AVERTISSEMENT

Fresnel a fait une des grandes choses du siècle, et peut-être la plus grande.

Pour ne pas donner trop d'étendue à cet ouvrage , I nous avons cru devoir en exclure les quelques chapitres qui, pendant si longtemps, formaient à eux seuls , le domaine restreint de l'Optique. On n'y trouvera donc ni la catoptrique, ni la dioptrique, ni l'étude des instruments de l'ancienne optique, ni celle du spectre et des deux aberrations. Nous admettons qu'avant d'a^ border ce Traité spécial, le lecteur aura acquis certaines connaissances de physique générale. Or il n'est pas de Traité de Physique où ces matières ne soient exposées avec soin.

On sait l'élan qui fut imprimé à l'étude physique de la lumière par la découverte à jamais mémorable de Malus. L'Optique, depuis longtemps stationnaire, et presque réduite, malgré les importants travaux de Newton, à une étude purement géométrique, s'enrichit alors, avec une rapidité sans exemple, de nombreux phénomènes aussi brillants qu'inattendus. Parmi les noms des savants auxquels sont dus ces merveilleux progrès, et grâce auxquels l'Optique physique a été sérieusement fondée, nous nous bornerons à citer Young et Fresnel, Arago, MM. Biot et Brewster, Herschelet Babinet, et plus près de nous, MM. de Senarfflont, Airy, Jamin, Fizeau, Léon Foucault, etc. Les géomètres eux-mêmes prirent part à ce grand mouvel. a

Il AVERTISSEMENT.

ment; aussi est-il juste d'adjoindre aux noms qui précèdent ceux d'Hamiiton , Neumann, Mac-Cullagh, Plucker, Blanchet, etc., et celui du si regrettable Cauchy.

Par l'extrême variété des phénomènes, par le grand nombre des circonstances qui influent sur quelquesuns d'entre eux, et enfin par l'excessive complication que doivent présenter certaines lois, quand on leur donne leur expression algébrique, la science se trouvait menacée d'un double danger, à savoir l'encombrement que produit l'isolement des faits, et les fausses lueurs qu'amènent leslois empiriques. Si elle y a échappé, si la valeur relative des faits y a été tout de suite appréciée, si quelques erreurs y ont été reconnues sftns retard, si enfin on a pu aller droit à des faits que Texpérience seule ne rencontrait pas, c'est que parmi les savants illustres qui ont concouru à l'envi à l'établissement de cette science nouvelle, il se trouvait un de ces génies privilégiés auxquels est largement dévolu le sentiment des harmonies du monde physique, un de ces grands promoteurs des sciences d'observation, chez qui l'intuition qui devine se trouvait alliée dans les plus heureuses proportions, et à l'art de combiner les expériences et à cette prudence qui recherche incessamment dans la confrontation des faits avec les idées la confirmation de ces dernières.

Cependant si l'Optique, après Fresnel, se trouva constituée, ce ne fut pas sans des discontinuités qui eurent leur cause, les unes dans la brièveté de sa carrière et les autres dans la puissance extraordinaire de son coup d'œil. Mort à la tâche et avant l'âge, Fresnel s'est souvent contenté de tracer les grandes lignes, et n'a pas eu le temps d'aborder les détails. Habitué à saisir intuitivement des rapports lointains, il a quelque-

AVERTISSEMENT. m

fois usé d'un genre d'évidence qui n'est k la portée que de quelques-uns, et qui cesse d'être démonstratif pour le grand nombre. Pour réduire en Traité son œuvre ' grandiose, il fallait donc rétablir les sous-entendus et I modifier au besoin la succession des idées. j Cette obligation d'amoindrir les difficultés était surtout impérieuse à l'égard de sa théorie de la double réfraction y le plus grand effort de son incomparable génie. Or il est arrivé qu'une fois les résultats connus et le but à atteindre marqué, des physiciens et des géomètres éminents se sont proposé d'y arriver à leur lûanière, et y ont en effet réussi, grâce à un mélange heureux d'analyse et de synthèse. En présence de ces simplifications auxquelles il nous a été possible d'ajouter encore par nos efforts personnels, nous avons pensé que le moment était venu de vulgariser, par une exposition simple et continue, ces belles matières.

Ce n'est toutefois qu'exceptionnellement, et pour ainsi dire dans des cas de force majeure, que nous nous sommes éearté de la route suivie par Fresnel. Outre qu'on s'intéressera toujours aux moyens par lesquels a été fondée la théorie ondulatoire de la lumière, il y a, dans cette marche primesautière, des ressources remarquables pour une exposition simple; et l'on peut croire que, longtemps encore, ce sera en prenant comme Fresnel son sujet corps k corps que se feront les découvertes ultérieures. Le physicien n'a aucun intérêt k compliquer la difficulté inhérente aux idées, d'une autre difficulté plus grande venant du calcul; il doit donc s'attacher a un mode de faire qui laisse k ce dernier un rôle de véritable auxiliaire.

Pour mieux caractériser d'ailleurs la marche relativement simple que nous avons suivie, nous dirons que

TI AVSRTlSftBMBNT.

rendent Tesprit incisif et lui donnent, pour surmonter des difficultés qui l'eussent arrêté dans le silence du cabinet, une puissance inespérée. Mais la secousse intellectuelle et la surexcitation qui accompagnent l'exposition spontanée d'un sujet difficile, ne sont, l'une durable et l'autre féconde, qu'autant qu'avant de s'y livrer on a pu tracer au moins une fidèle esquisse de son sujet et en sentir profondément les difficultés. Pour arriver à cet état d'imbibition préalable, il me suffisait la plupart du temps d'en appeler à ce fonds de connaissances dont je doifi faire remonter la première organisation aux savantes leçons professées sur ces matières, dès 1829 au Collège Saint-Louis, et quelques années plus tard au Collège de France, par mon ancien maître M. Babinet, et dont l'accroissement incessant est dû à quelques lectures, à des méditations opiniâtres et à la libéralité avec laquelle ce savant, digne héritier des traditions scientifiques du grand Fresnel, s'est toujours prêté, sur les points qui pouvaient m' arrêter, a des conférences instructives. Dans certaines circonstances cependant, j'ai puisé à des sources que je crois devoir signaler d'une manière d'autant plus explicite, qu'elles sont loin d'avoir reçu toute la publicité qu'elles méritent. 11 s'agit des leçons lithographiées de M. Regnault et de celles, conservées avec un soin religieux par les élèves de l'École Normale, où M. Blanchet, et après lui M. Verdet, ont remanié divers travaux contemporains. Mais même alors, ceux de mes lecteurs qui connaissent ces précieuses ressources, s'apercevront, je l'espère, que, dans le mode d'exposition auquel je me suis arrêté, loin de reproduire servilement l'œuvre de ces grands professeurs, j'ai pu, venant après eux, améliorer la méthode et abaisser encore les difticultés.

