X .wa-f-ê, X if f a

1x4 GHAPmnni. '.«.«-v

donc on a pour Tintensité du rayoïf cherché

Ainsi déjft l'xiiton^iite de la lumière est la mùne t/ue si le disque n'exisiait pas^ et oe résultat étant vrai pour ehaque couleur, la tache lumineuse paradoxale sera blanche quand

on usera de lumière blanche.

Puisque B = B, , on a

sm BB| = — sin ?= ces sr- r* . 2 sm ^^--r^srsin ir — jr— r",

Bi ^ 2 a6A 2 a6À a6X

d'où

La phase entière du rayon s'obtient en ajoutant- et vaut

a -f- 6 . ir a6> 2

. Mais

OL^l

est le retard du rayon qui part du bord du disque j on arrive donc à ceci que : le rayon résultant est en retard sur les

rayons qui parlent du bord du disque de y : c^est-à--

dire qu il part du milieu de la première des zones dUHuyglwns formées depuis le bord du disque.

On peut substituer à cette synthèse l'analyse suivante que nous nous contenterons d'esquisser. On a

2 7r xdssm TT — --- 5' 1 — —.

,, aêX j a' 6'^

Mais

amPOSmON DES MOUVBMBIITS VmRATOIRES. 1 1 5

, appartenant à Tonde entière, n'est autre chose que l'inl^rale double întégrable

4xiircfiS7t ^^^t» ^^a ^.^»)*3- ^ — CD,

ou, à causede l'identité des limites, == A' — Â*. On aura de même, en place de la deuxième intégrale simple en 5, illusoire pour les limites oet oo , l'intégrale double

CB-f-DA = 2A% de sorte que

ËSectuaut les intégrales entre les limites o et rfet se rappelant que A* vaut — r jr ? on trouve

c'est-à-dire Téclairement normal.

En procédant aux mêmes substitutions dans l'expression de tang 4^^ on arrive sans peine à

tang4/=— cotTr — ;sr-^f ^^" ip = tt — — -r'-H-, comme ci -dessus.

§ 61. — Diffraction avec la lumière convergente. Les phénomènes d'une petite ouverture circulaire peuvent s'obtenir avec une grande ouverture , mais à la condition qu'elle soit recouverte par une lentille convergence L d'un long foyer F, et que les diverses positions données à Técran s'éloignent peu «lu foyer P vers lequel concourent les rayons rendus conver-

ii6 GHAPimiur. '^fo

gentt (Jlg. 34)* CoDsidérons en effet le point E dittaiit de P de la pedte quantité f , les dirers monvenients y qoi j arriVenl d*mf€è$ le principe d'Hajghens, cesseront d'y être d'acioètd'^c^diMWf aht des points P| E , deiii circonférences C m , G n qni passent en G, et se miqpelant ($ Si ) qne les chemins dirigés ^ers P (on sans èrreor sensible vers E ) et estimés, pour les divers rayons , depuis le point lomînenx jasqa*à la ciroonferenoe mC, sont éqnivalenla^ on Ttnt sans peine qne le retard d'un rayon quelconque OTi £ sur le prcmisr rayon CE est <sènsiblenient m i /ti ou sa projection m'-n^. Foar l'aur neau ^vsdsle retard est donc Cn' — Cm'f c'est-à-dire .

on enfin — =; puisque t sera très-pelit vis-à-vis de F.

Remplaç<His encore le faisceau annulaire ^nsds par deux rayons

dont Tun soit d'accord avec CE et l'autre en retard de 7 • L'intensité

résultante vaudra

effectuant les intégrations et passant aux limites o et r, il vient , />F» . 7rr»e\» VP / 7rr>e \«

2VF* / 7rr»6\ A\^F* . 7rr»s

= I 1 — COS-T-— - I =^-^ sin' •

e* \ XF'y e' 2>F»

On aura donc des points noirs pour les valeurs équidistantes de 1 données par les équations

les valeurs intermédiaires

donneront au contraire des maxima.

