I-+-COS(p — TV) I — COSp
Gomme ce sont, et le rapport — et l'anomalie y ' — ? -H - que
l'expérience peut atteindre, nous tirons des calculs précédents, d'abord
Aa !-+*« + 2*2COSp (l-M*)'
4 A* sin2 - p 4 k* sin' - 9
puis, en introduisant exclusivement les lignes trigonométriques
dd
tang
n'ayant que les deux inconnues X , p, ces équations suffiront à leur détermination.
DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. q5g
§ 606.— Cas où l'on use du compensateur. On a un elliptique résultant mesurable. Passer de ses paramètres non principaux aux caractéristiques p et A de la double réfraction elliptique.
Un polariscope ordinaire communiquerait aux deux résultantes partielles A,?, B A,?' une énorme anomalie et détruirait ainsi leur solidarité. Aussi est-ce sur le compensateur, pris en guise de polariscope biréfringent et amené à avoir (§ 340) ses plans principaux coïncidents avec les plans ZOX, ZOY, que ces résultantes sont reçues. Leur ensemble constitue ainsi un nouvel elliptique caractérisé pair
le rapport — et par l'anomalie <p' — y -f- - • Que l'œil intervienne
armé d'un nicol, il constatera que la frange centrale a quitté les fils, on l'y ramènera en introduisant par le jeu du bouton une ano-
malie 4* égale et contraire à l'anomalie ?' — y H — qui se trouvera
dès lors mesurée. Une fois le «rayon restauré dans la région que comprennent les fils, on porte la frange centrale au maximum d'obscurité par la rotation du nicol et on lit l'azimut s de la section principale. Comme elle esta angle droit sur la vibration restaurée, on a
FB = cots
Si nous représentons cot s par m et tang^ pur n, nos équations seront
4A,sin,-£
(*) /i=7— ^tantî-p.
Leur résolution n'offre aucune difficulté. L'élimination de A s'ob-
tang — p — n
tient en tirant de ( a ) A1 = etenreportanteette valeur
tang-p-h«
dans (i) qui fournit, si l'on ne garde que tang- p,
tang' -p — /t7 -f-
iN*
46o CHAPITRE XXIV.
'et, par suite,
cos'-p =
(/ï'4-i)(#»«8-4-i) X- s'obtiendrait avec une égale facilité en remplaçant, dans l'expression de X% tang-p par sa valeur en w, n. On arrive ainsi à une
équation bicarrée qui donne un double radical que Ton peut faire disparaître, parce que ce qui est sous le radical extérieur se trouve former un carré parfait. Or, cette réduction se saisit mieux en
prenant d'abord pour inconnue auxiliaire l'expression X ;
car ( i ) et ( 2 ) deviennent
4sin'| *a%'^P j+*
d'où
7 — a = 2 sin - p Un
tang-p
2 n cos - p ^m1 -h i = ± -
irtm
l'équation qui donnera X est alors du second degré, et Ton a
L'étude des elliptiques réciproques montre aisément, et nous y reviendrons § 6il, que si, p conservant son signe, X devient négatif, ils restent les mêmes et changent simplement de gy ration, de manière à devenir les elliptiques d'un quartz léyogyre. Nous en concluons que le double signe extérieur de X- répond aux deux variétés des substances rotatoires. Quant au signe — du dernier terme, il fournit une valeur qui n'est autre que
DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. j6l
Ainsi, pour un quartz donné, les équations ne fournissent réellement qu'une valeur de A pour chaque direction.
Pour peu que le quartz soit épais, l'angle p dépassera facilement un quadrant et pourra même atteindre une ou plusieurs circonférences. Pour passer sans erreur de la tangente à l'angle - convenable, il faut n'arriver aux grandes incidences que graduellement et en partant de l'incidence normale. Là, en effet, d'après l'épaisseur et d'après la couleur de la lumière employée, on connaîtra la rotation et par conséquent l'anomalie p* qui en est le double. L'analyse actuelle confirme d'ailleurs ce rapport de % à i établi (§ 467 ), puisqu'en posant k = i , on trouve
A 2(i-f-cosp) i
— = -* V— = COt ~pQ rr COt .T,
4/,sin2-p c'est-à-dire
§ 607. — Détails sur les expériences de M. Jamin.
La plaque, d'épaisseur connue e9 était installée sur la plate-forme de l'appareil, d'abord normalement au rayon , et l'on constatait que le compensateur, disposé d'avance pour donner une anomalie double de la rotation, rendait noire entre les deux fils la frange centrale. En tournant le bouton dans le même sens, on se donnait un anomalie + plus grande que +., et l'on cherchait : i° l'incidence i restauratrice ; 2° l'angle aziroutal s. En mettant dans les formules tang^ et cot s à la place de n% m, on en tirait, pour cette incidence, k et p. En divisant* p par 2irf, on obtenait le retard pour une plaque d'un millimètre; c'est lui qui figure dans les tableaux de M. Jamin. Mais la dispersion du quartz, déjà sensible sous de faibles épaisseurs, rend indispensable l'emploi d'une lumière homogène. Or, si l'on prétend à quelque précision, il faut répudier et les verres rouges et même, à cause du blanc qui s'y mêle inévitablement, les couleurs du spectre fournies par un prisme. La flamme de l'alcool salé, brûlé dans une lampe à double courant d'air et à mèches concentriques, donne seule des résultats satisfaisants.