AVERTISSEMENT. yii

Je ne me serais acquitté qu'imparfaitement des dettes de reconnaissance que m'a fait contracter la composition de cet ouvrage, si je ne disais que j'ai rencontré auprès de M. de Senarmont, si compétent pour ces matières, une bienveillance qui m'a soutenu, et une complaisance qui m'a souvent été profitable; et si je n'associais à ce témoignage de gratitude mon respectable prédécesseur, M. Guéneau d'Aumont, homme d'excellent conseil, qui a pris le plus vif intérêt à cette publication et m'a aussi suggéré diverses améliorations.

Le plan de cet ouvrage comportait un dernier chapitre consacré à la Photométrie. Aucun genre d'intérêt ne manque assurément à cette importante application de l'Optique qui utilise et met en jeu les ressources les plus variées. Cependant nous avons été conduit à la supprimer, et voici pourquoi. On sait comment, entre les mains d'un grand physicien dont les sciences déplorent la perte récente, cette branche de l'Optique s'est trouvée régénérée (étrange retour des choses d'icibas), par cette même polarisation qui avait trahi les nobles efforts de Bouguer. Mais ce qu'on ne sait pas moins, c'est comment le créateur de ces nouvelles et ingénieuses méthodes, jaloux sans doute de ne les produire au grand jour qu'amenées au terme de leur perfection et escortées d'un ensemble imposant d'applications de toutes sortes, ne s'est jamais trouvé le courage de s'en dessaisir. Il en est résulté que, maigré quelques accès d'indiscrétion et des demi-confidences suffisantes pour donner l'éveil à leur égard, et pour exciter chez les amis de l'Optique tous les aiguillons de la curiosité, d'hier seulement date la connaissance pleine et entière de ces nouveaux procédés.

vni AVBRTISSBMEIIT.

Eh bien, dans Tétat de fatigue que nous a causé la publication de cet ouvrage 9 les forces aussi bien que le temps nous manquaient pour remanier, en temps utile, au profit de ces précieuses nouveautés, le chapitre considérable qu'en dehors des découvertes d'Arago, nous avions déjà consacré à la Photométrie, Toutefois, quand nous aurons pu nous familiariser par une pratique personnelle avec les nouvelles méthodes et les nouveaux appareils, nous ne renonçons pas à reprendre cette étude et à en faire l'objet d'une publication spéciale. C

TRAITÉ

On caractérise les deux théories qui se disputent les a^fents delà physique. — Étude du mécanisme ondulatoire : i^ dans le choc des billes; 2° dans la propagation du son. — Démonstration des formules de Newton et de Laplace. — Extension de cette démonstration aux liquides. — Représentation graphique des vitesses oscillatoires <]ui animent les tranches du milieu propagateur. — Onde. — Longueur d'ondulation. — Dans la propagation sphérique, l'échelle des vitesses oscillatoires est réduite dans le rapport inverse des distances. — Hauteur, intensité des sons. — Formules algébriques qui représentent soit le mouvement vibratoire du corps excitateur, soitceluidu milieu excité.^ Comment, en optique, un mouvement vibratoire se trouvera défini par deux paramètres. — Amplitude. — Double aspect du paramètre de non-simultanéité. — C'est une longueur appelée retard, ou un angle nomméphase. — Notion théorique de l'intensité d'uM monvemeat vibratoire. — Elle est proportionnelle an carré de l'amplitude.

§ 1.— Sur les divers modes de communication du mouvement.

Nous ne connaissons, pour le mouvement, que deux manières de se transporter d'un point A à un point B.

La première consiste dans un transport simultané et du mouvement et du corps qui en est dépositaire : c'est le mode le plus vulgaire, réalisé dans les projectiles et connu sotis le nom de transport mntérieL

Dans la deuxième., le mouvement seul circule du point A au point B, et cette circulation se fait k Taîde d'un milieu élastique nécessairement interposé. La chute d'une pierre I. 1

dans un bassin y délermine une agitation qui se propagea par des rides circulaires et atteint bientôt la rive opposée r chacun sait que les parties du liquide heurtées par la pierre? et primitivomept imprégnées de son mouvemenl restent: en place et se débarrassent de leur mouvement au profit descouches suivantes par une série d'excursions au-dessus et: au-dessous de leur niveau normal. Nous verrons que c'est par le même mécanisme et à l'aide de petites excursions autour de sa position d'équilibre que wL'haque tranche dix milieu élastique reçoit et cède à -son tour le mouvement qu elle ne possède que passagèrement. C'est à cette particularité essentielle que sont empruntées , pour ce mode de transmission, les dénominations de '2;/6ra/o/re> ondulatoire •

Or^ de tout temps , .on a supposé que dans les phénomènes de chaleur y son^ lumière^ etc. , quelque chose se transmettait du corps échauffé y sonore, lumineux, à l'organe impressionné. •

.Ce quelque chose était pour les uns une substance de chaleur, une substance de son , une substance de lumière ^ pour d'autres c'était un pur mouvement qui se propageait vibratoirement au travers d'un milieu élastique interposé entre le corps et l'organe.

