I. ~ . jy

178 ÛHAPlTWtV.

(le Tonibre géométrique , • ^

X«,= .f«-r =^*'mi/-- —

L*interpoIatioB (§ 100) donne pour la première frange

on a donc ^

= i,8,Sy^

(a-tr€)6X.

aa

En variant a, ê, les diverses valeurs de X/X',... , gardent un rapport constant marqué par celui des deu% radicaux, de sorte que la disposition de céà franges est invariable.

§ 102. — Inexactitude de \9l théorie de Toung.^

Le célèbre To'ung avait attribué les franges qui nous occupent à t^inlerféretice de deux rayonâ,' Tun^îrectet rà\Ltre réfléchi sur lel>ord de Féeran. Elles étaient ainsi identitjues avec les franges belles et .nombreuses dont nous avons parlé (§ 40). Cette théorie, qneFresbel avait d*abord adoptée, donne pour la première frange brillante la relation facile à trouver

( "^ ) On « en eSbt

CP = /(a -h€)*-t-x' = approximatitement a -+- 6 H — j yr »

■' -' ' 1 -rr- ' ar« ' ^

la différence des deux chemins vaudra -y 3 ->•••» pour les franj^es brîl-

lantes, et Oj 2 -^9 4 '''*** ^ P^"'' ^^^ obscures. On a do)fkC pour la première frange obscure

.c'est-à-dire

DIFFRACTION. iJjg

Mais si *l^on tient compte 'de la perte de - A due à la inflexion, cette valeur de X appar^tient a la première frange obscure : et comme elle diflêre à peine de la valeur ^

on pouri*ait croire ç,ç genre de/ranges impuissant pour Jë« ctder entre la théorie si simple de Yqi^ng et celle de Fresnel « Fresnel a^été d'un aiJitre avis. En prenant pour engendrer deux systèmes pareils, de franges extérieures, les deux bords parallèles d'une fente un peu large (i centitaètre suffitdans les conditions usuelles de distance pour assurer aux franges la même organisation que si la fente était iHîmiléè), otipeùt par le calcul connaître exactement la di&tanèe qui sépai^c^es deux bords de Toml^'e géométrique, dans lé plan -du micro^ mètre. .Si. donc on retranche dç la moitié de cette distance, la demi-distance de deux franges homologues , on aurs^la disftance X», effective et pa^r suite la différence x„ — X». Avec un choix convenable de valeurs pour a. et 6, cette différence peut s'élever, pour la première frange, h plus d'un sixième 4e niillîmètre f elle s'est élevée jusqu'à —:2 Je

millimètre V, la différence entre le$ deux valeurs assignée*

par les deux théories est alors' tellement supéfieufe à l'erreut* possible, que, même sur ce terrain sî favorable à Young, sa théorie a étç démontrée inexacte par les nombreuses expériences dfe Fresnel.

A défaut des discordances numériques si concluantes, Ja' théorie de Young comportait d'ailliSirs de nombreuses ob-. . jeçtions. Ainsi le dos d'un rasoir ne donne pas des frangçs plus brillantes que le tranchait. Celles d'un écran decar^ ton noirci qui ne réfléchit guère , même dans les inciden<ies rasantes, ne différent pas de celles d'un métal poli. ..Ces indifférences inattendues ont contribué à rendre suspecte à- Fresnel la théorie de Young et Vont amené à rattacher ces

l8o CHAPltRE V.

ranges, avec tant d'autres, uniquement h la dérivation des mouvements vibratoires.

Quoi qu'il en soit, puisque la formule qui donne les franges du bord' d'un écran rectîligne ne diffère de celle de "Young que par un facteur numérique, on peut eh conclure qu'une même frange se propage hyperboliquemeiit dans l'espace ( *) ^ que les hyperboles des diverses franges, un peu plus aplaties que celles de Young , ont comme elles, pour foyers,. le point lumineux c et le bord A de l'écran ; qu'ainsi Timbre setrouve dilatée et surpasse l'omtre géométrique. Fresnel a eu sof n de vérifier toutes ces conséquences,

g 103. — L'ombre géométrique n'a pas de franges.

