f-€/'^^(Atangr'-hB

D'un autre côté, si l'on reprend directetHent la question,

on trouve

^ A tanj? r' H- B

V— A tang' r' — ^ B tang r'»— A" '" — V^— A tang» r^ — A'' ~ 2B tang r'~— ( A tang r ' 4- B )' V— A tang' /•' -— À" — îx B tang r* d'où

, . ■ . . x"' (Atangr'-f-B)

2() sin/ = ^ = ,- ■ ' '

sjx"^ -h z"" — V — A tang' r' — A" — 2 B tang r'

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. «^93

En miiltipliatU les deux termes du carré de cette expression par — Aa'i', on voit qu'elle ne. différera pas de la précédente si Ton a

or c'est cç qu'il est facile de vérifier. Celle formule donne le rayon extérieur générateur d'un rayon extraordinaire et, par suite, le coengendré ordinaire par la relaxion

sinr== b sini.

Pour approprier ces formules à un cas donné, par exemplie à celui de la section principale d'une face naturelle du rhomboïde, il faut prendre

B ' Les quantités A, A'', -> Aab prennent alors les valeurs

numériques suivantes :

et Téquation qui donne r' est

1 ,00436 V2,4o48 — sip'«

Quand I est nul , on a

tang r' c= .;— o , 1 0884 ,

valeur déjà trouvée (§156), le signe — indique que la réfraction a lieu de Tautre côté de la normale.

Veut-on, cas indiqué (§162), que le rayon extraordinaire coïncide avec la normale , on aura

, . B' 0,07 iq53 , , ^,,

r'=o, sm»ir= — — = ^/ — , i=9«49'a5''.

Or /• vaut alors 5** 55' lo'^, l'écart des deux rayons est donc 5?55'io''.

Yeut^on que cç même rayon pénètre dans le milieu biréfringent sans déviation, on aura

d'où Ton tire une équation de condition en tang i qui s'élève au quatrième degré. Nous l'avons résolu par tâtonnements en y mettant pour i successivement diverses valeurs. En essayant ainsi tour à tour

je trouve que cette dernière valeur satisfait sensiblement. L'angle r vaut alors 9** 33' 10'' et l'écart des deux rayons est e^aS'io''.

§ 171. — Un théorème du à HnygheoB.

Ûuyghens a trouvé que si, dans la section principale, deux rayons incidents fbnt,^ 1*ud à droite et l'autre à gauche, des angles égaux avec la normale , leurs extraordinaires coupent la seconde face, supposée parallèle à celle d'entrée, en deux points équidistants de celui où elle est coupée par l'extraordinaire du rayon normal. En effet, ce dernier rayon la rencontre à une distance du pied de la normale qui vaut '

e tangr = —,

OU bien en valeur absolue

et chacun des deux autres à des distances marquées par e?si.ni eB

pour celui qui incide à droite, et par

e sin I cB

pour celui qui incide à gauche (nous prenons dans ce dernier cas

DOUBLE RÉFRACTION UKIAXE. 29$

la valeur absolue). Cela posé, (2) + (i) et (3) ~ (1) donnent la même quantité

kabsl ce qui est bien le théorème d'Huyghens.

§ 172. — Ce que sera le calcBl pour les trois sections principales des biaxes.

Nous avons dit (§ liJS), et nous le prouverons, que chez les biaxes il était des sections telles, que les deux rayons, non-stulement y suivaient la première loi de la réfraction ordinaire, mais qu'ils s'y construisaient encore, l'un par un cercle et l'autre par ime ellipse, avec toutefois cette particularité que le rayon du cercle n'était plus égal à l'un des axes de Fellipse. Les formules précédentes s*adaptent immédiatement à ce cas si l'on a le soin de remplacer, dans les calculs relatifs au rayon ordinaire, la constante ^ par le troisième paramètre c du biaxe. Les deux rayons se trouvent ainsi définis par les quatre équations

.r" = — c'sini, «"= — c\/i — c'sin'ï,

sin f B ab

x'" = 1 V— A — sm' /, z"' = — ab y — A — sin' /.

Nous engageons le lecteur à prendre pour Tarragonite les valeurs (IV* tableau du § 69tf ) de /i, by c et à se livrer, pour une valeur de L, à quelques-uns des calculs précédents.

§ 173. — Réflexion intérienre. - Règles de M. Riot.

Les calculs qui donnent les formules de la réflexion intérieure chez les cristaux biréfringents diffèrent à peine des précédents. Comme cette réflexion peut apporter à la construction d'Huyghens de précieuses vérifications, nous allons les donner, en opérant toutefois dans une section principale j on verra sans peine ce qu'ils seraient dans le cas général.

