I -7- cos - I
Les deux séries M, N sont divergentes, ainsi qu'on le reconnaîtra sans peine*, cependant leur emploi peut devenir utile, si, comme nous le faisons ici, on les limite à un certain nombre de termes, et si l'on peut trouver une limite.
1721 GHAPITHE V.
supérieure du reste qui les compléterait^ car il suffira que
ce rbstene dépasse pas T approximation à laquelle on désire
• s'arrêter dans leur calcul numérique. Or, si l'on suppose,
sous le signe somme, cos - f^' constamment égal à Tunité,
les éléments de l'intégrale, d'une part, seront tous accrus, et de l'autre seront tous amenés à avoir le même signe ; donc on aura une valeur exagérée de l'intégrale. Mais cette
valeur I — j est égale à
on a donc le reste
c'est-à-dire moindre que le terme auquel on s'est arrêté dans la série N. Si on avait intégré un nombre impair de fois , le dernier des termes utilisés eût appartenu à la sérié M, et eût à son tour servi de limite supérieure à l'erreur. Donc, en général, l'erreur commise par l'emploi des séries, quand on les limite à deux termes consécutifs , c'est-à-dire chez lesquels les indices de mue diffèrent que de deux unités , est moindre que le dernier de ces deux termes.
Or il arrivera (voir la note B) que, dès que m atteint et dépasse a, les séries offrent, après des premiers termes appréciables et avant, le retour des termes énormes dus à la divergence, une sorte d'interrègne marqué par un certain nombre de termes insignifiants. Il suffira donc, pour avoir de bonnes valeurs des intégrales définies , d'arrêter les séries au premier de ces termes insignifiants^ il y a plus, la. valeur du dernier terme employé donnera, «inon le signe, au moins la valeur absolue de l'erreur commise.
DIFFRACTION. 1^3
On aura par des calculs analogues (i). • f rffsin -p'='' cos-p*. I— cos-p',
J 2 ITP 2 ' n J v^ 2
, , /•fl^W TT , I . TT , 3 /•</«' . TS ,
(2) I ^cos-ï''= — ;Sin-P^4-- I.— sin-i;%
Jp' 2 trf^a 1^ J ^ 2
(^ j / -- sin - p*= ■ cos - 1»' I -- cos- I'*.
JP* 2 TTP* 2 T^ J ^ 2
(2/î — i) I -- — rsin-p2 = ■ — -cos-p*
^ ' J p<(B--i) 2 frp*"~^ 2
(in) I -- — cos-j'' = — 7 — ;Sin-c'
V / J ç^n—i 2 TrP*"-' 2 .
/dp . n ^ -r sin-V;
d'où
«psin-p'= cos- p' 2 2
-4- sin - p' ( ^ ^ , ,
i.3.5.7...(4/»~3)(4/»-i) C±.\r.1.^ On a encore
/dv , TT , — sin- p'.
Jo */o «/m ^ •/qo
= M cos- m^ — N sin - m*
i:3.5.. .(4/1^1). f'^^i' . TT , i-! i' I — Sin - p*.
TT»» / i'^" 2
I ^4 GHAPITRE V.
Maïs le dernier facteur du reste,
sm- t'?,
est moindre que
f^ dp I
donc le reste est moindre que
c est-à-dire moindre encore que le dernier des termes employés dans celle des deux séries qui va le plus loin. C'est à notre ancien camarade d'école M. Quet, actuellement recteur* à Grenoble, que nous devons cette manière aussi simple qu'élégante de trouver le reste des séries de Cauchy. Fresnel a calculé les cinquante-quatre valeurs que prennent les deux intégrales qui précèdent , pour des valeurs de V croissant par dixièmes depuis \^= o jusqu'à ^^ = 5,5. En combinant ces valeurs numériques, conformément aux exigences de la formule qui représentera l'intensité, on obtiendra un nouveau tableau qui pourra révéler, malgré sa discontinuité, l'existence des maxima et des mînima , si le phénomène doit en présenter, et pourra même en donner par l'interpolation arithmétique la situation approchée. Mais, comme les vérifications expérimentales rendent nécessaire leur détermination très-précise , Fresnel y arrivait par des méthodes d'interpolation plus sayantçs. Nous renvoyons à la note C le lecteur curieux de prendre une idée exacte de ces laborieux calculs. La note B lui montrera comment les formules de Cauchy, héroïques pour calculer les deux derniers tiers de la Table des intégrales définies, sont impuissantes quand il s'agit des premières valeurs ; de sorte que, même aujourd'hui y la marche .suivie par Fresnel ne peut'ètre entièrement délaissée. Mais si bes nouvelles for-
