sin i
d'indice -t }\ sumt d'y changer sin i en — ^ — •
DOUBLE RÉFRAtiTION UMiAXE. 29!
Dans les déterminations d'écart dues à M. Biot on usait de prismes (§180); il aurait donc fallu faire successivement deux calculs de ce genre. Hâtons-nous de dire que, grâce à un principe de proportionnalité (§ 181 ) entre l'écart et une certaine fonction des vitesses, les vérifications auxquelles nous faisons allusion ont été bien moins pénibles.
§ 169. — Cas où l'axe est dans le plan de la face. Quand L = 90^, on a
A= — t;i A"= — — , tangy'=:^tang(ï»,
â^sio<p
* ces* «p -4- «*
sin'<p
sin/
\la^ sin' ç +
COS'(p
et
lang r' = ,
a yi — sin'/(a'sin*<f-h b^cos^tf)
l'écart ç' — (f du plan de la réfraction extraordinaire dé* pend de l'équation
il sera maximum pour la valeur de 9» donnée par
tangç^y/-,
et ce plus grand écart sera
a — b /b tang(cI>'-0) = -^y/-^
en passant aujc chiffres on trouve chez le spath d'Islande
et chez le quarts
(rapport 17,13). Nous laissons au lecteur à compléter cette fiscussion par la considération des autres cas simples, dis-
203 l;HAPlTHie 11,
litteu «Iri'^Iut Huv lequtfl tious allons nous âppe^aiiiu , àsj voir, le ca» o\\ Iv plan tl imîiltfrict^ est la seciiuti prmcipalt
^ 170. — Oas d'une section prinâpale. ^B
Il faut postT ç^o (iaihs k^s formulGs généraleS| c^u donne
^" ^^ — b- *ÎTU , ;;" =: — ^ v^ t — i' sio' / ,
— fl/j /— A ~
sin*/.
sin (■ B ^è j r —
sia'
* Ane ^— A — sin'i
Le rayon cxlraordînaire restt* donc dans le plan diuo dence; on ne peut pas davantage prétendre obtenir nue cï pression générale de r' — rd'où Ton tirerait^ par exemple le système de valeurs de L, t\ qui offriraient pour ce cas où les dtux rajons suivent la première loi de Descarles 1 écart le plus grand.
Quand , au lieu de pénétrer dans le milieu biréfringent le rayon le quitte pour rentrer dans le milieu monorëfrin gent (ici c'est le vide), r^ et i échangent leurs rôles, et i suffit de résoudre Téqualion précédente par rapport à /. Oi trouve ainsi
. ^. — Ag^6»(AtaDgr^+B)^ ^*° ' "" I -f-</'^'(A tangr'-hB)»'
D'un autre côté, si l'on reprend directement la question;
on trouve
A tant; r' 4- B
vZ—A tangV— 2B tang /•' — A'' "' — V^— A tang» r' — A'' — iB tangT' — ( A tang r' -h Bjj
d'où
V— A tang2 /•' — A" — 2 B tang r'
v"' __ (A tang r' -h B)
— s/— A tang' r' — A" — 2 B ranj;'
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. apS
En inultipliaut les deux termes du carré de cette expression par — Aa*i*, on voit qu'elle ne différera pas de la précédente si Ton a
or c'est ce qu'il est facile de vérifier. Cette formule donne le rayon extérieur générateur d'un rayon extraordinaire et, par suite, le coengendré ordinaire par la relation
sinr=: b sïnL
Pour approprier ces formules à un cas donné, par exemple à celui de la section principale d'une face naturelle du rhomboïde , il faut prendre
Les quantités A, A", -? Aab prennent alors les valeurs numériques suivantes :
-==0,10884, Aab= — 1,00436, A '■
et l'équation qui donne r' est
/ sin I ooy.
lang r = ===== — o , 1 0004.
1 ,00436 V 2, 4648 — sin'/
Quand / est nul , on a
lang r' = —0,1 o884 •
valeur déjà trouvée (§156), le signe — indique que la réfraction a lieu de l'autre côté de la normale.
Veut-on, cas indiqué (§162), que le rayon extraordilïaire coïncide avec la normale , on aura
^r vaut alors 5°55'io", l'écart des deux rayons est donc
d'où l'on tire nue ecjuatioude condition eu taug z qui i au quatrième degré. Nous ravons résolu par talonne eu y meuant pour i successivement diverses valeuï es&ajaiit ainsi lour à tour
je trouve que t.*ette dernière valeur satisfait sensible L'aiigle r vaut alors y ^33' 10" et T écart des deux ra^
ieu3& rayi
g 17i, — Vu Ibéorème dû à Baygbens. '
Hiiyghens s trouvé que &i , dans la section principale rayons incidents font, Tua à droite et Tautre à gauche^ dei égaux avec ta normale, leurs extraordinaires coupent las face, lïup posée parallèle à celie d'entrée, en deux points éi tants de celui où elle est coupée par l'extraordinaire du normal. En effet, ce dernier rayon la rencontre a une dista pied de la normale qui vaut
eB
e tangr = —,
ou bien en valeur absolue
eB
et chacun des deux autres à des distances marquées par
Aab )/
pour celui qui incide à droite , et par
fi sin /
Aab v/"
eB
cB A
pour celui qui incide à gauche (nous prenons dans ce demi
DOUBLK RÉFRACTION UNIAXE. 2g^
la valeur absolue). Cela posé) (a) -4- (i) et (3) — (i) donaent la même quantité
ce qui est bien le théorèAie d'Huyghens.
§ 172. — Ce que sera le calcul pour les trois sections principales des biazes.
Nous avons dit (§ 1^3), et nous le prouverons, que chez les biaxes il était des sections telles, que les deux rayons, non-seulement y suivaient la première loi de la réfraction ordinaire, mais qu'ils s*y construisaient encore, l'un par un cercle et l'autre par une ellipse, avec toutefois cette particularité que le rayon du cercle n'était plus égal à l'un des axes de l'ellipse. Les formules précédentes s^adaptent immédiatement à ce cas si l'on a le soin de remplacer, dans les calculs relatifs au rayon ordinaire, la constante b par le troisième paramètre c du biaxe. Les deux rayons se trouvent ainsi définis par les quatre équations
j:*= — c'sin/, * z"=:—'csjï — c'sin-/,
làab
^= — -- H r— V'— A—sin^/, z'" z= — ab y/— A — sin'/.
