COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES
Composition de deux mouvements vibratoires de même direction et de même période. -*- Ce problème se confond avec celui de la composition de deux forces concourantes. — Décomposition d'un mouvement vibratoire en deux. — Composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires. — Zones d'Huyghens. — L'éclairement d'une onde libre, en un point, est le quart de celui dû à la première zone. — Accroissement prodigieux de lumière donné par l'écran deFresnel. — Éclat central de l'ombre d'un disque circulaire opaque. — Obscurité paradoxale obtenue, à certaines distances , dans la tache lumineuse du trou circulaire. — Difl'raction avec la lumière convergente. — Construction des fonctions et des intégrales qui s'introduisent dans le calcul des phénomènes précédents. — Tranches dé Fresneî. — Cas où le rayon réfléchi est engendré dans la couche extrême. — Cas où la réflexion s'opère dans toute la masse du corps. — < Cas des milieux dits opaques. — On peut résoudre le problème de la composition des mouvements vibratoires en considérant les seules excursions.
§ 52. — Un cas de la composition de deux mouvements vibratoires.
A propos de rinterférence de deux sons, l'un direct, l'autre réfléchî, nous avons indiqué (§4-0) la construction géométrique qui donnerait le son résultant et montrerait qu'il a la même hauteur que les sons qui le forment. Dans Tintérêt des chapitres suivants, nous allons traiter celte question par le calcul.
Trois hypothèses restrictives, autorisées par l'état actuel de l'optique expérimentale, sont introduites dans ce chapitre : les mouvements vibratoires donton cherchela résultante sont parallèles, de même période et proviennent d'une mènxe source; en d'autres termes, il ne sera question ici que de rayons parallèles, de même couleur, issus d'un même luminaire.
96 CHAPITRE m.
Ces divers rayons différeront par les éhemînsdécrîts. Si
V = 6 sin 2 TT - T
est la vitesse oscillatoire du point lumineux, les vitesses quils apportent au même instant, à une même tranche d'éther, seront (§10)
V = ^ sifiaTT (- — - j, ^J' = 6'sin2ir /|; — - |, v"=^"sin27r^i-^'),
ft, i', ft",... étant les coefficients que leur laissent les circonstances qui allongent leur routé, et J, â\ d" les chemins décrits é Si >en place des retards on introduit les phases f,f\f",- (§H),ona
i> =r ô sin I 2 TT - — / 1 9 y' = ô' sio ( 2 îT - — /' J v • •
Nous supposerons toujours les rayons rangés de manière que y, f\ y',." aillent en croissant, et comme ce sont les différemies de route el non les routes absolues qui nous intéressent, nous négligerons la partie commune à tous les rayons, à savoir d si l'on garde les retards et^^si l'on garde les phases, et nous partirons des équations
y =r 6 sm27r -î
y • = ^' Sin ( 2 TT - — 9 1 »
dans lesquelles 9, <})',.. . sont les différences f'—f, f'^f, . . .
CîmiPOSITimi DES MOUVBIfKNTS VIBUATOiREâ. ^^
des phases ,*dîfférefices qu'on appelle hiabituellemenr a/io-
malles (*)• ^
Ne consiâéi^ns d'abord que deux rayons. La vitesse .U du . rayon résuhant. vaudra U somme algébrique des vitesses. ' On âurflC donc
U =^ sin 2 TT - -f- A^ sin*( 2 TT - — ^ j
f = (6 4- ^' CCS ff) sin !^tr - — b' sin ^ cos2 tr = »
= Bsin {^^^ — Ti . - v
si Ton jposê- : >
' t H- o' tes y == B Gos ^p et' ^' siii ^ == 6 SÎQ^', : ^- '
et si l'on remarque que ces deux équations de condition s^roilt . toujours admissibles , : puisqu'elles conduisent aux valeurs
B ii= sjh^ rk-h*^ H- 2 6ô' CCS «p , ^arig^^=5
^ sint
dont la première ne cesse pas d'être réelle, même quand
cosç vaut —1.
I^ ceqUe U a la forme
psin
in^Zir^^+j,
nous en conçluops qué'le mOi^emeut. résultant est dii même genre que les delix mouvements donnés, qu'il est
(*) Avec la formé
«'tf-^
que lions adaptons 1<bs rayon» qui «ont, en retard. auront das anohialîeft pôsitireB. Une anomalie négatiye indiquera que le rayon qu'elle caractériflé précède Te rayoft fondamental dont l'anoDialie est «éro. Ce serait le éôntrairè si nous partipna de l|i forijdQ
X)S chapithe iH.
soumis à la même période T et défini ^r lès* deux pai'a* mètres B et ip. . ^ -
Les deux équations de condition doonem '
sin(tp — >!•)= • g ^««,Ç— •— g-^c^*?> •
c»'est-à-dire .1 . ^
sin(y — 4») = -sin<p.