La matérialité du son n'a jamais eu de défenseurs sérieux, parce que, d'une part, ce sont nos corps matériels qui lui servent de véhicule, et que de l'autre il s'établit, entre les mouvements individuels des particules , une solidarité qui les rend souvent appréciables à l'œil. Mais il n'en a pas été de même à l'égard de la lumière et de la chaleur : là en effet ces mouvements d'ensemble, ou bien manque^it, ou plutôt août encore trop restreints pour être perceptibles \ de plus les milieux propagateurs de ces agents sont immatériels,

A un point de vue purement expérimental et par conséquent grossier^ on peut avec certains physiciens appeler matière ce qui pèse et est impénétrable -, nos tentatives pour consiaileiV impén(krabili(é sont vaines, puisqu'elles se font

TOTIOXS FONDAMENTALES. 3

avec nos vases poreux. La gravùtalion^ malgré son uuiversalilé, peut n'être que contingente et manquer dans certaines substances : bref, en dehors de nos corps matériels , il existerait (les suLstances, des matières exlrêmement raréfiées (§ 13), qui semblent pénétrables et sans poids. Dans les théories TOa/me//e5 des agents de la physique, ces substances malles Jluîdes qu'on y emploie; dans les théories vïbra^ toires, elles deviennent des milieux auxquels on a doniMî le nom générique 6!êther,

En optique et en chaleur, il faut donc désesjwrer de trouver, pour établir la réalité de la théorie vibratoire, do ces preuves catégoriques qui abondent en acoustique ; on ne pourra toucher du doigt ni les excursions des particules excitatrices ni celles des milieux propagateurs. Cependant Itlude attentive des faits, la rencontre de phcnomènes cruciaux xpà sont incompatibles avec la matérialité et découlent simplement du point de vue ondulatoire , ont réuss^i complètement à renverser la théorie matérielle do ces deux agents et à lui substituer la théorîe'vibratoire.

L'électricité et le nïagnétisme en sont encore au transport (l'une substance-, mais un si grand nombre de faits contrarie maintenant cette théorie, que l'on essaye chaque jour, et malheureusement sans succès, de leur adapter la théorie vibratoire. Y aurait-il d'autres modes de communication ignorés de l'esprit humain? On sera tenté de Tadmettre tant qu'on n'aura pas fait entrer dans ce cercle étroit où la «cience a toujours tourné, et la relation mystérieuse des corps qui constitue la gravitation, et tant d'autres actions qui s'exercent à distance,

La difficulté très^réelle que présente la conception des mouvements vibratoires nous oblige de préluder à l'étude de ceux qui constituent la lumière, par Tétude successive des deux cas plus saisissablcs offerts par le choc des billes et par les phénomènes du son. L'analogie reportera sur les phénomènes de la lumière les résultats de ces investigations.

GHAPIThE I.

§ 2. - Choc des billes élastiques.

Un choc brusque excité à rorîgîne d'une file de billt^s égales (on Tobtient par un coup sec ou plutôt par la cbuC€; de la première bille qu oh soulève et qu'on abandonne) y circule inaperçu et ne devient sensible qu'à l'autre extrémité ou il s'est transporté sans altération et avec une extrèiriLe rapidité. S'il n'y a que deux billes, celle qui tombe reste en repos et l'autre s'élève à la même hauteur. On peut soumettre au calcul ce dernier phénomène, et déduire de là l'explication minutieuse de la propagation vibratoire du choc au sein de la file des billes égales.

Soient m, i^ la masse et la vitesse de la bille choquante 9 et m' la masse de la bille choquée; la première pressera la seconde et lui cédera de son mouvement jusqu'à ce qu'elles aient une vitesse commune x donnée par l'équation

mtr = ( //î 4- m' ) X,

S'il s'agit de corps durs qui ne se déforment pas ou de corps mous dont les déformations soient persistantes, le choc se termine là, et les deux corps restent en contact, emportés désormais par un mouvement commun. S'ils sont élastiques, ils continuent de réagir l'un sur l'autre en reprenant leur forme primitive : le corps choquant continue de céder à l'autre et de perdre lui-même une partie du mouvement qui lui reste.

En admettant, comme définition de l'élasticité parfaite, l'égalité entre les deux effets produits pendant les deux phases du choc, pendant la période de compression et celle de débandement, la vitesse finale U' de la bille choquée doublera et sera

NOTlONS^ FONDAMENTALES.

Celle de la bille choquante^ qui a déjà perdu

éprouvera de nouveau celle dîminulion el sera

On pourrait craindre que la bille choquée ne prit les devants avant la consommation du choc, ce qui abrégerait la deuxième période et la rendrait moins productive que la première. On comprend qu'il n'en soit rien, car la diffusion du mouvement dans la bille choquée e&t un phénomène analogue au choc et d'une durée sans doute égale. Cette bille reste donc immobile pendant tout le choc.

Les deux corps se sépareront après le choc. Si m est ^ w ', le corps choquant continue de se mouvoir dans le même sens: il retourne sur ses pas si m est <^ m' \ sa vitesse est nulle si les deux billes sont égales.* Dans le premier cas la bille choquée a une vitesse qui surpasse v* et qui converge

vers 2 f^ à mesure que le rapport — devient moindre •, dans le second sa vitesse est moindre que i*\ dans le- dernier

La première bille de la file , après avoir cédé, par une

double étreinte, tout son mouvement à la seconde, est donc

ramenée au repos \ la deuxième cède par le même artifice

ce mouvement à la troisième, qui le cédera à la suivante, etc. \

la dernière seule, ne pouvant transmettre le mouvement qui

lui est enfin communiqué, est emportée par lui. Ce travail

intérieur de transmission successive n^est pas instantané :

si Ton pouvait se procurer une file de billes assez longue,

on constaterait qu'il s'écoule un certain temps entre le

choc de la première et le départ de la dernière. La distance

franchie pendant l'unité de temps par le mouvement est -la

vitesse de propagation du mouvement vibratoire.

s CHAPITRE r.

Dans la réalité, comme le choc a une certaine durée, an^7 bille n'a pas encore reçu tout le mouvement, qu'elle en cèdc^déjà les premières portions , et un assez grand nombre d^^ billes se trouve engagé à la fois dans cette communication ^ Mais cela ne change rien aux résultats qui précqjbnt.

§A' — Des monvements vibratoires qui produisent et propagent le son.

N« dédAlgnou pas tes dinoostrttloiM été— meotaires, «Iles ont été souvent celles de»- < • taiTeatears, et grâce à leur tnmmttmot o«»

ras retroure sans effort.