Nous engageons le lecteur à prendre pour Tarragonile les yaleni-s (IV« tableau du § 6^^) de n^ b, c et à se livrer, pour une valeur deL, à quelques-uns des calculs précédents.
§ 173. — Réflexion intérieure. — Règles de H. Biot.
Les calculs qui donnent les formules de la réflexion intérieure chez les cristaux biréfringents diffèrent à peine des précédents. Comme cette réflexion peut apporter à la construction d'Huygheos de précieuses vérifications, nous allons les. donner, en opérant toutefois dans une section principale; on verra sans peine ce qu'ils seraient dans le cas général.
Le cercle et l'ellipse d'Huyghens tracés pour le point d'incidence 0, ayant toujours les mêmes équations, il faut, avonsnous vu (§ 187), diviser la question et considérer séparément le ''^soù le rayon incident x = stang/ est ordinaire et celui où il ^t extraordinaire.
agfi cff APiTM VI.
PasHTiA CAS. — Le ra^oa ifiddaol coupe le cercle 3c^ + 3 extérieurement au milieu, l'n un point
a^* = ^ b ùni\ s' =^ — kco&i^ ^W
la tangente j:x' + ^^' ^= ^^ meaée en ce poîut, à ce carclep TaKe ée%x en un point \
»i^o, ,T, = — -^^sini
Une droite tjuelfioncjne is&ue de ce dernier point est
h *H-Ci=^ : — ;
■ si eîle dnit être tangente à i'Iiémtcercle intérieur jr'
^1 donne lîtm aux trois équationîi
sini
capables de déterminer x'\ z'\ et, par conséquent, le rc ordinaire. On trouve ainsi
z" == b cos / , x" = — b sin /.
Pour déterminer le réfléchi extraordinaire , c'est à la demi-€ intérieure que la tangente doit être menée. Cela donne entrt .r*', «'*', coordonnées du point de contact , les équations
(4) Ax"" -h A''z'"'-h 2Brx" 3'" -+- 1 = o ,
A"z'''H-By"
sm/
en combinant (5), (3) et simplifiant Taide de (4), on obtie sin/
DOUBLE RÉFRACTION UNUXË. 297
Les équations (4) et (6) donnent enfin
. sin' i
, sini Bab / sin'i
■^ Aô A V A» '
toute la différence avec les formules de la réfraction de la page 292 consistant , outre celle des signes , en ce que sin i est remplacé par
sin I T*
Deuxième cas. — Le rayon incident étant extraordinaire, il faut le prolonger jusqu^à la demi-ellipse extérieure, ce qui donne un point
V^— A tang' / — A"— 2 B tang i ' y = — ^°g^'
La tangente en ce point est déterminée par le concours des écjua tions
(.r — - j;') -h X-(2 — 2') = o, i__^ Aa:'H-Bz' Atangi + B ^ "" A"2' -h Bar' "~ A" 4- B tangi'-
Elle coupe Taxe des x en un point 2, x, , tel que
, o ^ . v/-Atang^i~2Btangi-A'^
' A tang/ -h B '
une tangente au cercle menée par ce point x^ z^ touche le cercle
en un point dont les deux coordonnées x\ z" dépendent des
équations
Une tangente à l'ellipse, menée par le même point, donne un
'^IJIÏ • • • e«IA|*|Tf|f! ¥1
point lie lonUct .t'^*'" ikjtt*ri<fant dii* iH|iiatiftm
(4) Ax**^ A^ï^^-^-aB^*' s'-htrz^n,
(3) .r-'+Cï^'^^M;
imrwilvant ks Irois iirt'iuièrtrs ^ ori ubtknl pour k rayun ttriliuain!
tel t roi j) autre» dan tieiU pour ïe rayùit exlraimllnairi^ vn mmi KHijgiii-B nimpte de Ak" — fi:' t= -i- ^
fi^miutes (]ni se dèduisL'nl des rormiiles du § lîO par le seul ctog<MTiciit de sinf en
M ^ ^ tanjj'i — 3tB tang^ — A"
Pnisqueles foi nulles du premier r;is dtr rêrtexion înlerieiHTiiC diffèrent de celles de la double rofraetîcn que par le sijjnede/i
el la subsikiition de ^-r^^i sin f, on voit que ec phénomène doit
donner les mêmes rtiyons qu'un ceHaiii incident extérieur, et que ce rayon exiènenr se trouve arriver du même cOte de h norniaîc, sous l'angle I donné par ,^
sin î =: h sin /.
A l'égard du second cas , on voit également que si un rayon incident arrivait extérieurement et du même côté de la normale, sons un angle I défini par Téquation
. ^ Atang/-hB
Sinl = , ^ -^rrr^^
— V — A tang» f — iB tang? — A"
il donnerait, d'après les formules du § 170, précisément les quat»*^ valeurs du paragraphe précédent : de sorïe que les règles adoV tées par M. Biot se trouvent justifiées.
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 299
§ 174. — Quelques exemples numériques.
Voyons de plus près quelques cas de réfleiion intérieure.
1°. Soit pris, comme rayon incident intérieur sur la deiy^ième
face du cristal [fig» 90), ce rayon extraordinaire oblique de
6^12' (§ 1^6) qu'engendre un rayon normal à la première face.
On aura
tangi = — - (page 293), M = oo , ^"=0, — =0;
liosi déjà le réfléchi ordinaire se dirige y suivant la normale com- Dune aux deux faces du cristal. On a ensuite
le sorte que le rayon extraordinaire rebrodsse chemin le long du ayon arrivant; ce dont on se rend compte sans peine par la onstruction géométrique, ou encore par l'idée de répulsion de axe.
