II. 2a

Pi

sa position initiale , — - 9 ce qui élèvera la rotation totale à

(f-' •+* Pi )y c'est-à-dire que les actions des deux systèmes s'ajouteront, quelle que soit leur orientation relative. Comme ce résultat s'étend visiblement à un nombre quelconque de systèmes, on voit que leurs actions rota toi res s'ajoutent, et que la rotation totale est égale à celle qu'on observerait si , ne gardant de tous les systèmes qui suivent le premier que leurs lames cristallisées, on les empilait entre les deux premiers quarts d'onde avec la précaution d'en mettre les axes parallèles. Si, parmi ces systèmes successifs , il s'en trouvait des deux espèces , la rotation résultante totale serait la différence des rotations résultantes partielles dues à chaque espèce. Cette proportionnalité au nombre des éléments répond visiblement à celle qui, chez les substances rota toi res, unit la rotation et l'épaisseur. Nous verrons bientôt , et les cas nombreux où l'assimilation de ces rotateurs artificiels avec les vrais rotateurs se maintient complète, et les quelques expériences où elle est exceptionnellement en défaut. Mais avant d'aborder ces comparaisons, il convient de décrire un second appareil synthétique , inverse en quelque sorte du précédent, et dû comme lui au génie de Fresnel.

§ 544. — Deuxième appareil synthétique. — La teinta est une de celles du rotateur.

Ce second appareil, au rebours du précédent, communique à une substance rotatoire les propriétés d'une lame mince biréfringente; plus simple que lui, il ne comprend que deux pièces* <\ savoir la substance rotatoire, et à sa suite , sans condition d'orientation, un quart d'onde.

Un rayon blanc polarisé dans le plan vertical, offert au milieu rotateur que nous supposerons dextrogyre (PL XII, fig. 261), donne sur sa surface postérieure des vibrations diversicolores R. . . , J.. . , V éparpillées dans des azimuts différents Or. . ., Oy. ..,Oa caractérisés par les angles r. ..,,/... , u. Le mica quart d'onde dont la section principale est orientée dans l'azimut quelconque a, échange chacune d'elles contre deux autres, l'une extraordinaire cos (r — a\ et l'autre ordinaire sin ( r — a) , et comme la première y contracte

un retard de -. , chaque vibration se trouve, à la sortie de Fap7

POLARISATION ROTATQIIUS. - SYNTHÈSE. 3Sp

pareil synthétique , transformée en un rayon elliptique sintstrorsum dont les axes, variables avec la nature du rayon simple, ont pour directions invariables celles des azimuts principaux du quart d onde, ou autrement dont les constituants égaux, situés dans les azimuts intermédiaires a ± 45°, ont entre eux un retard variable avec la couleur* On obtient donc dans deux plans rectangulaires, pour chaque rayon simple, deux constituants égaux diversement retardés, précisément comme si , au lieu d 'avoir traversé le système binaire, le rectiligne avait été reçu sur une lame cristallisée dont les sections principales fissent avec son plan de polarisation les angles ±45°.

Les composantes principales de l'elliptique étant

.r ' = cos (r — a ) cos f Ç U

y ' = sin ( r — a) cos Ç. *

Ses constituants égaux donnés par les formules du chapitre XII, seront

r''=^C08(Ç~î~~'"Ha)' et l'anomalie du second rayon sera

— tt -4- 2 (r — a).

Vienne alors un polariscope dont la section principale soit dirigé* dans l'azimut 6 et Ton aura deux composantes pour former chacune des images. Composons-les en une seule, et nous trouverons, pour l'intensité de l'image extraordinaire, soit l'expression

cosa {r—a) cos»(6 — a) -+- sin2 ( r — a) sin* (S — a),

soit l'expression

i f 1 -H cos2 (6 — a) cosa (r — a)3,

suivant que ces composantes seront extraites des rayons principaux ou des constituants égaux de l'elliptique. Le lecteur s'assurera sans peine de l'équivalence de ces deux expressions, et, si nous nous

attachons à la dernière, nous pourrons écrire

Ir = -[i -t- cos2(6 — a) cosa (r — a)]t

I#=-[i — co*s2(6 — a) cosa (r — a)}.

