ANALYSE
Calcul, de reUipsoïde d'Huyghcns; — des paramètres caracléristiqiies du rayon extraordinaire. — Cas particulier de la section principale. — On revient sur le calcul numérique de quelques cas étudiés synthétiquemcnt. Extraordinaire d''un rayon incident normal. — Rayon incident de Textraordinaire normal. — L'extraordinaire indévié. — Double réfraclion dans les sections principales des biaxes. — Réflexion intérieure. — Les angles limites. — Comment, pour certaines faces', il est deux directions obliques où la double réfraclion manque, quoique les deux rayons n'aient pas la même vitesse. — Lois des vitesses des rayons et des ondes conjugués, déduites de la construction d'Huyghens. — Vérifications de la loi des vitesses à Taide des déviations prismatiques mesurées par Tappareil de Biot. — Vérification des formules du rayon extraordinaire obtenue par la méthode da transport.
§ 165. — Équation de l'ellipsoïde d'Hnyghens. * Plaçons la face du cristal [fig, 89) dans le plan des XY, et la section principale du cristal dans le plan des XZ ; nommons L Tangle que Taxe du cristal fait avec Taxe des Z normal à la face. L'ellipsoïde d'Huyghcns étani de révo-
liuioii, et ayant sou axe dans k- plan XZ, se» m sym?mq3ê" par rap|K»tt à ce plan, vt n'aura pas de lermes alFeciés des piemièrea puissances de j. Coin me d'ail Jeius il a pour rtmlre Forigine des coordonnées, son ë<[Uâiion est de la Ibrme
(0 Aj:'-hAV+ A'£'+!iBxs+ i = o;
eu fabant y ^ o » on trouve relHpse
dont un axe doit ôtie égal à 6 et dirigé suivant Taxe du cristal j ei dont le second axe vaut a. Pour exprimer ce* deux choses j passons do premier syslètne d'axes coordon- a s OX , OZ au sccoikI OX, , OZi par les formules connue:^
ir^jT, sinL — s^cosL, s ^ *r, cosL + 5|SmL, vient
A sin'L
h A^cos'L haBsinLcûsL
j!r; + A cos' L H* A'siu'L — iBsinLcosL
e du
■ ce* I
don- I
nne:^ N
i; H- (A"-- A) sin 2 H jr, x, +, l =t\ — 2Bcas2L
ft I
et Ton a les trois équations de condition
(2) (A''— A)sin!iL= 2BCOS2L,
A sin'L + A" cos^L -f- 2B sinL cosL '
Acos'L + A" sin*L — 2BsinLcosL
L'ellipsoïde achèvera de devenir celui d'Huyghens , si nous exprimons qu'il est coupé suivant un cercle de rayon a, par
le plan x = -
tangL
z, normal à l'axe OXi. Or on peut se
dispenser de chercher Téquation de cette intersection dans son propre plan, et se borner à écrire que l'axe des j^ est encore coupé par l'ellipsoïde, à une distance a du centre. Faisons donc a: = o, z = o dans son équation \ il en résulte
DOUBLE AÉFAAGTiON UmAXE. ^85
a' = — -p » et le coefficient A' se trouve explicitement déterminé. Les équations (2), (3), (4)9 faciles à résoudre^ donneront pour les valeurs des trois autres coefficients
B= (-; — n 1 sînLcosL, - A= ^cos'L — ^sin'L,
A" = — -^ sin' L — i cos'L,
et il suffira de les reporter dans Téquation (i) , pour être en possession de Tellipsoïde d'Huyghens propre au point d'incidence o.
§ 166. — Calcul dn rayon ordinaire.
Le rayon quelconque incident 01 a pour équations xzzzmZy y=nz'y
il fait un angle d'incidence /donné par
tang I = ^ = s^m^ +• /?'.
L'azimut f du plan d'incidence, compté depuis le plan XOZ, est donné par
Cela posé, il faut le prolonger jusqu'à la sphère
et mener à cette sphère, au point de rencontre, un plan tan-
C^) Si le rayon venait d'un milieu dont l'indice eût pour réciproque Vj le second membre de cette équation serait p', et dans les calculs qui vont suivre, 3Q lien de
sjm} ^ n* -h I , on aurait
UttiriTItE Vf.
genL Lrii counlùtiiiei?!^ du poiiude reiicotitrc sani
le signe — au radical éiant dicté par la rou figura tiou iJoptrts le plan taiigetitesE
au bî^n
5011 întersertion avec la face du crîslal usi
C^e.^i par C€tie droite qu'il udus faut lueucr^ soit à Vtàl soî'de, soit à la sphère x* -h 7*+ «*^ 5', et intérieu meut au milieu , des plaus tangents.
Un plan qui passe par une droite
Z ^ o, X//Î ^- Tn =:= — ^m^-\- /î'h-T,
a visiblement pour équation
Xm -4- Y/i-h CZ = -^ V'w'-h /ï*-h I .