a^. Supposons maintenant que le rayon incident extérieur 188e du côté positif de la normale cet angle i = 9*49' ^5" (§ 170) ai donne un rayon extraordinaire normal , de sorte qu'on ait
lors le rayon extraordinaire intérieur tombe normalement sur i deuxième face, et donne dans les formules actuelles i = o. I en résulte
B ' y/ZTT' y/- A"
"sT-
'AÂ^
Bb
A )/— A" x" —hb x" „ - 2B
ïn trouve , pour les angles de réflexion O , E ,
0=5"55'io% Em i2"i6'5o'',
La réHexion intérieurt* ^ lelle que nous venons U»? la miviiderrf dans une section principale, n'offre qn* une é|ireuve expermieîu laie incomplète des lois qui régissent le rayon extraordinaire, car nous verrons que ce rayon se trouve dans les conditions où ïâ tèfle^xion est impuissante poi^r le dédoubler ei en extraire un raypn ordinaire. Le phénomène ne deviendrait coniplct que si le plan de rcrtlexion propre k la face de sortie était incliné sur le plan de polarisation du rayon incident (Unn angle auti-c que o ou 90 degrés* Alors, si l'on voulait traiter la question d^une manière complète, et t)-ouver, outre les directions, les intensités, elle ue manquerait pas «rune certaine complication , puisquil faudrait tenir compte de la rotation que subis^sent les plans de polarisation dan^^ Facte de la réflexion ^
^ 175. — Calcul des angles limitas de droite et dd gauclie, ^1
Revenons sur l' inéijali té signa îée {page 271) qu'ont, pour 1e rayon extraordinaire, les angles de reHexion totale prif> à droite etii l^auche de la normale. Ces angles sont visiblement les vaJeuriB, R' de /'qui répondent aux deux incidences i = + 90^ t = — 90". Laissons encore ici de côte le cas général et ne considérons le phénomène que dans une section principale, nous aurons
tanjjR' = ^
s'il s'agit de la section principale d'une face naturelle, on a
2 = 0,10884, Artt = — J,oo4a6, v/— A — i = ^/T^^i
et enfin
§ 176. — Singuliers cas d'indivision.
Revenons sur le dernier des problèmes posés (§162) et bo**' nons-nous toujours à la section principale, hors de laquell* d'ailleurs le phénomène dont il s'agit ne saurait avoir lieu. Sc^i* .r^=2tang/* un rayon vecteur mené à rintcrieur du milieu; i*
DOUBLE Ri^:FRAGTION UNIAXE. 3oi
coupe le cercle au point
y = — ^ sin r, 2' = — ^ cos r, et l'ellipse au point ,
— tangr
V^ — A tang' r — 2 B tang r — A"
l'n opérant^ comme au § 173, on trouve pour la tangente au cercle menée au point x! z^
X sin /■ -f- 2 cos r -h b = 0,
et pour la tangente à Tellipse en jti z, tang r
■f- B tang
Atangr-f-B \ ^ )
Le point d'intersection de ces deux tangentes se trouve aisément; son z a pour numérateur
A (A tang r H- B) -f- sin r y^ — A tang» r — aBtangr — A";
pour que les deux rayons se confondent, il faut que les deux tangentes se rencontrent sur la surface du milieu, ou, autrement, que ce z soit nul. La valeur de r qui amène ce résultat s'obtient en égalant à zéro le polynôme numérateur précédent.
Pour ne pas s'égarer dans les applications numériques de ce problème, on saura que cette superposition de rayons n'a lieu que pour des faces dont l'inclinaison sur l'axe ne dépasse pas un certain angle. Imaginons en effet la courbe formée par les intersections des tangentes dont les points de contact sont sur un même fayon vecteur {fig. 91); cette courbe dont l'équation est très-compliquée se compose de deux branches, telles que ARS, AiR,S, , comprises entre deux parallèles à l'axe, vers lesquelles elles convergent asymptotiquement. Les faces, telles que OX, qui couperont cette courbe , pourront seules amener cette singulière indivision. Les faces naturelles sont beaucoup trop inclinées sur Taxe, pour produire cette rencontre. Mais si l'on prend L = 80®, ou , ce qui revient au même, si la face est à 10 degrés de l'axe, supposi-
3oa cii4Pirae vi.
A = —2,731087, A''^ — ^»2i6S7, Jâ = — 0,091^5 im trouve par tâtonnement, â\iiie part que les valeurs volsîîiâ
tM^mleni le polynàme, la pronûèrc positif et k dernière négatif, et quct liVine autre p;irt, le tiiéme chan|j(ement de signe est 4 produit par le^ deux valeurs
de sorte que
r=— 79'* 33' 3o*, r := — iif 3î ' 3u'
expriment, à moins d*uDedemi-minute, les directions intérieure de deux rayons superposés qui , q unique ne cheminant pas suivant Taxe et quoique sortant obliquement, cependant ne se diviseraient pas à U sortie. Ce eurieux pïiénoniene , réalis^.^ par les deux rayons incidents qui répondent aux deux points d*intersiction S^ S', étend à d'autres faces le phénomène signalé (§ IJSiî), avec ces particalaritéSf que là la non division réclamait Tineidence normale et était unique , tandis qu'ici elle réclame certaines incidences obliques^ faciles à déduire de l'angle r et variables avec la face, et de plus se trouve double. Bref, pour ces faces privilégiées il y a trois inctdences qui ne bifurquent pas : i" dans le quadrant ZOX, celles dont nous venons d'établir Texistence; 2° dans le quadjrantZOX, celle qui répond au point de contact A, et qui donnerait intérieurement r = -h 80°. Ce dernier angle, ainsi que le plus grand des deux précédents, surpassant beaucoup l'angle limite , on ne pour* rait réaliser pour eux le phénomène qu'à la condition de juxtaposer au milieu, des prismes d^iin angle convenable. Quant à U valeur /• = — ig^Si'So", on trouve saus peine qu'elle répond dans l'air, à une incidence extérieure égale à 33° 32,' 5o'\
De part et.d'autre de chacun des trois rayons vecteurs singuliers^ les deux rayons coréfractés ont uiie position relative inverse. Ainsi, dans l'exemple précédent, depuis /'=r 4- 80° jusqu'à r z=z — 19° 3i'» c'est le rayon ordinaire qui est le plus réfracté; entre les deux rayons vecteurs singuliers, c'est le rayon extraordinaire. Au delà» le rayon ordinaire redevient plus rapproché de la normale. ï»^ effet, ce passage amène un changement de signe du polynôme, et fai^i
DOUBLE RÉFRAGTIOM UNIAXE. So!^
par suite, tomber le point de rencontre des deux tangentes conjuguées tantôt en dessus, tantôt en dessous de Yaxe des X. On en iléduit sans peine, pour les points de contact des deux tangentes issues d'an même point de Taxe des X. les inversions précitées ; or ces inversions sont manifestement incompatibles avec les idées de répulsion et d'attraction constante, et le point de vue des rayons vecteurs singuliers se trouve justifier le doute émis au § 160.