On a donc *
^ : *' : B ; : sin («p — >p) : sin \|» : sin <p ; ,
de sorte qu'entre les trois coefficients et les trois diÔ*érencos déphasés (f — ^y ^, 9, on a lesm'êmes relatioiia <p»édaBs lé pmbléme de \sl composition de deux forces y eoire les trois forces et leurs angles d' assemblage.. Ain si le Irayon résultant esi^ parla phase, intermédiaire aux deux antres et sonxroefficient B est lié aux deux coeflScients; b^ b' et à lai différence des phases ^ , précisément comme si b\ b' étaient des forces et 9 leur angle d'écartement. Tous l^s résultats , toutes les. constructions de fa statique sur ce problème sont dope acquis £v notre question d'optique. Assemblons (Jig' 3i) deux droites sous Tangle 9, anomalie du dernier des deux rayons donnés, prenons sur chacune, des., quantités OA, 'OB jproporlionnelles à leurs coefficients by b\ construisons le parallé- ~ logramme, la diagonale OG sera Pamplitude du mouToment résultant , et lés deux tronçons ÇOB, AOC de l'anomalie AOB expriment ce dont lé rayon résultant précède le dernier rayon et suit le premier.
. Si du sommet O on décrit une circonférence, les trois directions y déterminent trois arcs, mesurtors des trois diSe.rences de phases. Si la circonférence avait pour Ipn-
gueur.A oupoui* rayon — y les longueurs des trois arcs rer-
Ufiéfl ]»e seraient autre? qiw les trois retards.*
Nous avons supposé^ dans ce qui précède, PanomaRe 9 mpindre que 36o degrés,, mais la règle précédente est gêné-
COliPÛSltlOiV 4>Eft lIMVBMttTS VlBtlATOlhEâ. 9^
ralç ; seulement , quand l'anomalie suipasse une ou plusieurs circonférences, il faut jprendre j)our (f l'angle qui .reste- quand oti en a retranché le plus-gfând inultiple de quatre droits qui y est contenu.
Le ppciUème inverse, qui consiste ^'substituer, i-uii mouvement vibratoire, deux autres mouvements de même période, ësl indéterminé. Mais quand on se donnera les deuSL différences ^^ (f^ comprises entre leurs phases >tl« sienne ip) oti connaîtra 6, 91, ^^ (^t appartenant au " ra^^on qui est en avance) ; dans ce cas Iç problème est déterminé et donne . ; ; ' •fr : B :: siTi^2 : sin ((|>, 4- <p,)>: ' ^* : B : :" *in fi : sîn '(<p, -h ?0'> de sorte que les deuic rayons seront
^ sin®, . / t ' \ \
^ sm{y.H-ç») V T. ^ ^y.
sm(7. + ^,) \ T /^ ^;
Discussion. — ^ Si dans le problème direct, (f = o, on a-
l'intensité B* surpasse donc de â&&' la somme des deux
intensités. .^
. f r=: 1 80 donne encore
tang >{> ou 4* = ® et B ==: ^ -r ^'«
Quand 9 = gô et que le retard du second rayon vaiït -yi on a -. ^
tang+=:r- et B»=^'-f-^'%
et l'intensité du rayon résnlunt vaut alors la somme .des
. intensités des deux composants. Ajoute- t-on la supposition
bzs^h\ alors l'intensité est doublée dans le rayon résul*
tant et la phase (p, aoiinée {)ar tang(p ==: i, répondant à ^t
le retai*d du rajen résultant sur le premier rayoïi est égal à' son avance suf le second. ,
.Dans le cas trèa-imporCanl^ où ^=5-90, les éijuatioiXs. de condition deyîenïicut. . \ • ., .
6 = Bcos4», 3'=Bsin^.
On voit donc que si, passant au problème inverse, on se propose de^ remplacer nn rayon U = B sin 271 -^ par deux
autre» qui diffèrent de 7X, l'un ayant TavanCe ô et IVutré
le retard 7 ^ ^- />^ <^e qui donne les anomalies ^
2ir?==i}» et \t,
le premier composant serait
>* = B eos 2 TT Ç sin ( 27r -; -ii- 2.7r £ I et le deu^ème
w rzrBsin 2lr^Sin( 21r H+J-
Si le rayon à décomposer avait été pris de la^ forme
U = Bsin| 27r- — .4* j, " ^
ses detix coinposants seraient
U ,=Z B COS 2 TT I- Sm 2 -TT ;- >
u'=i=Bsin 2Tr£sin( 2 7r^ J =— B sin 2»r^cos27r =•
Toutes les fois qu il ne sera question que d'intensités on subornera à considérer les facteurs
Bfds.27r£, Bsin27r^< .
COMPOSITION DES MOVVEHBIITS VIBRATOIRES lOI
§ 93. -: CiOiiipositioii dHm notoSbt^ q[u0lcoiiq[iie de rayons. — La méUipdci..
On donnera à ce problème la tournure suivante, imitée <le la statique :
Onsait qu'en statique, ayant les forces P, P', P",. • m dont la direction est définie par les angles a^fii^j a^^,...QotikptéS'. avec l'aïe des X y on substitue d'aBord à chaque force, ses deux-composantes
iPcosa, j,Pcosa% I • • • I , . .
•Psinoi, ( PsinV, f . ... f" * .
ce qui donne deux résultantes" partielles
lEcQSa^ XPsina,
efqù-ensuite on a la résultante totale- ^
R==y'(2PcOSa)»4-(2P8ina)» :
ayant i»ci une foule de rayons, de coefficients ^^ b-'j &",•••> sachant qu'ils ont, par rapport au premier, les retards o,
/s', p^,... ou les anomalies ,o^ 271^' m^Y^"*' Pour avoir
les deux caractéristiques B et ^ dé leur rayon .résultant , nous remplaçons chacun.d'^Ux par deux autres ayant pour
retards. o et t» ou pour anomalies o et - : les coèfficîentV
des rayons du premier système seront
et celles du second
o, ^sin27t^» ; ^"sîn27r î*- j -«M
la ph^se étant la même pour les rayons de chacun dé ces systèmes,, les deux coefficients des résultantes parti,ellesL sont
. loa " CHAPITRE in. . '.
et oelui <le la ré^taole) dV{>rte la fcrmâle particulière
R=v^6»-+-è'»(pageQ9)
sera
Quant a VâHomalie de ce rayon résultant ," d'après la* formule pariïcuiîère
elle dépçnd de r équation
tang>(;r=
Z^siaaiTr-
Z ^ COS 2 ir ^
Pour trouver sans retard une occasion d'appliquer ces foroudes, et pour alléger le chapitre de la diSraction, nous allons compléter les développements que nous avons d^'à donné» sur le principe d'Huyghens. -
§ 54. — Zones d'Hnyghens.
