en coïncidence avec le milieu O de l'axe de rotation, grâce au choix des deux distances PC et CO -1- 0|ut qui sont focales conjuguées, quand le cône convergent des rayons réfractés par l'objectif vient, après réflexion sur le miroir mobile , rencontrer le miroir fixe, la rencontre a lieu au sommet du cône; une seconde réflexion les renvoie donc au miroir mobile qui les reprend presque tous. Rendus par lui à l'objectif, ils forment une image de retoiir qui coïncide avec P , quand le miroir mn placé dans la position convenable y reste immobile.

En parcourant deux fois la distance Ofx, que nous supposerons de 4 mètres , les rayons éprouvent un retard qui s'élève à -7 de seconde. Si le miroir tourne, ils ne le

retrouvent plus dans sa première position ; ils sont donc

rendus à Tobjectif dans une direction p'C, différentede pO,

et Timage de retour, au lieu de coïncider avec P, est jetée

quelque part en P'. Avec 5oo tours par seconde (vitesse

qui déguisera rinlermittence des retours de l'image) , le

. . , , 5oo : 36o . 60 . 60 ^ j

Buroir a;ura tourne de — 7 = 10,2 secondes

d'angle, et Tangle p'Op\ ou bien PCP' si nous supposons d^abord la distance CO négligeable^ s'élèvera, d'après le principe fondamental du sextant , au double 32^,4 , ou à un peu plus d'une demi-minute. En admettant avec M. Foucault 3 mètres pour la distance de la mire P à Tobjcctif, Técart linéaire />//, engendré par la déviation 3?/', 4, s'élèvera à

3ooo"'"' = o •"'",/! 86.

70 GHAPITEE U.

La formule générale interprétative de Texpérieiice s'obtient aisément. Soient r, /', /, d les disUncea PC, CO, OlizssOpei PF, nie nombre de tourspar seconde eteorangle dont a tourné le miroir mobile pendant le double trajet^ la lumière entre les deux miroirs. Dans la formule

t on aura

mais

d'où t vaut

Pour

/=4», /' = i«,i8, /î = 5oo,

cette formule donne

et rexpérience a donné le chiffre bien rapproché o^^^ip- La méthode pourrait donc avoir la prétention de fournir une mesure absolue de la vitesse de la lumière , et à ce titre prendre place à la suite des méthodes développées dans la première partie de ce chapitre. Bornons-nous cependant, avec l'inventeur, à n'y voir qu'un moyen décisif 4e vider le débat qui nous occupe.

Disposons dans ce but un second miroirsphérique|X| à côté du premier; il donnera les mêmes résultats, c'est-à-dire une image de retour P'', coïncidente avec P, ou séparée de ce point, suivant que le miroir tournant sera immobilisé dans la position convenable, ou aura son mouvement.

Mais si l'on modifie la qualité physique du chemin Ofx,, deux fois décrit, en interposant un tube plein d'eau, et compensant, par une lentille convenable L, rallongement du foyer, on séparera P', image de retour de l'air, de P'', image de retour de l'eau, verdàlre el plus faible. Comme il est

DÉTERlIINATlOi^ DES CONSTxVNTES IXE L OPTIQUE. 7 l

impossible que le tube d'eau remplisse cxaclement riulcrvalle compris entre les deux miroirs, Vi dans la formule

6nnrr

sera la vitesse moyenne de la lumière le long de Tespacc mixte 2/. Connaissant les longueurs RelS, dans lesquelles le trajet 0|uti se partage entre l'eau et l'air, on en déduirait sans peine par la formule évidente

la valeur V de la vitesse dans l'eau. Au point de vue qui nous suffît, on se bornera à constater que la déviation due à l'eau est, conformément à la théorie des ondes, la plus i;rande. Dans une expérience instituée dans les conditions iminériques précédentes, M. Foucault avait

cl obtenait un déplacement de la mire (%al à o"*",469. La ihéorie donne o,364. H est remarquable que la cause perturbatrice (peut-être une erreur dans l'estime du nombre //) quia amoindri chacun des deux chiffres trouvés, ait les- I)ecté le rapport que leur assigne la théorie.