Quand on soustrait un corps à Taction des forces étran-* gères qui modifiaient Fétat normal de ses particules, iZ revient à sa forme première, sous F influence d^s forces dites moléculaires, et à l'aide d'un mouvement de va-etvient, d'oscillation , de vibration.

Si ce corps est plongé dans un milieu élastique,, l'air par exemple , chacun de ses mouvements se transmet d'abord aux couches environnâmes, et, de proche en proche, aux couches éloignées avec mie vitesse indépendante de l'énergie variable qu'ils possèdent successivement.

Longtemps on a cru que cette vitesse de propagation ne dépendait que de la densité et de l'élasticité du milieu , et se trouvait liée à ces deux paramètres par une formule trèssimple due à Newton. Il est probable qu'il en est ainsi en optique 5 du moins nous ne sommes pas en mesure d'y reconnaître l'insuffisance de cette formule. Mais en acoustique il a été facile de- constater pour l'air un désaccord considérable entre la vitesse théorique et la vitesse expérimentale. Il y a plus : nos connaissances sur les gaz ont permis d'établir que cette vitessse dépendait encore de deux autres éléments, à savoir la chaleur de compression et la capacité calorifique, ou, ce qui revient au même, les deux capacités calorifiques du gaz. Comme la formule de Newton est fon? damcnlalc en optique, nous allons la démontrer.

Quand le vohinie A crun gaz devient A — A a, sa densité à devient rigoureusement

ainsi que le prouve rcqualiou

A^ = A{'l — oL){à-hz)'y

elle se trouve donc accrue d'une partie aliquole distincte de celle a qui exprime la réduction de volume. Mais si, faisant porter le coefficient de réduction sur le plus petit volume, on prenait pour volume primitif A-hAa, et pour volume réduit A , on aurait alors

A(i -f- a) A = A A (i-+-3), d'où z==«.

Dans ce cas la nouvelle densité vaut rigoureusement A H~ A a. L élasticité E du gaz, grandissant strictement comme la densité, devient aussi rigoureusement E-|-Eot.

Nous admettrons que le corps vibrant dont le mouvement va se propager dans l'air, est un petit plan égal à la section du tube cylindrique, de rayon r, où se trouvera Tair ébranlé. Tous les points de ce plan auront des vitesses égales et parallèles , dont la direction commune sera Paxe du tube.

Pendant que le petit plan s'avance dans le temps t de la quantité e , il en résulte une perturbation qui s'étend dans le tube à la distance Vr, si V est la vitesse de propagation d'une condensation dans le milieu. Le volume d'air ïïr*(VT-|-e) sera réduit de Trr'e, c'est-à-dire de la fraction —- =a. De là, pour cette masse d'air, un accroissement

de force élastique E — ou Ea , c'est-à-dire une foi-ce qui a

les résultats suivants.

Grâce à cet excès Ea d'élasticité, une portion de la co* lonne d'air troublée va se dévçrser sur les régions qui

8 CUAPITAE f.

suivent : bientôt^ par un mécanisme analogue à celui q nous ont offert les billes , la colonne troublée aura peiN son intumescence et Taura communiquée aux couches si vantes ; bref, après un nouveau temps r , Texcès de de site A a aura été transporté de Vt , et ce sera une nouve colonne d^ air égale et contiguë à la première qui possède et l'excès de densité A a et l'excès d'élasticité Ea.

On sait que la mesure dynamique des forces est donn< quand elles agissent sur un même corps , par les viles qu'elles lui communiquent , et, quand les corps sont dif rents, par les produits //i^^, m V, . . . , des masses par les tesses. Ces vitesses sont d'ailleurs celles qu engendrerais les forces si leur action initiale se continuait sans altérât! pendant l'unité de temps. Quand l'action constante ne du pour Tune des forces, que la fraction t de l'unité de tem la vitesse obtenue doit être agrandie dans le rapport d< à T -, d'où l'on voit que dans le cas le plus général la mesi

d'une force est donnée par la combinaison — des trois ]

rame très m, ^^ et t.

On sait encore que la masse a pour représentant nur

P rique le quotient invariable - des poids Pque revêt le co

aux divers points du globe , par les gravités g corresp< dantes.

Or ici la chose transportée est le prisme d'air tt/' e .

pèse 7rr* e A, et dont la masse vaut (*) . La force ad<

pour mesure \ mais La exprime deja la mes

( '^ ) On arrive au même résultat en considérant Texcès de densité A a déplacé par l'excès d'élasticité, passe successivement delà colonne Vt suivantes; car cet excès répond visiblement à la masse transportée

TT /' T T A r; =; 71 /'* £ - •

statigue de la force : on peut donc écrire, car deux mesures distinctes d'une même chose sont nécessairement proportionnelles ,

Jîia= A

Il y a plus : la relation m z= - permet d'échanger contre

une égalité la proportionnalité des deux mesures d'une force. En effet, si Ton évalue en poids la pression qui en est la mesure statique, les deux mesures contiendront chacune un poids et ne pourront plus différer (*). Si donc B est la hauteur barométrique etD la densité du mercure, la

pression Eu vaudra tr r' B — D , et on aura finalement

BD AV , , j.

— - = — > c*est-a-dire , V V g

(*) Habituellement on rend égal à Tunité le coefficient k de proportionnalité en obtenant que toutes les grandeurs qui entrent dansTéquation deviennent simultanément égales à leurs unités respectives. Mais une telle correspondance , souvent impossible , n'est nullement indispensable. Ainsi dans l'équation

E = kmv ,

pour que A = i , il suffit de choisir pour unité de pression £ celle qu*engendre la force qui donnera mv=i. Or une telle force sera ou celle qui commu~ nique la vitesse i à la masse i, ou celle qui communique une vitesse g ù

la masse -9 ou enfin , en général , celle qui communique à une masse quel-

S conque une vitesse réciproque de cette masse. Arrêtons-nous à la seconde

p supposition» et prenons pour gr la gravité du lieu. Puisque m= -«laforceen

question sera celle qui donne à l'unité de poids la vitesse g^ caractéristique du lieu (à Paris 9,8088;. Supposer k = 1 revient donc à choisir, pour unité d'action statique ou de pression, celle qu'exerce sur un obstacle le kilogramme. Bref, pour pouvoir user de la formule

E = mv = — fj

il faut «xprimcr le premier membre en kilogrammes du lieu et prendre dans le second pourgf la gravite correspondante du lieu où l'on opère.

