POLARISATION CHROMATIQUE DIS CIRCUL ET DES ELLIPT
composantes qui interfèrent et donnent ainsi une lumière dont l'énergie dépend, et du rapport de leurs intensités et O y»
de leur anomalie air — - — = p»
Au lieu d'un rectiligne considérons un elliptique monochromatique, et envisageons-le par ceux de ses constituants rectangulaires qui sont dirigés suivant les plans principaux du cristal. Ces deux rayons a, a' (anomalie <f) contracteront, en traversant le cristal, le même retard que les deux composantes cosa, sina du rectiligne, et ils auront à leur sortie l'anomalie pàzy. Or, p ± <p n'étant pas plus que p,
en général , un multiple exact de -> l'elliptique incident
aboutira, comme le rectiligne, à un elliptique.
En accroissant ou diminuant l'épaisseur de la lame d'une quantité marquée par le rapport de 9 à p , l'anomalie qui séparera les deux composantes, finales du rectiligne deviendra pzfcy : on peut donc dire qu'un elliptique, donne le même résultat d'interférence que si le rayon était rectiligne et la lame plus ou moins épaisse. Si la lame vient à tourner, l'elliptique la regardera par deux nouveaux constituants séparés par une nouvelle anomalie 9'. On voit donc que l'interférence d'un elliptique soumis à l'action d'une seule lame reproduit, quant à la phase, toutes les conditions d'interférence qu'offrirait un rectiligne soumis à l'action d'une foule de lames ayant la série des épaisseurs comprises entre deux certaines limites, et l'on piévoitque, si la lumière incidente n'est plus simple, mais composée , Ion obtiendra , au lieu des deux teintes d'un seul système, toutes celles d'une foule de systèmes de couleurs compté-* mentaires.
La constance des teintes d'un rectiligne vient de ce que tous les rectilignes diversicolores associés dans la lumière Manche, ayant le même plan de polarisation, chacun d'eux se partage de la même manière dans la lame.bi réfringente. Il en résulte, comme particularité algébrique, dans lex-
pression d'intensité, qu'un seul terme s'y trouve affecté de l'anomalie, de sorte que les variations qu'apportent à son coefficient les changements d'orientation de la lame ou du polariscope n'altèrent que la grandeur du facteur caractéristique de la teinte et n'en changent pas la composition. Avec les elliptiques diversicolores , au contraire, quand bien même la cause qui les rend elliptiques laisserait à leurs constituants un rapport constant, il ne s'ensuit pas que cette constance doive se retrouver dans les constituants adoptés par la lame. On obtient en effet ces derniers en remaniant les premiers de manière à passer des caractéristiques a, a;, y, particulières à l'action du polarisa leur elliptique employé, à d'autres a19 a\9 <p' propres à l'orientation actuelle de la lame. Or a, , al9 y' étant des fonctions mêlées de a, a7, ç, il suffit que l'anomalie primitive <f diffère dans les elliptiques diversicolores pour qu'on ait des
quotients -r» — ?■••• inégaux. L'interférence dépendra donc,
de la quantité p -h ? doublement variable avec la couleur, à savoir par p et par <p, et du rapport -4 > également variable.
L'analyse manifestera cette variabilité de la teinte en amenant dans l'expression des intensités plusieurs termes qui contiendront soit p, soit <p, soit enfin p et y à la fois.
§ 522. — La teinte d'un rectiligne calculée par une nouvelle méthode.
Au §275, nous avons promis de revenir sur le calcul des couleurs fournies par un rectiligne. Nous le ferons d'autant plus volontiers, qu'ici nous changerons un peu, et la configuration type, et surtout les données littérales alors usitées. Ainsi ce sera avec la vibration initiale que se compteront les angles qui fixent la position des sections principales des diverses lames qui peuvent se succéder ; on les appellera a, 6, y, . . . , en affectant la dernière de ces lettres ' au polariscope, qui, après tout, n'a d'autre action que celle d'une dernière lame, assez épaisse toutefois pour détruire
POLARISATION CHROMATIQUE DBS ClKCUL ET DBS ELLIPT. 3o I
toute solidarité entre les deux faisceaux qu'elle fournit. Les différences 6 — a, y — 6,..., se représenteront abréviativement par les lettres i, c, . . . \ enfin les signes — fournis par l'algèbre aux composantes qui tomberont sur les prolongements des directions positives dispenseront de chercher directement s'il faut ou non ajouter à l'anomalie le k du § 272.