\I1 est visible que la dérivation doit jeter de la lumière dans Fombre géométrique elle-même. Pour un poîrit^.de l'ombre les limites des intégrales sont 5 et oo . Fresnel a

(*) En faisant -varier dans U forinuYe

1°. X el 6, on a la courbe d'nne françe , et c'est une hyperbole.

3<>.X et ).f on aies abscisses d'une même frange pour les'diverses couleurs.

30. ^JC eti'in (t'Ai étî^nt des qjiiifres inférieurs à ceux de Young, soum|s.àune îoi de variation très-compliquée et donnés ainsi que nous venons de le voir (.§ 100 ) paf une Table laborieusement calculée) , on a les abscisses des diverses franges pour une même distance 6 entre l'écran etie tableau.

Changez les dislances oc et 6 et vous aurez ^

. c'ost-à-.dire que les franges offrent toujours lès mêmes rapports dafns leurs iniensités et dstns les intervalles qui les séparent. -

Nous avons déjà rencontré des hyperboles [ franges de Young (§9?)], mais elles avaient un axe réel beaucoup plus petit qge Taxe imaginaire et leur cortrbure était ir^signifiante. Ici au contraire Taxe réel surpassé be^ucoiip l'autre, de là une courbure très-prononcée que Ton constate aisément par des mesures qui doivent porter sur des portions yoisines du sommet. Si <lahs ces épteuVes expérimentales les hyperboles ont par ii partir du bord A, cela -lient à la très-faible distance qui sépare le sommdtdé ces Hyperboles de leur foyer. » , - ' ^

DIFFRACTION. l8l

«Calculé le$ cinquaple-çinq valeurs (Tîntensïté «orresporir. ilanles aux cinquamte-cinq valeurs discontinues données par les valeurs. v=3 o= o,i=t),a. . . = 5,5, et û-a trouvëxians. le tableau de ces intensités aucun indice de mas^imum (§ 62) . En effet, <)n ne distingue pas de franges à Fintérieur de l'ombre : Tinvasion dé la lumièr^ diffractée s'y fait avec une dégradation rapide et progressive.

§ 104. — Franges d'un corps opaque éixoit,

Quand le corps est assea^ étroit pour que la dérivation qui s'effectue de chaque côté de ses bords atteigne et dé- .passe le- centre de l'ombre géométrique, on voit apparaître dans l'ombre^ des franges dites intérieures. Si la largeur du corps diminue , et si pour ce motif, ou pour d'autres équir valents , la dérivation s!étend au delà de Tombre, alors les franges extérieures perdent leur dispositipii invariable et deviennent analogues aux franges intérieures, puisque, comme elles , elles résultent de rayons venus des deux côtés, du corps.

Si. le corps est suffisamment allongé, et si l'on cherche les intensités de la lumière dans le plan me^é par le point lumineux perpendiculairement aux. deux bords parallèles ^ on peut éviter encore les intégrales eu x et j-^ et recourir à Fîntégrale qui résout le cas précédent. Mais, comme les. deux limites de l'intégràie varieront d'un point à l'autre du tableau, on ne peut plus obtenir de résultats généraux, et il faut se contenter de solutions numériques calculées laborieusement pour chaque cas particulier. Fresnel s'est livré à des calculs de ce genre , et a trouvé dans leurs résultats des vérifications gén^i^alement satisfaisantes.

Ces remarques s'appliquent également au cas d'une fente étroite; il se traite par la même formule, mais avec des limites complénientaires de celles du corps opaque.