1<> GllAi>lTRK h

A la pression o^^jG cl a la température o degré, on a

A = o , oo I 2c)3 ;

on a de plus

d'ailleurs à la latitude de Paris, g = o ,8088 ^ ou eu dcduic

Si au lieu d'être à zéro Fair est à / degré , sa densité ù^

vaut 0,001 2q3 » et l'on a

i-har^

plus généralement, A étant la densité tabulaire relative d'un gaz , on aura pour la vitesse du son dans ce gaz

V = i/ î^^- v^i -h ar.

§ 4. — La correction de Laplace.

Le ehilTre 280 mètres estde beaucoup inférieur à la vitesse réelle. Laplace en a trouvé la raison.

Les tranches comprimées sont échauffées par la chaleur de compression ; l'élasticité croît donc pour deux motifs : parla réduction de volume et par l'élévation de température. La loi de Mariotte est en défaut , ou , pour mieux dire , il y a intervention des deux lois de Mariotte et de Gay-Lussaç. Outre l'accroissement faible Ea il y a un petit accroissement Ez d'élasticité qui provient de FéchaufTem^ent et qui, on le sait, peut, à cause de cette petitesse, se calculer à part.

Mais, dira-t-oii , après la condensation , le petit plan rétrogradera et produira dans l'air dilatation et refroidissement. Ne pourrait-il pas y avoir annihilation des effets dus

I^OnONS FONDAMENTALES. i i

à celle chaleur cl à ce froid, successivement produits dans les mêmes tranches ?

Nullement : quand le froid de la dilatation paraît, Taccroissement occasionné par la chaleur, dans la vitesse de communication delà perturbation, est déjà effectué; et ce froid lui-même accélère la chute en arrière des couches d'air, et introduit dans la propagation de leur dilatation le même accroissement de vitesse obtenu dans la propagation de leur condensation.

Après avoir dégagé Texplication de Laplace de l'objection qu'elle semblait comporter, calculans Taccroissement partiel d'élasticité E z.

Cet accroissement est E — ^0, en appelante l'élévation

de température produite. Si la température de l'air n'était pas o degré, mais t degré, ce serait

.en.

Pour une réduction de volume égale au coefficient de dilatation — -'i on sait que l'élévation de température vaut

( *) Un gaz , suivant qu^il est libre ou exercé dans un Tase, reçoit , quand la température s'élève , un accroissement de volume ou de ressort. L'aceroissémoBt de volume est d'après Gay-Lussac , pour chaque degré , une partie aliquote constante — ^ du volume à zéro. On démontre sans peine que

faceroissenieiitde ressort est aussi partie aliquote constante , et précisément la même, du ressort à zéro. D'ailleurs la température zéro ne peut être privilégiée, et la loi de Gay-Lussac , sous sa double forme , doit convenir, avec un coefficient différent, à une température quelconque. Si Ton consent h

mettre le coefficient de dilatation sous la forme ;^ ) le coefficient, à une tem-

pératurc quelconque f, se déduit du coefficient tabulaire — ^ ^cn ajoutant t au dénominateur.

la GHAPITRB I.

--; — = K (*) ^ pour une réduction «, elle sera donnée pa

la proportion

:K:e, doù b =

— :r:a::K:e, doù g = — =:a — ^--273.

L'accroissemeut Ez vaut donc

E — ra ^-273;

raccrolssement total est

Ea + Ea ; — = Ea-

et le premier membre de l'équation (page 9) étant réformé en conséquence , on a

BDc AV c BDg^

En prenant pour — la valeur i,4'9 que lui assignent les.

récentes expériences de M. Masson, on obtient V = 333«'48.

L'expérience a donné pour la vitesse du son à o degré et à la^ latitude de Paris 332^,3. ^

Quand on ne se propose pas de calculer la valeur numérique de V; on peut voir dans le produit BDg^ Texpression

de l'élasticité E et donner à la formule de Newton la forme connue^'V = i/— sous laquelle die se produira toujours en optique.

(* ) c capacilé à pression constante ; c' capacité à volume constant ; K clîa leur décompression, ou mieux élévation de température dont elle estcapable. On a en effet

C=:c'-i-Kc', d'où -r=:lH-K, K ==: p- •

ETIONS JFt>NDAMBNTALES. i3

§ 5. - Propagation du son. — Ondes sonores. — Longueurs d'ondulation.

Nous avons supposé pour notre petil plan un mouvement (le translation uniforme-, c'était le moyen d'avoir dans les diverses tranches troublées, uniformité dans le triple accroissement de densilé, de température et d^élasticité. Dans la réalité, le plan vibrant parcourra l'espace avec une vitesse variable. Nulle au début, cette vitesse croît, atteint k

l'époque - son maximum, décroit ensuite et redevient nulle

avant d'être dirigée en sens contraire. La perturbation totale se compose ainsi d'une foule de perturbations élémentaires d'intensités très-différentes. Mais il est aisé de voir qu'elles ont même vitesse.

En effet, aucune des quantités s, t, 9 qui caractérisent cette énergie n'entre dans la formule, aucune trace n'y reste soit de l'étendue e du déplacement , soit de la durée. Un déplacetnent double donne bien une force motrice double, mais lamasse d'air transportée devient en même temps double, et voilà pourquoi la vitesse reste la même.

Les diverses impulsions fortes ou faibles imprimées successivement par le plan à la tranche d'air adjacente se transmettront Jonc avec une même vitesse aux couches suivantes ; si elles sont équidistan tes dans le temps, nous les retrouverons équidi s tan tes dans l'espace. Représentons par les ordonnées d'une courbe telle que crc^ {fig* >) l'ensemble des vitesses que Iç petit plan a eues entre ses deux positions extrêmes acb , a' c' h' '^ prenons ensuite dans le tube la longueur c^ d=i V T de la colonne d'air troublée , les vitesses qui animent ses diverses tranches seront données par une courbe c'R d obtenue en éparpillant sur la base plus grande c'rfles ordonnées de la courbe c/c'.