DIFFHAGTION. 1^5
mules ne peuvent régénérer que partiellement le calcul des intégrales définies, ejles.intrx>duisent^ ainsi qu op le verra, une com^plète transformation dans la recherche des maxima et des minima (noteC, § 5). •
§ .101. — Franges du l^ord d*un écran rectiligne indéfini. Dans ce cas il est facile d'échanger la. formule I = A>B^+C'D»-|-C«B> + iV»f>» (S»8),
dans laquelle ÂB, CD , GB, AD sont au fond des intégrales doubles, contre une autre qui n'ait que des intégrales simples. Décomposons en effet Tonde en fuseaux infiniment minces par des méridiens parallèles au bord rectiligne, lesquels admettent, comme cercle équatorial, F intersection AF de Tonde f^fig. -53) par le plan CAF mené du centre d^ émanation normalement au bord rectiligne, et considérons un quelconque de ces fu«eaux caractérisé en grapdeur par Tare ds suivant lequel il coupe cet équateur et . en position par Tare Am =:z s qui sépare Télément ds du bord rectrligne. Nous aurons la résultante partielle de ce fuseau en supposant dans les formules générales du § 58 x = s constant, et intégrant depuis j^ = — oo jusqu'à ^ ï= H- 00 . Il viendra , puisque
a-4-6 , . . a + 6 as ces ir — -rr^ as\ ds sm tt . .. .r. aoA abA
sont des constantes,
1= [ilscosit — -— 5«B--^.vsin7r — —-^'D ) --^ .\ aêX a5> ./ a' 5'
/ «-4-6 aH-6\'i
.+ ( €Ùl sm TT — — f'B + ds cosir -zr- J'D ) ~-^«
\ a6X aQÂ / a'Ç'
Mais entre les limites — oo et -h oo on a
donc
= — : TT l 2 cos'ir sr— j'
+ 2Sin*ir — — — j
Ids'
de sorte que déjà Fintensité est proportioDuelIe à ds*, ou le coefficient de vitesse à ds.
Maintenant ou a
( costt. — — — s^ — - sin IV — — — s^ I
\ aCÀ a6X /
or on sait que
sin z + CCS 2 tangz-hi . ,^.
■ — = — 5 = tang(3 4-45),
cos« — sinz I — tang2 ^^
donc la phase du rayon résultant est
Mais TT — T-— est la phase de l'arc équatorial ds^ donc la ré-
sultante d! un fuseau a un coefficient proportionnel à son arc équatorial^ et est en retard^ sur la vibration qu envoie cet arc^ d*une quantité indépendante de l'épaisseur du fuseau et constamment égcde à ^* Donc enfin la composition
des mouvements émanés des divers fuseaux se ramène à celle des mouvements qui émaneraient d'autant d'arcs correspondants, pris sur un cercle concentrique aii cercle AF,
et antérieur à cette onde circulaire de tj* Mais cet arc diffère si peu de AF, qu'on peut sans inconvénient opérer sur ce dernier. Ainsi tout repose sur. le calcul des maidm.a et minima de l'expression
qui dévient, quand t>n pose
TT.Ç' i ^= -"'
aSX
comme ils correspondent aux mêmes valeurs de i^ que ceux de l'expression
les. cinquante- quatre valeui's calculées £iuffisent aiiiplemettt à cette étude 9 car elles contiennent séptma:xi1na et autant de minitna, nonvbre qui dépasse celui des franges appré^ ciables (*).
Soit i^t^ une des valeurs de v qui donnent un tninhmim: La valeur CQrrespondante de s , donnée par réquatioh ■' *
aSX 2
sera
et les deux- triangles semblables CMA^CI^,.. donneront pour la distance PT == X« qui sépare cette frange du bord
{*) Pourquoi faut-il pousser jusqu'à des limites aussi étendues ( f = 5,5 ) le calcul des intégrales définies? Gela tient' à la relation
-ê) Eaçfl'et soit#| la valeur de s qui donne tin retard de -^ A, on aura
*? ( 1 — r^ I =-y X. c'est-à-dire *î = —7— 7^»
c*està-dire que 5 z= f^,. On voit donc que, quoique t» prenne des valeurs assez grandes^ l'intégrolef n'est cependant poussée-que jusqu'à on arc 5 assez faible.