Les ouvertures des objectifs à long foyer, nécessaires à ces expériences, sont trop grandes, et l'expérience a montré qu'il fallait

GIIIIPOSITION DES MOU VBMBNTS VIBRATOIRES 1 1 7

les réduire à ne pas dépasser 2 ou 3 centimètres, par des diaphragmes circalaîres appliqués sur Tobjectif. Avec cette réduction y les points obscurs deviennent suffisaipment distapcés, et le nombre des rayons est encore assez grand pour que les expériences réussissent bien avec une étoile. Quand on a mis Tastre au foyer de la lunette, il suffît d'enfoncer ou de tirer Toculaire pour obtenir les alternatives d'éclat et d'obscurité. Autour du disque central noir ou brillant, on découvre d'ailleurs, comme avec la petite ouverture circulaire, des cercles alternativement obscurs et lumineux. La position de l'écran qui donne centre obscur varie avec la longueur d'onde. Ainsi quand on se donne

F = 1 000 millimètres , r == i o millimèlres , si on suppose tour à tour

X = o,ooo5, V= 0,0006, on trouve

s = 10 millimètres, &'= 12 millimètres.

Avec le petit trou, l'acbromatisme des taches obscures et brillantes est bien autrement imparfait. En efTet, si nous nous reportons au§ 57, nous voyons d'abord que l'ouverture qui donnerait à une distance 6 =r 1000 millimètres le premier centre noir, aurait pour rayon (on suppose le point lumineux à l'infini)

r = ^26X = \^2.iooo.o,ooo5 = 1 millimètre*

Si alors on suppose

X=:o"",ooo6,

etsi l'on calcule la distance6 = — qui donne, avec cette ouverture

et pour ce nouveau rayon, le premier centre obscur, on trouve 6 = 833 millimètres ,

<le sorte que l'écran se sera rapproché de 167 millimètres au lieu de 2 millimètres.

Mais n'oublions pas que si la solution est complète, dans les deux cas du disque et de l'ouverture circulaires , cela n'a lieu que pour les points situés sur la ligne centrale GP. Dès qu'on s'en écarte, leslimites cessent d'être un cercle concentrique au premier rayon et les calculs n'ont plus le même succès.

ii8 "•• onumum. • •• -.r»wo.'

§ M. - Génstnictloii dai intégralM dèfiniM dci là ëÊéàMui.

Jïous terminerons cette longue étude enconstruiirat ^presiions ,

r=rinf<

7 = I ihcOB'-V^

et en&n l'expression

que nous devons retrouver en diffraction, puisqu'elle y exprime l'intensité de la lumière dans divers phénomènes étudiés par Fresnel.

Les premières expressions sont les ordonnées de courbes serpentantes dont les spires se resserrent de plus en plus et dont les élongations eonstantes atteignent toujours les deux droites o'V, o" y" parallèles à Taxe des p, menées aux distances + i et — i . Ce qui rend ces courbes admirablement appropriées à la question, c'est que les surfaces comprises entre l'axe des V et les spires sont, comme lesMnes^d-Hayghens, alternativement de signes contraires, et convergent comme elles non-seulement vers l'égalité, maisencore ▼ers zéro.

lies expressions (3) et (4) sont des surfaces rapportées au carré Od^Di pris comme unité. Pour -les construire comme les précédentes , par des courbes , on représente Tunité de «nrfaoe par nnc ligne arbitraire. Nous avons pris la ligne OA qui est assez

GOMPOSmOllI DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. i 1^

grande pour que ces nouvelles courbes ne se mêlent pas trop aux premières. On a des courbes serpentantes dont les plis se resserrent comme dans les courbes i^ 2, mais dont les élongations s'atténuent et qui tendent dès lors à se confondre avec une parallèle aux p

menée à la distance- AO = o,5.

Nous verrons en diffraction {§ iOI) que la détermination numérique des expressions (3 } et (4) est du plus haut intérêt. On pourrait les obtenir en relevant les surfaces comprises entre Taxe des v et les courbes 1 , 2 , à l'aide d'un réseau de petits carrés égaux qu'on placerait dessus ces courbes. On compterait le nombre de carrés exactement enfermés et on apprécierait les fractions incluses de ceux qui seraient simplement entamés.

Les expressions (5) et (6) reproduisent avec exagération les allares des précédentes. Leur maxima et leur minima répondent aux mêmes valeurs de p. Elles se rapprochent indéfiniment, leurs plis s'atténuanty de la parallèle aux u distante de 0,26.