Ces formules n'ont qu'un même terme en r. Il offre, il est vrai, cette particularité qu'un autre angle s'y trouve associé à r. Riais comme cet angle n'est pas l'angle azimut al du polariscope, on voit que la rotation de cette pièce ne changera pas la teinte et qu'on n'aura là , comme nous Pavait montré l'analyse qualitative de l'appareil , qu'un seul système de teintes complémentaires.

Mais ce système dépend essentiellement de l'angle a, dont la variation change tous les rapports des cosinus propres aux divers rayons. Si nous ôtonsle quart d'onde , la teinte fournie par le routeur sera

2cos'(r~6) = 2^'+COS2^-&)}»

et se trouvera différente; cependant, si l'on rendait € égal h a, la caractéristique , devenue

]£cosa(r— a).

aurait repris sa précédente valeur. On peut donc dire avec Fresoeî que les teintes fournies par cette lame artificielle, pour une position du quart d'onde, sont précisément celles qu'on obtiendrait sans son interposition, si l'on dirigeait la section principale du polariscope dans le même azimut (*}. Le nombre des lames que peut réaliser un même rotateur, ainsi associé à un quart d'onde, est donc considérable.

(*) Cette règle eUblU une différence considérable entre la lame artifi . eielle et la naturelle. Car si , quand celle dernière tonrne dans son plan , i| m'en résulte que des variations d'intensité et l'avènement de la teinte complémentaire, ici la rotation de la lame (on l'obtient en tournant le quart d'onde seulement } ebange nécessairement la teinte. Donnons à l'expression précédente la forme

1^= eo*1 v€ — »> — cosa € — x ' sin*(r — *)t aualogue à celle

POLARISATION ROTATOMË. - SYNTHÈSE. 34 1

§ 545. — Réalisation des cristaux positifs et négatifs.

Dans la configuration adoptée 7%, 262, si les rotations sont assez faibles pour que tt reste supérieur à 2(r — a), l'anomalie de yx est négative et le retard appartient à la vibration OX, située dans l'azimut a •+- 4&* Notre lame artificielle est donc analogue à un cristal positif qui aurait sa section principale dans ce même azimut. Or , si a est moindre que la plus petite des valeurs de r, notre lame artificielle se sépare des lames cristallisées réelles par cette particularité que les anomalies

a — 2 (r — a).... tt — 2 (y — a).., n — 2 (u — a),

au lieu d'être croissantes du rouge au violet, sont décroissantes, ce qui promet un mode de succession de couleurs bien différent de celui que produirait un cristal positif. Pour d'autres épaisseurs du rotateur qui entre dans la formation du cristal artificiel , on peut ,. il est vrai , obtenir des anomalies croissantes du rouge au violet et partant des cristaux artificiels moins différents de nos cristaux réels. Qu'en conclure, si ce n'est que dans la combinaison des cristaux artificiels et des cristaux réels, l'effet résultant pourra tantôt se rapprocher de ceux que fourniraient deux cristaux réels, et tantôt s'en éloigner beaucoup. Nous reviendrons sur ce point.

On passe d'une lame positive à une négative en tournant le mica de 90 degrés, ou bien en le remplaçant par un parallélipipède. On trouve, en effet,. alors ic — 2 ( r — a) pour l'anomalie deOY,. Avec les angles r et a de la figure, le retard est donc bien pour ce rayon, et, si on dispose la section principale d'un gypse dans l'azimut a -+- 45, ce sera en antagonisme, en duplication croisée, que se trouveront disposées la lame artificielle et la lame réelle.

Si le rotateur était îévogyre et le mica dans l'azimut a, on trouverait *r — 2 (r-f- a) pour le retard de OY, : si donc 2 (r 4- a) est

trouvée pour la lame naturelle. Cette dernière devient, quand 6 = 90,

Y = sin' 2 a sin* 'a

et la rotation de la lame cesse d'amener la teinte complémentaire. Ici rien de pareil puisqu'on ne peut pas toucher à la lame et qu'il faut se contenter de tourner le polariscope. Enfin sin* {r — ol) n'étant dominé que par un facteur tandis que sin* - Test pai deux, les échanges de la teinte contre sa complémentaire sont moins nombreux avec la lame artificielle.