§ 177. — Calcul des deux extérieurs d'un même intérieur.
Ordinairement les rayons qui s'accompagnent intérieurement sont séparés hors du cristal. Quoique général vis-à-vis les trois cas qui précèdent , ce cas est simple vis-à-vis les conditions les plus générales de la double réfraction ; il convient donc d'en donner le calcul. U suffit pQ\ir cela (nous notis bornons à la section principale) de résoudre par rapport à / les équations du § i7lS; or nous avons obtenu
. . — (Atangr + B) sin le =
V^— A tang' r — 2 B tangr — A"
le rayon ordinaire donnera, de son côté,
sin r sm /o = —7— • b
Veut-on que ces deux rayons extérieurs se confondent, on a /4 = i>, ce qui rend bien Téquation du précédent paragraphe. Si l'on dispose sur les deux faces parallèles d'un spath deux plaques percées chacune d'un trou fin , et si Ton fait arriver sur l'un de ces trous, à l'aide d*une lentille , le sommet d'un cône convergent de Fayons incidents, el que le cône soit assez ouvert, deux de ses rayQos réussiront à sortir par le second trou. En opérant dans la chambre obscure, on mesurera sans peine leur angle; il ne sent pas difficile de connaître l'angle intérieur commun , et on aura ainsi les éléments de ce genre de vérifications que nous avons proposé pour la loi d'Huyghens (page 280). Vérification curieuse, puisque, nonobstant le parall^élisme des deux faces, elle portera sur un écart angulaire.
Comme preuve que les rayons, ainsi superposés intérieurement, constituent un cas réellement plus simple que celui si usuel dfs
3u4 CHAPtTHR VI.
rayons superposés e^itérteurement (*) , nous diroDS par aniJcipalion mi*'û existe rw bia^rie^^ar \tB vitesses de ces rayon!!, un théorème d'après lequel la tlifféreiice entre les carrés de leurs réciproques serait proportionnelle âu produit d€s sinus des ang:les qui séparent cette direction commune de celle de deux droites fondamentales, dkm €ixf s opifqai\t. Comme, chez j es iiniaxcs, cette rebtion peut se déduire innuediatement d'une propriété géométrique commimc a relllpse et il rellipsoide de révolution, nous aUons rétablir ii ce point de vue-
§ i7S. ~ Loi des vitêGses des iBjonâ,
Soît T^ H- ^- ^^ I uti ellipsoïde tle rëvolutîon al
de Taxe des X, dont Pave soit b et le rayon ëqiiaiorial aA Un rayon vecteur quelconque x:=mz^ y^nz le n contre en deux points dont les coordonnées soot
Le rayon vecteur est
pour y introduire et Tangle azimutal tf compris entre k plan ZX et le méridien du rayon vecteur, et la dislftoce angulaire T de ce rayon à Taxe^ on a
cosT =^-= , "^ tang? = t? = '*i
(* ) Il faut dire, à demi superposés, car ils ne le sont que d'un côté de U lame.
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 3o5
i+teng»y ^,__ (i + tapg^y) (i +tang^T)
6 .(,4.taDg»4--tang'T(n-tang«(p)
fin
^, cos^T + 4: sin«T
en
p est le chemin décrit par le rayon extraordinaire penque Pordînaire parcourt b. Nous retrouvons donc le ème précité ; mais il est juste de remarquer que, sur le in des uniaxes, il n'apporte plus aucun témoignage en ir de la simplicité plus grande du cas des rayons super- \ întérieuremenl, cari étant constant pour tous les laires, la stipulation de la superposition intérieure y nt inutile, et le théorème ne s'applique pas moins aux deux rayons co-engendrés par un rayon extérieur conque, pourvu que T soit l'angle compris entre Taxe rayon extraordinaire.
§ 179. — Loi des vitesses des ondes.
ellipsoïde d'Huyghens donne avec la même facilité un s théorème analogue, relatif aux vitesses des pndes qui linent parallèlement dans le milieu biréfrigent^t cp^i 9 uite, sont issues des rayons normaux à la surface. Soit, let, ^, (fi les deux angles, analogues à T, f , qui caracent la normale p au plan tangent quelconque
«osant
3li6 CIIAPITftK VI.
on a, pour Fâbficmc x** du îioiiit ou il eoupe TateOX, Ou voi I 5iir la figure que
Les dmx lignes p et p éuui dans uo mente Diëridiea, on a
Mieore
p ^1 ^ cos(/ — T),
Or p est le cliemin décrit par ronde exiraordinaire pendant qu<^ Toi-^linaire décrit h. Si donc on veut avoir enire tes deux vitesses p, h et t une relation analogue à celle qui unil p, è, T, il suffît d'éliminer p^ T entre les iroîs ëquîlions
ppcosT
p = pcm{t — T),
Les équations (i) et (a) donnent
tan^'T :
les équations (i) et (3) donnent
. tang'T = a' <^^ j-— ,
ce qui exige qu'on ail Vëquation de couditiou
«?^iïcos»r
r- ^ rt^',
sinV ' '
ou bien
1*^ p' — h^-{-{a^— i^)ain=f,
et il est en tore permis de voir dans p^ b les vitesses de dt*ut ondes engendrées par une même onde extérieure quelconque
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE 307
Ces lois des vitesses ont été Folijet de vérifications expénentdles qui ont toutes réussi et qu'il s'agit de faire conttre. Jusqu'ici nos vérifications ont été fondées sur Temn de lames à faces parallèles, et ces lames conviennent rfaitement quand il s'agit de cristaux fortement bîréfrinats et épais ; mais elles deviennent inapplicables, au moins ur celui qui s'en tient au procédé de Malus, dès qu'elles it minces et que leur substance est peu biréfringente, et fortiori quand il y a concours de ces deux circonstances favorables.
En pareil cas, on peut ou recourir avec M. Biot à la forme ismatique, et affronter, ce semble, les complications sialées (§ 168) , ou bien avec Fresnel , faire produire aux nés parallèles, en place d'insaisissables déviations intéiures, des déplacements de franges. Comme cette dernière îthode ne sera développée que plus tard , quand les biaxes nèueront les mêmes questions , il nous reste à parler de première.
§ 180. — Appareil de Biot.
