A"sin»L

— 2BCOS2L

-h2BsinLcosL

— 2BsinLcosL

et l'on a

les trois équations de condition ,

(A"— A)sin2L= 2BCOS2L,

"~ A sin'L -h A' cos'L -4- 2B sinL cosL '

A cos'L + A" sin'L — 2B sin L cosL

L'ellipsoïde achèvera de devenir celui d'Huyghens , si nous exprimons qu'il est coupé suivant un cercle de rayon a, par

le plan x=^ — =r z, normal à Taxe OXi. Or on peut se

langii

dispenser de chercher Téquation de cette intersection dans

son propre plan, et se borner à écrire que l'axe des y est

encore coupé par Tellipsoïde, à une distance a du centre.

Faisons donc j: = o, -3 = o dans son équation ^ il en résulte

DOUBLE AÉFKACTION UNIAXE. ^28 5

a' = — -^71 et le coefficient À' se trouve explicitement déterminé. Les équations (2), (3), {4)j facijesà résoudre, donneront pour les valeurs des trois autres coefficients

®= (i "" h) *'"^ '''''^' A =-~cos'L -isin^L,

A" = — -î-srn'L^-icos?L,

et il suffira de les. reporter dans Téquation (i) , pour être en possession de l'ellipsoïde d'Huyghen& propre au point d'incidence o.

§ 166. — Galcnl du rayon ordinaire.

Le rayon quelconque incident 01 a pour équations

il fait un angle d'inctdence 2' donné par

lang./ = — = v^/w' 4- /?'.

L'azimutf du plan dHncidence, compté depuis le plan XOZ,

est donné par

Y n tang,=-=-.

Cela posé, il faut le prolonger jusqu'à la sphère'

et mener à cette sphère, au point de rencontre, un plan tan-

( * ) Si le rayon venait d*un milieu dont Tindice eût pour réciproque Vf le second membre de cette équation serait p', et dans les calculs qui vont suivre, an lieu de

on aurait

286 GHAPITRE VI.

gent. Les coordonnées du point de rencontre sont

— - ^iw*-h«'H- I — v^m*-4-/i»-M

le signe — au radical étant dicté par la configuration adoptée. Le plan tangent est

Xx'-t- Y7'-f-Zz'=:i, ou bien

Xiw-h Y/t-4-Z=:— v^/w'-f-«*-M ; son intersection avec la face du cristal est

Z = o, X/»-h Yw =— V^/w' -h «2 -h I .

C'est par cette droite qu^il nousiaui mener, soit à FeUipsoïde, soit à là sphère x'-f-j^'-h z*= i*, et intérieurement au milieu , des plans tangents.

Un plan qui passe par une droite *

Z = o, Xiw -+- Y«=;:— v^w» -f- /l» H- I, a visiblement pour équation

X/w H- Y/i-h CZ == — Viw'-h /l' H^ .

Si ce plan doit être tangent à la sphère x* H- ^*H- z* = i*, en appelant x'^, j^', z" les coordonnées du point de contact , il faut que pour ce point les deux dérivées partielles

—9 — soient égales sur le plan et sur la sphère. Si Ton

exprime d'ailleurs que le point x^, y^, z** est à la fois sur le plan et la sphère, on aura, pour déterminer les quatre inconnues C, x", y" ^ ^'^, les quatre équations

. DOUBLE RÉFRACTION UNIAXB. 287

Les équa lions (5), (6), (7) donnent .

Les équations (8), (10), (11) donnent

d'où l'on tire pour les inconnues,

,.. ^V^(/^'4-7iM(i~^')-H

V//n' 4- ri^ -h I

L'azimut du plan de réfraction a pour tangente ^^ =— -i il

est le même que 9, et la première loi de Descanes est satisfaite. L'angle de réfraction r a pour tangente

tang r = ^ — ■ ,, ^ —

et, par conséquent, pour sinus

sinr:

lequel est visiblement égal à b sini ; de sorte que la loi des sinus se retrouve sur le rayon ordinaire. Passons à l'extraordinaire.

288 CHAPITRE Vi.

§ 167. — Calcul du fayon extraordinaire. Ici le$ équations (5), (6), (7) sont remplacées par ces trois autres

m __ Aa-^ -h BzT' .

(i4) Ax''' H- A'/''^ -+- A" s'"* -h 2B«'"z"' 4-1^0,

lesquelles, associées à l'équation (8) qui aura reçua:"',y'^ z"', en place de x'^^j z^\ donneront Tinconnue auxiliaire C et les inconnues principales x"', y, z'^\ et surtout les quantités r'j ©' qui caractérisent de la manière la plus commode la route du rayon extraordinaire, et dépendent des équations

> tang?'=^,, langr'=I ^j;,^^.

Les équations (12) et (i3) donnent

(i5) . Aa:'"-hBz-= jAy%

et cette équation indépendante de i et C nous apprend déjà que tant que 9 est constant, les points de contact j»"', y", £'" caiactérisques des rayons extraordinaires, son t. compris dans un même plan dont l'équation est (i5 ) ; qu'ainsi, à la famille des rayons incidents contenus dans le plan normal d'azimut ç, répondent des rayons extraordinaires contenus également dans un même plan , mais qui es^oblique sur la face d'incidence.

Quand V^ y, -z"' seront déterminés , l'une des équations (i2).ou (i3) donnera C. Si donc on reporte cette valeur provisoire tirée de (i3) dans l'équation (8), auquel cas cette dernière devient

i m A'/" x^'^n A'/"' -+- » A" z"'' 4- »B x^ z'" ^'' ^ . I = — A'v^/ii^-f-«'4"iJ^

t>OtBLE RÉFRACTION UNIAXE. ^Sg

les équations (14)9 (1^)9 (16) ne contiendront plus que % a/", y, is"', et il s'agira deJes en tirer.