34 a CHAPITRE XX.

moindre que ir, le rayon elliptique est dextrorsum et la lame agira en sens contraire d'un gypse dirigé dans l'azimut ï -h 45. Le mica "tourne-t-il de 90 degrés, l'anomalie, gardant sa valeur absolue, change de signe et les elliptiques fournis par ce mica deviennent sinistrorsum.

§ 546. — La lame artificielle constituée à l'aide d'un rotateur

artificiel.

Une lame artificielle donne une teinte que nous avons pu classer, à l'aide d'une règle très-simple, parmi la série des teintes innombrables que fournit le rotateur qui entre dans la composition de cette lame. Or si ce rotateur devenait un rotateur artificiel, il se présente deux questions : i° un tel rotateur suivi d'un quart d'onde, devient-il aussi l'équivalent d'une lame cristallisée? i° si la réponse est affirmative, quel rapport y aura-t-il entre la teinte de cette lame composée et celle de la lame qui entre dans la composition du rotateur?

Dans le phénomène auquel se rapportent ces questions se trouvent en jeu cinq lames successives, à savoir trois quarts d'onde, la lame mince intermédiaire aux deux premiers et le polariscope qui suit le dernier. On peut donc y répondre en étendant à une cinquième lame les décompositions poussées jusqu'à quatre dans le § 534. On obtient ainsi seize composantes et partant deux polynômes de seixe termes. Mais en y introduisant les hypothèses

p = -, p" = -, f = - , b = 45, c = 45, ils éprouvent de

telles réductions, que l'expression des intensités I,I0 s'obtient sans trop de peine. Cependant on peut trouver à ces deux questions des réponses bien plus simples.

De ce que le rotateur artificiel fournit au dernier quart d'onde dès vibrations éparpillées et de ce que le mode d'éparpillement est sans influence sur le rôle général qui est dévolu au mica du deuxième appareil synthétique, il s'ensuit que ce dernier mica formera de toutes ces vibrations deux groupes situés à ± 45 de ses azimuts principaux, tout comme si l'éparpillement était dû à un véritable rotateur. Voilà pour la première question.

Pour résoudre la seconde, prenons pour point de départ ce résultat des §§ 859, 840, à savoir, que la vibration se retrouve in-

taetc, mais dans l'azimut — --• Le nouveau mica [fig. 263 ) ,

cos c cos [

affectées de la même anomalie - > c'est- — sin #f sin I

POLARISATION BOTATOimE. - SYNTHÈSE. 343

orienté dans l'azimut S, donnera les deux composantes

1 / '\ avec un retarde -r pour la première. L'image

extraordinaire sera donc formée du concours des deux composantes

à-d:re qu'on aura

Ie = cos'e cos' (£-»- — J -Hsin'r? sin' U-I- — )

= - 14- cos 2e cos (2$-+- p') I-

Si la lame p' était seule en jeu, sa teinte aurait pour caractéristique \* cos p' (§ 822). On voit donc qu'en général la teinte fournie

par cette lame artificielle n'est pas celle de la lamep', et il devait en être ainsi, puisque la position du dernier quart d'onde influe essentiellement sur cette teinte ainsi que le témoigne d'ailleurs la présence de aJ dans le facteur colorigène. Mais si Ton prend

£=0 = 90, alors la caractéristique devient \* cos p', et ce sont

les teintes propres a la lame mince qui apparaissent. Prend-on

£=±45, la caractéristique devient V sin p',#et Ton a uue

teinte qui diffère de la précédente de -** tout comme si Ton avait

substitué, avec la lame seule, nn circulaire an rectiiigne. Fresnel avait fait tontes ces remarques.

On pourrait de même introduire dans la composition d'un rotateur artificiel une lame artificielle et chercher alors les relations qui existeraient entre le mode de succession des teintes de oe rotateur et celles qu'offrirait le rotateur de la lame artificielle si on le débarrassait des trois micas qui l'entourent. Nous laissons au lecteur l'étude de celte question.