Nous avons déjà remarqué qu'après le temps r cette colonne sera rentrée dans le repos, et que les vitesses qui

l4 CHAPITRE I.

animaient ses diverses tranches appartiendront sans altération aux tranches homologues de la colonne égale qui vient à la suite. Après n fois ce temps, ce serait la (/i +1)'*"" colonne qui posséderait transitoirement l'agitation. Pour trouver aisément les tranches qui, à un moment donné, sont dépositaires des diverses vitesses qui ont primitivement appartenu au plan, il suflSt de supposer que la courbe c'Rrf se transporte uniformément dans le tube avec la vitesse de propagation V, La position qu elle occupe à cet instant détermine et les tranches exclusivement agitées et leur état d'agitation.

Quand le plan revient sur ses pas , il reprend en sens contraire les mêmes vitesses. Si Ton convient de prendre en dessous les ordonnées proportionnelles aux vitesses dirigées de droite à gauche ou négatives, on aura pour cette deuxième demi-vibration la courbe c'/*'c égale à crc' (fig» 2). Après une vibration complète, la colonne d'air troublée aura pour longueur c*d= 2 Vt, et les vitesses variables de ses tranchés seront désignées par ia courbe complète c'J'û?,

D'autres oscillations du plan n'ajoutent rien d'essentiel au phénomène (*) : deux vibrations, par exemple, donnent deux colonnes d'air égales à c'R'r/'Rc?et affectées chacune des mêmes modifications. On appelle onde en général , et ici onde sonore, la masse d'air qui recèle l'ensemble complet des divers mouvements engendrés dans une oscillation^ On nomme longueur d 'ondulation A l'épaisseur de celte masse qui dans la propagation libre est comprise entre

(*) Si l'étude des modifications qu'éprouve le milieu propagateur peut se faire sur une seule onde, la production des phénomènes réclame au con* traire des séries d'ondes. Pour ébranler l'organe, oreille ou œil, il faut, comme pour mettre en branle une cloche pesante, une succession d'actions similaires. Des ondes synchroniques qui se suivent en grand nombre offrent précisément cette répétition nécessaire d'actions concordantes. Il est donc convenu qu'en acoustique et surtout en optique nous considérerons toujours des séries d'ondes très-nombreuses.

deux sphères concentriques. L'onde sonore se compose de deux demi-ondes, Tune condensée ^ Tautrc dilalée. Les courbes qui représentent toutes les vitesses appartiennent à la famille des trochoïdes.

Une constitution analogue, une pareille succession de condensations et de dilatations se trouve dans tout milieu liquide ou solide qui propage le son. Aussi les géomètres ont-ils toujours rejeté les expériences qui niaient la cornpressibilité de l'eau. Aussi est-ce à leur profonde conviction sur ce point que sont dus ces raffinements d'expérience qui ont réussi à montrer la compressibilitc de Feau, du mer^ cure, et de tous les corps, et ont donné raison à ce singulier adage : Veau conduit le son, donc elle est compressible.

§ 6. — Vitesse dn son dans les liquides. — Formule de Laplace.

Il est curieux que la démonstration précédente des formules de I^ewton et de Laplace s^applique sans changement aux liquides.

Soit un cylindre liquide indéfini : quand le petit |)lan se déplace de c dans le temps r, il imprime à la colonne Vr un excès de densité-—= a, et une réaction élastique o™, 76- (7 étant le coeffi- Vt ' y ^'

cient de compressibiliké ) ; les deux expressions de la force sont donc

7rr»o,76-D et tt r'sA - V i = irr» - V. V a, en les égalant on a

mais — '-—- exprime évidemment le raccourcissement que pro-

duirait dans une tige de liquide de i mètre de long une pression égale à son poids. Soit p ce raccourcissement, la formule premi

la forme connue V

l6 tHAPITRE I.

Tous les corps comprimés sV^cliaiiffent, on le sait : soit 0 Vélévation de température produite par une réduction de volume, égale au coefGcient de dilatation linéaire S. Pour la fraction a il y

aura l'élévation 0 - ; celte élévation de température pro<1uirait le

se Volume î -f- 50 - et conséquemment Texpansion Oa.

L'expansion Oa ne pouvant se produire, refTet calorifique équivaudra à une compression du liquide évidemment mesurée par la même fraclion Oa.

Bref, la colonne Vr réagit à raison de deux réductions de volume, à savoir a réduction réelle, et Oa réduction équivalente à l'échaulTemeiit ; c'est-à-dire en raison delà réduction totale a (0 -h i)/ On a donc

/ ^ v=v'i-4-ey/^;

mais est encore le rapport des doux capacités; donc

-VlV'f-

On sait que l'expérience s'accorde assez bien avec la formule

rg

Vî

pour qu'on soit autorisé à regarder comme insignifiante la chaleur dégagée dans les liquides par les compressions qu'ils éprouvent lors du passage du son.

§ 7. — L'énergie dô l'oscillation est inverse avec la distance.

Dans la propagajion libre , un même mouvement réside successivement dans des enveloppes sphériques dont Vépaisseur est constanle, puisque la Vitesse de propagation est invariable; et dont la masse par conséquent s'accroitra. On conçoit donc que les vitesses liomologues dans les ondes

!IÛTI0NS FONDAMENTALES 1 rj

Successives, et par suite l'intensité du son, diminuent. Insîs^ tons sur cette dégradation avec la distance.