Le point lumineux P ne peut que gêner ; l'œil a tout intérêt à ne pas le voir et à ne recevoir d'autre lumière que celle des deux faibles images de retour dont il doit apprécier la position relative. M. Foucault les rejetait sur le côte en Q', Q^' dans le plan focal d'une loupe 1/ (grossissement 10 à 20) , à Taide d'une lame de verre M épaisse, à faces parallèles, nonétamée et présentée sous l'angle de 45 degrés. L'emploi d'un miroir sphérique et la disposition que lui donne M. Foucault procurent deux avantages : i^ les images (le retour, formées par la réflexion aux divers points ri',..., i,..., m', où le faisceau mobile le rencontre, sont rigoueusement coïncidentes, et à ce titre il joue le rôle d'ampliicateur de l'intensité^ 2" on peut prendre pour mire, au

lieu d'un point lumineux, un petit carré vivement illuminé par le trait solaire et coupé en deux par un fil fin de platine. Si , à l'aide d'un écran armé d'une fente étroite, on réduit aux parties ceu traies la portion de l'image de la mire qui arrive au miroir fx , les deux bouts de Timage de retour du fil fin , procurée par le miroir fii , seront plus visibles que sa partie centrale, et Ton constatera sur ces deux bouts de l'image vcrdàtre un plus grand déplacement que sur la partie centrale de Tirnage de Tair. C'est ainsi que, sans recourir k la condition d*instantanéité de la mire posée dans le pro- , gramme d*Ârago, M. Foucault a montré nettement que la lumière était plus retardée par Teau que par Tair.

§ 37. — Franges obtenues avec d'énormes retards.

Quelques physiciens contemporains ont introduit, comme nous le voyons, dans Toptique expérimentale une hardiesse couronnée du plus beau succès. Gomme initiation plus profonde à ces nouvelles ressources, et pour justifier ce que nous avons dit (page 43) sur le nombre prodigieux des franges réalisables , nous allons faire connaître la méthode par laquelle MM. Fizeau et Foucault ont pu dans diverses expériences , celle des miroirs par exemple, conserver les franges avec des retards de plusieurs milliers d'ondes, et dissiper ce défaut d'homogénéité de la lumière queFresnel, à plusieurs reprises, signale comme un obstacle capital à la production des frangc*s d'un ordre élevé.

Reprenons (fig. 23) le dispositif de la yïg^. lo, à savoir un point lumineux et les miroirs; mais substituons à la loupe, pour recevoir les franges, un écran EE' percé d'une fente étroite qui leur soit parallèle. Cette fente donnera passage aux deux faisceaux interférenls, et les laissera passer avec leur divergence que l'on peut rendre très-faible. Une lentille placée au delà , à la distance focale principale, reçoit les deux faisceaux et les parallélise; un prisme et au besoin deux ou trois prismes consécutifs les reçoivent ensuite, et communiquent aux rayons élémentaires une sépa-

DÉTSEmilATION DES CONSTANTES DE L'OPTIQUE. 73

ration angulaire, près de laquelle l'ëcartetnent des rayons de même couleur, issus des deux points, est peu de chose. Enfin une lentille achromatique, recevant dans des directions diverses les paires de rayons homogènes auxquels les prismes ont laissé le parallélisme, les réunit dans son plan focal principal en une série de foyers qui forment un spectre RY très-dilaté.

Or ce spectre est la superposition sensiblement parfaite de deux spectres dus aux deux faisceaux interférents jetés sur la fente parles deux miroirs. Comme les prismes , pas plus que les lentilles § 31 , n'ont introduit , entre ces rayons , de différences de routes , les rayons superposés se trouvent avoir tous une même différence de route qui dépend de la position de la fepte. La fente coïncide -t-elle avec la frange centrale , les couples de rayons superposés sont d'accord, et le spectre résultant est un spectre normal dont les raies' ont une grande netteté. La fente s'éloigne-t-elle de la fente centrale, un relard s'introduit

entre les divers couples 5 quand ce retard vaudra le - du

violet, cette couleur disparaîtra du spectre résultant. Un

peu plus loin il vaudra le - du rouge , et la large frange

noire, après avoir traversé le spectre, sortira par Textrémité rouge. Quand la fente sera amenée là où le retard

vaudra 17 fois le - du rouge moyen, cette couleur sera détruite dans le spectre et remplacée par une frange noire 5 en divisant 17 fois = 6270 par - — demi-longueur d'onde du violet moyen, on trouve 25. Les deux rayons violets se détruiront donc aussi et donneront une autre frange noire. Entre ces deux rayons extrêmes , le quotient de 5270 par la demi-longueur d'onde des rayons interposés , passera, avec continuité, par toutes les valeurs intermédiaires à 17 et à 25. Les rayons qui donneront les quotients 19 , 21

74 CHAPITRB II.

rt 23 se délruiroiit. Brrf , on aura un spectre rompu par cinq franges (*).