S 547. — Un rotateur naturel ou artificiel n'est pas coloré

par un circulaire.

Un quartz normal à l'axe cesse de se colorer quand on place

sur le trajet du polarisé incident un quart d'onde orienté à 45 du plan de polarisation, ou en d'autres termes quand on lui offre un circulaire. En effet ce circulaire unique reste circulaire après la traversée du quartz, et chacun des circulaires diversîcolores qu'il contient se partage également entre les deux images du polariscope biréfringent. 11 en est de même des rotateurs artificiels, et on peut le justifier à chacun des points de vue que nous avons adoptés pour établir leurs propriétés. Bornons-nous à remarquer qu'au dernier, § 840, la lame intermédiaire de cet appareil synthétique ne reçoit qu'un rayon, soit l'ordinaire soit l'extraordinaire, qu'ainsi le quart d'onde terminal au lieu de reconstituer deux circulaires inverses n'en fournit plus qu'un qui ne saurait se teindre en traversant le polariscope.

Cette expérience, celle du paragraphe suivant et beaucoup d'autres, peuvent s'improviser avec les micas quart d'onde. Mais il vaut mieux y employer des parallélipipèdes, et surtout procéder comparativement, de manière à ce qu'ici, par exemple, le faisceau reste rectîligne pour une moitié du rotateur. L'appareil d'Amicî convient alors parfaitement. On ne laisse dans la pièce décrite § 542 qu'un parallélipipède et on lire le verrou de manière que moitié du passage reste libre. Dans ces conditions contrastantes, les faibles teintes que l^ra perfection des quarts d'ondé peut introduire dans le phénomène sont tout à fait inappréciables.

§ 548. — Ni l'un ni l'antre ne gênent la restauration d'un * circulaire par un quart d'onde.

Quand un rayon circularisé par un premier quart d'onde en rencontre un second , orienté dans n'importe quel azimut , nous savons qu'il est restauré et que l'interposition d'un rotateur n'empêche pas cette restauration. Eh bien, c'est encore là un phénomène où les rotateurs artificiels se comportent comme les naturels. On en verrait sans peine le motif.

Ainsi la ressemblance entre le rotateur artificiel de Fresnel et les substances spontanément rotatoires ne se borne pas au fait de la rotation. Elle se maintient quand on s'en prend aux phénomènes qui découlent de l'emploi d'un quart d'onde mis, soit antérieurement, § 547, soit postérieurement, § 846, ou encore de deux quarts d'onde simultanés, l'un antérieur et l'autre postérieur. Dans tous ces cas les rotateurs artificiels se comportent

comme les naturels, les différences qui peuvent se glisser dans les* phénomènes analogues étant secondaires et provenant uniquement de ce que la supposition d'un retard égal à -7 pour tous les

rayons n'est que très imparfaitement réalisée par nos quarts d'onde, ifléme dans le cas moins défavorable où Ton emploie de bons parallélipipèdes. Il n'en est pas de même des phénomènes qui vont suivre.

§ 549. — Les deux sortes d'appareils , rotateurs ou lames , mis en antagonisme.

Pour apprécier jusqu'à quel point l'équivalence se maintenait, soit entre son premier appareil synthétique et un rotateur, soit entre son deuxième et une lame biréfringente, Fresnel a eu l'idée de les mettre en antagonisme.

Cette méthode, assurément bien légitime, repose sur ce qu'en polarisation chromatique ordinaire aussi bien qu'en polarisation chromatique rotatoire, il existe des substances douées d'actions inverses telles, que Tune puisse détruire l'effet chromatique de l'autre et ramener au point de départ que nous supposerons être une extinction.

Ainsi, quand une lame d'un cristal positif a extrait d'un rayon incident deux rayons distincts et, leur ayant communiqué une anomalie variable avec la couleur, constitue en état d'interférence les composantes extraites de chacun d'eux par le polariscope; vienne un cristal négatif équivalent et similairement orienté, ou, ce qui revient au même, un second cristal semblable au premier, mais orienté rectangulairement : les retards seront rachetés, l'ellipticité communiquée aux rectilignes primordiaux sera détruite, et les rayons se trouvant restaurés dans l'azimut primitif commun, toute trace de coloration et de lumière aura disparu.