Cas du rectûigne. — La vibration incidente OX= i \fig. a55) donne, à son entrée dans la lame, les deux composantes
E -= cos «, O = — sin a ;
à leur sortie, on a l'elliptique cosa, — sin«, p. Remanions-le pour avoir les constituants qui le représentent dans les azimuts 6 et 6 -f- 90. Nous obtiendrons, en remplaçant, dans les formules du § 354, a, al, f, co, par cosa, — sin a, p, i,
A' = ï, = cos2 a cos2 b -+■ sin2 a sin2 b — 2 cos a sin a cos b sin 6 cosp, = (cosa cos b — sin * sin b )2 -H sin 2 a sin 2 b sin2 - p,
= cos2 6 + sin 2a sin2 b sin2 - p,
A'2 = I„ = sin2 6 — sin 2 a sin 2 b sin2<- p,
tang$:
sin 2 a cos 2 b cos p H- cos 2a sin 2 b
Qu'au lieu du polariscope épais Ton ait, dans l'azimut 6, une deuxième lame mince capable du retard p, en en sortant, l'elliptique aura pour caractéristiques A, À', 4> H- p\ Pour l'accommoder au polariscope placé ultérieurement dans l'azimut y, il faudrait le remanier et en cbercber les constituants pour les deux azimuts y et y -1-90. Nous reviendrons sur ce point (§ 535).
§ 523. — Cas du circulaire.
Appliquons cette méthode des remaniements au circu-
3o* cHAPnrmB xix.
laire
x'=oosÇ j
il a d'abord, conformément a une remarque du $ 365, pour équations dans les deux azimuts a et 90 -+- et , distants de 45 -f- a des premiers OX', OY',
*, =cos(Ç — 45 — «) 1
au sortir de la lame, il est devenu l'elliptique
Jr/,=cos(Ç — 45 — a),
y" = cos l Ç — 45 — a — ï— p V
Or cet elliptique donne , dans les azimuts 6, ê -f- 90, les constituants
A* = I, = cos' (6— a) -h sin' (6— Jt)
H- 2 sin (6— a) cos (6 — «) cos / - 4- p J
= 1 — sin 2 6 sin p, A'* = I„ = 1 -+- sin 2 6 sin p.
§ 524. -.Cas de l'elliptique*
Avec l'elliptique J *~~"C°S,r ."* les formules du
1/ =cos(Ç — (p)
§ 354, appropriées au cas de a = a'= 1 et de &> = 45 -f- a, donneront pour les constituants dirigés dans les azimuts tt et 90 4- a ,
A* = 1 -h cos 2 a cos <p,
A'* = i — cos 2 a cos <p,
** sin 2*
POLARISATION CHROMATIQUE DES CIRCUL. ET DES ELLIPT. 3e3
d'où
sin * = I
— V^sin' 2 a -+- tang2 ?
. 1 sin 2 a i¥K
Ces deux rayons contracteront, en traversant la lame, l'anomalie p, et l'elliptique offert au polariscope aura pour caractéristiques A, A', 4>-4-p; l'image extraordinaire sera donc formée par les deux vibrations
A cos (6 — a) 4- A' sin (6 — a), et son intensité vaudra
I€= Àaoosa*-hA'asin*£-f- 2 ÀÀ' sin* cos £ cos (*~+-p).
Si Ton développe cos (4> •+• p) et si Ton remplace A, A', cos4>, sin*!* par leurs valeurs, on trouve
Ic = ï -+- cos 2 a co» 1 b cos «p -f- sin 2 b ^\ — cos* 2 a cos* y — sin 2 a cos p — tang ? sin p
ysinx2a + tangsf or
j/i — cos' 2 a cos* <p v^
cos'j
— cos y ,
(*) On sait, et on le retrouve aisément en partant de l'expression de tang* qui convient au cas des rayons égaux, à savoir
COS % ca
on sait, dis- je, que l'anomalie f des rayons égaux est ou maxima on minlma. Soppose-t-on , cortmïeici, ç> <-> alors, quel que soit «, * remporte* sure et cette dernière anomalie est la m mima. Or, dans sa marche croissanté-, ♦ devient égal à- pour o> = 45, au delà * surpasse - et son cosinus devient négatif. Comme, ici, Ton a d'une part sin a« positif et de l'autre
» = 45-f-«> <5, il ftnt pour assurer à cos * le signe — prendre le radical avec ce signe.