Nous estimons d'ailleurs que les écarts notables qui, pour quelques-unes dès expériences étudiées daus ce para-

iSa, GBAPIÏRBV.

graphe^ ont séparé les positions vraies des franges, de leurs positions théoriques, sont san^ valeur contre cette théorie. En effet, si Ton se rappelle (§ 88) au prix de quelles suppositions approximatives tes calculs bnt pu aboutir, on admirera que les vérifications n'aient pas été plus sérieuse- . ment compromises par d'aussi grands étarts de la élrîcte Idéalité, et l'on comprendra que la méthode expérimentale étant à ce degré capable de doiiner une haute valeur à dés calculs, qui n'en auraient guère au point de vue analytique, est bien une méthode indépendante, douée d^une puissance toute spéciale pour nous conduire A la vérité.

On voit donc que si tous ces cas de difTractioti réssortent des mêmes formules, cependant l'imperfection dés ressources qu'offre l'analyse, conduit à les diviser en tro.îs groupes : i® ceux ou les intégrales réussissent et où Ton peut résumer dans des formules générales les lois des phénomènes ; a*' ceux où l'intégration ne réussissant qu'à demi 9 étant en d'autres termes comprise entre deux limites dont une seule est variable , on obtient encore quelques généralités; et enfin 3^ ceux où Ton ne peut plus' obtenir d'aperçus généraux. Fresnel a soumis au levier d'une synthèse habile et le phénomène (§ 1(M) qui forme à lui seul la deuxième catégorie et les principaux phénomènes compris dans la dernière. Ses heureux efforts l'ont coudait non-seulement â leur trouver un mode d'exposition élémentaire, mais encore à y démêler quelques lois.

§ 105. — Diffraction. — Étude aynthéti^e. -^ Frangea d'un corps étroit (^g, 55).

Prenons sur chacune des deux partie;^ épargnées AF, GE de l'onde, et pour le point quelconque P- du tableau, les, arcs d'Huyghens. Chaque partie étant indéfinie donnera (§ 54) une résultante due à la moitié des premiers arcs AM evGN. \ ,-''.' ; -

Nous avons pu trouver le retard du rayon résultant dans

DUTRACTIM. i83

quelques cas,' ceux, par étemelle, â'uue zone circulaire ^ finie et d'un fuseau infiniment mtncé*et iittfiniment étendu

dans un sens. Il était dans ce dernier cas de ^X (§ 101 )-5

dans le premier, pour certaines zones, il était juste le double (§ 59). Mais^ayec uit arc fini, la phase dépend dé récjua-' tioii

as sin TT 5' — —— ,

ascosns^

ei ne peut plUs s*obtenir. d'une laanière générale, niéi^e eii supposant (^ue le point P occupe la position symétrique 77 et soit nur la bissectrice de l'arc AM.

Eh bien, si le point P est assez intérieur à l'ombre, si les mouvements ont tous une assez grande obliquité, les arcs élémentaires, qui, dans Tare total AM, correspondent à des retards égaux, seront sensiblement égaux * recheït;ber la phase du rayon résultant revient donc à chercher l'angle ^ situatioîi de la résultante d'un système de petites forces égales et angulairement équidistantes. <C'est-à-dïre que te rayon résultant coïncide avec celui du milieu, et se trouve

avoir sur le premier rayon AP un retard de ^X. Si nous revenons à notre petit corps opaque, nous aurons en Pie conflit de deux résultantes dont la différence de route sera la même que celle des^ deux rayons qui parte^ii des bords. Ainsi, tant que le point P est assez éloigné de la limite de Tombre la plus rapprochée, on a les franges de Young légèremenl; hyperboliques , équidistantes et soumises à la formule conuue

dans laquelle c, distance des deux points lumineux, devient la largeur du petit corps. Mais quand il s'agit d'un point Fi

1 84 chapithb v.