Ainsi, quand un milieu rotateur aura dispersé des vibrations d'abord confondues, et rendu inégales les composantes qu'un polariscope leur emprunte, vienne à la suite de ce milieu une seconde substance capable de rotations égales et contraires, elle ramènera les vibrations dans l'azimut commun et les livrera de nouveau toutes à l'extinction primitive.

Si nette dans ces deux cas, l'idée d'antagonisme s'obscurcit quand on oppose à un biréfringent ordinaire un corps .rotateur;

jpiand on met aux prises en quelque sorte, îles rayons elliptiques dont les axes ont une certaine orientation et un rapport variable, avec des rayons restés rectiligneset simplement diversement déviés. Comment réduire l'un par l'autre ces phénomènes disparates? en quoi consistera leur équivalence? Qu'il nous suffise d'avoir soulevé cette question délicate. En effet, sa solution n'intéresse pas les expériences de Fresnel : ces dernières beaucoup plus simples établissent l'antagonisme entre des actions analogues soumises à un même mécanisme général et accessibles seulement à des différences de détail.

S'agit-il du premier antagonisme, celui d'un rotateur artificiel et d'un rotateur naturel ; si, sans produire, car c'est impossible, pour chaque rayon des rotations égales en valeur absolue, chacun de ces rotateurs à gy rations contraires donnait seulement aux couleurs extrêmes rouge et violette le même écart angulaire, on conçoit que l'effet chromatique de leur ensemble puisse être sensiblement nul. Car, si l'inégale distribution des couleurs dans cet arc commun s'op* pose à ce que la compensation soit parfaite, nous savons que les teintes ont nne certaine stabilité et qu'elles se maintiennent dans des limites plus ou moins étendues quand on dérange soit la distribution des plans de polarisation, soit même l'arc total qui leur est dévolu. La compensation s'effectuera donc au même titre que l'achromatisme dont la réalisation n'a pas été compromise par l'irrationnalité des spectres.

L'équation de la compensation s'obtient sans peine. Soit c l'épaisseur de la Lime supposée positive. L'anomalie du rayon extraordinaire serait

2ite —

Est-elle engagée entre deux quarts d'onde de manière à former un dextrogyre, on aura la rotation

n9 — //„ ne — .

La rotation différentielle sera donc

"'•("'-"*Ki~r)'

si l'on admet, eomme devait le faire Fresnel, que //, — n0 ne varie

pas avec là couleur. Soit E l'épaisseur du lévogyre antagoniste; si c'est un quartz, il donnera la rotation différentielle

E(4o,88- 18,98) (*), ainsi E dépendra de l'équation

Emploie-t-on une térébenthine et lui accorde-t-on, comme l'a fait Fresnel, les qualités optiques de celle qu'a étudiée M. Biot, il faudra multiplier le premier membre par 68,55, rapport des épaisseurs équivalentes de ce liquide et du quartz.

S'agit-il du deuxième antagonisme et dispose- 1 on la lame artiGcielle avant la naturelle, les rayons en sortiront sous la forme de vibrations rectangulaires orientées dans les azimuts

et affectées, si le rotateur employé est lévogyre, de l'anomalie « — 2(r + a) (§ 848). Le rôle du cristal naturel (on l'orientera dans ces mêmes azimuts), devrait être de donner aux mêmes vibrations, mais en sens contraire, les mêmes anomalies; mais comme ce serait exiger l'impossible , on devra se contenter de lui demander : j ° l'égalité de l'anomalie pour une couleur, le jaune par exemple; a° pour les couleurs extrêmes, une même différence d'anomalies: il y a plus, comme les anomalies ne figurent dans les calculs que par leurs lignes trigonométriques, la première de ces deux égalités pourra n'avoir Heu qu'à une, deux, trois. . . demicirconférences près. En appelant y, a les valeurs de l'angle r quand il s'agit du jaune et du violet, on aurait donc

7T — 2(7+a)rr p/\

7T — 2(a-t-a)— [tr — 2 (r-f- a)] = pa — pr. On introduira les épaisseurs E, e du rotateur et de la lame en re-

( * ) Cet rotations sont celles du rouge moyen et du violet moyen ; on les a obtenues en prenant la moyenne arithmétique des rotatious propres aux rayons qui terminent les divisions newtoniennes. Voir le tableau du § 409.