Cet appareil comprend deux règles divisées rectangures, l'une horizontale et l'autre verticale, et un support Ttical mobile le long de la première : c'est sur lui que se ice le prisme biréfringent. Quand son angle est faible , on pose sa face antérieure verticalement {Jig* 92), ce qu'on :ifie en lui laissant un peu de saillie et l'amenant au contde la règle verticale. Quand au contraire, pour mieux irelopper la double réfraction, on lui doime un grand jle (par exemple l'angle droit commode pour le calcul) ju'il faut l'achromatiser par un prisme de verre (ëgale- 9it de 90 degrés), la face antérieure est horizontale, et I horizontalité est vérifiée par celle de la plate-forme suV* tielle il repose (fig» 93).
Sn visant à travers les faces sensiblement parallèles EF, r, soit à la règle verticale, soit à l'horizontale, on voit une
3itd CUAl'iTKIi 11
imagt* «toubltî desdivbioiîî*, et il nmv*; que la v^rUuoii d^i incldtuiccs propn^s anx diverses divisioDs ëiablit, entre leui> deux îniages^ des dîùërenceii variables eu veilu desqiielks les traits de Tune se rapprochent des li ails de Tautre^ commis kî font les divisions d'un ver nier par rapport à celles delà règle 5 bref on obtient j sanî? faire rourir la colonne, et à plus ftnte raison en la déplaçant, une ou plusieurs coïncidence.^ Si nous nous atiaclious â Tune d'elles, nous saurons que les rayons issus de deux ceriaiii^ traits R, S, après avoir sujvî, avant le prisme biréfringent, puii^dans son trajet, des chsmiiis dinërcnls , en ëmergenl en un même point O à partir iluqnel ils restent <'oufondusju,squ'à Tceil. Si Joue on prend la niardie des lajons en sens inverse, on saura i|u un certain rayon 10 a engendré d*abortl dans le cristal les deas rayons OP, OQ, puis au dehors les deux autres rayons PR, OS. Or il s'agit d'avoir cette direction commune initiait^ Ou V arrive, dans le cas d'un uniaxe^en la ealculanicomnut direction finale du rayon oïdinaire PR^ ainsi en preaanl d'abord (Jig- Q'^) 1^ haïueur TV = PU el en en refrantdiaut RY, puis la distance IJV', on aura
TTt '
tanuTPR = — =:Eang/ï
on en déduit r=:/ïsin(' parla loi des si nus ^ raiigk'î^* deuxième incidence est a — r, et enfin si N est T indice dû verre ^ on a
sinx ^ - sm (et — r] = f^b sinfa — r). n ^ ^ ^ *
Comoie d'ailleurs on connaît^ diaprés la taille du prisme, U
direction de son axe optique par rapport à tliaque face, on connaîtra les valeurs 1/, L^' de Tangle L du ^ 165, etloa pourrait, en recourant à duux reprises aux formules géneraleS; avoir r\ y'^ r\, <f\ , et, par suite, la direction à laquelle aboutit le rayon extraordinaire, on verj^aitsi elle est telle que rexpérience la donne, Mais^ hàlons-uous de le dîre^ ]VL Biot a éludé ces calculs compliques eu ne deinan^
DOUBLE RÉFRACTIO»! UiMAXE. Soc)
danl à son appareil que le relatif et nullement Fabsolu, et en en tirant seulement l'angle d'écart V =RPS des deux rayons. Montrons comment il a pu se contenter de cette donnée.
§ 181. — La différence des vitesses proportionnelle à l'écart.
Il pourrait sembler illusoire de chercher un reflet de Fînégalité des deux vitesses dans une séparation angulaire des rayons correspondants, puisque Ton sait (§ 15S) que les deux rayons peuvent rester superposés quoiqu'ils aient traversé le cristal avec les vitesses les plus contrastantes; mais si l'on réfléchit sur ces absences curieuses de double réfraction , on reconnaît sans peine qu'elles ne sont possibles qu'avec des lames à faces parallèles. Dès qu'il s'agit d'un prisme, il faut que, du coté par lequel il regarde la règle-mire, il y ait séparation angulaire de ces rayons (*) ; or si le cristal est peu biréfringent, ou peut admettre que ces deux effets simultanés, à savoir la séparation des rayons et leur inégalité de vitesse, c'est-à-dire ce petit efict et sa petite cause, ont entre eux la relation de proportionna-
{*) Voici une autre singularité qui peut disparaître également quand , au lieu de se borner à une seule réfraction , on a recours aux deux réfractions SDccessives d*un prisme. On sait (§ iSS) que si l'axe d'un spath est situé tlans le plap d'incidence et s'y trouve comme ligne de démarcation , le rayon extraordinaire subit, tjuellc que soit Vincidence ,]a plus grande réfraction. Eh bien, terminons le milieu par une face de sortie oblique sur la face d'entrée, <te telle sorte que le prisme obtenu contienne l'axe optique dans sa section principale. On pourra, en usant des formules directes et inverses du § 170, falcnler, sinon d'une manière générale, au moins pour d«8 valeurs numériques de l'angle «du prisme^ et de l'incidence i, on pourra, dis-je, obtenir ^déviation totale due aux deux réfractions d'entrée et de sortie. Or dans ^lotienrs calculs de ce genre je trouve que le rayon extraordinaire perd à lu Wftie l'excès de'déviation qu'il avait reçu à l'entrée, et que, somme toute, le prisme agit plus énergiquement sur le rayon ordinaire. En serait-il toujoun ainsi? Les formules de la déviation d'un prisme, si peu maniables , nérae pour les substances monoréfringontes , rendent cette étude comj)!!quée. Cependant, quoique nous nous bornions ici à une ébauche , nous avoiih frti devoir signaler cette deuxième divergence entre l'eflV»t d'un pri«inc t4 relui d'une surface, parce qu'on y fera appel au § 207*
3 m cuiPirRE vi.
