II

On retrouve sensiblement pour incidences celles qui dans le tableau précédent répondent aux maxima. Les différences donnent une idée des incertitudes que comporte ce genre d'observations. On voit que le rapport des axes converge rapidement vers zéro, et que, bien avant d'arriver a r = go°, l'ellipticité doit devenir inappréciable.

A côté des deux méthodes précédentes, on peut citer comme digne d'être essayée une méthode directe qui consisterait à isoler par le biprisme du § 464 chacun des elliptiques issus du dédoublement du rayon incident. On aurait, par exemple, une série de biprismes dont les faces parallèles feraient avec Taxe, des angles s'éloignant de plus en plus de go. Les mesures porteraient sur les paramètres caractéristiques de l'ellipse décrite par l'un ou par l'autre rayon : on en déduirait p et k. Qu'il nous suffise de recommander celte étude.

Deux savants émînents, MM. Airy et Cauchy, ont essayé de rattacher les valeurs de p et k à quelque concept théorique. Le premier, guidé par des analogies assurément spécieuses, mais qui cependant devaient recevoir un démenti des mesures de M. Jamin, supposa que la sphère et l'ellipsoïde d'Huyghens étaient remplacés chez le quartz par deux ellipsoïdes qui coupaient Taxe en des points légèrement différents. Le dernier avait cet avantage qu'il ne s'agissait pas pour lui d'expliquer isolément et par des ressources spéciales imaginées ad hoc la double réfraction elliptique

du quart?., et qu'il lui suffisait d'étendre à ce phénomène une théorie qui prend les choses de loin et de haut, et qui de plus avait rencontré le succès dans d'autres circonstances non moins délicates. Mais, sur ce terrain difficile, nous devons nous borner à dire que les valeurs trouvées pur M. Jamin cadrent remarquablemeut avec les formules de M. Cauchy, et à appeler de tous nos vœux le jour où ce grand géomètre, réalisant des promesses qu'aucun ami des sciences n'a oubliées, coordonnera enfin ses travaux considérables sur l'optique moderne.

§ 611. — Équations des quatre elliptiques mis en jeu par un quartz qu'un rayon polarisé traverse dans une direction voisine de l'axe.

En voyant la double réfraction elliptique modifier aussi profondément les bras de la croix, on prévoit que son influence s'étendra aux anneaux eux-mêmes pour en changer soit la position, soit l'intensité. Il convient donc de reprendre pour le quarte le calcul des phénomènes étudiés § 278.

Quand le plan d'incidence étant ZOY, la vibration du rayon incident est dirigée suivant OX, si le quartz est dextrogyre, les deux ellipses d'Àiry (§604) ont les positions 1, 2 (Pi. XII, fig. 293). La vibration , supposée de même amplitude, passe-t*elle dans le plan d'incidence, on aura les ellipses 3 et 4 égales aux précédentes, et nous avons annoncé § 610 que la grande ellipse devenait sinistrorsum. Cela résulte de ce que d'une part, l'elliptique correspondant devient à la limite le rectiiigne extraordinaire, et que de l'autre, dans le quartz, cristal positif, c'est ce rayon qui est retardé. En d'autres termes, tandis que pour le rayon ordinaire l'ellipse conservée dérive du circulaire dextrorsum ; pour l'extraordinaire, c'est cette ellipse qui devient évanouissante, ce rayon devant être considéré comme la limite des altérations subies par le circulaire sinistrorsum. Pour un quartz lévogyre la correspondance des rayons reclilignes avec les circulaires est intervertie»

Les deux cas précédents conduisent sans peine au cas général où la vibration n'est ni normale au plan d'incidence, ni contenue par lui, cas qui se réalise quand, pour produire les anneaux du quartz, on lance i\u travers d'une plaque normale à l'axe un cône plein de rayons incidents. Si (Pi. XI l /, fig. 294) la vibration du

faisceau convergent a pour direction OX, on aura, dans un azimut quelconque OY, caractérisé par l'angle a, sin a pour la vibration normale et cosa pour la vibration comprise dans la section principale, la première donnera (nous négligeons le diviseur i + £') les deux elliptiques

x, =sinacosÇ l x3 = X-1 sin a cos ( Ç — p)

y.x = h sin a cos (Ç )\ ?x z= — * sin a cos ( Ç — p J

la deuxième donnera les deux elliptiques représentés en points.

Pour ne pas se fourvoyer dans récriture de leurs équations quelques remarques ne seront pas inutiles. Au lieu de nous donner, dans ce cas général, tour à tour et insolidairement chaque vibration principale, nous les recevons comme résultat de la décomposition d'une vibration primitive. Cette commune origine établit entre elles un lien qui doit se retrouver dans les équations. Il faut que les vibrations x„ y\ 9 seules indépendantes de k et seules conservées à la limite, reconstituent, quand on abolira le retard p, la vibration primitive. Or cette obligation nous signale, comme portions de leurs ellipses simultanément décrites, les arcs jjiji, pq, et mène aux équations qui suivent

y1 = cos* cos (£ — p) \ y\ = *'coSa cos? -)(*) x\ = À cos a cos ( Ç — p — - J ( x, = — /• cosa cos ( Ç J (

L'intensité proviendra du concours de ces quatre elliptiques qui ne reproduiront les ellipses, égales deux à deux, de \&/ig. 293 que pour les azimuts a = ±45.