Dans le choc des deux corps élastiques m et m', si la masse m! vaut m -+- dm on trouve (§2), pour les vitesises après le dioc ,

dm ,, *^ "f"

2/7f -f- dm 2/w H- dm

c'est-à-dire, en s'en tenant aux infiniment petits du premier

ordre.

dtn

'dm

Ou en conclut que la vitesse «n arrière U reste nulle, -et qu'ainsi le mouvement vibratoire ne revient pas en arrière dans un milieu homogène. La vitesse U' n'éprouve qu'une allération infiniment petite, mais cette altération, se répé^ tant incessamment dans la transmission aux couches suivantes, formera bientôt un déchet fini et appréciable. On tîonçoit donc que les vitesses oscillatoires des couches dimi^ nuent et que les trochoides qui représentent les ondes successives aient des ordonnées décroissantes. Si i* est la vitesse d'une tranche d'air située à une distance quelconque R du centre d'â)ranlement , on a

€l conséqiiemment

vdm

Jnais en appelant e Vépaisseur de la tranche , on ;i

A • ' ûie

w =4wR'''-» ^w =87rR — dK

L'équation différentielle devient

V idK

dp = —

1 8 CHAPITRE f .

En intégrant, on trouve

logf' = — logR -4- r.

Soit P'i la vilessr à la distance R = i , on aura

ainsi les vitesses homologues d'une onde prise à des dislances croissantes du centre d'ébranlement sont eu raison inverse de ces distances (*),

§ 8. - Hauteur. — Int^isité. — Timbre.

On a, entre la vitesse de propagation V, la durée T d'une vibration complète, et la longueur X d'ondulation correspondante, la relation évidente V= -• Si on désigne par // le nombre de vibrations par seconde, on a

n et la relation précédente prend celte autre forme \ = n\.

Suivant que le corps sonore vibre plus ou moins rapidement,

les ondes sonores deviennent plus courtes ou plus longues.

Or, celle variation dans la durée T de l'oscillalion ou

dans la longueur i d'ondulation , est ce qui produit la hau-

C^) R=o donne une vitesse oscillatoire infinie, el ce résultat devrait être accepté, s'il était possible que tout le mouvement se concentrât dansune masse infiniment |>etitc , telle que la particule située au centre de Tébranlement. Mais en réalité la force vive appartient, au début, à une certaine masse d'air qu'on ne doit pas réduire, et qui est répartie soit dans une certaine sphère, soit plutôt, en prenant pour corps excitateur une sphère dont le rayon varie périodiquement, dans une certaine enveloppe sphérique. De sorte que, s^il est des états ultérieurs où la masse imprégnée du mouvement grandisse, il n'en est pas d'antérieurs où elle diminue. C'est ainsi que, dans l'attraction d'une sphère, il se trouve une cause également physique qui impose à la formule une limite de distance ou deçà de laquelle clic cesse d'être applicable.

I^OTIONS FONDAMENTALES. I^

teur àes sous; les oscillations lentes répondent aux sons graves, et les rapides aux sons aigus : d'étroites limites comprennent d'ailleurs les ondes auxquelles Toreille humaine est sensible.

Le plus ou le moins d'étendue des excursions isochrones, ' ou, ce qui revient au même, l'exhaussement et le surbaissément de la courbe des vitesses oscillatoires, se traduit dans IWgaiie de l'ouïe par une intensité plus ou moins grande. Quant à la troisième particularité que l'oreille reconnaît encore dans les sons, à savoir le timbre, sa cause étant obscure et l'expérience n'ayant encore rien signalé d'analogue en optique, nous nous contenterons de la mentionna.

Nous allons compléter cette étude par la recherche des formules algébriques équivalentes aux constructions graphiques qui précèdent.

§ 9. — Formules du mouvement d'une particule livrée à l'agitation sonore.

Si l'on compte le temps à partir d'une position extrême du plan vibrant, celle de droite, par exemple, et si l'on caractérise chaque position de ce plan par un x compté de sa position d'équilibre, on voit que l'j^ a les allures du cosinus d'un arc proportionnel au ten\ps, et la vitesse celles du sinus du même arc. Montrons que de telles formules sont réellement admissibles.

La force mise en jeu par un très-petit déplacetnent d'une particule, au sein d'un corps ou d'un milieu élastique, est dirigée vers sa position de repos et est , dans certaines limites, proportionnelle à l'écarter-, il suit de là qu'on a pour les quatre configurations du problème la formule iinique

J'où

dx at

no CHAPITRE I.

Soil a IVcarl maximum *, ou a à la fois tfz=Oy X = a:

donc .

cz=Aa^ et (;',= /?•(«»— x').

Dans ce qui précède, les vitesses positives étaîetit'dii'i dans le sens des x positifs*, on aura donc

eix i-r I—*

ou

arc sin - = y/ / + c'.

Comptons le temps à partir de la position extrém droite , quand /== o , on aura

d'où ou bien

X =i a et arc sin - = - ,

, TT . X i- fC

c'=:-, arc sin-=r i/^^H- -»

2 rt 2

= f? sin ( v/^ /^ H- - j = rt cos spit ;

d'où l'on conclut

—-z=zvz=i — asfk h\ï\ s/7t, dt t V

Or, on peut, dans le résultat, changer le sens des vite positives et les choisir de droite à gauche-, cela donne seconde expression la forme usuelle

i> z=z asJJ' sin \lk t.

En acoustique aussi bien qu'en optique , on aura afl

à des myriades de particules vibrant simuUanémenl^ entre ces particules il s'établira une solidarité et des mouvements d'ensemble qui seront souvent visibles dans les corps sonores. On conçoit que de tels mouvements d'ensemble acceptent!» loi qui régit les mouvements élémentaires dont ils sont la résultante, et que les formules précédentes restent applicables. L'étude des phénomènes a fait voir qu'îî en est ainsi cd optique , et que, jusqu'à présent, on y est resté dans tes limites d'écart qui rendent la force, soit élémentaire, soit totale, proportionnelle à a:, et permettent de négliger les autres termes de la série kx 4- mx* -+- nx^ -+-..., qui , de fait, doit en représenter rigoureusement l'énergie.

Le point de vue où nous nous sommes placé pour établir les formules

.y = acos 0i-r, t* =: a^J sin ^At

y a introduit la force unitaire k. Il convient d'échanger ce paramètre contre la durée T de la période.

La période est comprise entre deux époques consécutives f et i^ qui ramènent et pour x et pour i^ les mêmes valeurs -, il suit de là qu'on aura

^^'=:^//+ 27T, OU t'—t=zT=-^

Les formules deviennent

2 IZt 27? . 2 ivt

X r^z a cos -— — j V •= a -—- sm

ou bien

1' = 6» sm 2 TT - >

si Ton pose

§ 10. — Propagation du son. — Représentation analytique.