Pour y arriver simplement, remplaçons dans le seul premier terme de Téquation (16) , mAf^ par sa valeur tirée de Téquation (i5), il viendra

/i Aar*" 4- /i B z"' x"* 4- n k'y""^- -h n A" 2'*'' + /ï B x^ z'"

équation dont le premier membre se réduit d'après l'équation (i4) à — «, de sorte qu'on â déjà

En substituant cette valeur dan s les équations (i5) et (i4)) on obtient deux équations , dont l'une est

^ Av'w'-H «'4*1

éliminant j/'^ entre ces deux nouvelles équations, on a une équation en :^^^ du second degré dans laquelle le coefficient du deuxième terme est nul. Cette équation facile à former est

AA" — B» , I /m» «A

les valeurs de A, K!\ B donnent

il en résulte, en prenant le radical avec le signe — , puisque dans la configuration adoptée z*" est négatif,

A 4- -; ; (/ï»a*A — iwM

z=z ^ab ^— A4*sin'/(fl*Asin»y — cos*y)

car

= — ' : = sifi*« sin*flp.

igo CHAPITRE VI.

• .Enfin on aura a/'' en reportant z'" dans réquatiou(i 7), ce qui donne, en remplaçant de suite les paramètres m, n par 1,9,

,„ sin/coso Xiab , . , . ,■ , — r-^ — -r

.r" = H -— y— A -h sin'i (fl'A 5in»<p -— cos'y).

Si Ton introduit les mêmes paramètres dans y'^\ on a

7= —7 sm / sirKp = — 0} sm 1 sm (j>.

Quant à 9»' et r', on a

x'" cet y

col ?= = - 4 /

^ "*' "' ^ n A sin / sin ^ y

La valeur explicite de tang / étant très-compliquée, nous déduirons r' de l'équation implicite

... y" A sin I sin o ,.,

tangr' sm^' = -^ "= ^, ( )•

qui donnera /', quand (p' aura été obtenu à Taidc de la précédente.

§ 168. — Ce que serait le calcnl de Tangle d'écart. L'angle d'écart V des deux rayons est facile à mesurer (§ 146) : il faut donc le demandet aux formules pour se ménager des vérifications. On ne peut pas songer à former explicitement l'expression générale d'une des lignes irigonométriques de cet angle; mais quand on aura calculé r par la formule sin r = i sin 1 , ç' et r' par l'emploi successif des deux formules précédentes, on connaîtra ç' — y et l'on aura trois éléments du triangle sphérique formé par la normale et les deux réfractés, à savoir, deux faces r, r' et le dièdre compris (p' — 9. Il n'y aurait plus qu'à déterminer la troisième face par la formule connue

ces V = ces r ces r' -h sin r sin r' ces (ç' — (p) .

(*) Pour accommoder toutes ces expressions au cas du milieu quelconque

'i . . sin i d'indice -1 il suflRt d'y chanerer sm i en .

DOUBLE RéFRA€T10lV UNIAXE. 20 1

Dkns les déterminations d'écart dues à M. Biot on usait de prismes (§ 180} 5 i4 aurait donc fallu faire successivement deux calculs de ce genre. Hâtons-nous de dire que, grâce à un principe de proportionnalité (§ 181 ) entre l'écart et une certaine fonction des vitesses, les vérifications auxquelles nous faisons allusion ont été bien moins pénibles.

§ 169. — Cas où l'axe est dans le plan de la fece. Quand L = 90°, on a

B = o, A= — ^, A"= — -, tang(p' = ltâng(p,

^b* cos^ <p H- « * sin* <p

, sin / ^a* sin'® + b* cos'te

langr = — ■ ^ ^ . ~^i

- a^\ — ^sin»i(a'sin^<f-4- ^'cos'y)'

l'écart ç'—ç du plan de la réfraction extraordinaire dépend de l'équation

^^^ ^^ ^'4-«»tang»(p' il sera maximum pour la valeur de y donnée par

tangçzrry/^

et ce plus grand écart sera

tang(<I>'-<I>) = — — y/-;

en passant aux chiffres on trouve chez le spath dUslande * = 36° 5/, . (D' — «D = 6« i3'4o",

et chez le quartz

(rapport 17,1 3). Nous laissons au lecteur à compléter celte discussion par la considération des autres cas simples, dîs-

29a CHAPITRE VI.

tinets de celui sur lequel nous allons nous appesantir, à savoir, le cas où le plan d'incidence est la section principale.

§ 170. — Cas d'une section principale.

Il faut poser ç = o dans les formules générales, ce qui donne

• ^Vsini,

— bsji

sin'/,

— ah

— A — sin»

ar' =

sin/ Bah j —

sin*/.

tang r' :

sin/

rïv

Le rayon extraordinaire reste donc dans le plan d'incidence^ on ne peut pas davantage prétendre obtenir une expression générale de r' — rd'où Ton tirerait, par exemple, le système de valeurs deL, 1*, qui offriraient pour ce cas, où les deux rayons suivent la première loi de Descartes, l'écart le plus grand.

. Quand , au lieu de pénétrer dans le milieu biréfringent , le rayon le quitte pour rentrer dans le milieu monoréfringent (ici c'est le vide), r' et / échangent leurs, rôles, et il suffit de résoudre l'équation précédente par rapport à i. On trouve ainsi

— A^'^'(AtaDgr'-»-B)»