§ 612. — Calcul des anneaux quand le polariscope est à l'extinction.

Si nous orientons d'abord le nicol polariscopique à 90 degrés de la vibration, les 8 vibrations projetées donneront pour l'image

( * ) Dans l'intérêt du § 621 , nous allons donner et la représentation graphique et les équations des quatre elliptiques issus, avec un quartz lé vogyre, de la même vibration OX.

Les ellipses 1, 1 (fy. ai).'») tracées d'un trait plein , représentent les el

; — k sin « sin (£ — p ) 1 -p)-h **cosacosÇ)J

DOUBLE REFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. 4j I

extraordinaire

sin a (j, 4-.Ti 4- /, 4-/, ) — cos a (x, 4- jt, -h x\ 4- *', ),

on a d'abord , en modifiant les .cosinus qui contiennent ->

tA sin a sin Ç — 4- cos a cos (ï — \

t sin a cos ï 4- X-1 sin a cos (Ç — p) "1 4- *cosasin(Ç — p) — AcosasingJ

c'est-à-dire un polynôme à huit termes qui se ramène sans peine au quadrinôme suivant

X[sinÇ — sin(Ç — p)] 4-(i — k7) sinœcosa[cos (Ç — p) — cos£]

qui devient, quand on échange contre des produits les différences comprises entre crochets ,

2* sin £- cos (Ç — £-) 4-(i — A J ) sin 2 a sin £- sin f Ç — £• ) ,

liptiques de la vibration ordinaire sin a. Les autres 3, 4 proviennent de l'extraordinaire cos a. mn, pq sont encore, sur les elliptiques principaux i , 3 , arcs simultanés. Les équations , nous n'y introduisons pas le retard p qui appartiendrait alors aux elliptiques ?, 3, seront, pour le rayon ordinaire,

x, r= sin a cos £ ,

y% = k sin a cos

!xt = A* sin a cos Ç, yx = — A: sin a cos ( £ -+ •" j > et pour l'extraordinaire

y = cos a cos £, (3) " I x7 = — k cos a cos

y = A1 cos a cos Ç,

a? = A cos a cos

Le lecteur constatera sans peine qu'elles se déduisent des huit équations analogues écrites, dans le paragraphe, pour le cas d'un dextrogyre,en y changeant le signe de k.

4y a : CHAPITRE XXIV.

tel est le mouvement vibratoire résultant. La forme des facteurs

montre

sin ( \ — *- j » cos ( Ç J seuls dépendants du temps ,

que Tintensité I vaut la somme des carrés des coefficients de ces facteurs; qu'ainsi, en rétablissant le diviseur (i + £')', Ton a

-!— --r- sin2 *- -+- ) j-\ sin* 2 a sin* J-.

Discussion. — En faisant À=i, /== o, on réalise les deux cas extrêmes des rayons très-voisins ou des rayons très- éloignés de Taxe. La première hypothèse donne

I = sin2 P-

c'est-à-dire une teinte indépendante de a et partant uniforme. La deuxième conduit à l'expression

sin* 2 a sin* — »

qui admet visiblement : i° le long de chaque rayon vecteur des inaxima et des minima dépendants dep; 20 sur chaque cercle concentrique à Taxe, à cause du facteur sin 2 a, une dégradation de lumière allant jusqu'à zéro : expression qu'on aurait d'ailleurs trouvée au § 278, si on y avait fait découler comme ici la recherche des lignes isochromatiques de la discussion de l'intensité. Ainsi, quand on est assez loin de l'axe pour que k soit sensiblement nul , on réobtient les cercles des autres uniaxes avec les quatre bras de la croix noire. Plus près du centre on voit encore des anneaux et on les voit aux mêmes distances du centre, car les valeurs de p qui annulent le dernier terme annulent en même temps le premier. Mais il n'y a plus de croix noire, parce que ce premier terme conserve une certaine lumière, quel que soit a,

aux régions qui ne donnent pas sin - p = o.

§ 613. — Le cas général. — Les deux règles de Délesenne.

Quand l'azimut 6 du polariscope, au lieu d'être 90 degrés, devient quelconque, on a, pour constituer l'image extraordinaire,

cus(6 — «) ./i+.r«-»-/,-Kra — sin»6 — «i x, 4- x, 4- *,+*,)•

DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE DU QUARTZ. 4j5

remplaçant les y et les x par leurs valeurs et opérant des réductions faciles, cette expression devient

2 /• sine sin*- cos ( Ç — - )

-h[cosacos(6 — a) — Â-3sinasin(6 — a)]cos(Ç — p) -4- [£* cos a cos (S — a) — sin a sin (6 — a)] cosÇ,

ou bien, si Ton représente par M et N les deux parenthèses,

2* sin -sin -cos ( Ç — - J-+-Mcos (Ç — p)-»-N cosÇ,

tel est le mouvement vibratoire, l'intensité vaudra donc

I =r I a k sin 6 sin - cos- -h M cosp -f- N I L 22 J

-4- I 2 k sin 6 sin - sin - -h M sin p I . L 22 rJ

Les neuf termes qu'on obtient en effectuant les deux carrés se réduisent immédiatement aux six suivants :

1 = 4*' sin2 6 sin' ?■ -h M* -h N2 -+- 4 A- M sin 6 sin p- cos Ê-