Les mêmes formules donneront les excursions et les vitesses des particules du milieu , à la condition toutefois d'y

StSt. CHAPITRE I.

introduire la différence d*époque; car le mouvement d'an«

tranche^ quoique identique avec celui d'une autre tranche,

ou avec celui du petit plan , n'arrive pas au même instant»

Soit i la distance de la tranche, le mouvement qu'elle

possède est celui que possédait le plan excita teMIr il y ^c

unités de temps. Les formules appropriées au mouvemeul de cette tranche seront donc

2 7r / ' ^ \ , . air / ^ \

jr, = «cos — (/--jv ^=^sin— ( r — -j,

ou bien , puisque VT = 1 ,

.r = flCOS27r (- — -j, l'rrrirsînaTr f--r-j,

et on y retrouve bien leur double destination : quand d e8^ constant et t variable , elles peignent les agitations diverses qui se succèdent en un même point ; quand au contraire c'est t qui est constant et d variable, elles peignent les agitations simultanées des divers points. Il suffirait de remplacer b par j pour tenir compte de l'amoindrissement qu'éprouvent dans la propagation libre les vitesses oscillatoires.

§ 11. — Amplitude. — Retard. — Phase.

Par suite d'impuissances expérimentales^ dans une même question il n'y aura jamais enjeu que des mouvements vibratoires de même période. T et V seront donc des paramètres absolus, et puisque le coefficient de vitesse h vaut a -=-

et ne forme pas un paramètre distinct, il suit qu'un mou-^ vement vibratoire, considéré dans le milieu qui le propage^ se trouve défini et caractérisé par les deux seuls paramètres aetd.

Le premier s'appelle amplitude ^ son carre (§ 12) mesure r intensité du mouvement vibratoire. Le second peut être

NOTIONS FOIMDAMENTALES ^3

envisagé de deux manières qui lui ont faii donner deux déflominaMons \ tel que nous Tavons considéré, il est une distance et $!appelle retard : mais on pourrait aussi bien prendre pour ce paramètre de non-simullanéité le produit 27r-âi^ alors il devient un arc ou un angle et s'appello

phase, La forme des ihëorèmes qui régissent les mouve- . menls vibratoires rend souvent l'emploi de la phase y préférable à celui du retard d ^ d'ailleurs on passe gisement de

l'un à l'autre par la relation ç = 2 tt -• On peut, sans altérer ni X ni j^, ôter dans - tous les entiers et ne garder que

la fraction excédante. On agira ordinairement ainsi 5 de sorte que le retard d et la phase ç soient alors compris , le retard entre o et X , et la phase entre o çi 2 tt.

§12. — Mesure de l'intensité. — Elle devient illusoire quand il s'agit de sons de hauteurs diverses.

Les géomètres et les physiciens s' accordent pour assimiler à an véritable travail mécanique l'action des agents sur nos organes et pour mesurer, par la moitié de la force vi\^e, la cause physique de la sensation produite. Dans les théories matérielles, l'expression mvf^ de la force vive contiendrait la masse m des corpuscules projetés. Dans les théories vibratoires, le mv^ peut s'appliquer au milieu qui entoure l'organe et lui transmet le mouvement vibratoire. Ce milieu PslTair, eji acoustique \ en optique, ce sera l'éther de l'humeur vitrée. Comme cet éther n'éprouve pas ces altérations de densité auxquelles l'air est accessible, il s'ensuit qu'en optique la masse m est constante , et que l'intensité de la lumière y dépend de la considération de la seule vitesse.

Les sensations de l'ouïe et de l'œil consistent sans doute dans une excitation vibratoire de la partie nerveuse sensible. Cfç'deux sens sont organisés pour que les vitesses appu/5fV<?5 ne contribuent- pas moins que les vitesses impid-

^4 CHAPITRE r.

siues h les ébranler *, ei voilà pourquoi la force vive qui : eoBtient qu^une puissance paire de la yitesse promet u mesure fidèle de la sensation. Mais ces vitesses étant inci samment variables , il s'ensuit que les éléments du tray^ total accompli, pendant qu'une onde vient s'épuiser coni la rétine, ont des valeurs différentes , et que ce travail to sera donné par l'intégrale • T

A'sin' nit—eù.

S^agit-îl de vibrations de même durée, cette intégrale < proportionnelle au travail incessamment produit^ s'agit au contraire de sons de hauteurs différentes, ou bien (ne le verrons bientôt) de rayons de couleurs différentes , il ù tenir compte alors du plus ou moins grand nombre d'on( qui viennent dans le même temps battre l'organe et étem l'intégrale aux limites o et nT, nT étant une durée c< s tante.

On trouve

d'où l'on conclut que des rayons de même couleur s mesurés par le carré de ft (*) ou, ce qui revient au mêi par le carré de Famplitudc a , puisque a et ft ne dîffèr

que par le facteur — qui est alors constant.

ft* sin' 2 TT - vaut évidemment n , ou — ? puis«

/o /iT est constant et égal à i, par exemple j et Ton voit •

C^ ) On pouvait prévoir ce résultat : en effet, pour des mouvement

même durée, le facteur commun sin 2 tt =; donne les mêmes vitesses su

sives*, et le facteur variable b les agrandissant toutes de la même man. détermine l'ccheUe de leur grandeur.

NOTIONS FONDAMENTALES. sS

Fintensilé reste proportionnelle à i*, quelle que soit la couleur; ce qui vide théoriquement la question si délicate de la mesure comparative des rayons de diverses couleurs. Mais, faute de pouvoir rendre b égal dans ces rayons, ou, ce

qui revient au même , d'après la relation ft = a — > faute de

pouvoir donner aux particules des excursions proportionnelles aux durées des vibrations , cette solution reste illusoire.

Silon rapproche cette proportionnalité entre l'intensité et le carré de J' de la proportionnalité inverse que nous avons établie (§7) entre les vitesses oscillatoires et les distances au centre d'ébranlement , on en conclura que, dans un milieu homogène, le son et la lumière varient en raison inverse du carré des distances.

26 CIIAPITHE II.

ARTICLE V