Si ce plan doit être tangent à la sphère x* H- j^* + 2* = ^S en appelant x"^ y\ z'' les coordonnées du point de contact, il faut que pour ce point les deux dérivées partielles
—9 -j- soient égales sur le plan et sur la sphère. Si Ton
exprime d'ailleurs que le point x" ^ y" y z" est à la fois sur le plan et la sphère, on aura, pour déterminer les quatre inconnues C, x"^ y'\ z"^ les quatre équations
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 287
Les équations (5), (6), (7) donnent
x"=zm 4/ ,
Les équations (8), (10), (11) donnent
d'où l'oii tire pour les inconnues ,
si m} H- /i' -f- I L'azimut du plan de réfraction a pour tangente -;; = — ^ il
^t le même que (p, et la première loi de Descartes est satisfaite. L'angle de réfraction r a pour tangente
tang r =r
^t)par conséquent, pour sinus
h Jin^ -f- n" sin r =
sjm'^ H- /l' H- I
est visiblement égal à b sini ; de sorte que la loi des sinus se retrouve sur le rayon ordinaire. Passons à T extraordinaire.
eilAPlTRE VU
§ 107! - Calcul du rayou extraordinaire. Ici les équations (5), (6)^ (y) sont remplacées par ces
trois ai
Litres
fl A-y^
€~ A'a'H'Bjr"
A ^'"' + A\r' + A" s"» -h 2 Bx'
lesquelles } associées â T équation (8) qui aura rcçux'^,^'', s*^, en place de x'', j^, ^-'j donneront rincounue auxiliaire C et les inconnues principales ,t/^, ^}^''j jc'", et surtout les quantiles r\ y' qui carâclérisent de la manière la plus commcide la rovUe du rayon extraordinaîrej et dépendent des équations
tang/"' ^
Les équations (la) et (t3) donnent (i5) ' '" '"
A^'^H-Bîj"== ~AV\
et cette équation indépendante de / et C nous apprend déjà que tant que (f est constant, les points de contact z'", y, /' caiactérîsques des rayons extraordinaires, sont compris dans un même plan dont l'équation est (i5 ) ; qu'ainsi, à la famille des rayons incidents contenus dans le plan normal d'azi< mut ç, répondent des rayons extraordinaires contenus également dans un même plan , mais qui est oblique sur la face d'incidence.
Quand o/'^, y\ z"^ seront déterminés , l'une des équations (12) ou (i3) donnera C. Si donc on reporte cette valeur provisoire tirée de (i3) dans l'équation (8), auquel cas cette dernière devient
Double réfkagtioii uniaxe. 289
les équations (14)9 (i5), (16) ne contiendront plus que 3^^ y^\ s!"^ et il s'agira de les en tirer.
Pour y arriver simplement, remplaçons dans le seul premier terme de l'équation (16) , mhiy^ par sa valeur tirée de Téquation (i5), il viendra
= — A'./" slm^ + n^-h I,
équation dont le premier membre se réduit d'après Téquation (i4) à — w, de sorte qu'on a déjà
En substituant cette valeurdans les équations (1 5) et (i 4)) on obtient deux équations , dont l'une est
éliminant x''' entre ces deux nouvelles équations, on a une équation en z^" du second degré dans laquelle le coefficient du deuxième terme est nul. Cette équation facile à former
est
AA"— B» ^, I //îi» n^\
les valeurs de A, A'', B donnent
il en résulte, en prenant le radical avec le signe ^— , puisque dans la configuration adoptée z^" est négatif,
z'^ = '-ab i /— A -♦- — V-— (/i*a»A — . /il»)
z=z —ab ^— A -hsin*i(û*A sin'ç — cos'y); car ■
= = sm'i sin*cp.
TO» -H /ï« -f- I iw'-h /l'-f- I /w»-l-«'
lip
Cllf ii'ITRK VI,
Kuttn on âiir4 ,^^'' en reportani ^''^dâii^ lVH}uattan(i j)» c|ui daniu\ vu it'niplaçanl de «^uito los paramètres m^
.^ ^IlfCfïBf Bwi i- -. :
*r^ ^ — — H" y — Ah- siJi* / {a^ A sin'^ — cos'f }.
S! rôti iiitJûfJuil li*s îitÙDu^s paraïKiètrrs dans j^^\ on a
j» " = -^ sin / sin (f = — a^ %m i nln y. Qurtnt il ip'et f^, OH a
fSal / ^ -; =X::^ -^ — ^ , . . . - t /
La valeur explicite de laiig ''' éiani tri^s-eompliquée, no déduirons r^ de réquaiioti impliehe '
tang r' sKty = ^ ^ ^ —
^ no
4ui dopnera r\ i^uaiid a?' aura éléoÏMcuu k Faide de la p rédente*
^ i6S. — &G qu6 serait la calcul de l'anglo 4'ècaft. L'angle d'écart V dos deux rayons est facile à mesur (§ 146) : il faut donc le demander aux formules pour ménager des vérifications. On ne peut pas songer à form explicitement l'expression générale d'une des lignes irig nométriques de cet angle ^ mais quand on aura calculé rp la formule sin r == i sin /, ç' et r' par l'emploi successif d deux formules précédentes, on connaîtra 9' — ç et l'on au trois éléments du triangle sphérique formé par la norma et les deux réfractés, à savoir, deux faces r, r^ et le dièd compris ^' — (p. Il n'y aurait plus qu'à déterminer la tro sième face par la formule connue
cos V = ces r ces r' 4- sin r sinr' cos(ç' — tp).
(*) Pour accommoder toutes ces expressions au cas du milieu quelconi'