suffii^amn^nt . rapproché du bord de Tombre ^ les pi^ei^iers éléments' de l'arc AM sont plus. grands <]l[te les derniers, * îi suit que Je rayon résultant se rapproche d'eux et qu'il a

un retard moindre que -^X. On ne peut plus remplacer lés

deux rayons rés^ltants par deux' autres issus des^ bords. Là où ces deux derniers rayons donneraient une certaine différence de route , les autres en donnent une plus grande , c'est-à-dire qu^ les franges cessent d'être équidist^nteà et se resserrent. Les franges intérieures peuvent donc nota:blement différer dé celles données par deux points lumineux. Nous en concluons que l'aspect du phénomène offert par le petit corps opaque n'est pas unique. En fsdsant varier les paramètres c , 6, ce (car a influe dans le cas général) , on peut avoir une distribution différente des franges.

§ 106. — Franges d'une petite ouverture.

Si Touverture est très-étroite^ il n'y a pas de fraiig(es, la lumière envahit tout l'hémisphère postérieur avec un -décroissement rapide d'intensité qu'il faudra mesurer, quand^ on voudra. connaître ou vérifier la fonction/* (9) du § 5i&.

Quand la fente s'élargit, des franges apparaissent dans Fombre géométrique 5 supposons qu'elles n'ont pas encore atteint la projection conique de l'ouverture, et même qu'elles en soient assez éloignées. Si au point Pj (/ig. 56) , les deux rayons extrêmes ont pour différence de route A, comme la grande obliquité rend ^aux les divers éléments^ de l'onde, les rayons se détruiront deux à deux, et oti aura une frange noire. 11 en sera de même pour tous les points où les rayons extrêmes différeront d'un nombre entier de A. Au contraire, on aura des franges brillantes là où

cette différence de route vaut un multiple impair de-« Bref,

ou a des franges dont l'éclat diminue , puisque les mouvements réserves appartiennent successivement à des parties

DIFFRACTION.^ ÏSSl '

a>UqtiQles déci^is$antes - ? - ^ - V • » • dé l'ôùv^rfure , mais

qui accepteril encore la formule

Ces franges sont 4équidis tan tes à partir des denv piremières dont la distance (il s'agit des franges noirçs) est doublée^ La cause de cet écàrtement double tient à ce que, quand la

différence vaut ici - > tous les rayons sont d'accord , tandis

que quand deux seuls rayons (expérience de Young) sont en jeu, il .y a désaccord. On a donc ici deux fraises noires, -de moins, ou mieux^ à part la frange .centrale qui reste bxîl: lante^ il y a un interverti ssement général de toutes le§ franges.. Ces résultats sont en contradiction si formelle, avec la théorie de Young (*) , qu'ils ont ^ une inijiuenGe décisive pour en détacher Fresnel. -" .

Quand le point P^ se rapproche du bord de ^omb1:•^^| alors l'égalité des éléments de Tonde n'exrstç plus. Les éléments qui sont du côté de la frange sont plus grands, et quand le^ deux rayons extrêmes diffèrent de X, l'antagonisme cesse d'être exact et de plus n'est pas le meilleur. Dans quel sens les franges obscures, qui ne sont plus que de simpleâ minima, sont-elles déplacées? Nous né nous arrêterons pas à ,, le deviner, en nous inspirant du contraste qu'ont offert les deux coefficients 1,8^3 et 2 (§102), et pouf trouver leur vraie place nous renverrons aux intégrales. ^

Les frangés peuvent envahir la projection conique de l'ouverture, et le centre peut mêmç devenir le siège d'une frangeobscure. Cette dernière particularité, déjà .rencontrée dans le phénomène de la petite ouverture circulaire (§ S7),

( * ) On né coin prend pas dViUJeurs (ju'unc réftexjon sur le bord (i pjiisîic envoyer un rayon en P,.

l86 GHAPtfBB T.