La lumière an point P est, avons-nous dit (§19), la résultante des ébi^antements que lui envoient tous les points p\ ;)', p"^. . . , de l'onde prise, dans une quelconque.de 6es,po^ sîtions antérieures. Supposons (Jig. i^) que ces points soient définis p^r les équations - '^
les jignes P/?', P^" détermineront sur l'onde sphériqué, eiï tournant autour de CP, un anneau central et des surfaces antiul aires qu'on appelle les zones d'Huyghens. iiCs divers rayons que .les points de la calotte spbérlque
centrale envoient en P, ayant des retards moindres que -»
ajoutent quelque chose à Feffet du rayon CP. iPen'est de mènie des divers mouvements envoyés par les points d'une
COMPOSITION PB» If OUVBIIBIITS VffîRATOIRES. Io3
pièmezone, iU bntenlre eux lous les degrés de concordance imaginables depuis le plus parfait, jusqu^à celui qui inaugure la série des discordances. Mais le& rayons de deux zones contiguës sont au contraire en discofdance ^ vCt s'ils étaient eiiinême nombre dans les deuiç zones , parallèles , et chacun àxhacun de même énergie, îh s'entre-détruîraîentrîgbureùsenient. Mais cette triplé équivalence, quoique bieh approchée, n'a pas mathématiquement Keu : d'une part, l'étendue des zones,' et avec elle le nombre de leurs rayons, décroît progressivement j de Taulre, Téoeirgie de leurs rayons dé^ rivés s'afldibtit. Bref, si t ,. b\ b"^ . . . , sont les coefficients de vitesse 'd& la résultante 'des mouvements que chacune
envoie , B vaut
Avant âe chercher cette série 6 à L'aide de nos formules , lâchons d'obtenir sur elle, par des moyens simples, quol-^ qiies renseignements.
La petitesse de - fait qtte,daa^ les conditions de nos expé-
riences, la triple, dégralda lion que présentent les mouvements vibratoires des zones est lente et que deux anneaux cont^us envoient presque la même lumière au point P. Cette équivalence est surtout admissible pouir les derrières zones qui , en outré', par suite d'une grairde obliquité , n'envoient plus qu'une ktmière insignifiante. En t^a^i compte .de cette faiblesse des derniers rayons et de leur -meilleure compensation^ on n'a plus à chercher si le,nombre des zones est pair ou impair et on peut considérer. la série .
convoie allant à l'kifini. Nous allons en conclure avec Fresnel qw te mouvement de chaque zotic es| détruit par ia moitié des mouvements d^sdeux zones entre lesquelles eHe se trouve : qu^'aînsi ^ les mouvements épargnés et la lumière se ré<k|iset|t, les uns à mqitiéde ceux du premier anneau , et L'autre au. quart de t'- . ^
to4 GHWIT«É m. '
Soient en eifet «
/,-/-- Al, / — 2 Ai 4- À'/...,
les surfaces des.?u>nes d'Huyghei^s et Ic^ valeurs moyenne^ lentèmeat décroissantes des coefficients de leurs vibra tÎDiiSk, les vibrations réaultahtes seront proportionnelles aux.pfo-^ duits . ...
la demi-somme du premier et du troisième vaut
Jii ;— {i%s 4- ^ A< ) "*" ir-sà^i^^i A*^ — iiài as K • • 5
le prpduit intermédiaire est
si — [i às-\^ sAi) '^- àiàs^
Leur différence est donc une quantité pelî te du second ordre. La, somme des erreurs de ce genre obtenue de proche en proche) en très^r^nd nombre, nemonlera qu'aune quantité , pelite du premier ordre et peut être négligée. Si ai^ çonv traire gn voulait réserver tout }e mouvement b de la première zone et détruire A' par b"^ b"' par i*^, . . . > les diffe* rences b^-^'b'\ M^-^t*^,. .\, seraient petites du preiàier ordre e^ îeursomtne donnerait une erreur comparables &.
§ 55. — Multiplication 4e lumière par récràh de Fresnel.