Au lieu de promener la feule, on la laisse immobile, ol l^on dëtcrniino, enti-e les deux rayons qui la traversent, li's retanls croissants, en poussant parallèlement un des miroirs (le premier), et le faisant saillir de plus eu plus. On ne larde pas à perdre les franges sur la fente, parce que les rayons super|>osés ont des retards trop grands; mais ces grands retards deviennent efficaces quand les deux faisceaux ([ui les présentent ont été élaborés par les prismes. Au fur et à mesure que le miroir s'avance, arrivent du côté violet (les franges de plus en plus serrées qui remplacent celles moins nombreuses (|ue le spectre perd par rextrémilé rouge. Quand l'œil est aidé d\in puissant oculaire, le nombre de franges que Ton peut distinguer dans ces spectres vaîinelés est prodigieux.

11 est facile de compier le nombre m de franges comprises entre deux raies, E ei F par exemple (**); or cela suffit pour qu'on puisse déterminer leur numéro d'ordre. Soient A, X' les longueurs d'ondulation des rayons caractérisés par les deux raies, pie retard du faisceau réfléchi par FN,'* et n' les quolîenls dcp par 1 cl )/, on a

on a de plus

on en déduit

ou bien, d'après les valeuis de X cîl X', comprises dans noln

(*) Quand on se propose simplement de voir ces franyes, les lentiUos sonl superflues. W suffît de placer près des miroirs ^ d'abord la l'ente, puis le prisme, de mettre la main au bouton du miroir et Tœil au prisme; dans ros (onditions improvisi'M's on les voil j'iisî^ei déplus (mi plus nombreuses sur lo ■ p(;ctre virtuel.

r *'* ) On va supposer (pu' bvi d«Mi\ r.iics couKidcMii avor Ir, milieu de deux fiantes brillantes

tableau (page 46 ) ,

Dans une expérience , 01} a eu

m = 1^1 y d'où /i'=:i4i . 12,32 = 1737.

Comme les franges étaient visibles«dans le violet extrême ,

le retard s'y élevait à y 1737 >-^ ==t 2072 longueurs d'ondes,

et la différence p, commune aux divers rayons du spectre', était, en millimètres, de o""*,84i.

Dans les expériences ordinaires , on a une foule de franges de même couleur, et pour peu que la couleur pèche par défaut d'homogénéité, les divers systèmes de franges disparaissent bientôt par empiétement, et l'on doîtimonochromaliser la lumière si Ton veut avoir de nombreuses franges. Id, oùTon n'a, à la fois, qu'une frange de chaque couleur, on doit prendre la lumière la plus complexe ^ au lieu d'une foule de différences de route, on n'en n'a qu'une, et c'est successivement, dans le temps et non plus dans l'espace, qu'on obtient les diverses franges propres à une même couleur.

§ 38. — La dispersion. — Son double aspect. — Coup d'œil sur sa cause.

Le phénomène de la dispersion vient de ce que l'indice n varie dans un même milieu avec la couleur. Puisque, dans la théorie des ondes , l'indice est lié à la vitesse par la relation de proportionnalité inverse, il en résulte que les diverses ondes caractéristiques des diverses couleurs, contrairement aux indications données par la formule

v=vA^'

ne se propagent pas dans le même milieu avec la même vitesse, les plus longues moins léfractées allant plus vitC;, et

y6 CHAPITRE 11.

les plus courtes ayant la moindre vitesse. La formule

est donc incomplète, et doit être remplacée par une formule plus complexe qui contienne, outre J et e , et la longueur d'onde et sans doute aussi d'autres éléments caractéristiques du corps qui coerce Yéther. Mais on conçoit qu'il y ait deux cas distincts, celui des milieux homogènes et celui des railieux hétérogènes,