îilé (*). Or r angle V s'obtient très-exactement, quand, ayant soin que le piisme soit traversé près de son arête, on arrive à avoir son sommet, sur la faee antérieure, h un niveau que Ton détermine avec un éerau opaque*^ on â , en effet ,
TR ST HS
lângBPT=-^, tangSI>T = — , tangV =
Il reste donc à voir ^i cette quantité V, qui est pour nous proportionnelle à v* — t^ ou encore à i'^ — ï^*, ou enfin à
— ; — — ^ n^ — rt'*, le sera k sîn*T (§ 178)* Pour avoir T, it
faudrait évidemment calculer les deux angles H, y' dépositaires de la direction intérieure du rayon extraordinaire, puis calculer la troisième lace d'un triangle spîiériqiie; niaisj la plupart du temps 3 on peut se contenter de délerminer l'angle T sur le rayon oixîinaîre. Pour întroduiie plus de précision dans la mesure de cet angle^ Fresuel renoûnçaiià faire avec un même prisme plus d^une expérience ^ etil le plaçait entre deux prismes de même angle (Jig- g^]^ et formés d'un verre sensiblement doué de la même refriaj;cnce que le cristal , et enfin il n^opéraît que sous TiBcidouce capable de la moindre déviation.
Comme en général la déviation ne se fait pas dans le plan de la section principale du prisme , il faut, avec M, Bioiî compliquer la règle verticale j même pour les uniaves, d'ott cercle et d'une alidade divisés. En orientant conveuablfi' ment T^lidide, on mesurera dans tous les cas la dévîatîoii^
{^) La qiiiisi-confltanccî que nous avons trouvée (^ IGO/' 1GI> 1^/ pour le rapport defr cITcIh divers de double ré frac ti on che^ îe spalJietl^ {[uarU, tieul a (.'6 que cl^ ciFtite étaient t homologues, faibles , et dana ^^^ ' dépendutict! immédiate ou inéilifitu de lu diflii renée des vitcs^efi (oar l'excentricité de rt-llip^'ide d'Huy^tieris^ cmise du dernî^^r eflet, est senaihkmeat proportionnelle à ceUo dilVérenc« des vltesiie^}. On pourra il donc voir dan* r^ette i^oiislani^e \\ne horlc de vérirïcatioti du pritiuipe invoqué ici ^ d'ApVé» lequel eettê dépendarncc si^rail rrlie He hi propnrEiiojnn;i^1ilé. - - ^ ^ ^
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXË. 3i i
En relevant celle orientation, on aurait la déviation résultante des deux déviations successives du plan de réfraction, mais ces confrontations très-compliquées, Tin ventéur de l'appareil que nous décrivons ne se les était pas proposées 5 aussi les seuls renseignements de ce genre qu'on pourrait y recher- ;her devront s'arrêter à établir que, dans certains cristaux, aucune des deux réfractions n'a lieu dans le plan d'incidence. '
§ 182. — Autre manière de vérifier les loi» de la double réfraction uniaxe.
M. Bernard vient d'appliquer avec succès, à la détermination des indices de réfraction , la translation que produit sur un rayon de lumière une lame à faces parallèles. Nous allons voir jusqu'à quel point cette méthode, dite méthode du transport, se prêterait à la vérification des lois intimes de la double réfraction ; elle aurait, comme celle de Malus, l'avantage d'opérer sur des lames parallèles, et lui serait sans doute supérieure par la précision.
Imaginons un faisceau de rayons parallèles transmiis par une fente étroite et alignés dans un même plan. Reçus sur un micromètre, celui de Fresnel , par exemple , ils y traceront une ligne Inmineuse qu'on pourra amener en coïncidence avec le iil mobile. Si l'on interpose sur leur trajet une lame parallèle, la coïncidence du fil et de la ligne ne persistera que pour l'incidence normale. La lame devient-elle oblique, la ligne lumineuse éprouve ti&e translation dy qu'on peut inesurer avec une grande précision. S'agit- il d'une snbstance monoréfringente ou du rayon ordinaire d'un Qniaxe, la translation de la ligne n'est autre que celle subie par chacun des rayons qui la constitue, et vaut dès lors {^g> i4i>
BT = a3 sin (i — r) = sin(/ — r)z=:e (sin / — cos / tani; r) .
^ cosr V / v D /
lotroduîsaiit la constante b = -i on a l'équation
. . / b cosi \
d z= c SITU l l — ) 9
\ y 1 — If' sin' / J
3g% CHAFETRE VI-
qii^on peut employer à déterminer &, puisque rexpêrience doane aisément <^, ^, f.
La trnnslatioii de Kima^e e?ctraprdiiiaire n*est égale à la transr* iation du rayon que quand la ligne autour âe laquelle on fait ba^ cukr la lame, et conséquemment la fente , est perpendkulaire à la section principale. Dans ce cas simple, on a encore
# ^ c — ^- — ; — - ^ e sin / — c cûs i lanc r ;
mais il faut prendre pour tangr' la valeur du (§ 170}, ce qui
donne
0 =: t' sin f -h C 0{
Aaè^ — A — sin'i
Avec une lame monoréfrlngente, on peut, en inclinant la lame^n
sens fonlraire, doubler le transport^ et obtenir ainsi une moyenne qui est à Tabri dSin léger défaut de parallélisme. Ici, en chugeant le signe de t, on n'obtient plus pour ^ ni la mémo valeur, ni même nécessairement une valeur de sens contraire. Cependant \i combinaison des deux déplacements fournis par deux inclinaisops égales et contraires conduit à des vérifications plus simples, et I permet encore d^échapper à robli^ation de connaître le zéro de 1 rappart^il. Il y a même ici deux manières distinctes d'obtenir ^ *' avanta{^es* Entrons dans quelques détails.
La^g.i4i nous montre le spath dans une première situation AGD, alors qu'il est perpendiculaire au rayon incident Aa, puis dans une deuxième situation AC'D', alovs qu'ayant tourné de Tangle +.I9 il a transporté le rayon ordinaire en BO d*uûe quantité TB = rf, et l'extraordinaire en B'E d'une quantité TB' = ^' LUncIinaison — i s'obtiendrait en faisant passer la normale AN à droite du rayon incident, et elle donnerait un rayon ordinaire, jeté à gauche de A« , d'une quantité et= — d = — TB et un extraordinaire qui , pour les faibles valeurs de 1 , continuerait, à cause du
terme e cosi - t à être jeté à droite de A a d'une quantité 5,, pouf A
ne passer à gauche qu'à partir d'une certaine valeur de /, après
DOUBLE RÉFRACTION DNIAXE. 3i3
[uelle on aurait ^, négatif. On voit donc que la distance des deux nés transportées aura pour expression générale
* * • . / cos I \
O — tf , = 2 <? Sini I I H rrr 1 ,
ne contiendra que deux termes. On déterminera sans erreur te distance si Ton éteint l'image ordinaire par une tçurmaline. d'ailleurs il s'agit d'une lame terminée par les faces du rhomide, on aura
Ton pourra obtenir la valeur théorique de cette même disice; mais on peut obtenir une formule vérifiable composée d'un il terme.