Si on obstrue , par un écxân construit avec soin , Içs zones aj4.î S>'« • • 5 de manière à ne laisser parvenir en P que les mouvements concordants des zones i, S, 5, 7, . . * , on aura uï) accroissem^t prodigieux de lumière. Fresnel a fait construire un écran de ce genre. Pqur notre S3lley longue de 10 mètres, et pour des rayops rouges ,^ la largeur de là deuxième zbpe ^elle est maxima quand Qp ==: pP) atteint presque undèmî-millimètreet nousavons purexécuter: en la ^utenantavcG miepetite tige {fig* 33), on obtient au pointPy d'aîiiord toute la lumière de U première zone, puis le qùart^
GOMPOSmOU WS VOttVJSIf RUTS VIBRATOIRBS. I oS
de celle de la troisième, «^est-à^dire environ cinq foi» plus de lumière que sans FécraiK ,
§ S6. — £clakemeQt du centre de rombre 4'mi disque opaque. Noué prévoyolis de même, qtf au centré, de l'ombre géométrique obtenue derrière 'im petit écran circulaire , on aura sensiblement la même lumière que siPécrann\existait j>as. En. effet Fécrari suppritue un certain nombre de zones', plus une fraction de .zone ^ leâ mouvements qpï restent doivent être groupés en nouvelles zones, dont la première est à demi épargnée. Or, si Fécràn est. assez petit pour que cette première zone ne soit pas d^iin ràng^eyé,
le quart de/a Itunièrfe ne ditTérera sensiblement pas de j&*«
§ 57. -^ Obscniité ai^ centre, du cercle Itûninenz Aùm^é jrar . un trou rond.
Le centre de la tache lumineuse circulaire qu'on obûent,. qu^ndon place devant un point lumineux un écran-opaque percé d'un trou rond , peut*ètre parfaitement noir. Il suffît pour cela.que le bord du trou corresponde exactement à }xn nombre pair de. zpiYes, c'est-^à-dire que l'oii Biv{Jig. 3») ,
Po» — P,0 = 2/1 —
Derrière un trou quelconque on trouve. toujours plusieurs distances pour lesqui^Ues cette condition ^t satisfaite* Si on appelle q! et S les. deux distances C^, /^P, la différence Pu) — tPj? vaudra à très^peu preste^ deux sinus verses .w, OT , et Téquati on précédente deviendra
Eti mesurant r, rayon de l'ouverture , et les distaiices «> 6 , et en partant d'une distance & assez grande pour ne pas manquer la. première tache nOire, on connaîtra n ei on pourraiirèr de réquation précédente une bonne valeur de h
io6 -eHAHTIlBai.
SsB6 tu>u£ arrêter k tirer" simplemenf d'autres 4îou6é^ quences du princi|>e d'Huyghèns^ arrivons aait ealçalr<}ui donnent, avec plus de précision, celles qui jH:*jécèdent. -.^
§ 5&. -: -Coiapositioai das pouTemaj^ vibraUurva àjuMcié» par la dérivation'. — Le calcul.^
Puisque Tefficacité appartient surtôui au^' preaiiere& zofiès, puisque les zones. dVn rang un p^u élevé çessiont de contribuer^ sensiblement à la lumière d^ point P, , il j^uit . que Ton peut .eonsidérer comme parallèles les rayons envoyés par.l'onde et appliquer à leur composition les formuler précédantes. ' .' • . •
Associons {fig. 32) au rayon Cp, pris pour axe des z^ deux axes rectangulaires jyX, pY situés dahsie pW tangent À l'onde menée par le point p^. et soient x, j^ z les coordoïinées d!un élément e de cette onde situé dans Tazimut CeP : pour deszonesd'un rang aussi peu élevé, snedîfïérera sensiblement pas de sa projection dxdy. Si donc on désighe •çArf(9) )a fonction suivait laquelle le niotpvèmenl dérivé s'atténue avec Fangic d'obliquité 9 qui sépare sa dîjl'ectîon sP de e^, ïa vibration, envoyé^ parl*élément e en F sera déjà proportionnelle à dxdyf{&). Si nous représentons par t Iç coefficient de vitesse sur la spbère de rayon i ,' sur la .
sphère de rayon a il sera - (§ 7) ; mais le principe d'Huy^
gbcns, en faisant, de chaque point de Tonde, un centré d'é-' manacion , atttorise à étendre aux mouvements-, dérivés dans une même direction ; la même loi de dégradation : dont 'sur les sphères secondaires de rayon 6, le coefficient
sera encore réduit dans le rapport -• Somme toute, la vibra*
lion en P issue de l'élément t sera
Son reta]:d vaudra eneoro sonsiblemciu la somme de d^nx sinus verfies,«que Ton pouiyra évaluer approxim^^Hvement
COMPOSITIOIII DES MOlUMOBSTS VIBRATOIRES. 107
en attribuant aux deux arcs une ^éme Valettr, i savoir ta;
corde p s = sjoc^ H- j"* -H- -?* de l'un d'eux 5 mai* z est si petit, dans les conditions. admises, (pf on peut le.n^tiger et adopter pour le retard l'expression
L'anomalie de ce rayon ^era donc
et si on le trftusforme en deux autres qui aient pour anomalies© et- 1 leurs coefficients seront " *
-±dir4r/{Ô)coSTr^(i'4.r>T.' '
£n étendant la même opération à tous les éléments de Tonde, le carré de TâBiplitude de la résultante générale de tous les mouvements, c'est-à-dire Hutensitel de la lumière eô P sera
r anomalie du raydn résultant sera.