Enfin la courbe 7 se déduit des précédentes par la relation

y = 'p -hy -h I at> cos - (^' + I dp sin - p» -Hl / dp cos- p^ \ -h l I dp sin - p' l »

\Jo ^ ) \X ^ /

c'est-à-dire en ajoutant - à la somme des quatre ordonnées correspondantes des courbes 3, 4) ^> 6- En la construisant , nous avons, pour abréger, tenu compte des valeurs assignées par Fresnel anx maxima et aux minima quelle présente. L^atténuation de ses spires la rapproche indéfiniment de la droite/ == 2 qui représente Téclairement normal.

Si l'on construisait une huitième courbe ayant pour équation

r = f I f/ccos- t'' I H- ( I ^fsin- c^ \ 9

V Jo ^ ) V X -^ )

on la trouverait dépourvue de maxima et de minima. Nous y ferons allasion (§ ft05) quand nous étudierons l'invasion de la lumière, à l'intérieur de l'ombre d'un écran reclilignc.

I30 GHAPnrnilU. r.i...||,««

Dans notre ligure les courbes i, 3, 5, sonten tniliijiiteitoBipus. Les €ouri)es3, 4» 6» *însi que la courbe fiDale'7»i niées d'un trait continu. On a écrit près de chaque cooibe^i endroits différents, son numéro d'ordre. Le long de Taxe des r on trouve en caractères plus petits la série des chiffres i , a,| 3, 4»***» qui indiquent des abscisses croissantes. Pour éviter une Jigmn trop compliquée nous nous sommes arrêté à p^ ^^va liéa de pousser nos^constructions jusqu'à p s: 5 ,5 »lialite à laquelle FlMnd a étendu ses calculs. £nfin le long de Taxe des 7-, on trouve d'autres chiffres qui indiquent des ordonnées croissant par dixi^K mes. Ils se rapportent à l'unité de surfisices représentée par OA, et par conséquent aux y. des cinq dernières courbes. Us servent surtout à faire apprécier les valeurs extrêmes des j de la septîèiçe courbe.

§ 63. — Tranches de Fresnel.

Après avoir supposé longtemps que la réflexion de ia lumière était produite exclusivement à la surface des corps, Fresnd a été conduit à admettre dans ce phénomène, le concours des particules placées à leur intérieur.

Quand le corps a une diaphanéité parfaite les particules peuvent sans doute 9 quellç que soit leur profondeur, prendre part à la réflexion ; mais le principe des interférences limite , comme il suit , la réflexion à une mince couche dont il est facile de trouver Tépaisseur.

Décomposons, en effet, le corps en tranches minces analogues aux zones d'Huyghens, et telles, que les rayons extrêmes d'une tranche

aient la différence de route - • Si les distances des particules sont

assez petites vis-à-vis de - pour que, dans deux tranches consécutives, chaque particule ait son homologue, il est visible que les mouvements de ces tranches s'entre-détruirontet qu'il y aura lieu de chercher quelles portions des mouvements des tranches extrêmes seront épargnées.

Les tranches n'offrent plus, il est vrai, aucune des trois dégradations offertes par les zones d'Huygliens, mais elles n'en ont pas moins des énergies décroissantes, puisque le mouvement qui

COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. I a I

atteint de proche en proche les tranches éloignées s'aflaiblit par la réflexion même : puisque, si le milieu n'a pas une diaphanéité absolue, il s'affaiblit encore par une extinction graduelle. Bref, il faut mettre en réserve la moitié de la prepsière tranche. Le mouvement réfléchi est donc un mouvement résultant qui aura sur le premier mouvement élémentaire, réfléchi à la surface même, un retard quMl s'agit de calculer.

Si nous considérons que le mouvement réfléchi par une particule située à la profondeur x est en retard, non pas de x mais de 2 or, nous voyons que, pour obtenir dans une tranche toute la série des

retards comprise depuis zéro jusqu'à -9 il suffit de lui donner l'épaisseur y On prévoit de même que la résultante aura pour point

de départ le milieu de la première tranche. Le calcul suivant met hors de doute cette assertion.