donc on a
I, = I -f- COS 2a COS2 b COS f
— sin 2&cosf (sin 2 acosp H- tangysinp); on trouverait de même
I„ = i — cos 2 a cos 2 6 cos y -h sin 2 £ cos <p (sin 2a cos p -h tangjsinp).
Le cas du rectiligne s'obtient en posant 9 = 0, et donne I, == 1 -+- cos2 a cos 2 b — sin 2 a sin 2 6 cos p
= 1 -h cos 2 a cos ib — sin 2 a sin 2 M 1 — 2sin' - )
= 1 -+- cos 2 (a -h £ ) -+- 2 sin 2 a sin 2 £ sin1 -
= 2 I cos* (a -h £) -f- sin 2 a sin 2 6 sin3 -
t= 2 I cos* 6 -h sin 2 a sin 2 6 sin* ~ U
c'est juste le double de ce qu'on a trouvé § 522. On devait s'y attendre, puisque le circulaire ici employé a une intensité double du rectiligne.
Le cas des circulaires s'obtient en posant 9= rh - et donne
immédiatement
le= iqp sin 2 6 sin p.
§ 525. — Calcul où entrent les paramètres du polarisateur elliptique.
Gomme on peut constituer tous les elliptiques avec des rayons égaux et par la seule variation de la phase, les calculs précédents peuvent être considérés comme doués d'une généralité suffisante. Cependant, si la méthode s'applique à tous les elliptiques, elle a le tort de ne pas nous dire d'où ils viennent, et, ne contenant pas les paramètres caractéristiques du polarisateur elliptique qui leur a donné naissance, de ne pas se prêter à la discussion des modifications expérimentales que ce. polarisateur peut subir. Ce résultat
POLARISATION CHROMATIQUE DBS CIRCUL. ET DES tiLLlPT. 3o5
s'obtiendrait si, prenant pour les x', /' deux azimuts rectangu laires quelconques, on partait de l'elliptique
*f ±= a cos Ç ,
y = «'cos(ç — ?).
C'est précisément ce qu'a fait implicitement Fresnel, quand il a traité le cas de deux lames successives interposées entre un polarisateur et un polariscôpe rectilignes. Nous allons reproduire sa solution.
OX = i étant la vibration primitive [fig. 257), a sera l'azimut de la première lame, 6 celui de la seconde, 7 celui du polariscope. La première donne les deux composantes
La deuxième donne pour l'image extraordinaire
COS a - l 1 7T ;
phases — sin * f 2 »r ;
cos a cos b — sina sin b
et pour l'image ordinaire
j — cosasinJ ( — sin a cos 6
et de plus ajoute 2tt — - — r- = p' à l'anomalie des deux dernières
composantes. Enfin le polariscope forme son image extraordinaire à l'aide des quatre composantes qui suivent. [Nous sommes convenus de poser (7 — 6) = c]
Coefficient A.
Phase f.