tang \|» = y y» * ^~ë"^~~ — ^ '
Pour les premiers rayons, l'atténuation due à Tolxliquité est msigif liante *, les mètnes motifs qui nous Ont permis d'étendre à tous^ le parallélisme approximatif des plus i'n-^ fluents, nous avitoris^nt i négliger entièrement Tinégalité
lo8 ^ C^APltRE m*
iatroduite par la dérivalioitei à.pdsef
La solutioiit du problème dépend alors des deuit intégrales
développant les lignes trigonométriques , la première donne
el la dernière
remaK[uant que a: et ^ sont séparés, et représentant par les lettres A, B, C,D chacune des intégrales simples, on a IfBs expressions \
-~ A/x sin TT ^î-^ ^' fr^r sin ff
/ jf^a,sm.--^.r'J4rcos.^^j'' ,;
r/lrcosTT— --0?' I rty^ sinTT— gr--J^'=CEH- AD,
eli âevant au carré pour obtenir rintcjnsit<é, les doubles produits se détruisent et il reste. " ' "
COMPOSITION DES MOUVÉHfilTS VIBRATOfAES. 109
£nfiil^ quand les limites seront les mêmes pour x et pôurj^, quand y . pai^ exemple , la pdriiçm de l'onde épargnée autour du rayon C^, sera un carvé dont les c6tés soient didgés suivant les X et les ^, ou encore quand il s'agira de Tonde en* tîèré, on aira A === Bj C = D, et, parçonséquetit,
Dans tous les cas., 1«B intégrales en y portant stu* les mêmes fonctions que eelle& en jp , le problème se ramène à l'intégration des deux seules expressions '
Posons , .
, *1/f — sr- = <'i/-» d'où/ rfa: = rfp4/-^- —5
elles s'échabgent contre les deux autres ' ;
^ On ne connaît pas l'intégrale générale des expressions différentielles ••
. </p cos - p^, fift' sm - t'' ;
mais on a trouvé (note A) que ^ soit entre les limites o ,et 00 , soit entre les limites -—^00 et 0, elles avaient toutes
deux la valeur -? et, par conséquent, entre leslimites— *oo
et--H-QP la valeur i. Cette connaissance ne pi^rait guère de^ voir profiter à notre question , puisque, daàs le cas le pitts large, quand qn prend Pondje entière, les limites s'arrêtent au-c^e enveloppe mené par le point P, et correspondent à des valeurs finies de a: et de jir. Cependant Freanel remarquant qu^l n'y avait aucun inconvénient à étendre les zones d'Huygliçns à l'infini, puisque une .telle hypothèse n!introduisait dans rintégrajie^ à la suite .des éléments vrais, que des éléments ég^ux et design^ contrair<e qui ne uiodifîaient.
sm •
psLsàè& 1ers U ^mine Ae& premiers *ëléine«il8y en 9 çopclu qud pour avoir réclâirement oornuJ en P, il fallait préndi^ les intégrales cindessus entré les Umîtes — 00' et • -f- <» , c'est-à-àirepo«er > ' . * -
• > L'intenailé donnée, par 4'onde entière vaut donc. î=À*-+-e-hûA'C? = 4A*=:4l I- dbrcqsir-Tgpar», \
puisque entre ces limites l'intégrale du sinus a la même valeur que celle du cosinus : il vient
Et si Ton rétablit le facteur --3*^ on trouve enfin , pour I \
l'expr^Ê^sion ' .
qui est, comme on devai^'y attendre^ indépendante auasi bien du rayon a dé la sphère sur laquelle il nous a plu d'appliquer le principe d'Huyghens , que de la distance supplé- . . mentaire 6, et qui ne dépend que de la spmme a -f- £.y di#,- 'tance totale, à laquelle elle reste .Ué& par là n^èmé Ich de. la. ï'aison inverse du carré. On a en outre -
. CB-^-ÀD A'+A\ .\ V ^/ , ^
*^°«+=^ÂB:rcD=^A^=T'==^-^/*'-*^^^ +=r
Ainsi le rayon résultant a pour coefficient -"-r^ et il est en
. retard'de j X sur le premier rayon CP,
' S 6t, > Autres expression de la rééultaste. - On peut diriger autrement les' calculs précédent^ et obtenir des' formules précieuses pour le cas oh'Xéi portion de ronde^tflisée sera de révolution» autour de CP.
GOMPOSITIOU BS5 iUlVVBMfeacrS VIBRATOIRE». fil
Soit-i h dislaiice sf,^^y^^ d*un point quelconque mi point p : totts les niQUTetfiêEitâ d^ PàBiieaù.âTr^^/f <mf 1^ rnètne retard . - > ; -
OU la même anomalie tt 5* • - ■ ; il s'ensuit que rîiiteiïsité en P sera , ^ , . '
etla phase du rayon i^ésultam . -- ■■.
irsds COSTT — ■^-— s'^ {26A
îcî les iiitégraies s'efTectuent et l'on a
I 2 7rii
a -+- 6 , aê). . «-+"€«-.
Jl/S ces TT ■'' ■, J* = s Sitt TT ^r- -^^ <^9
^€a a -h o aoA .
T.'Ksds smir — --— j'= 2 COSTT — sr^^ -h<?.
Pour avoir la lumière de la première zone d'Huygliens^ les limites seront
ce qui donne
* = 0 et j* — —^ = -^ » aaê 2
« 4-6 lang 4» = — == oû j
c'est-à-dire que le rayon résultant éclaire quatre fois jÀits
t/UiÇ si tonde était libre, et quil est encans en retard de y
Ob' troaretait'le iqênie résnltat en prenant troid zràie» ou^ pl\is génëral&inent^ uh nombre îeniier mais impair de isônes;
lia . - OHAPmttî m. '
On voit ici que cette moitié réseryéç de ia ^première-^one , d' Huyghens , qui constitue 1' ^clairement norçc^al^ doitse conir poseï! d^éléments unifbrmétnent disséminés dans la zone . entière.