a lieo sensiUement {*)^ quand la.diffét«ncc de rente eut» le premier rayon K>, et chacun des rayons extrêmes AO, GÔ, est

i, ai, 3>,

n y a donc des franges intérienres ; maïs il n'y a pas lieu de les disHngner des extérieures, attendu que, quand elles ontjîeu à.la fois, les dernières ne soatl que la coritinuadcm des premières, leur seule différence consiste en ce que^ pour les unes, les mouvements qu'envoie l'ouverture viennent de part et d^autre du premier rayon^ tandis que, si la frange est extérieure, le premier rayon GPt est Fnn des deux rayons extrêmes»

Ici , en général , comme dans le cas du petit cofps , la disposition des franges est variable ; on comprend cependant que deux fentes c, e^ puissent, pour certaines valeurs de a,'€, x\ è% donner à leurs franges les mêmes largeurs et les mêmes rapports d'intensité. Fresnel a pu, par la synthèse', trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les six paramètres or, S,c,«',8', ^ pour qu'unetelle identité ait lieu»

^ 107. — Conditions pour que deux finxtàs donaent. les mènieft

franges.

Si Ton veut qu'aux points O, O (fig. 56 et 5j) la résultante se coiapose des mêmes éléments, il faut qu'en menant des centres O, (V les arcs tangents Kl, ¥JV les différences AK, A'K' soient ^ales, c'est-à-dire que

4 2a6 ~4 ^a'C ' l'égalité des franges exige

VO=V(y ou bien Îiîî-^ = FM"'

(* ) .ATe<: la petite ooTertare circulaire, oo a pu^ grâce ^ la poMes&ioB d'ene formule (générale, tr^uTer le lieu précis de ces obs<turités. Ici rinégalîte des arcsd^HuyghenS. sensible surtout sur les premiers, y met •batade.

DlFFRAGTidft. 1^7

mab si l'on, vçut que tes deux ondes se présentent de là même manière aux deux points P, P' et leur appoitent, ainsi qu'en OetO', des éléments similair'és, il faut, commue on s'en convaincra sans peine, cette troisième équation

IM VM' c'est-à-dîre

- IM "^ c '

qui, combinée avec la deuxième, fait disparaître les indé* terminées IM, l'M', et réduit les équations de condition aux deux suivantes : ^

a€ a' 6 ac' a'c

dont l'une peut être échangée coptre cette autre "ce

Une des conditions consiste donc à rendre proportionnelles aux ouvertures les distances qui les séparent des tableaux. Fresnel a vérifié l'exactitude de ces relations qui résolvent évidemment la même question pour deux petits corps, opaques.

§ 108. — Invariabilité des finoiges d'an bord rectiligna.

Pfous savons qu'au contraire les bandes obscures et bril- Untes du bord d'un écran présentent toujours et sans condi«tiorî (§101 ) les mêmes rapports dans leurs intensités et dansleurs intervalles. Notre synthèse réussit à en donner la ral-^ son ^ sotimettons-la à. cette épreuve. Soient (/ig*. 53 et 54) deux pmnts lumineux C, C, lès deux écrans AG„ A' G', les deux tableaux TP, T'P'; si, sur le premier, une frange a' lieu à la dîstance.ïP, prenons siir le deuxième un point P' te| , que les différences A'K', AK soient égales ; en ces deux points les mouvements élémentaires se présenteront sem-

i88 Gffikpms'v.

blahlei^ent groupés, et F sera la frange homologue de' P.

L' faille

donne , ^

MA -— r- = /ii'A' --,

ou bien en introduisant

Pr=:X et "FrrzrX', Pt'-—-? ^=j^*

2g(a + 6)^ 2€'lV4-6.')'

Ainsi le rapport ^, est constant , c'est-à-dîre que les frarigês'

se succèdent de la même manière, offrent les mêmes dé^adations d'intensité et deviennent identiques si Ton éloigne convenablement l'écran P'T'. Si 3 est la valeur de la différence AK qui donne un certain minimum, le premier par exemple, on passera du relatif à Tabsolu, et l'on anra