En voyant réussir ici la lu micro homogène, si rebelle aux expériences quantitatives de l'article 2 du rhapiire XVII, on se demande
naturellement à quoi tient ce succès. Il s'agissait alors de mesurer un déplacement de franges, et par conséquent de reconnaître la frange centrale; or elle devient indiscernable sitôt que la lumière approche de l'homogénéité. Avec le compensateur, si les diverses franges prennent également, dès qu'on recourt k cette sorte de lumière, un aspect identique, on peut cependant obtenir la frange centrale, puisqu'il suffît de connaître approximativement le retard qui a pu être introduit dans l'expérience et de le racheter par le jeu de l'instrument.
§ 608. — Avortement de la croix noire chez le quartz. Il s'y produit des maxima et des minima spéciaux.
La méthode précédente, en introduisant dans le calcul depeU chacune des quantités m, /i, issues de l'expérience, y introduit en même temps les deux erreurs commises dans leur détermination. Or il arrive que cette combinaison d'erreurs peut altérer profondément les valeurs de /•. La méthode suivante, due également à M. Jamin,et fondée sur l'interprétation d'un phénomène aussi facile à observer qu'à mesurer, échappe a cet inconvénient.
Les anneaux étudiés § 278 étant le résultat d'interférences provoquées par des trajets de plus en plus obliques à la direction de l'axe, il doit s'y glisser ici des particularités corrélatives à la bifurcation elliptique imaginée par Airy. En effet, tandis qu'avec un uniaxe ordinaire et des tourmalines croisées, les anneaux viennent s'éteindre sur les deux bras d'une croix noire, l'expérience montre que cher le quartz, à moins d'une grande minceur, cette croix n'apparaît qu'assez loin du centre, les premiers anneaux y conservant ainsi leur intégrité.
La cause de cette dérogation au phénomène usuel est facile à saisir. La croix tient à ce que le plan ZOY de \afig. 292, ayant à la fois les qualités d'une section principale et d'un plan normal à la vibration, cette dernière y reste in décomposée et continue de s'offrir à la tourmaline oculaire, dont l'axe est dans le plan ZOY, dans les conditions d'extinction. Mais ici, grâce aux deux elliptiques, ce polariscope reçoit l'ensemble des deux vibrations^, , y7y parfaitement transmissibles. Pour un uniaxe non rotateur, la considération de ces deux elliptiques, quoique légitime, reste stérile, attendu que, auie d'un retard , yt et y7 sont constamment égales et opposées. Mais, chez le quartz, ce ne sera qu'accidentellement que r. et r,
s'annihileront Leur concours donne, en général, sur le bras de la croix une certaine lumière, et Ton doit s'attendre à obtenir, au lieu d'une obscurité constante, une série de ma xi ma et de minima qui relieront entre eux les quarts d'anneaux que la croix sépare habituellement.
Tx-^Ti donne un rayon résultant dont l'amplitude est
i -4. /•» , + & Cette expression admet des minima correspondant à
p = 0 = 2îT=:4w...,
et des rnaxima donnés par
Les premiers sont nuls : quant aux seconds, dominés par le facteur h , ils s'affaiblissent rapidement, de manière à ne plus différer bientôt sensiblement des minima, et c'est ainsi que la croix renaît à une certaine distance de l'axe.
§ 609. — Usage de ces maxima et minima pour obtenir insolidairement p et X.
Si donc on installe un quartz normal à Taxe sur la plate-forme centrale d'un limbe, et si, pour mieux apprécier les angles d'incidence, on remplace la lumière convergente par un faisceau parallèle dirigé dans le plan ZOY et donnant simplement les tronçons' d'anneaux qui remplacent la croix, on déterminera, en visant et aux maxima et intermédiairement aux minima, la série des incidences pour lesquelles l'anomalie p atteint les valeurs
et l'on pourra, aussi bien que des valeurs de p quelconques fournies par la méthode précédente, en tirer, soit par interpolation, la courbe continue du phénomène, soit, et c'était le but poursuivi par M. Jamin , des confrontations entre la théorie et l'expérience. Puisqu'on ne met en jeu, dans ces déterminations, ni compensateur ni restauration, il s'ensuit que la quantité m leur reste étran gère et qu'ainsi les valeurs de p sont, dans ces cas particuliers, dépendantes de n seul. En se reportant au calcul général, on voit
que ^=o=27r = 4w-. entraîne <p = o, ? ' = * et parant, + = y' — ? -h - = o , d'où /* = o. La relation
, «* + i tang'ip = «'+^r-
exige alors m = oo , comme on le voit directement, puisque l'angle * devient manifestement nul en même temps que j, -hjv Aux maxima, au contraire, c'est n qui devient oo , et m prend une valeur distincte deo et variable suivant le maximum.
Le concours des maxima et des minima détermine donc des systèmes de valeurs correspondantes de i et p. Pour obtenir des systèmes analogues de i et A, il faut s'adresser aux maxima seuls et employer le compensateur.
Puisqu'en ces points les plus vifs p prend l'une des valeurs ir, 3ir, 5tr. . . , on aura ? = o, <j>' = o ; la résultante des deux
composantes yK , y7 sera donc en retard de - sur la résultante
•*i-t-«s, et l'elliptique résultant, issu des deux elliptiques primitifs, apparaîtra par ses constituants principaux. On en opérera la restauration en disposant invariablement le compensateur de manière qu'il donne le retard 7» Comme alors on a
l'azimut de restauration sera donné par
cot s = m = -— = ± ■
XB 2* '
A dépendra donc de m seul et lui sera lié par l'équation
2 h m = ± ï + A-% qui revient à
et donne, en se bornant au signe supérieur ou, en d'autres ternies, à la considération d'un dextrogyre,
L'expression générale de k donne la même valeur quand on y introduit pour n = tang 4» , la valeur oo . •