Le rayon réfléchi à une profondeur x aura l'intensité bdx et le

retard 2 j? ou l'anomalie 2 tt — • Si on le remplace par deux rayons

dont l'un parte de la surface, l'autre étant en retard de 79 leurs coefficients seront

hax cos -^r — ? bdx sm ^^-r — j

l'intensité résultante de toutes les tranches élémentaires sera donc

1= / lbdxco&^-!^\ + ( \bdx^\n^^\ 9 et la phase 4» sera donnée par l'équation

I bdx sm -^ —

tang >{/ =

bdxco% ^~ —

h est en général une fonction de x qui pourrait bien être une logarithmique. Ce qui est plus certain, c'est que les corps offrent les deux cas extrêmes de b sensiblement constant et de b rapidement variable. Attachons-nous d'abord au premier cas. En effectuant les

laa CHAFimui.

intégniei et ks prenant entre lea limite* o et «, oo obtient

ànx

I — COS-i-r —

A 2irx

sin-ï— —

Quand a? r= ^ il vient

I=T-^ et tang4» = »,

^ ¥aut donc-<9 etie rayon résultant a un retard égal. à TépaiMeor de la tranche : x = - donne an contraire une résultante nulle. La

résultante part donc du milieu de la tranche et est en retard sur

le premier mouvementi de deux fois la demi-épaisseur ^ ; elle est

en avance de la même quantité, quand le milieu antérieur est le plus réfringent, car alors ce sera la dernière tranche de ce milieu qui gardera une partie de son mouvement. Les mouvements antagonistes de la première tranche du milieu postérieur diminuent, il est vrai, les mouvements épargnés et les réduisent à moins de moitié de ceux de la tranche, mais ils ont les mêmes centres d*émanation et leur résultante garde le même point de départ.

Ces idées de Frcsnel consignées dans un Mémoire perdu et tar- 4ivement retrouvé ne sont pas sans importance. Nous y reviendrons pour les soumettre au contrôle de l'expérience et pour les compléter au besoin. Bornons-nous pour le moment aux remarques suivantes.

Si les distances des particules ne sont plus très-faibles vis-à-vis

de 7 9 la réflexion d'une tranche ne sera- plus strictement détruite

par la demi-somme des réflexions opérées dans les tranches voisines. Alors, au lieu de ne réfléchir que dans le voisinage de sa surface, le corps réfléchira dans toute sa masse une lumière faible sans doute , mais qui deviendra sensible quand le milieu aura assez

GOMPOfilTiOH DES HOUVEMBIITS VIBmATOmES. 1 23

(le profondeur. La dissémination atmosphérique n'aurait pas d'antre origine.

Si le milieu est d'une transparence imparfaite , d'une part la résultante des réflexions opérées dans une tranche aura un autre'point dedépart que le milieu de la tranche, de l'autre la résultante générale des mouvements réfléchis s'obtiendra en composantes résultantes partielles obtenues dans chaque système de deux tranches consécutives. lie retard du rayon réfléchi dépend alors de ce pouvoir extincteur du corps, dont Fresnel n'a pas ignoré Tinfluence et auquel les travaux de Cauchy ont donné une si grande importance. La réflexion, surtout celle des métaux, nous offrira en effet ces pertes de phase ; et nous verrons , comme on le prévoit déjà , qu'elles changeront de valeurs avec l'incidence.

Il est peu probable que des influences aussi compliquées soient constamment égales pour les divers rayons, et Ton doit s'attendre à voir la réflexion imprimer à la lumière blanche une coloration. Enfin la tranche efficace devenant plus épaisse quand \ s'accroît, on conçoit que le pouvoir réfléchissant grandisse avec la longueur d'onde, et l'on aurait ainsi la clef de ces réflexions énergiques rencontrées dans l'étude de la chaleur rayonnante.

§ 64. — Composition des excursions.

Revenant au problème de la composition des mouvements vibratoires, nous ferons remarquer que les caractéristiques du mouvement résultant , ou celles tles mouvements composants dans le problème inverse, s'obtiendraient encore si, au lieu de composer les vitesses oscillatoires, on composait les excursions. On aurait alors

X = Û COS 2 TT — -I- « cos

Cette expression se ramènerait encore, par les mêmes artifices, à la forme

X = Acos Utt-— ij/j:

^ donné par Féquation

«' sin <p

tang ^^ =

a -\- n cos (p

ia4 GHAP. m.-

aurait, m la proportionnalité qui nnit (S 1^ ) '

de vitesse &, b' avec les amplitudes a, a'j la mèœ valeur :

A, donné par cette autre équation

A'=: a*+ 0^*+ aan'oosf

aurait avec a et a' les mêmes relations que B* avec b et &', et servirait de mesure a l'intensité » si, ce qui est légitime (^ 12), on mesure les intensités par le carré des am^tudes.

INTERFiRKNGË DE LA LUMIÈRE NON POLARISÉE. i a5

ARTICLE V