Si le tl'ou circulaire occupe juste les deux premières zones où plus généralcfment un nombre pair de zones, les limites
seront
pn trouve alors J =^ o.
Si au lieti de prendre aiinsi pour s des valéui^B particulières, nous le laissons quelconque, les limites scrit)'nt * = o; 5'== r et rintensité Vaudra
ou bien sin^plement
si l'on ne prend que le rapport entre réclairement obtenu et la lumière normale. On aura aussi
.eos^-^^.+ . , ^;^g ...
Si la lumière est blancbe, la teinte s'obtiendra en faisant la somme des expressions analogues données (a et 6 restant les mêmes) par toutes les valeurs de ^5 et, elle sera repré- . sentée par le symbole
^sin'^
On chercherait en vain à réobtenir^ à. l'àîde dé' la noii" velle formule, T^lairement normal /car les hypothèses
5 *=;: 00 , »^ siî:.— qo donnent dès valeurs indéterminéea. . .
COMPOSITION J>F;9 MOUl'EMBNTS VIBRATOIRES. Il3
§ 60. — L*éclairement central de l'ombre da disque opaque, Xustifié par le calcul.
Pour avoir Téclaif ement au centré de l'ombre du disque circulaire, il fisiut chercher le rayon qui, en se superposant au -rayon résultant d'une ouverture égale, restituerait le rayon. résultant de Tonde illimitée. Ce dernier a pour paramètres et -; Tamplitude de Tàutre est ^
et sa phase
l . ira-f-€ 2 i-sm -rr^^S
a -H o 2 abX
TT a -4- 6 2 1^ ^'*
ce qui donne au premier rayon résultant rânomalic
TT / a -h € \
le problème qu'il' s'agit de résoudre correspond à cet auti-e de statique : jiyantune résultante Bj, une de ses composantes b et V angle y qui les sépare, trouver en grandeur et en position la deuxième composante. Or on sait que cette dernière force est la résultante de Bj et d'iine force égale et opposée à 6, de sorte qu'on l'obtient eja posant
dans les formules générales
B'= b^-h ^"H- 26^'cos<p, sinB^= ô^^"?»
qui deviennent alors
B»=Bî-+- A'— 2^B,cos<f , sinB6,::=sin^
v/^'-f-B;— a^B.cosy Ici , les analogues de &^ Bi, 9 sont
' \ .7ra-+-6, \ TT/ a-h6\
2 — '—;; sin —-^ /' . el - i — — r* | :
a + € 2 «6/v a -h 6 2 \ aêX ./ \
Il4 CHAPITRE III.
donc on a^^our l'inlensité du rayon chercha
Ainsi déjà V intensité de la lumière est la même que si le ifisgue n'existait pas, et ce résultat étant vrai pour chaque couleur, la tache lumineuse paradoxale sera blanche quand on usera de lumière blanche. .
Pui'sque B = B, , on a
. -:-— b , ira-hê , . ira -f- 6\ . a -^^ ^ ,
sinBB,== — sm»=cos ir— r' . 2 sm — -H=smir — sr— /•%
B, ^ 2 aêA 2 aêX a6>
d'où
aSV
La phase entière du rayon s'obtient en ajoutant- et vaut
Mais
TT-
aê>
est le retard du rayon qui part du bord du disque ^ on arrive donc à ceci que : le rayon résultant est en retard sur les
rayons qui partent du bord du disque de -r : c'est-à-
. dire qu il part du milieu de la première des zones dHurygliens formées depuis le bord du disqjue.
On peut substituer à cette synthèse l'analyse suivante que nous nous contenterons d'esquisser. On a
I = ( I 2 TTsdscos n — — — s^ \ — — -
Mais
•//• e/o VO
COMPOSITION DE» MOUVBVfiNTS VIBRi%Tpini5S. r 1 5
foc , appartenant à l'onde entière, n'est autre chose que
l'intégrale double in tegrahle " ■
ou>à causede Tidentité des limites, =: A*-*- A* .On aura de même) en place de la deuxième iate^ale simple en s^ illu* 'soire pour les limites oet 90 , l'intégrale double .
CB-f.DA = 2A% de sorte que
HËfifectuant les intégrales entre les limites o et r et se rappe-
lant que A' vaut sr > on trouve
if
c'est-à-dire réclàirement normal.
En procédant aux mêmes substitutions dans F expression de tang^^, on arrive sans peine à
tang4/=— cotTT — -— r», d'où ^^ = ^r — —- /•'-}--, •^ aSA «Sa 2
comme ci -dessus.
§ 61.;^ Diffraction avec la lumière convergente. Les phénomènes d'une petite ouverture circulaire {leuvent s'obtenir avec une grande ouverture, mais à la condition qu'elle soit recouverte par une lentille convergente L d'un long foyer F, el quelles diverses positions données à l'écran s'éloignent peu du foyer P ye/s lequel concourent les rayons rendus conver- ■ ' ' ■ - ' 8. . ■
Il6 CHAPITRE III.
gents^y^^. 34)* CoDsidéroDs eu «ffel le point Ë distant de P de la petite quantité s , les divers mouvements, qui y arrivent d'après le principe d'Huyghens, cesseront d*y être d'accord : en décrivant des points P, E, deux circonférences C/w , C/ï qui passent en C, çt se rappelant (§ Sf) que les chemins dirigés vers P (ou sans erreur sensible vers E) et estimés, pour les divere rayons, depuis le point lumineux jusqu'à la circonférence nrCy sont équivalents, on voit sans peine que le retard d^in rayon c^ielconqne /ii| £ sur le premier rayon CE est sensiblement /77, /?, ou sa projection m'/i'. Pour Vanneau 217 sds le retard est donc C/i' — Cm', c'est-à-dire
2(F^e)TrF""2 F(F-^e)'
ou erifîn ^— pi^isque s sera très-petit vis-à-vis de F.