Anomalies
CO8aC0s6C0SC
— sin a sin icosr
— cos a sin b sine
— sin a cos b sin c
Ç-Hair^4-aTTj-
Ç-|-a7r-+a7r- Ç-haTT^-f-aTr.- Ç-ha^-H-aTry
zéro
ao
3o6 CHAPITRE XIX
L'intensité est
J, = (^ k cos*\ 2 -h (2 * sin *) '• Fresnel comptait les anomalies à partir de Ia phase \ -f- 2tr — — En les comptant à partir de Ç+2ir — - — > nous y gagnerons,
qu'au lieu d'être un quadrinôme, \* X sin<J> soit un trinôme. On a donc
[co9acos£ cos<r — sin a sin 6 cos r cos p "j2
— cosa sin b sine cos p' — sina cos b sinrcos (0 -4- p')J
— sin a sin 6 case sin p — cosa sin £ sine sin p'"]*
— sina cos £ si ne sin (p -h p') J
Les seize termes issus du développement des deux carrés donnent: i° sept carrés réductibles à quatre indépendants des anomalies p, o'; 20 neuf doubles produits dont six se réduisent à trois par la formule
cos ( m ± //) = cos/n cos/î Zf. sin m sin n ;
3° des six restants quatre se réduisent à deux par la formule cos 2w = cos* m — sin2 m ;
4° en remplaçant dans les quatre doubles produits restants tes
cosinus des anomalies A par 1 — a sin2- A, on se trouve avoir
pour le terme constant huit termes, et comme on voit sans peine qu'ils se réduisent au terme unique
cos* (a -+- b -h c) = 005*7 (*),
(*) Rétablissons, dans les deux termes affectés de cos 2c et cos 2 a, ros cosinus par cos'c — sin* c, cos' a — sin* a, nous aurons le déco nô me symétrique suivant, dont les termes sont numérotés:
(1) cos* a cos* b cos1 c
(2) ■+- sin1 a sin* b cos* c ( 3 ) -h cos* a sin* b sin* c ( \ ) 4- sin* « cos* & sin' r
POLARISATION CHROMATIQUE DES GIRGUL. ET DES ELLIPT. 3o?
il en résulte l'expression simplifiée
I, = cos27 -h sin 2a sin 2 b cos" 2c sin2 - p -H cos 2a sin 2 b sin 2 c sinJ - p'
-h sin 2 a cos5 b sin 2 c sin* - (p -f- p' )
P — p' • — sm 2a sin* b sm 2 c sin* - —•
§ 526. — On retrouve les formules du rectiligne et du circulaire. — Discussion.
La formule précédente peut redonner celle d'une seule lame et cela de quatre manières. Il suffit, en effet, d'annuler tour à tour trois des quatre derniers termes. Ainsi sin2c= o, c'est-à-dire, f=7 — 6 = 0 = 90 ne laisse que les deux premiers termes
cos' 7 H- sin 2a sin 2 b sin' - 0 ,
et donne, ainsi qu'on s'en rend aisément compte, la teinte de la première lame. L'hypothèse précédente annihilait la deuxième lame, l'hypothèse sin 2 a= o va annihiler la première : elle donne,
[h) — 1 sin a cos a sin b cos b cos1 c
(6) -h 3 sin a cos a sin & cos b sin* c
(7 ), — 2 sin b cos b sin c cos c cos' a
■ 8) -+-3 sin * cos b sin c cos e sin* a
( 9 ) — 1 sin a cos a cos1 6 sin c cos c
(10) -h 2 sin a cos a sin* & sin c cos c.
0r (0(3) (7) donnent (R) cos1 « cos* (6 -h c),
(i)(4)(8) (S) sin4 a sin' (&-+-<?),
(5) (6) (T) —sin a cos a sin 2 A cos 2 c,
(9) (10) (U) — sin a cos a sin 2 c cos 2 £,
(T) (0) (V) — 2 sin a cos a sin (i + c) cos {b -h c),
(R) (S) (V) [cos a cos(6-t-cN — sin a sinCi-hc)]1 = cos* (a •+- * -+- C ). C. Q. F. ».
3o8 CHAPITRE XIX.
en effet,
I, = cos* 7 -f- sin 2 b sin 2 c sin* - p',
c'est-à-dire le même résultat que si la deuxième lame était seule.
sin b = o, c'est-à-dire 6 = a donne
. P+ Pf
I, = cosJ 7 H- sin 2 a sin 2 c sin' r- »
ou bien, la teinte d'une lame formée par l'ensemble des deux associées parallèlement. Enfin l'hypothèse
6 = 6 — a = 90, qui donne à Ta fois
sin 2 6 = o , cos b = o ,
constitue les deux lames à l'état de duplication croisée et donne
I, = cos'7 — sm2asin2csin5 - -•
lia formule générale devient celle d'un circulaire lancé à trarors une seule lame, si l'on y pose
et, par suite,
b = 6 — 4^ > COS26 =^ sin 26, sin 2 6 = — cos2&. C'est ce qu'établit le calcul suivant :