La vitesse de propagation mesure la rapidité avec laquelle s'opère ce travail intestin qui déplace une agitation dans un milieu élastique. Il arrive souvent (l'acoustique en offre un exemple) que les vitesses oscillatoires sont sans influence s*ir cette propagation \ mais une telle passivité ne saurait être absolue , et comme la vitesse moyenne vibratoire croit, à amplitude égale, avec la brièveté de l'onde, on conçoit qu'une onde plus courte puisse se mouvoir un peu plus vîrc qu'une onde plus longue, dans un milieu homogène. Les travaux importants de Cauchy sur l'optique confirment en elFel la possibilité de celte singulière dispersion qui s'exercerait en sens inverse de la dispersion de nos corps réfringents. Mais, comme quelques observations dues à Arago (*) n'ont pu lui assigner de valeur appréciable, nous

( *) Si une étoile blanche était créée tout à coup , elle paraîtrait à un œil éloigné, colorée d'abord de la teinte élémentaire qui répond aux rayons les plus rapides, puis graduellement d'une série de teintes composées par lesquelles la couleur arriverait enfin au blanc. Si une telle étoile s'éteignait brusquement, elle passerait, avantde disparaître, mais en sens inverse, par la même série de colorations. La durée de cette période initiale ou lînalc serait proportionnelle à la dislance de l'étoile et pourrait dès lors ôtre considérable.',Le ciel a offert à Thomme, h diverses époques, des apparitions ou des disparitions d'étoiles, mais les variations de teinte , s'il y en a eu, n'ont guère été étudiées et ont pu d'ailleurs provenir d'une modification réelle introduite, au début ou à la iin delà conilagration, dans la composition des layons. A. côté de ces étoiles qui naissent ou meurent à des époques non prévues, il on otI d'autres qui passent périodiquement par des alternatives d'éclat très-prorionc<'îcs. >1. Arago s'cjI atlaclié à l'une d'elles, Algol de Per-

coiiliiiuerons à admettre dans Tëtlier homogène du vide Té-

galitéde vitesse des diverses ondes.

La question est tout autre pour nos corps hétérogènes formés de particules éthérées et de particules matérielles d'une masse incomparablement plus grande. Il semble que ces dernières, incapables d.^épouser franchement le mouvement vibratoire, doivent être considérées comme autant d'obstacles que ce mouvement doit incessamment contourner ; et que, dans ces dérivations successives du mouvement vibratoire incessamment rompu et incessamment reconstitué, la dérivation soit plus oblique et rallongement du chemin plus sensible pour les ondes les plus courtes. La puissante analyse de Cauchy a parfaitement concilié avec les principes de la mécanique rationnelle ces nouvelles inégalités de vitesse, et grâce à ses heureux efforts la dispersion ne peut plus être invoquée comme objection contre la théorie ondulatoire. Nous ne nous proposons pas d'insister davantage sur ce point délicat de la science, et nous prévenons que souvent dans ce Traité il sera fait abstraction de la dispersion *, que dès lors la formule

sera souvent consultée, et que môme, pour préciser les idées, il nous arrivera d'attribuer exclusivement à un changement de densité la diversité des vitesses de propagation dans les divers milieux. A ce point de vue , la densité d'un éther est mesurée par /i*, et l'excès de cette densité sur celle de l'éther du vide qui baigne tous les corps, par Fexpres-

sée^qui présentele double avantage d'une période courte, et d'un contraste considérable entre les maxima et les minima. On conçoit sans peine et Ton établit aisément, par un calcul qui ne diffère pas au fond de celui des courriers, que rinégale vitesse des rayons doive produire, surtout aux époques où la variation d*éclat est la plus rapide, une coloration de la lumière. Oi< M. Arago n'a pu, dans des observations instituées dans ce but, constater aucune altération de couleur.

jS GHAPITRB 11.

sion n* — i . Dans la théorie de l'émission, celte difTérence jouait un rôle assez important pour qu'on lui ait donné une dénomination spéciale, celle de puissance réfracti^e.

Nous voilà parvenus au terme de notre premier effort; nous savons comment Toptiquc obtient ses constantes fondamentales. Jetons un coup d'œil auxiliaire sur la solution que reçoit en acoustique la même question.

ARTICLE III