Remplaçons encore le faisceau annulaire 2 itsds par deux rayons
dont l'un soit d'accord avec CE et l'autre eti retard de 7 • L'intensité
résultante vaudra
/ J2 7rsdscos'^^\ + i /2ir.ç^5sin Y^ j : effectuant les intégrations et passant aux limites o et r, il vient
2V t* f 77rU\ 4 VF*
ff 7^ e - sm'
On aura donc des points noirs pour les valeurs équidistantes de e données par les équations
les valeurs jp-terniédiaires; \
donneront au contraire des maxima.
Les ou-vertures des objectifs à long foyer, îiécessaires à ces expériences, sont trop grandes, et l'expérience a montré qu'il fallait
COMPOSITION DES MOIIVEIIEIIITS VIBRATOIRES i ir^
les réduire à ne pas dépasser 2 pu 3 centimètres, par des diaphragmes circulaires appliqués sur l'objectif. Avec cette réduction y les points obscurs deviennent sliffisamment distancés, et le nombre des rayons est encore assez grand pour que les expériences réussissent bien avec une étoile. Quand on a mis l'astre au foyer delà lunette, il'suffit d'enfoncer ou de tirer Toculaire pour obtenir les alternatives d'éclat et d^obscqrité. Autour du disque central noir oï^ brillant, on découvre d'ailleurs, comme avec la petite ouverture circulaire, des cercles alternativetnent obscurs et lumineux. La position de l'écran qui donne centre obscur varie avec la longueur d'onde. Ainsi quand on se donne •
F = 1 000 millimètres , r = 1 o millimètres , si on suppose tour à tour
X = o,ooo5, X'=o,ooô6, on trouve
f =^ 10 millimètres, e' = i a millimètres.
Avec le petit trou, l'achromatisme des tiiches obscures et brillantes est bien autrement imparfait. En effet, si nous nous reportons au § ^7, nous voyons d'abord que Fouverture qui donnerait à une distance § == ipoo millimètres le premier centre noir, aurait pour rayon (on suppoée le point lumineux à l'infini)
r =; \^2€X = v^2. iooo.o,oooS =; 1 millimètre.
Si alors on suppose ^
X=o"™,oooÇ,
et si l'on calcule la distance 6:1=— qui donne, avec cette ouverture
et pour ce nouveau rayon, le premier centre obscur, on trouve 6== 833 millimètres,
de sorte que l'écran se sera rapproché de 167 millimètres au lieu de 2 millimètres!. .
Mais n'oublions pas que si la solution est complète, dans les deux cas du disque et de l'ouyerture circulaires, eela n'ajieu que pour les points situés sur la ligne centrale CP. Dès qu'on s'en écarte, les limites cessent d'être un cercle concentrique au premier rayon et les calculs n'ont plus le même succès.
liS CHAPlTRB'lll.
§ 62. — t^onstructioii des intégrales définies de la diffiraction. Nous terminerons cette longue étude en construisant (fi§. 35) les
expressions
7 = sin^c'%
y ^= 1 dv cos - v^y
y z=z i ^f ,sin -* i»?, .
et enfin l'expressioi
rf,.cos^.A + (-+f
que nous devons retrouver en diffraction, puisqu'elle y exprime l'intensité de la lumi^ dans divers phénomènesétudiés par FresneU
Les premières expressions sont les ordonnées de courbes serpentantes dont les spires se resserrent de plus en plus et dont les élongations constantes atteignent toujours les deux droites a'V% o" y" parallèles à Taxe des p, menées aux distances 4- i «t — i . Ce qui rend ces courbes admirablement appropriées à la question, c'est que les surfaces comprises entre l'axe des V et les spires sont, comm^ les zones d'Hnyghens, alternativement de signes contraires, et convergent comme elles non-seulement vers l'égalité, Vnaisencore vers aJéro. -
liCS expressions (3) et (4) sont des surfaces râpiportées au carré Oo'Di pris comme unité. Pour, les construire comme les précédentes , par des courbes ^ on représente l'unité de suHaoe par 11 rie ligne arbitraire. Nous- avons pris la ligne OA qui est assez
COMPOSITION DES HlOUVfiliEilfTS VIBRATOIRES t rp
grande pour que ces nouvelles cOurbes ût se mêlent pas trop aux preinièpès,. On a des courbes serpentantes dtïntles pHs se resserrent ^ comme dans les courbes i, 2, mais dont les étprigationss^attémient et cjnï tendent dès lors à se confondre avec une pàrallèiè &ax v
menée à la distance- AO == 0,5. .
J^ous verrons en diffractiçn ( § 101) que la détermintition'miméH riquè des eiipressions (3 ) et{4) ^^t du plus haut intérêt. On pourrait les obtenir en relevant les surfaces comprises entre l^axe des i> et les courbes i, a, à l'aide d'an réseau* de petits carrés égaux qu'on placerait d^ssusLces courbes. On compterait le nombre de carrés exactement enfermés et^n apprécierait les fractions incluses de.ceux qui seraient simplement entamés. . , . .