En effet, si l'on mesurait individuellement les deux déplaceînts pour en faire la somme (cette somme devient une diffé- Qce quand ^i est négatif), on aurait
S -jr §1 = 2e---cosi;
iis on pourrait se croire obligé de bien s'assurer auquel des deux s, ^1 positif ou ^, négatif, on a affaire. Or il n'en est rien, et l'on ra affranchi aussi bien de ce souci que du zéro si, cessant d'é- Indre l'image ordinaire, on détermine les deux déplacements difrentiels $. — d, ^, — d^, car leur somme d — d-h di — it^e rélira à ^ -h ^, à cause de ^ = — ^.
Cas général. -—Allons à la fig. iS'j et au § 277, qui en donne signification. La ligne lumineuse et ses deux images sont toutes ois perpendiculaires au plan d'incidence AMN, et les rayons sorints forment deux plans parallèles passant respectivement par les roites BO9 CE et coupant la face inférieure suivant deux droites (6, CF perpendiculaires à MN. Il s'agit d'avoir la distance de ces >lans, qui est moindre que l'oblique BD ; prenons cette distance )ar une perpendiculaire EL abaissée du point B sur le plan ECF, îlle formera avec BF un triangle BFL, rectangle en L, qui donnera
BL = BF cos !==:€[ tang /•' cos ( <p' — ^ ) — tang r] cos / ,
iVoh i*on tire encore ^ pour la course de ia via micrométrifïut*.
cos' ç — a^A. sin' f Aav V
t'I [nmr la somme des deux transports dJnbrentieU
(f H- â', =^ 2 - COS f L'OS f .
On lassera ati lâs où La lama bascukrait autour d'ont! ligne }il^crc tlans La socUoti principale en posant, datis ces formules gênéndts.
Si Le support de la Eame esi muni d'un limbe qui permette dt' passer iVune des deux orienla lions, si faciles u déicrminer
à une orientation quelconque, on pourra se livrer sur une lame, à des vérifications incomparablement plus variées que cela n'a eu lieu jusqu'à présent. Depuis qutf ces lignes ont été écrites, M. Bernard a bien voulu effectuer quelques mesures dans les trois azimuts o°, 90° et 45"- L^wr concordance avec la théorie a été des plus remarquables.
POLARISATION RECTIUGNE. 3 I 5
POLARISATION RECTILIGNE
ARTICLE V
DES DIVERSES ACTIONS POLARISATRICES ET POLARISCOPIQUES.
^numération des priucipales difiërences qui séparent la lumière polarisée de la lumière naturelle. ~ Les actions polarisatrices, réciproques des actions polariscopîques. — Polarisation par réflexion. — Miroir polariscopique. *- Loi de Brewster. — Polarisation par réfraction. — Plan de polarisation. ^ Loi d'Arago. — Effets d'une pile de glace, au double point de vue de la transmission et de la réflexion. — Sur la lumière naturelle et snr la lumière polarisée dans le premier ou dans le second azimut. — Usages variés des piles déglace. •— Polarisation par double réfraction. — Loi de Malus. — Expérience d''Huyghens. — Découverte de la polarisation. — La tourmaline. — Pince aux tourmalines. — Prisme de Nicol.
§ 183. — Production et caractères de la lumière polarisée.
Quand on fait tourner coniquement un miroir autour i'un rayon incident et que , sans changer l'incidence , on donne au plan d'incidence ou (pour employer une dénomination usitée) à la section principale du miroir toutes les orientations possibles, si \e rayon émane directement du soleil , cette variation d'azimut n'exerce aucune influence sur le partage du faisceau incident entre les trois faisceaux léfléchi, réfracté et disséminé. En soumeltant à la double léfraclion ce rayon primitif, on le voit de même donner ^'«mstamment deux faisceaux transmis d'égale intensité, quelle que soit la direction de la seclion principale du cris-
rï6 ÏHAMtRB m
tal. Mais celte IndînerL^nce neKisie paâ loujours et il u esi pas bien dttlicile, tiuoiqu'iim^ relie renoua tre ail élu hm lardîve, de lomber sur une luiîuère qui oflVe, suivant Wzimul^ une réfleiçioii , une r^fraclion ^ une diâsëiuinatioii vive ou faible, et qui doDne, à travers un spaili, deux faisceaux Irès-inégaux. L^inegalité peut mèiue, dans deux dg ces phénomènes , être poussée à Texlrt^me : ainsi , pour certaines incidences, la réllexion^ irès-vive dans un certain azimut j peut devenir nulle dans un second azimutj ainsi^ le plus faible des deux rayons inégaux donnés par un spatli peut s^évanonir complètement « Si nous assimilons le rajon à uneylindre, on volt doue que raclion exeiTce sur lui peut dépendre du système des deux génératrices opposées par lesquelles passent ^^ et là section principale du miroir^ et celle du spatli, et qu ainsi ^ un rayon de lumière pcul n'être pas symétriquement constitué autour de son axe. Eb bien, on appelle polarisée la lumière qui jirésente aiosi, dans dilTéients sens, des propriétés dillérenlesj réservant l'épi th è te de naturelle à relie qui reste i n d i fl ère n te .iu s changements d'azimut qui viennent d'être signalés. Quand ces inégalités n'ont pas reçu tout leur développement, la J polarisation est dite parliGllc; mais nous verrons que dt ' fait (§ 230) La polarisation n'admet pas le plus et le moins, (!t qu'un faisceau partiellement polarisé doit être considéré eomme un mélange de lumière polarisée et de lumière iiatnrelle.
On saura que les singularités olïertes dans les quatre ^\y^ nomènes précités ont toujours lieu à la fois et sotil insépa- J râbles 5 qu'elles forment, par consét[ucnt, des manifoia^ 1 tions polartscopiqnes parfaitement équivalentes. On saura | encore que les moyeus par lesquels nous commuuiquous ^i la lumière naturelle l'état de polarisation, sont précisément ceux qui , appliqués à la lumière polarisée , la font distinguer de la lumière naturelle; qu'ainsi il y a identité complète, ou autrement réciprocité exacte, entre les ajiparcils
POLARISATION RBGTILIGKF.. 3 1 7
isateurs et les appareils polariscopiques (*). Cette ire remarque va nous permettre de fondre en un seul tre les développements dans lesquels nous allons enur les diverses actions polarisantes et sur les divers iscopes.