( ** ) Supposons 7T < 2 (/ -t- a) ; les retards de OV , seront négatifs , et par conséquent co sera OX, qui aura le retard. S'cusuit-il que la section principale du cristal antagoniste positif doive être placée suivant OY,? Nullement. ( Voir plus loin le calcul numérique. )

marquant que si J,R, U, Py,Pr, PB sont les valeurs tabulaires de

jirt'h p/»pr,ptt, on a

J=.je> ..., Py = ^,

Ainsi les équations de la compensation seraient

— ir-+-2(JE -4-«)= Pytf — Ktt, a(U — R)E = (P«-Pr)r.

Pour le quartz cette dernière équation devient

,9E = i8o-e(it,-^)^-~iJ«

et ne diffère pas de l'équation unique qui préside a la première compensation. On s'explique ainsi pourquoi Fresnel, qui n'a expérimenté que sur le deuxième antagonisme, fait cependant appel aux conditions du premier. Toujours est-il qu'ayant ici deux équations, on devra pouvoir disposer de deux quantités. Fresnel fixait sur le parallélipipède et dans l'un des azimuts relatifs rfc 45, sa lame de gypse, puis il cherchait par un double tâtonnement la longueur C du rotateur, c'était une colonne de térébenthine , et l'azimut a du quart d'onde qui amenait pour Tune des images la compensation. Ainsi pour lui les deux quantités disponibles étaient E, a. Ici donc comme dans le premier antagonisme les conditions d'équilibre sont bien distinctes de celles qu'entraînerait l'emploi de deux lames naturelles.

Fresnel donnait au calcul de ses expériences un tour particulier qui consistait à déduire de la compensation, les rotations subies par les divers rayons dans le milieu rotateur employé, pour les comparer à celles qui résultent des mesures de M. Biot; mais il nous semble qu'opérer ainsi, c'est méconnaître l'irrationnalité des phénomènes antagonistes et admettre pour chaque couleur la compensation individuelle que nous n'avons pas exigée ; il est donc préférable de maintenir la comparaison des faits et de la théorie sur le terrain où nous l'avons placée.

Citons une de ses expériences. Soit un long tube vertical contenant une térébenthine lévogyre et recevant par sa base inférieure un faisceau polarisé. Installons sur sa base supérieure un parallélipipède dont la section principale soit perpendiculaire à la vibration incidente, ou bien, ce qui revient au même, un mica quart d'onde dont la section principale soil parallèle à cette direc-

don. Sur ce mica et en avant du polariscope, disposons un gypse orienté dans l'azimut H- 45, et supposons-lui l'épaisseur o, 125, mettons enfin le nicol à l'extinction. En faisant écouler la térébenthine, nous atteindrons une épaisseur telle, que l'extinction soit restituée, et qu'ainsi la compensation ait lieu. Dans nos expériences, cette épaisseur a été 4&> millimètres. Avec une lame de 0,12 Fresnel avait trouvé moins de 5oo millimètres. Il s'agit de voir si cette compensation est d'accord avec la théorie.

Les tableaux des §§ 144, 499 conduisent simplement , par des proportionnelles, à la détermination chez le quartz, soit des deux indices propres aux rayons moyens des groupes newtoniens, soit, comme conséquence immédiate, au nombre d'ondes qui exprime le retard occasionné par un millimètre du cristal. Le tableau suivant contient ces divers résultats et, dans une dernière colonne, les retards peu différents qu'on obtiendrait, si on négligeait la dispersion du quartz. Maintenant si nous nous fondons sur l'égalité des effets que produisent, à épaisseur égale, le quartz et le gypse, ces données seront applicables aux lames qu'employait Fresnel dans ses expériences d'antagonisme.