Le cercle et l'ellipse d'Huyghens tracés .pour le point d'incidence O, ayant toujours les mêmes équations, il faut, avonsnous vu (§ ttf7), diviser la question et considérer séparément le cas où le rayon incident x = z tang i est ordinaire et celui où 1} est extraordinaire.

Paevusr cas. ^ Le rayon incident coupe le cercle x' + z'= 6^, extérieurement au milieu, en un point^

x' = — ^sini'y z' = — 6cos/,

la tangente xx'+ zz' = b^ menée en ce point, à ce cercle, coupe l'axe des x en un point

sini Une droite quelconque issue de ce dernier point est

ar-HC2 = r— :;

sini

si elle doit être tangente à l'hémicercle intérieur x'*f- £'== b*9 elle donné lieu aux trois équations

(3) ^^''^-C^''=--^., ^ sini

capables de déterminer x"y z**^ et, par conséquent, le réfléchi ordinaire. On trouve ainsi

z'^=zb cos/, x"=i — b sini.

Pour déterminer le réfléchi extraordinaire , c*est à la demi-ellipse intérieure qiie la tangente doit être menée. Cela donne entre C et .r'', z^y coordonnées du point de contact , les équations

(4) Ax"'»4- A^z'^^'-h 28^*^ 3^ -4-1 = 0, 1 Aa:"'-HB»*'

(3) *«'4-Cz'^=--^,

en combinant (5), (3) et simplifiant l'aide de (4), on obtient

(6) "^^kx^-^Bzr

DOUBLS RÉFAAGTIOBI UNIAXE. 397

Les équations (4yet (6) doDoent enfifn

sin'i

,„ sini B06 / , ûvL^i .

toute la différence avec les formules de la réfraction de ta page 292 consistant, outre celle des signes , en ce que sin i est remplacé par sin I

Deuxième cas. — Le rayon incident étant extraordinaire, il faut le prolonger jusqu'à la demi-ellipse extérieure, ce qui donne un point

y— Atang'/ — M' — 2B tangi ^^ tang/ ^

La tangente en ce point est déterminée par le concours des équations

(^ — V) H- X- (z — z'} = o , I Aa/ 4- Bz' __ A tangi -H B ï ■" Â^T^Tb? "" A'' -h B tang I '

Elle coupe Taxe des x en un point Z| xy^ , tel que

i/ — A tanc' / — 2B tang i — A" ' Atangi-hB *

une tangente au cercle menée par ce point x^Zt touche le cercle en un point dont les. deux Coordonnées x\ z" dépendent des équations

(1) y"-hz"^=6%

(3) .r'^+Cz"=M.

Une tangente à i'ellipse, menée par le même point, donne un

point de contact x*" z'" dépendant des équations

(4) Ajc'"' + A^z^''-^ 2Bx' 2"' -f- I = o ,

^ ^ ^ C" A" z'" H- Bx"'

en résolvant le.4 trois premières , on obtient pour le rayon ordinaire

les trois autres donnent pour le rayon extraordinaire, en tenant toujours compte de A A'' — B' = -jr-j 1

formules qui se déduisent des formules du § 170 par le seul changement de sini en

^2« A tang / 4- B

^ — V— A tang' I — 2 B tang / — A"

Puisque les formules du premier cas d^ réflexion intérieure ne diffèrent de celles de la double réfraction que par le signe de z",

et la substitution de -y— à sin /, on voit que ce phénomène doit

donner les mêmes rayons qu'un certain incident extérieur, et que ce rayon extérieur se irouve arrivpr du même côté de la normale , sous Tangle I donné par

sini = bsitii.

A regard du second cas , on voit également que si un rayon incident arrivait extérieurement et du même côté de la normale, sons un angle I défini par Téq nation

. ^ Alang/ + B sm I = ^

— V — A tang» / -— 2 B tang / — A"

il donnerait, d'après les formules du § 170, précisément les quatre valeurs du paragraphe précédent : de sorle que les règles adoptées par M. BFol se trouverit justifiées.

DOUBLE REFRACTION UNIAXE. igg

§ 174. — Quelques exemples numériques.

Voyons de plus près quelques cas de réflexion intérieure.

I®, Soit pris, comme rayon incident intérieur sur la deuxième

face du cristal {fig' 90)9 ce rayon extraordinaire oblique de

&* 12' (§ i^6) qu'engendre un rayon normal à la première face.

On aura

tangi = — - (page 293), M = qo, ar''=o, ^ = 0;

ainsi déjà le réfléchi ordinaire se dirige , suivant la normale commune'aux deux faces du cristal. On a ensuite

^àb ,„ -^ , x"' — B