Les expressions (5) et (6) reproduisent avec exagération les allure des précédentes. Leur maxima et lei^r minima répondent aktLX mêmes valeurs de p. £41esse rapprochent indéfiniment, leurs plis s^'atténuant , de la parallèle aux p distante de o ,25;
Eniin la courbe 7 se déduit des précédentes par la relation
j=-^-+-y-4r r rfi'cos-t^'-f- I rfPSm-|/2 H-( I - dv CQS- «'^ I -f- I /. dv sin-* c' \ ->
U ' ^ / Vo /' /
c'est-à-dire eii ajoutant - à la somme des cpiàtre ordonnées cor- '
respondantes des courbes 3, 4> 5, 6. En la construisant, nous avons, pour, abréger, tenu compte des valeurs assignées par Fresnel aux maxima et aux minima qu'elle, présente. L'atténuation de ses spires la rapproche indéfiniment de la droite j =:= 2 qui représente réchdrement normal. ~
Si l'on construisait une huitièipe courbe ayant pour équation
j. = ^i .- jf ^. cos^ .^ j + ^-' -r jf ^.sin l «^ |, .
on la trouvjerait dépourvue de maxima et de minima.. Nous y ferons allusion (§ 105) quand nous étudierons l'invasion de la Uimière, à l'intérieur de l'ombre d'un écran recliligne. >
I 2a CHAPITRE m.
Dans notre figure ies courbes i, 3, S, spnten traits interrom< pus. Les courbes 2,49 6,. ainsi cjuç la courbe finale 7, sont -for-mées d'un trait conèinu. On« écrit près de chaque CQurbe, en deux end.foits;difTérents, $on numéro d^ordre. Le long de Taxe desv on trouve en caractère^ plus petits la série des chifîres t, 2, 3*, 4v--> : qui indiquent des abscisses croissantes. Pour éviter'' urne' figure tro}) compliquée nous nous sommes arrêté à <> =± 4^ Au lieu de pousser nos constractions jusqu'à p = 5 ,5 ^limite à laquelle Frestiel a étendu ses ealculs. Enfin le long de Taxe des ^^ oh t-rouve (Fatitresxhiffres qui indiquent désordonnées croissant par dixièiîics. ils se rapportent à Tunité dé surfaces représentée parOA, et par conséquent aux x ^<*s cinq dernières courbes. Ils servent surtout à faire apprécier les valeurs extrêmes des 7 de la septième courbe.
g 63. -r Tranches de FresneL
Après avoir supposé longtemps que la réflexion de la lumière <'tait produite exclitsivemrnt à la surface des corps, Fresiiel a été conduit à admettre dans ce phénomène, le concours des particules placées à leur intérieur.
Quand le corps a une diaphanéité parfaite les^ particules peuvent sans doute, quelle que soit leur profondeur, prendre part à la réflexion ; mais le principe des interférences limite , comme il suit , la réflexion à une > mince couche dont il est facile de trouver Tépaisseur. ^
Décomposons, çn effet, le.cdVps en tranches minces analogues aux zones d'Huyghens , et telles, que les rayohs extrêmes d^u ne tranche
aicnr la différence déroute-» Si les distances des particules sont
assez petites vis-à-vis de - pour que, dans deux tranches consécutives, chaque particule ait son homologue , il est visible que les mouvements de ces tranches s'entrèr-détruiront et qu-il y aura lieu de chercher quelles portions des mouvements des tranches extrêmes seront épargnées.
Les tranches n'o(rrentplus, il est vrai, aucune des trois dégradations offertes f)ar les zones d'Huyghens, mais elles n*en ont pas moins des énergies décroissantes, puisque le mouvement qui
COMPOSITION DES MOUVEUENTS VIBRATOIRES. i af
atteint xle proche en proche les tranches éloignées s*afiEaîbh*t- par la réflexion même : puisque, si le milieu n*a pas i^ne diaphanéité absolue^ il s'affaiblit encore par, une extinction graduelle. Bref, il faut mettre^n réserve la moitié de la première tranche. Le mouvement réfléchi est donc un mouvement résultant qui aura sur le premier mouvement élémentaire, réfléchi à la surface même, un retard qu'il -s'agit de calculer.
Si nous considérons que4e mouvement réfléchi par une particule
située à la profondeur x est en .retard , non pas de x mais de 2 Xy
' notis voyons qu^ pour obtenir dans une tranche toute la série des
retards comprise depuis zéro jusqu'à -? il suffit de lui donner l'épaisseur y* Oii prévoit de même que la résultante aura pour point
de départ le milieu de la première tranche. Le calcul suivant, met hors de doute cette assertion.
Le rayon réfléchi à une profondeurs auf a l'intensité bdx et le
retard 2 j:ou l'anomalie 2 7r-^*'Sron le remplace par deux rayons
dont l'un parte de la surface^ Kautre étant en retard de j? leurs coefïiciients seront *
£>i/j;cos-ï— — r , bdxsin . >
rintensité résultante de toutes les tranches élémentaires sera donc et la phase ^ sera donnée par l-équation ^ '
. ^7tX
tang-vp =:
bdx cos ~ —
è est en général une fonction de x qui pourrait bien être une logarithmique. Ce qui est plus certain, c'est que les corps offreiit [es deux cas extrêmes de b sensiblement constant et de b- rapidement variable. Attachons -nous d'abord au premier cas. En effectuant les
122 GHiknTRB III.
intégrales et les prenant entre les limites o et or , on obtient