— Polarisation par. réflexion. — Réflexion polariscopique .
t ( fig, ^5^Pl . VI) un tube armé à chacun de ses bouts niroir(**), à savoir, au bout antérieur, d'un miroir MIN e autour d'un axe horizontal, et à son bout supérieur, miroir M' N' qui puisse, comme le premier, s'incliner ou moins sur le rayon incident et qui, en outre, ; au tambour ST, puisse tourner coniquement et er sa section principale dans tous les azimuts. Trois îs gradués permettent de mesurer, et les angles d'inci- 3 ou de réflexion sur les deux miroirs, et l'angle dièdre urs deux sections principales'.
la posé , dirigeons le tube de manière que les rayons res, ou simplement la lumière d'un nuage blanc reçue e premier miroir et renvoyée suivant Taxe du tube à trs les deux diaphragmes dont il est muni, vienne s'offrir le miroir M'N' à une deuxième réflexion. En faisant 1er coniquement ce miroir et en suivant de l'œil ce eau deux fois réfléchi , on assiste à des variations d'inté. Notons les positions azimulales qui donnent l'in-
La dissémination n'a jamais été employée polariscopiquement; la dislation polarisatrice est surtout énergique quand elle s'opère au sein do >8phère , et alors on Tobserve volontiers avec les polariscopes composés ; mprendra donc que nous renvoyions cette étude au chapitre qui nous era ces précieux appareils. Si nous avons passé sous silence et renvoyé ment à un autre chapitre, une cinquième action polarisatrice (l'émission [ue), c'est parce qu'elle parait rentrer dans la polarisation par réfrac- I et qu'il convient dès lors d'attendre que l'étude théorique de la réion polarisatrice nous permette d'établir cette curieuse identification. *) Pour n'avoir qu'une réflexion, on a noirci la surface postérieure de miroirs.
3i8 r.mi'iTRK vu,
te 11 a lié la plus grandi' cï la plu* faible, un rcionnaît qu'elles stHii rectangulaires^ et que, dana le premier ra^ les sections priocipales œmeident, tandis que dans le cas du minîmiun elles sont à angle droit. ^ ^
Ce résultat a lieu quels que soient les angles dHocidence sur les miroirs 5 mais le cotiiraste des deux pliénonxènes es* irêmes est mieux marqué avec certains angles. Si les miroirs sont fonnés de verre ordinaire, ou reconnaît par tàronnements que rinégalité est la plus tranchée quand, sur le miroir polarisa leur MN, Fangle d'incidence est de 56 degrés environ. ^Ê
Amenons le miroir polariscopîque h offrir au^si cet angle d'incidence, nous reconnaîtrons que pour ceriaîtis miroita, ceux d'opale ménîHle par exemple {« ^ i\48a), le rayon réflécliidisparaitcomplëtenieni, quand l'azimut de sa section principale est de go degrés à droite ou à gauche,
§ 1^. - Loi de Brewater.
Brewsler a trouvé par expérience que cet angle î diï angle ii& polarisation ^ qui convient le mieux , soit pour jwlariser, soit pour reconnaitre Tétat de polarisation, était lié à riudice du corps par la relation tangf =:«, ou encore était celui pour lequel (fi^' <}6) les deux rayons réflérïiis et réfractés étaient à angle droit {**}* Celte loi indique ci r expérience a conflrmé que dans une réflexion intérieure Tanglecle polarisation était celui qui correspond, par voie
(*) U faudruitâo placer dans l^obscurîtéf s'exercer beSiUCOiip et pruEt.'dE?)' par de» moyennes pour arrivera ce réfsiiltat f]iiaDd La lumière esl râiblemcnl polarisée, Âtiaâi nous InsplrtinB-noufl im pliit6t de la théorie que d'^ip^ ricnceij faites.
( *" ) En rapprodmnl Téq nation
de la relation conrine
GO!I i
vu en tl«duït
sifir *
i -i- r =: ip dcrjjpcs
POLARISATION ReCinLItilVE. 3 1 9
de réfraction, à TaDgle de polarisation extérieure, et valait linsi 34 degrés pour la ménilitc. Dentelle sorie que si Ton ait tomber, sur une lame parallèle, un rayon sous Panglc dû K>larisati6n , la partie transmise se trouve encore reçue sur a deuxième surface sous Tangle de polarisation , et qu'il en st de mèmede tous ces rayons issus de ce faisceau, qui, translis et ballottés entre les deux surfaces, éprouvent incessamlenl et à l'infini de nouvelles réflexions intérieures (§67). Les méthodes suivies pour vérifier la loi de Brewster sont ombreuses. Seebeck a grandement abrégé les tâtonnelents en rendant l'alidade du miroir polarisateur installé 1 centre d'un limbe et celle du tube viseur tellement soliaires, que l'une entraînât l'autre et qu'il y eût, dans ce louvement commun, conservation d'égalité entre les angles 'incidence et de réflexion. Le mécanisme qu'il a imaginé epose sur ce que le rayon réfléchi se rapproche constanilent de la position nouvelle du miroir, d'un angle égal à eluî dont a tourné ce miroir, et il réalise cette égalité de* ariation , entre une rotation absolue et une rotation relaive, à l'aide d'un pignon engrenant avec deux roues denses dont une n'esf autre que le limbe, concentriques et de ayons peu différents. Quoique cette solution ait l'avantage e laisser immobile le tube directeur du rayon incident , l, par conséquent, la bougie qui fournit ces rayons, nous vous atteint le même but en laissant fixe le miroir et en eliant les alidades des rayonè* 'incidents, et réfléchis par eux liges articulées égales, îjûî réalisent avec les alidades in losange à angles déformables. La bougie reposerait suim prolongement de l'alidade du rayon incident dont elhî Partagerait ainsi les mouvements. En opérant dans ces conlitions favorables, Seebeck a trouvé que la loi de Brewster « vérifiait avec une grande rigueur, pourvu cependant que l'indice et l'angle de polarisation fussent pris tous deux dans le même état des surfaces, par exemple immédiate- T^ienl après un polissage. ^
